中北大学数字信号处理原理及应用2

1、第第2 2章离散时间信号与系统的章离散时间信号与系统的Z Z域分析域分析1/186第第2章章 离散时间信号与离散时间信号与系统的系统的Z域分析域分析第第2 2章离散时间信号与系统的章离散时间信号与系统的Z Z域分析域分析2/186 在离散时间信号与系统中，在离散时间信号与系统中， 变换法是变换域变换法是变换域分析法中最重要的一种。分析法中最重要的一种。 变换在离散时间信号与变换在离散时间信号与系统中的作用就如同拉普拉斯变换在连续时间信号系统中的作用就如同拉普拉斯变换在连续时间信号与系统中的作用。它把描述离散时间系统的差分方与系统中的作用。它把描述离散时间系统的差分方程转化为简单的代数方程，使其

2、求解大大简化。程转化为简单的代数方程，使其求解大大简化。 变换的概念可以从理想抽样信号的拉普拉斯变换引变换的概念可以从理想抽样信号的拉普拉斯变换引出，也可以在离散域直接给出。出，也可以在离散域直接给出。zzz第第2 2章离散时间信号与系统的章离散时间信号与系统的Z Z域分析域分析3/1862.12.1变换的定义及收敛域变换的定义及收敛域2.1.1 z2.1.1 z变换的定义变换的定义( )( )nnX zx n z 为序列为序列x(n)的双边的双边Z变换。变换。称称0( )( )nnX zx n z 为序列为序列x(n)的单边的单边Z变换。变换。称称第第2 2章离散时间信号与系统的章离散时间信

3、号与系统的Z Z域分析域分析4/1862.1.2 z2.1.2 z变换的收敛域变换的收敛域1 1、收敛域的定义、收敛域的定义 ( )nnx n z ( )nnx n z Z的取值范围的取值范围第第2 2章离散时间信号与系统的章离散时间信号与系统的Z Z域分析域分析5/186一般收敛域用环状域表示，即：一般收敛域用环状域表示，即：xxRzRORe(z)jIm(z)Rx- Rx+ z平面平面第第2 2章离散时间信号与系统的章离散时间信号与系统的Z Z域分析域分析6/1862、序列形式与其、序列形式与其z变换收敛域的关系变换收敛域的关系 每一项都有界每一项都有界则必有则必有（1） 为有限长序列为有限

4、长序列x nnnnx n12( )( )0 其其它它 nnnnn nX zx n zx n z21 0z ( )x n有限项求和有限项求和第第2 2章离散时间信号与系统的章离散时间信号与系统的Z Z域分析域分析7/186nn 1200z nn1200z nn 120,00z nn 120z 0第第2 2章离散时间信号与系统的章离散时间信号与系统的Z Z域分析域分析8/186（2 2） 为右边序列为右边序列( )x n110 x nnnx nnn( )( )1nn nX zx n z( )( )110=( )( )nnnnnx n zx n z 有限长序列有限长序列0z z的负幂级数的负幂级数x

5、Rz 第第2 2章离散时间信号与系统的章离散时间信号与系统的Z Z域分析域分析9/186X(z)在无穷远处收敛是因果序列的特征。在无穷远处收敛是因果序列的特征。 右边序列的收敛域右边序列的收敛域xRz 因果序列的收敛域因果序列的收敛域xRz 第第2 2章离散时间信号与系统的章离散时间信号与系统的Z Z域分析域分析10/186 包括处z10n第第2 2章离散时间信号与系统的章离散时间信号与系统的Z Z域分析域分析11/186（3 3） 为左边序列为左边序列( )x nx nnnx nnn22( )( )0 2200( )( )( )( )nnnnnnnnX zx n zx n zx n z有限长

6、序列有限长序列0z z的正幂级数的正幂级数0 xzR 第第2 2章离散时间信号与系统的章离散时间信号与系统的Z Z域分析域分析12/186左边序列的收敛域左边序列的收敛域0 xzR 第第2 2章离散时间信号与系统的章离散时间信号与系统的Z Z域分析域分析13/186（4 4） 为双边序列为双边序列( )x n( )( )nnX zx n z 左边序列左边序列右边序列右边序列xzR xzR xxRR xxRzRxxRR 收敛域不存在收敛域不存在第第2 2章离散时间信号与系统的章离散时间信号与系统的Z Z域分析域分析14/186第第2 2章离散时间信号与系统的章离散时间信号与系统的Z Z域分析域分

7、析15/1862.1.3 2.1.3 常用序列的常用序列的z z变换变换（1）单位抽样序列）单位抽样序列( )( )x nn 收敛域为整个收敛域为整个z平面平面( )( )1nnX zn z (0)z 第第2 2章离散时间信号与系统的章离散时间信号与系统的Z Z域分析域分析16/186（2）单位阶跃序列）单位阶跃序列( )( )x nu n 11210( )( )1()()nnnnnX zu n zzzzz 11( ), 11X zzz 第第2 2章离散时间信号与系统的章离散时间信号与系统的Z Z域分析域分析17/186（3）单位斜变序列）单位斜变序列( )( )x nnu n 1011nnz

8、z 1z 2(1)1 20()(1)nnznzz 1z 11 220( )(1)(1)nnzzX znzzz 1z 将上式两边对z求导得两边同乘以-z得 的z变换)(nx第第2 2章离散时间信号与系统的章离散时间信号与系统的Z Z域分析域分析18/186当，即（4 4）右边指数序列）右边指数序列( )( )nx na u n 零点为 ，极点为( )X z0zaz 0( )nnnX za z 11az za 或或111az Re zjIm z0a 第第2 2章离散时间信号与系统的章离散时间信号与系统的Z Z域分析域分析19/186（5 5）左边指数序列）左边指数序列( )(1)nx na un

9、零点为 ，极点为( )X z0zaz 1( )nnnX za z 1nnnnnaz 111a za z 111az 11a z za 或或第第2 2章离散时间信号与系统的章离散时间信号与系统的Z Z域分析域分析20/186结结 论论 仅由仅由ZTZT的表达式不能唯一地确定序列本身，的表达式不能唯一地确定序列本身，只有同时考虑到收敛域，才能唯一确定序列。只有同时考虑到收敛域，才能唯一确定序列。 11( )( ),x nX z 收敛域收敛域Re zjIm z0a 第第2 2章离散时间信号与系统的章离散时间信号与系统的Z Z域分析域分析21/186z（6）双边指数序列）双边指数序列( )( )(1)

10、nnx na u nb un (0)ba 10( )( )nnnnnnnnX zx n za zb zzzz az bazb 该序列的双边z变换的零点位于 及 ，极点位于 与 处。0z2bazaz bz 第第2 2章离散时间信号与系统的章离散时间信号与系统的Z Z域分析域分析22/186RezImzjba第第2 2章离散时间信号与系统的章离散时间信号与系统的Z Z域分析域分析23/186在极点处在极点处Z变换不存在变换不存在( )( )( )P zX zQ z ( )0P zz 的的值值X(z)的零点的零点( )0Q zz 的的值值X(z)的极点的极点收敛域中没有极点收敛域中没有极点收敛域总是

11、用极点限定其边界收敛域总是用极点限定其边界第第2 2章离散时间信号与系统的章离散时间信号与系统的Z Z域分析域分析24/186X(z)在收敛域内解析，不能有极点，故：在收敛域内解析，不能有极点，故：右边序列右边序列Z变换的收敛域一定在变换的收敛域一定在模最大的有模最大的有 限极点所在圆限极点所在圆之外之外左边序列左边序列的的Z变换收敛域一定在变换收敛域一定在模最小的有模最小的有 限极点所在圆限极点所在圆之内之内第第2 2章离散时间信号与系统的章离散时间信号与系统的Z Z域分析域分析25/1862.2 z2.2 z反变换反变换 与连续时间系统中的拉普拉斯变换类与连续时间系统中的拉普拉斯变换类似，

12、在离散时间系统中，应用似，在离散时间系统中，应用z变换的目的变换的目的是为了把描述系统的差分方程转换为复变是为了把描述系统的差分方程转换为复变量量z的代数方程，然后写出离散系统的传递的代数方程，然后写出离散系统的传递函数（函数（z域传递函数）、做某种运算处理，域传递函数）、做某种运算处理，再用再用z反变换求出离散时间系统的时间响应。反变换求出离散时间系统的时间响应。第第2 2章离散时间信号与系统的章离散时间信号与系统的Z Z域分析域分析26/186 求逆求逆z变换常用以下变换常用以下3种基本方法：种基本方法：* 围线积分法围线积分法* 部分分式展开法部分分式展开法* 长除法长除法(或幂级数展开

13、法或幂级数展开法)第第2 2章离散时间信号与系统的章离散时间信号与系统的Z Z域分析域分析27/1862.2.1部分分式展开法部分分式展开法 在连续时间信号与系统中，曾用部分分式展开在连续时间信号与系统中，曾用部分分式展开法求解拉普拉斯逆变换，同样在离散时间信号与系法求解拉普拉斯逆变换，同样在离散时间信号与系统中，当统中，当 的表达式为有理分式时，的表达式为有理分式时，z z反变换也反变换也可以用部分分式展开法求取。首先将可以用部分分式展开法求取。首先将 分解成多分解成多个部分分式之和，然后对各部分分式求个部分分式之和，然后对各部分分式求z z反变换，则反变换，则所求序列所求序列 就是各部分分

14、式的就是各部分分式的z z反变换之和。反变换之和。)(zX)(zX)(nx第第2 2章离散时间信号与系统的章离散时间信号与系统的Z Z域分析域分析28/18601( )( )( )1MiiiNiiib zP zX zQ za z 表示成有理分式形式表示成有理分式形式11011( )1(1)MNNssnkknknkkkiACX zB zz zz z 展开部分分式形式展开部分分式形式当当 时，才存在时，才存在 ，可用长除法得到。，可用长除法得到。MN nB第第2 2章离散时间信号与系统的章离散时间信号与系统的Z Z域分析域分析29/186( )(),1,2,1( )(),1,2,()!kikkz

15、zs kskis kz zX zAzzkNszdX zCzzksskdzz 第第2 2章离散时间信号与系统的章离散时间信号与系统的Z Z域分析域分析30/186例例 2.2.1222( )(1)(2)zX zzz 2z 25( )(6)zX zzz 23z 例例 2.2.2 第第2 2章离散时间信号与系统的章离散时间信号与系统的Z Z域分析域分析31/1862.2.2 幂级数展开法幂级数展开法 根据根据z变换的定义，变换的定义，X(z)为为z-1的幂级数，即的幂级数，即 由此可见，在给定的收敛域内，如果将由此可见，在给定的收敛域内，如果将X(z)展开展开为幂级数，那么为幂级数，那么z-n项的系

16、数就是序列项的系数就是序列x(n)。 将将X(z)展开为幂级数常用的方法有两种。展开为幂级数常用的方法有两种。2012( )( )( 2)( 1)(0)(1)(2)nnX zx n zxzxzxzxzxz )(nx第第2 2章离散时间信号与系统的章离散时间信号与系统的Z Z域分析域分析32/186 1）按幂级数公式展开）按幂级数公式展开 这种方法是运用已经熟知的幂级数展开公式完成对 的展开，往往多用于 是超越函数的情况，如 是对数、双曲正弦等，这些函数的幂级数展开公式大多已有表格可查。下面通过例子对其进行说明。)(zX)(zX)(zX第第2 2章离散时间信号与系统的章离散时间信号与系统的Z Z

17、域分析域分析33/186例例 2.2.3 已知已知 ， ，求，求x(n) 。 解解: : 依据幂级数展开公式依据幂级数展开公式 以及以及X(z)中的中的 （由收敛域得到），可得（由收敛域得到），可得1( )ln(1)X zaz za 11( 1)ln(1)nnnxxn 11x 11az 111( 1)( )ln(1)nnnna zX zazn 第第2 2章离散时间信号与系统的章离散时间信号与系统的Z Z域分析域分析34/1861( 1),1( )0,0nnanx nnn 由上式看到，由上式看到， 项的系数是项的系数是 ，又由，又由收敛域的形式得知，收敛域的形式得知， 是一个右边序列，是一个右边

18、序列，则所求则所求 为为)(nxnz 1( 1)nnan )(nx第第2 2章离散时间信号与系统的章离散时间信号与系统的Z Z域分析域分析35/1862）长除法）长除法( )( )( )( )nnN zX zx n zD z 收敛域收敛域xzR 收敛域收敛域xzR 负幂级数负幂级数分子分母按分子分母按降幂排列降幂排列正幂级数正幂级数分子分母按分子分母按升幂排列升幂排列右边序列右边序列左边序列左边序列第第2 2章离散时间信号与系统的章离散时间信号与系统的Z Z域分析域分析36/18611 23( ) (3)(13)zX zzz 23(3)zz 2369zzz 第第2 2章离散时间信号与系统的章离

19、散时间信号与系统的Z Z域分析域分析37/186269 3 zzz 13z 131827zz 11827z 218z 1218108162zz 1281162zz 381z 12381486729zzz 23324729zz 4324z 第第2 2章离散时间信号与系统的章离散时间信号与系统的Z Z域分析域分析38/186123431881324zzzz ( )X z 122334432 33 34 3zzzz 13nnnnz ( )3nx nn (1)u n 第第2 2章离散时间信号与系统的章离散时间信号与系统的Z Z域分析域分析39/186 解解 因为收敛域为环状，所以所求序列为双边序列。因

20、为收敛域为环状，所以所求序列为双边序列。对于双边序列可先将其分解为右边序列和左边序列，对于双边序列可先将其分解为右边序列和左边序列，所以先将所以先将 展开成部分分式再长除。展开成部分分式再长除。2( )1(4)()4zX zz z 144z( )X z12( )114(4)()44AAX zzzzz zz 第第2 2章离散时间信号与系统的章离散时间信号与系统的Z Z域分析域分析40/1862.2.3. 围线积分法围线积分法(留数法留数法) 除了以上讨论的求解z反变换的两种方法外，z反变换也可以用反演积分来计算。现在用复变函数理论来研究 的反变换。 对z变换定义式两端同乘以 ，得对上式两端进行围

21、线积分，可得)(zX1kz11)()(knnkznxzzX cknnckdzznxjdzzzXj11)(21)(21第第2 2章离散时间信号与系统的章离散时间信号与系统的Z Z域分析域分析41/186其中c是一条位于 收敛域内环绕原点的逆时针围线。若级数收敛，交换上式右端的积分与求和次序，得 依据柯西积分定理 则综合得)(zXcknnckdzzjnxdzzzXj1121)()(21knkndzzjckn,0, 1211第第2 2章离散时间信号与系统的章离散时间信号与系统的Z Z域分析域分析42/186)()(211kxdzzzXjck将上式的变量k用n代换，得 （2.2.7）这就是围线积分的z

22、反变换公式。cndzzzXjnx1)(21)(第第2 2章离散时间信号与系统的章离散时间信号与系统的Z Z域分析域分析43/186 直接计算式（2.2.7）的围线积分比较复杂，当 是有理分式时，通常都采用留数定理来求解。若 是被积函数 位于c内的所有极点，则按照留数定理，有1)(nzzXkz1)(nzzX111( )( )Re ( )2knnzzckx nX z zdzs X z zj第第2 2章离散时间信号与系统的章离散时间信号与系统的Z Z域分析域分析44/186若 是被积函数 位于c外的所有极点，且 分母多项式z的阶次比分子多项式z的阶次高两阶或两阶以上，则按照留数辅助定理，有 实际使用

23、中，具体选用哪一个，取决于计算的简便性，一般选用计算一阶极点留数的那一个。mz1)(nzzX1)(nzzX111( )( )Re ( )2mnnzzcmx nXz zdzs Xz zj 第第2 2章离散时间信号与系统的章离散时间信号与系统的Z Z域分析域分析45/186 若 是 的一阶极点，则有 若 是 的多重（s阶极点），则有kz1)(nzzX11Re( )()( )kknnkz zz zs X z zzzX z zkz1)(nzzX11111Re( )()( )(1)!kksnsnksz zz zds X z zzzX z zsdz需要注意的是，在使用上述两式时，一定要计算 出 位于c内或

24、c外的所有可能的极点处的留数，而且，当n取值不同时， 处极点的阶次可能会发生变化。1)(nzzX0z第第2 2章离散时间信号与系统的章离散时间信号与系统的Z Z域分析域分析46/186例例2.2.4 求 ， 的反变换。解 的反变换为由于收敛域为 ，所以 应为因果序列，当 时， 不是 的极点。所以，在收敛域内环绕原点的围线c内只有一阶极点 、 ，则)5 . 0)(1()(2zzzzX)(nx1z( )X z1( )Re(1)(0.5)knkz zzx nszz1z0n0z1(1)(0.5)nzzz1z5 . 0z第第2 2章离散时间信号与系统的章离散时间信号与系统的Z Z域分析域分析47/186

25、110.50.5Re(0.5)0.5(1)(0.5)(1)(0.5)nnnzzzzszzzzz 由此得所求序列为( )2(0.5)( )nx nu n1111Re(1)2(1)(0.5)(1)(0.5)nnzzzzszzzzz第第2 2章离散时间信号与系统的章离散时间信号与系统的Z Z域分析域分析48/186例2.2.5 试用留数法求 ， 的z反变换 。解解 c为 收敛域内的围线，如图2.2.1所示。)41)(4()(2zzzzX441 z)(nxkzzncnkzzzsdzzzzjnx)41)(4(Re)41)(4(21)(11( )X z第第2 2章离散时间信号与系统的章离散时间信号与系统的

26、Z Z域分析域分析49/186 当 时，围线c内只有一个一阶极点 ，则 当 时，围线c外只有一个一阶极点 ，而c内有一个一阶极点 以及 阶极点 ，而且1n41z1,)41(151)41)(4()41(Re)(411nzzzzsnxnzn2n4z41z) 1( n0z)41)(4(1zzzn第第2 2章离散时间信号与系统的章离散时间信号与系统的Z Z域分析域分析50/1862,)4(151)41)(4()4(Re)(241nzzzzsnxnzn综合上述分析，得可见，与例2.2.3结果相同。2,)4(1511,)41(151)(2nnnxnn第第2 2章离散时间信号与系统的章离散时间信号与系统的Z

27、 Z域分析域分析51/1862.3 z2.3 z变换的性质与定理变换的性质与定理 在研究离散时间信号与系统过程中，理解在研究离散时间信号与系统过程中，理解并掌握并掌握z z变换的一些常用性质与定理是特别重变换的一些常用性质与定理是特别重要的。这些性质往往与要的。这些性质往往与z z变换对结合起来用，变换对结合起来用，使使z z变换与变换与z z反变换的求解过程得到简化。反变换的求解过程得到简化。第第2 2章离散时间信号与系统的章离散时间信号与系统的Z Z域分析域分析52/1861.线性性质线性性质若若ax nby n Z( )( )ax nby n Z ( )Z ( )收敛域取公共部分收敛域取

28、公共部分若在这些组合过程中，某些零点与极点相抵消，若在这些组合过程中，某些零点与极点相抵消，则收敛域有可能扩大。则收敛域有可能扩大。Z ( )( ),xxx nX zRzR Z ( )( ),yyy nY zRzR则则第第2 2章离散时间信号与系统的章离散时间信号与系统的Z Z域分析域分析53/186例例2.3.1 已知 ，求其z变换。解 依据欧拉公式，得由题知， 是一个右边因果序列。 )()cos()(0nunnx0001cos() ( ) ( )2jnjnn u neeu n)(nx11( ),1nZ a u nzaaz第第2 2章离散时间信号与系统的章离散时间信号与系统的Z Z域分析域分

29、析54/186由此得 综合上述分析，得所求z变换为 00011( ),11jnjjZ eu nzeez00011( ),11jnjjZ eu nzeez0001110120111cos() ( )2 111cos,112cosjjZn u nezezzzzz第第2 2章离散时间信号与系统的章离散时间信号与系统的Z Z域分析域分析55/1862移位性质移位性质1）双边）双边z变换变换若序列若序列x(n)的双边的双边z变换为变换为Z ( )( )x nX z xxRzR 则移位则移位m后的序列后的序列x(n-k) 的双边的双边z变换为变换为ZT ()( )kx nkzX z 收敛域收敛域0k z

30、收敛域收敛域0k 0z 第第2 2章离散时间信号与系统的章离散时间信号与系统的Z Z域分析域分析56/1862) 单边单边z变换变换 设序列设序列x(n) 的单边的单边z变换为变换为X1(z),则则x(n)左移左移k（k为正整数）后新序列的单边为正整数）后新序列的单边 变换为变换为0110Z ()()()( )( )nnk mm kkknnx nkx nk zx m zzX zx n z 第第2 2章离散时间信号与系统的章离散时间信号与系统的Z Z域分析域分析57/1861010 nx x nk 1kXz z 1Xzn减减n第第2 2章离散时间信号与系统的章离散时间信号与系统的Z Z域分析域分

31、析58/1860()11Z ()()()( )( )nnk mmkknnkx nkx nk zx m zzXzx n z x(n)右移右移k（k为正整数）后新序列的单边为正整数）后新序列的单边 变变换为换为第第2 2章离散时间信号与系统的章离散时间信号与系统的Z Z域分析域分析59/18610 nx 1Xznn加加10 x nk 1kXz z 第第2 2章离散时间信号与系统的章离散时间信号与系统的Z Z域分析域分析60/186 （2.3.7） 如果 是因果序列，则 项都等于零，而且由于因果序列的单边z变换与双边z变换是相同的，于是因果序列右移后的单边z变换为 而因果序列左移后的单边z变换为)(

32、nx1( )nnkx n z1 ()( )( )kkZ x nkzXzzX z 110 ()( )( )kknnZ x nkzXzx n z 第第2 2章离散时间信号与系统的章离散时间信号与系统的Z Z域分析域分析61/186)(nx由于在实际中，需处理的信号大多是因果序列，除了移位性质以外，双边z变换的性质大多都适用于单边z变换。 另外，从以上分析可知，若序列 延迟一个单位，即 ，新序列的z变换多乘一个 ，所以，在后续内容中，绘制信号流图时常用 表示单位延迟。)(nx) 1( nx1z1z第第2 2章离散时间信号与系统的章离散时间信号与系统的Z Z域分析域分析62/186例例2.3.2 求序

33、列 的z变换。 解 已知依据移位性质得因此，依据线性性质得所求为( )( )(3)x nu nu n ( ),11zZ u nzz23 (3) ( ),11zZ u nz Z u nzz2221 ( ),011zzzzZ x nzzzz第第2 2章离散时间信号与系统的章离散时间信号与系统的Z Z域分析域分析63/1863.序列指数加权性质（序列指数加权性质（z域尺度变换）域尺度变换）若若 ( )( )Z x nX z xxRzR 则则nax nX a z 1Z( )()收敛域收敛域 xxa Rza R 证明：证明：( )( )( )( )( )nnnnnnzzZ a x na x n zx n

34、Xaa xxzRRa xxa Rza R第第2 2章离散时间信号与系统的章离散时间信号与系统的Z Z域分析域分析64/1860jnae 依据这一性质可见，新序列z变换的零极点的位置均改变了。这是因为如果 有一个零点或极点 处，则 一定有一个零点或极点在 ，即 处。也就是说在z域发生了尺度变换。若a为正实数，则表示零极点位置在z平面内沿径向收缩或扩展；若 ，则表示零极点在z平面内围绕原点旋转一个角度 。( )X zkzz( )zXakzzakzaz0jae第第2 2章离散时间信号与系统的章离散时间信号与系统的Z Z域分析域分析65/1864.序列的线性加权序列的线性加权(z域微分域微分)若若 (

35、 )( )Z x nX z xxRzR则则( )( ),xxdZ nx nzX zRzRdz 证明：证明：11( )( )( )()( )( )nnnnnnnndX zddx n zx nzdzdzdznx n zznx n z ( )( )dX zZ nx nzdz 第第2 2章离散时间信号与系统的章离散时间信号与系统的Z Z域分析域分析66/186例例2.3.3 求 ， 的z反变换。 解 将 两端对z求导得则查表2.1.2知 ， 依据移位性质得 再依据z域微分性质知 综合上述两式，得 即所求序列为 1( )ln(1)X zazza1( )ln(1)X zaz21( )1dX zazdzaz

36、1()( )1 znaaau nazza111( )()(1)1 znazdX zaau nzazdz11( )( )1 zdX zaznx nzdzaz1( )()(1)nnx naau n1()(1)( )naau nx nn第第2 2章离散时间信号与系统的章离散时间信号与系统的Z Z域分析域分析67/1865.共轭序列共轭序列若若 ( )( )Z x nX z xxRzR则则证明：证明：*( )()xxZ x nXzRzR ，*( )( )( )()( )()()nnnnnnZ x nx n zx n zx n zXz 第第2 2章离散时间信号与系统的章离散时间信号与系统的Z Z域分析域

37、分析68/1866.反褶序列反褶序列若若 ( )( )Z x nX z xxRzR则则证明：证明：1Z ()()xnX z 11xxzRR11 ()()( )1( )()( )nnnnnxxnZ xnxn zx n zx n zXRzRz ，第第2 2章离散时间信号与系统的章离散时间信号与系统的Z Z域分析域分析69/186例例2.3.4 求 的z变换。 解 由题可见， 是序列 的反褶序列，查表2.1.2知 ， 则依据反褶性质得所求z变换为 ， ( )()nx na un( )()nx na un( )na u n11( )1nZ a u nazza1( )()1nX zZ a unaz1za

38、第第2 2章离散时间信号与系统的章离散时间信号与系统的Z Z域分析域分析70/186若因果序列若因果序列 ( )( )Z x nX z xzR 则则证明：证明：7.初值定理初值定理0( )lim( )zxX z 120( )( )(0)(1)(2)nnX zx n zxxzxz 显然显然0lim( )( )zX zx 注意：分子多项式注意：分子多项式z z的阶次一定小的阶次一定小于等于分母多项式于等于分母多项式z z的阶次。的阶次。第第2 2章离散时间信号与系统的章离散时间信号与系统的Z Z域分析域分析71/1868. 终值定理终值定理对于因果序列对于因果序列x(n) ，若，若X(z) 的极点

39、在单位圆的极点在单位圆内，且只允许单位圆上最多在内，且只允许单位圆上最多在z=1处有一阶极处有一阶极点，则有点，则有11lim( )lim( )nzzx nX zz 或者或者 11lim( )lim ()( )nzx nzX z 第第2 2章离散时间信号与系统的章离散时间信号与系统的Z Z域分析域分析72/186证明：证明：10 ( )(1)(1)( ) ( )(1)nnZ x nx nzX zx nx nz 0lim ()(1)nmnmx mx mz 由于只允许由于只允许X(z)在在z=1处可能有一阶极点，故处可能有一阶极点，故因子因子(z-1)将抵消这一极点，因此将抵消这一极点，因此(1-

40、z-1) X(z)在在 上收敛，所以可取上收敛，所以可取 的极限。的极限。1z 1z 第第2 2章离散时间信号与系统的章离散时间信号与系统的Z Z域分析域分析73/186110lim(1)( )lim ()(1)lim (0)0 (1)(0) ( )(1)lim ( )nznmnnzX zx mx mxxxx nx nx n 11lim( )lim( )nzzx nX zz 所以所以 显然，只有极点在单位圆内，当显然，只有极点在单位圆内，当 时时 才收敛，才可应用终值定理。才收敛，才可应用终值定理。n ( )x n第第2 2章离散时间信号与系统的章离散时间信号与系统的Z Z域分析域分析74/1

41、869.有限项累加特性有限项累加特性若因果序列若因果序列 ( )( )Z x nX z xzR 则则011()( ),max, nxmzZx mX zzRz 证明：令证明：令0( )()nmy nx m 因果序列因果序列000 ( )()()nnnmnmZ y nZx mx m z 第第2 2章离散时间信号与系统的章离散时间信号与系统的Z Z域分析域分析75/186交换求和次序交换求和次序00001201100()()()()(1)11()()11( ),max11nnnnmnmmn mmmmmmmxZx mx m zx mzx m zzzx m zx m zzzzX zzRz ，第第2 2章

42、离散时间信号与系统的章离散时间信号与系统的Z Z域分析域分析76/18610.序列的卷积和序列的卷积和(时域卷积定理时域卷积定理) 若若收敛域取公共部分收敛域取公共部分Z ( )( ),xxx nX zRzR Z ( )( ),yyy nY zRzR则则 ( )( )( ) ( )Z x ny nX z Y z 如果位于某一如果位于某一z z变换收敛域边缘上的极点被另一变换收敛域边缘上的极点被另一z z变换的零点抵消，则收敛域将会扩大。变换的零点抵消，则收敛域将会扩大。第第2 2章离散时间信号与系统的章离散时间信号与系统的Z Z域分析域分析77/186证明：证明： ( )( ) ( )( )n

43、nZ x nh nx nh n z () ()()()()( )()( )( )( )nnmnmnkmmkmmx m h nm zx mh nm zx mh k zzx m zH zX z H z max,min,xhxhRRzRR 第第2 2章离散时间信号与系统的章离散时间信号与系统的Z Z域分析域分析78/186 可见两序列在时域中的卷积对应于在z域中两序列z变换的乘积。在分析离散线性移不变系统中，时域卷积定理特别重要。如果x(n)与h(n)分别为线性移不变离散系统的激励和单位抽样响应，那么在求系统的响应时y(n)时，可以避免卷积运算，通过X(z)H(z)的逆变换求出y(n)，在很多情况下

44、，这样会更方便些。第第2 2章离散时间信号与系统的章离散时间信号与系统的Z Z域分析域分析79/186例例2.3.3 已知已知 求求 。1( )( )( )( )(1)nnnx na u nh nb u nabu n ( )( )( )y nx nh n ba 1( )( )( ) ( )( )ny nx nh nZY zb u n 第第2 2章离散时间信号与系统的章离散时间信号与系统的Z Z域分析域分析80/186 若 ； ， ， 则 的z变换为 , (2.3.16) 其中, c是在哑元变量v平面上， 、 公共收敛域内环绕原点的一条逆时针封闭围线。( ) ( ),xxX zZ x nRzR(

45、 ) ( )H zZ h nnnRzR( )( ) ( )y nx n h ndvvvzHvXjdvvvHvzXjnyZzYcc11)()(21)()(21)()(nxnxRRzRR( / )X z v( )H v11.序列相乘序列相乘(z域卷积定理域卷积定理)第第2 2章离散时间信号与系统的章离散时间信号与系统的Z Z域分析域分析81/186例例2.3.4 已知 ， 求 。 解：解： 1( )( ), ( )(1)nnx na u n h nbu n( ) ( ) ( )Y zZ x n h ndvbvzavvjdvbvzavvjnhnxZzYcc)(21121)()()(abz 第第2 2

46、章离散时间信号与系统的章离散时间信号与系统的Z Z域分析域分析82/186 的收敛域为 ，而 的收敛域为 ，即 ，则重叠部分为 ；因此围线c内只有一个极点 ，用留数计算可得 ( )X vva( )zHvzbvzvbzavb.,)(Re)(21)(abzabzabvzvbvzavvsdvbvzavvjzYavavc第第2 2章离散时间信号与系统的章离散时间信号与系统的Z Z域分析域分析83/18612.帕塞瓦尔帕塞瓦尔(parseval)定理定理 若 且 ，则 (2.3.17)其中“*”表示复共轭，闭合积分围线c位于 与 收敛域的重叠部分内（证明从略）。( ) ( ),( ) ( ),xxhhX

47、 zZ x nRzRH zZ h nRzR；，1xnxnR RR R dvvvHvXjnhnxcn1*)1()(21)()()(vX)1(*vH第第2 2章离散时间信号与系统的章离散时间信号与系统的Z Z域分析域分析84/186说明说明 ：这表明序列的能量可用频谱求得。这就是帕塞瓦尔公式（定理）。为实序列时，则）当（dvvvHvxjnhnxnhcn1)1()(21)()()(111/,1( )( )()()2jjjnvvvex n hnX eHed（2）当围线取单位圆时，因为则。22( )( )1( )()2jnh nx nx nX ed（3）当时，则第第2 2章离散时间信号与系统的章离散时间

48、信号与系统的Z Z域分析域分析85/1862.4 z变换与拉普拉斯变换、傅里变换与拉普拉斯变换、傅里叶变换的关系叶变换的关系 z z变换与拉普拉斯变换、傅里叶变换之间变换与拉普拉斯变换、傅里叶变换之间有着密切的联系，在一定条件下可以相互转换。有着密切的联系，在一定条件下可以相互转换。本节详细分析三者之间的关系。本节详细分析三者之间的关系。第第2 2章离散时间信号与系统的章离散时间信号与系统的Z Z域分析域分析86/1862.4.1 z变换与拉普拉斯变换的关系变换与拉普拉斯变换的关系1.序列序列z变换与理想抽样信号的拉普拉斯变换的关系变换与理想抽样信号的拉普拉斯变换的关系 设 为连续时间信号，

49、为其理想抽样信号，则 的拉普拉斯变换为)(tx)( tx)( tx( )( )() ()()()()()()ststnstnnTssTnnnX sx t edtx nTtnT edtx nT etnT dtx nT ex nTe 第第2 2章离散时间信号与系统的章离散时间信号与系统的Z Z域分析域分析87/186而序列 的z变换为 考虑 ，则 时，序列 的z变换就等于理想抽样信号的拉普拉斯变换。即)(nx( )()x nx nT sTze ( )x n( )( )nnX zx n z ( )()()sTnnX sx nTe ( )()( )sTsTz eX zX eX s 第第2 2章离散时间

50、信号与系统的章离散时间信号与系统的Z Z域分析域分析88/186二者的关系，实际上就是由复变量s平面到复变量z平面的映射，其映射关系为 ， 现在进一步讨论这一映射关系。将s用直角坐标形式表示为而z用极坐标形式表示为综合考虑以上三式，得即 sTez zTsln1sj jrez TjTjeere.,TreT 第第2 2章离散时间信号与系统的章离散时间信号与系统的Z Z域分析域分析89/186由此可见，z的模 仅对应于s的实部 ，而z的相角 仅对应于s虚部的 。下面具体分析s平面与z平面的映射关系。 （1） 与与 的映射关系的映射关系其映射关系如图2.4.1所示。rrTer)(10)(10)(10平

51、面单位圆外平面单位圆内平面上的单位圆zrzrzr第第2 2章离散时间信号与系统的章离散时间信号与系统的Z Z域分析域分析90/186图2.4.1 与 的映射关系r第第2 2章离散时间信号与系统的章离散时间信号与系统的Z Z域分析域分析91/186（2) 2) 与与 的映射关系的映射关系依据 知：T 由 增加到 ，对应于 由 增加到 ，即s平面为 的一个水平条带对应于z平面辐角由 到 转了一周，也就是覆盖了整个z平面。 TT2T0000,2/TT 第第2 2章离散时间信号与系统的章离散时间信号与系统的Z Z域分析域分析92/186 实际上， 每增加一个 ，则 相应地增加一个 ，也就是说，s平面平

52、面上宽度为 的各个水平条带都映射为同一个z平面，如图2.4.2所示。2T22T图 2.4.2 与 的映射关系第第2 2章离散时间信号与系统的章离散时间信号与系统的Z Z域分析域分析93/1862. 序列序列z变换与连续时间信号的拉普拉斯变换的关系变换与连续时间信号的拉普拉斯变换的关系 熟悉了s平面和z平面的映射关系，就可以通过理想抽样所提供的桥梁，找到序列x(n)的z变换X(z)与连续时间信号 的拉普拉斯变换 之间的关系。 是 的周期延拓，即 )(sX)(sXksjksXTsX)(1)(112( )( )()()sTsz ekkX zX sX sjkX sjkTTT与与 的关系为的关系为 )(

53、zX)(sX第第2 2章离散时间信号与系统的章离散时间信号与系统的Z Z域分析域分析94/1862.4.2 z变换和傅里叶变换的关系 我们知道，傅里叶变换可以看作是拉普拉斯变换在虚轴 的特例,因而映射到z平面上为单位圆 ，即 这就是说，序列在单位圆上的序列在单位圆上的z变换变换,就等于理想抽样就等于理想抽样信号的傅里叶变换信号的傅里叶变换。 jsTjez( )()()j Tj Tz eX zX eX j第第2 2章离散时间信号与系统的章离散时间信号与系统的Z Z域分析域分析95/186 由第1章内容知道，连续时间信号经理想抽样后,其频谱产生周期延拓，即这就是 与连续时间信号 的傅里叶变换之间的

54、关系。12()()kX jX jjkTT KTjezTjkjXTjXeXzXTj)2(1)()()()(zX)(tx第第2 2章离散时间信号与系统的章离散时间信号与系统的Z Z域分析域分析96/186 若用数字频率 作为z平面的单位圆的参数， 表示z平面的辐角，且 ，即 上式中， 表示序列的傅里叶变换，在2.5节中将对其进行详细介绍。所以，序列在单位圆上的z变换等于序列的傅里叶变换。T 12( )()()()jjz ekkX zX eX jX jTTT )(jeX第第2 2章离散时间信号与系统的章离散时间信号与系统的Z Z域分析域分析97/186连续时间信号连续时间信号离散时间信号离散时间信号

55、时域时域频域频域( )x t( )x t()X j ()X j 离离散散化化T周周期期延延拓拓2sT 第第2 2章离散时间信号与系统的章离散时间信号与系统的Z Z域分析域分析98/1862 sT ()XjT ()jX e ()X j 第第2 2章离散时间信号与系统的章离散时间信号与系统的Z Z域分析域分析99/186( )x t() ()nx nTtnT FT( ) t FT() tnT jnTe ()X j ()jnTnx nT e T ( )j nnx n e ()jX e 1第第2 2章离散时间信号与系统的章离散时间信号与系统的Z Z域分析域分析100/1862.5 2.5 序列傅里叶变

56、换的定义及性质序列傅里叶变换的定义及性质 序列的傅里叶变换是分析离散时间信号与系统最重要的工具之一，它给出了序列频谱的概念，使在频域对离散时间信号与系统的分析成为可能。序列的傅里叶变换是以 基函数对序列 进行正交展开的。nje)(nx第第2 2章离散时间信号与系统的章离散时间信号与系统的Z Z域分析域分析101/1862.5.1 非周期序列傅里叶变换非周期序列傅里叶变换 ()DTFT( )( )jj nnX ex nx n e 定义：定义：为序列为序列 的的序列傅里叶变换。序列傅里叶变换。( )x n1( )IDTFT()()2jjj nx nX eX eed 为为 的的序列傅里叶反变换序列傅

57、里叶反变换。()jX e ,n 第第2 2章离散时间信号与系统的章离散时间信号与系统的Z Z域分析域分析102/186DTFT存在的充要条件：存在的充要条件：( )nx n 几点说明几点说明( )nx n ( )j nnx n e ()( )jj nnX ex n e 稳定序列的稳定序列的DTFT存在存在第第2 2章离散时间信号与系统的章离散时间信号与系统的Z Z域分析域分析103/186a.a.连续性连续性 的特点：的特点：()jX e 以以2 2 为周期为周期()jX e b.b.周期性：周期性：(2)()jkX e 2( )j nj k nnx n ee ( )j nnx n e ()j

58、X e (2)( )jknnx n e c.c.只有在同一个周期中的各频率彼此独立只有在同一个周期中的各频率彼此独立第第2 2章离散时间信号与系统的章离散时间信号与系统的Z Z域分析域分析104/186 DTFT的物理意义的物理意义1( )() ()2jj nx nX eedn 无数个带有加权系数的无数个带有加权系数的 的求和过程的求和过程j ne 数字角频率数字角频率 在在 - ， 所以所以DTFT本质上是序列的一种分解本质上是序列的一种分解 的频谱密度的频谱密度( )x n()jX e ()jX e 的幅度谱密度的幅度谱密度( )x n 的相位谱密度的相位谱密度( )x nArg()jX

59、e 幅频响应幅频响应相频响应相频响应第第2 2章离散时间信号与系统的章离散时间信号与系统的Z Z域分析域分析105/186例例 题题()( )1 ()jj nnX en e 求：求： 的的DTFTDTFT。( )( )x nn 求：求： 的的DTFTDTFT。( )( ) (01)nx na u na0()jnj nnX ea e 1= ()1jae 第第2 2章离散时间信号与系统的章离散时间信号与系统的Z Z域分析域分析106/186解：解：0, DTFT ( ) NR nN 求：求： 的的DTFTDTFT。( )( )Nx nRn 12sin()2sin()2NjNe 10()( )Njj

60、 nj nnnX ex n ee 11jNjee () (2/,0, 1, 2,), SFT( )0 Nk N kRn 第第2 2章离散时间信号与系统的章离散时间信号与系统的Z Z域分析域分析107/1864 DTFT( ) R n 4Arg DTFT( )R n第第2 2章离散时间信号与系统的章离散时间信号与系统的Z Z域分析域分析108/1862.5.2 序列傅里叶变换的性质与定理序列傅里叶变换的性质与定理第第2 2章离散时间信号与系统的章离散时间信号与系统的Z Z域分析域分析109/186 1. 1.周期性周期性 前述内容已提到， 的周期性是指 ，M为整数,其周期是 ，且能展开成傅里叶级