第一章引论(小波分析及其在信号处理中的应用)

1、西北大学信息学院 教材：小波分析及其在信号处理中的应用，王大凯，彭进业编著，电子工业出版社 1、小波分析导论，程正兴译，【美】崔锦泰著，西安交通大学出版社出版。 2、小波分析与工程应用，杨建国，机械工业出版社。 3、信号处理的小波导引，Stephane Mallat著，杨力华，戴道清，黄文良，湛秋辉译，机械工业出版社。 4、Matlab小波分析与工程应用 ，张德丰 ，国防工业出版社西北大学信息学院了解小波变换与傅立叶变换的区别理解掌握基本的小波变换理论。理解多分辨率分析的基本思想，了解正交小波的基本性质，掌握构造正交小波的基本方法。掌握塔式分解算法；了解双正交小波的基本性质，掌握其构造的方法，

2、分解和重构的相关理论和方法；了解小波变换的信号处理领域内的应用；利用MATLAB编程实现小波的构造和简单应用仿真等。西北大学信息学院36学时： 1、引论 2、小波变换 3、多分辨率分析与正交小波的构造 4、塔式算法及二维小波 5、双正交小波 6、DWT在图像编码中的应用 西北大学信息学院 课本内容 Matlab小波分析工具 论文学习与仿真 分小组自由讨论、实现、讲述西北大学信息学院 读书报告 课堂表现 课后作业 期中大作业 期末大作业西北大学信息学院 从数学的角度讲，小波是构造函数空间正交基的基本单元，是在能量有限空间L2(R)（实数域平方可积空间）上满足容许条件（P24式2.1.1）的函数，

3、这样认识小波需要函数空间（泛函分析）函数空间（泛函分析）的基础知识。 从信号处理的角度讲，小波(变换)是强有力的时频分析(处理)工具，是在克服傅立叶变换缺点的基础上发展而来的，所以从信号处理的角度认识小波，需要傅立叶变换傅立叶变换、傅立叶级数傅立叶级数等的基础知识。西北大学信息学院 泛函分析泛函分析是20世纪初开始发展起来的一个重要的数学分支，它是以集合论为基础的现代分析手段，它用更加抽象的概念来描述熟知的对象。 傅里叶（傅里叶（Fourier)分析分析是数字信号处理的基础，也是现代信号处理的出发点。它将信号分析从时间域变换到了频率域。西北大学信息学院 泛函就是以函数为自变量的函数.泛函分析（

4、Functional Analysis）是现代数学的一个分支，隶属于分析学，其研究的主要对象是函数构成的空间。泛函分析是由对变换（如傅立叶变换等）的性质的研究和对微分方程以及积分方程的研究发展而来的。 比如曲线的长度,闭合曲线围成的面积等都和曲线的函数是一种泛函关系.设对于任何y(x),有另一个数Jy与之对应,则称Jy为y(x)的泛函. 这里的定义域,即函数集合,通常包含要求y(x)满足的一定边界条件,并且具有连续的二阶导数. 泛函和复合函数不同,泛函必须给出区间上整个函数y(x),才可以得到一个泛函值. 泛函分析的特点是它不但把古典分析的基本概念和方法一般化了，而且还把这些概念和方法几何化了

5、。比如，不同类型的函数可以看作是“函数空间”的点或矢量，这样最后得到了“抽象空间”这个一般的概念。它既包含了以前讨论过的几何对象，也包括了不同的函数空间。西北大学信息学院1.1.1 线性空间 一个线性空间是一个在标量域（实或复）F上的非空矢量集合L，并且对于其元素定义了如下性质的加法和标量乘法： 加法的封闭性；加法的交换律；加法的结合律；零元；加逆；乘法的封闭性；乘法结合律；存在单位标量1，1xx；乘法的分配律。西北大学信息学院1.1.2 线性空间的范数 在一个线性空间L中的泛函泛函p(x),如果满足 （1）非负性，零元的函数值为零的唯一性； （2）正齐次性； （3）三角不等式则称p(x)为L

6、的范数 物理意义：元素x到0的距离，( )p xx泛函就是以函数为自变量的函数泛函就是以函数为自变量的函数西北大学信息学院1.1.3Euclidean空间 如果对于线性空间的每一对元素定义了如下性质的内积： 那么称是一个Euclidean空间(赋范空间)。这时它的范数定义为 zxyxzyxyxyxxyyxxx,0 xxx,西北大学信息学院1.1.4 Hilbert空间 一个完备的可分离的无限维Euclidean空间称为一个Hilbert空间,记为 H. 测度（度量）：设X是一个集合，映射 称为X上的一个度量，如果R XX:XzyxyzzxyxXyxxyyxyxyxXyxyx,),(),(),(

7、)(,),(),()(),(,),()(32001西北大学信息学院 处处稠密：设A和B为度量空间 的子集，如果有 ， 称A在B中稠密； 如果有 ， 称A在B中处处稠密。 例：实数集R按照度量 是一个度量空间， 是有理数集。 因为 所以G在R中处处稠密。 ,XAB AB |),(yxyxRG RG A的闭包西北大学信息学院1.1.5 平方可积空间与平方可和空间 如果将Euclidean空间中的内积定义具体化为 则称以满足 的f(x)为元素的线性空间为平方可积空间，记为 。 平方可积空间是Hilbert空间dxxgxfgf)()(,222|ffdx )(2L希腊字母：希腊字母：kai西北大学信息学

8、院 若内积定义为 式中c为一序列，则称以满足 的序列为元素的线性空间为平方可和空间，记为 。nnndcd, c222| |nncc)(2Zl西北大学信息学院1.1.6 Schwartz（施瓦茨 ）不等式证明：过程见p3.用到的理论：1、内积的性质2、判别式的性质 ,fgfg西北大学信息学院1.1.7 绝对可积空间与绝对可和空间 若定义 则称以满足 的 f 为元素的线性空间为绝对可积空间，记为 。 类似可定义绝对可和空间。 平方可积不一定绝对可积 例：考察函数1|ffdx1f)(1L211)(xxf221| ( )|1f xdxdxxdxx211)(2RLf )(1RLf 西北大学信息学院1.2

9、.1 正交基 信号的分解与重构 f(x) cn 分解nnefc,重构nnnxecxf)()(信号分解系数基函数的对偶完全重构西北大学信息学院 如果 则重构公式为 当下式成立时， 上面的重构公式成立。)()(xexenn( )( ),( )n nnnnf xc e xf ee x1,0,ijijije ei jZij正交归一化条件西北大学信息学院 满足正交归一化条件的函数序列称为正交归一化函数系。 一个完备的正交归一化函数系称为正交归一化基。 正交归一化基的优点是“能量守恒”定理（Parsvel定理）成立： 验证L2(0,2)空间中的en(x)是否为正交归一化基2222, nnnnnff ff

10、ecc 1( ),2jnxnexenZ西北大学信息学院1.2.2框架(frame) 如果一个函数序列 对于任何 有下式成立： 式中A、B为满足 的常数，则称 为一个框架。A、B分别称为框架的下界和上界。当AB时，则称此框架为紧框架。 2( )( )f xL R22222,nnAffBfBA0nn西北大学信息学院 设 为框架，其界为A和B。有线性变换框架条件保证了T的可逆性。由 定义的对偶框架满足 框架一般不是线性无关的，其对偶也不唯一。k1nnT11( ),( ),kkkkkkf xTTffTxf22222,nnA ffBf,( )kkkTffx西北大学信息学院1.2.3 Riesz基 如果函

11、数序列 对于任何数列 有 则称 为一个Riesz基。式中0AB，A、B分别称为Riesz下界和上界。 Riesz基是线性无关的框架，其对偶是唯一的且线性无关的。( )nx ( )nx2nc222nnnnn (x) AccBc西北大学信息学院 若函数 ，则称 为 的Fourier变换（FT）。 如果 ，则可以证明 的每一连续点上，下列逆变换定理成立：)(1RLf ( )( )j xfef x dx)(xf)(1RLf )(xf1( )( )2j xf xfed信号的频谱西北大学信息学院 如果 是以T为周期的周期信号，则有如下Fourier级数表达式： 式中 作变量代换 ，则 )(xf/( )jk

12、x Tkkf xc e/01( )Tjkx Tkcf x edxT离散的频谱2/xx T0( )jxkkf xc e0201( )2jkxkcf x edx02 /T以 为周期2西北大学信息学院 对于一个序列 , 称之为 的序列Fourier变换（SFT）。 对于SFT, 如下逆变换成立： Znfn,Znjnneff)(nf1( )2j nnffed西北大学信息学院 对于一个有限长序列 ,称 为它的离散Fourier变换 (Discrete Fourier Transform, DFT)。 逆变换定理： ;0,1,.1nf nN1021, 1 , 0,NnNnkjnkNkeff1021NkNn

13、kjknefNf西北大学信息学院 在过去200年里， Fourier分析在科学与工程领域发挥了巨大的作用，但Fourier分析也有不足： 用傅立叶变换提取信号的频谱需要利用信号的全部时域信息。 傅立叶变换没有反映出随着时间的变化信号频率成分的变化情况。 傅立叶变换的积分作用平滑了非平稳信号的突变成分。 利用DFT作信号分析，就是通过在频域上用等间隔划分的窗口对信号进行的“观察”，而这一“观察”数据是时域上N点数据的共同贡献。西北大学信息学院(a) (b) (c)对f(x)作FT得如图 (b)所示的振幅谱, 从中可以看到 处存在谱峰, 但无法知道这一频率成分在时域信号中仅仅出现在 x0附近的一个

14、短暂的时段内. 图 (c)所示的信号看起来与图(a)毫无共同之处, 但它确有与如图 (b)完全相同的振幅谱. 000001/(2)( )sin/(2)/(2)1/(2)xf xxx 0缺乏时域定域性西北大学信息学院又例：歌声信号 歌声是一种声音震荡的波函数，其傅立叶变换就是将这个波函数转化成某种乐谱。但遗憾地是，傅立叶变换无法反映信号在哪一时刻有高音，在哪一时刻有低音，因此结果是所有的音符都挤在了一起，如图所示。西北大学信息学院 对地震波的记录人们关心的是什么位置出现什么样的反射波； 图像识别中的边缘检测关心的是信号突变部分的位置，即纹理结构。这些FT不能完成，需要引入时频局部化分析西北大学信

15、息学院 目标：获取具有频域和时域双重定域性的信息 Doppler雷达信号处理检测回波的到达时刻可获得目标的位置信息，检测回波频率可获得目标的运动速度信息 时频会师窗口Fourier变换西北大学信息学院1.5.1 窗函数 当函数 满足条件 时，称它为一个时域窗函数 时域窗函数中心时间 时域窗函数有效时间半径( )W x2( )( )xW xL R*22|( )|/ |( )|xx W xdxW xdx222* 2()( )/( )xxxW xdxW xdx通过适当平移，可使中心时间为零西北大学信息学院 定义频域窗函数，其条件是 频域窗函数的中心频率 频域窗函数的有效频率半径2( )( )WLR2

16、2*00( )/( )WdWd2* 22200()() |( )|/ |( )|WdWd 考察正频率西北大学信息学院 窗函数的定义实际上就是对函数衰减性的控制，也就是说窗函数具有在坐标轴上具有很好的衰减性，从而达到对坐标轴进行局部化的目的。窗函数所确定的窗口是对它的局部性的一次刻画，它是可用来对信号进行时频局部化分析的基本函数，而窗函数本身则可由窗口的尺度来表征其局部性，若 越小，则说明 在时域上的局部化程度越高。( )W t西北大学信息学院 如果某一函数既满足时域窗函数条件，也满足频域窗函数条件，则简称为窗函数。 测不准关系 等号成立的充要条件是W(x)为Gaussian型窗函数： 12x

17、24( )xj xW xcee时域与频域局部性的矛盾西北大学信息学院测不准关系的部分证明：22222222224224242422411()( )( )1( )( )21( )( )1( )( )11( ) )2111( )44exx w xdxWdWWx W xdx WdWxW xW xWRxW x W x dxWx W xdxWW xdxW dxxWW22)()()(WixW2221WW0)(limxWxx分部积分公式西北大学信息学院1.5.2 窗口Fourier变换的定义 用一个平移的窗函数对信号加窗，可以在获取频域信息的同时，不完全丢失时域信息。 窗口Fourier变换(Windowe

18、d Fourier Transform， WFT)的定义为( ,)( )()jxfWFTbf x W xb edx由于常用的窗函数具有相对较小的时间窗宽，故又称为短时Fourier变换(Short Time FT,STFT) 窗函数西北大学信息学院 系数 表征着信号在 附近所含有的*+ 0 附近的频率成分的大小。它的时间分辨率取决于窗函数的时宽，而频率分辨率取决于窗函数的频宽 WFT可以形象地看成是以 固定尺寸为x 的矩形 时频窗口在时频域对 信号进行“观察”。 0( ,)fWFT bxb00,( )()jtbWxeW xb000,( ,)( )( ),fbbWFT bf x Wx dxf W

19、西北大学信息学院 特别的，当 有 从而达到测不准关系的下限。241( )( )2xW xgxe()gx1()2g1() ()2ggx西北大学信息学院 假设f(x)的傅立叶变换为F()，W (x)的傅立叶变换为W()，则窗口傅立叶变换频域上的物理意义： 若W()的有效窗口宽度为，则WFT(b,)给出的是F()在局部频率范围 - /2, + /2内的频谱信息。越小，对信号的频率定位能力越强。西北大学信息学院1.5.3 Gabor变换及其数值计算 如果在WFT中Gaussian函数作为窗函数，则这种特定的WFT称为Gabor变换 Gabor变换是最佳的窗口Fourier变换：Gaussian窗的时宽

20、与频宽的乘积达到测不准关系的下限, 兼顾时间分辨率和频率分辨率。 西北大学信息学院Gabor变换的数值计算方法（1）信号和窗函数的离散化 （2）对平移量b进行离散化（3）对 做DFT Tnff nnZ 22K1( )(n T)2nKgnge20,1,12lNbKllK b,0,1,81llnnnyfgnK0,1,12NlK lny DFT,0,1,81llnnYynK0,1,12NlK数据冗余计算量大西北大学信息学院 1946年，Gabor提出了窗口傅里叶:变换在传统的傅里叶分析之前，对信号进行了加窗处理。这里的窗函数 的选择有些特殊：首先，它时实对称函数；其次，它在某个小区间内衰减很小，而在

21、区间外迅速衰减为 0。 Gabor在最初的处理中采用的时Gauss窗 作为基本窗函数，通过在时间轴上平移得到一组窗函数 。( )g t2142( )tg te()g tb西北大学信息学院Gabor变换的定义如下： 设 ，即 ，且 为实对称函数，则信号 的窗口傅里叶变换（Gabor)变换定义为 其中， 称为基本窗函数，其能量集中于 附近，在远离 区域，它迅速衰减为0。2( )( )g tL R20( )g tdt ( )g t( )f t( )g t0t 0t ( , )( ) ()j tfGbf t g tb edt西北大学信息学院 保留了信号在 附近的信息而屏蔽了远区信息。 是将窗函数平移到

22、 ，因此， 保留的是 附近的信号信息。故， 实际上分析了 附近的频率特性。( )( )f t g t0t ()g tbtb( )()ft g tbtb(,)( )()jtfGbftgtb ed t tb西北大学信息学院1.5.4 窗口Fourier变换的不足 窗口没有自适应性，只适合分析所有特征尺度大致相同的信号，不适于分析多尺度信号和突变过程。 在分析既有突变又有缓变的信号时, 比较理想的信号分析方法应是：对信号的高频成分使用时间分辨率高（即x小）而频率分辨率低（即大）的窗口；反之, 对信号的低频成分，则用小， x大的窗口。 小波变换： 引入窗口变化机制在低频部分的频窗比较窄，在高频部分的频窗比较宽西北大学信息学院仍以歌声信号为例，信号变换到小波域后，小波不仅能检测到高音与低音，而且还能将高音与低音发生的位置与原始信号相对应，如图所示。西北大学信息学院 小波分析方法的出现可以追溯到1910年Haar提出Haar规范正交基，以及1938年Littlewood-Paley对傅里叶级数建立的二进频率划分（L-P）理论。 为克服传统傅里叶分析的不足，在八十年代初，