电路分析基础-第十四章

1、第第 1414 章章 线性动态电路的线性动态电路的 复频域分析复频域分析14.1拉普拉斯变换的定义拉普拉斯变换的定义14.2拉普拉斯变换的基本性质拉普拉斯变换的基本性质14.3拉普拉斯反变换的部分分式展开拉普拉斯反变换的部分分式展开14.4运算电路运算电路14.5用拉普拉斯变换法分析线性电路用拉普拉斯变换法分析线性电路14.6网络函数的定义网络函数的定义14.7网络函数的极点和零点网络函数的极点和零点14.8极点、零点与冲激响应极点、零点与冲激响应14.9极点、零点与频率响应极点、零点与频率响应首首 页页本章内容本章内容l重点重点 (1) (1) 拉普拉斯变换的基本原理和性质拉普拉斯变换的基本

2、原理和性质 (2) (2) 掌握用拉普拉斯变换分析线性掌握用拉普拉斯变换分析线性动态动态电电 路的方法和步骤路的方法和步骤 (3) (3) 网络函数的概念网络函数的概念(4) (4) 网络函数的极点和零点网络函数的极点和零点返 回 拉氏变换法是一种数学积分变换拉氏变换法是一种数学积分变换, ,其核心是把其核心是把时间函数时间函数f(t)与复变函数与复变函数F(s)联系起来联系起来, ,把时域问题把时域问题通过数学变换为复频域问题通过数学变换为复频域问题, ,把时域的高阶微分方把时域的高阶微分方程变换为频域的代数方程以便求解。程变换为频域的代数方程以便求解。应用拉氏变应用拉氏变换进行电路分析称为

3、电路的复频域分析法换进行电路分析称为电路的复频域分析法,又称运又称运算法。算法。14.1 拉普拉斯变换的定义拉普拉斯变换的定义1. 拉氏变换法拉氏变换法下 页上 页返 回F(s)( (频域象函数频域象函数) )对应对应f(t)( (时域原函数时域原函数) ) s (L)( )(L) s ( FtftfF-1，简写js2. 拉氏变换的定义拉氏变换的定义定义定义 0 , )区间函数区间函数 f(t)的拉普拉斯变换式的拉普拉斯变换式: d)(j21)( d)()(0sesFtftetfsFstjcjcst正变换正变换反变换反变换s 复频率复频率下 页上 页返 回000积分下限从积分下限从0 开始，称

4、为开始，称为0 拉氏变换拉氏变换 。积分下限从积分下限从0 + 开始，称为开始，称为0 + 拉氏变换拉氏变换 。 积分域积分域注意今后讨论的均为今后讨论的均为0 拉氏变换。拉氏变换。tetftetftetfsFstststd)(d)( d)()(00000 ,0区间区间 f(t) =(t)时此项时此项 0象函数象函数F(s) 存在的条件存在的条件: :tetfstd )(0下 页上 页返 回如果存在有限常数如果存在有限常数M和和 c 使函数使函数 f(t) 满足满足: :), 0 )(tMetfcttMetetftctdd)(0)s (s0csM 则则f(t)的拉氏变换式的拉氏变换式F(s)总

5、存在总存在, ,因为总可以因为总可以找到一个合适的找到一个合适的s 值使上式积分为有限值。值使上式积分为有限值。下 页上 页象函数象函数F(s) 用大写字母表示用大写字母表示, ,如如I(s),U(s)原函数原函数f(t) 用小写字母表示用小写字母表示,如如 i(t), u(t)返 回3.3.典型函数的拉氏变换典型函数的拉氏变换 (1)单位阶跃函数的象函数单位阶跃函数的象函数 d)()(0tetfsFst)()(ttftettsFstd)()(L)(001stess10dtest下 页上 页返 回(3)指数函数的象函数指数函数的象函数01)(taseasas1(2)单位冲激函数的象函数单位冲激

6、函数的象函数00d)(tetst)()(ttftettsFstd )()(L)(010seatetf)( teeesFstatatdL)(0下 页上 页返 回14.2 14.2 拉普拉斯变换的基本性质拉普拉斯变换的基本性质1.1.线性性质线性性质tetfAtfAstd )()(02211tetfAtetfAststd)(d)(022011)()(2211sFAsFA)()(2211sFAsFA)( )(L , )( )(L 2211sFtfsFtf若)(L)( L)()( L 22112211tfAtfAtfAtfA则)()( L 2211tfAtfA下 页上 页证证返 回的象函数求)1 ()

7、( : ateKtfj1j1j21ss22s例例1解解 asKsK-atKeKsFL L)(-例例2的象函数求) sin()( : ttf解解)(sinL)(tsF)(j21L tjtjee 根据拉氏变换的线性性质根据拉氏变换的线性性质,求函数与常数相求函数与常数相乘及几个函数相加减的象函数时乘及几个函数相加减的象函数时,可以先求各函数可以先求各函数的象函数再进行相乘及加减计算。的象函数再进行相乘及加减计算。下 页上 页结论 )(assKa返 回2. 2. 微分性质微分性质0)d)(0)(tsetftfestst)()0(ssFf)0()(sd)(dL fsFttf则：)()( L sFtf若

8、：00)(ddd)(dtfetettfststttfd)(dL 下 页上 页证证uvuvvudd 利用若若足够大足够大0返 回0122ss22ss的象函数) (cos)( 1)( ttf例例解解)(sin(dd1LcosLttt)(cosd)dsin(ttt下 页上 页利用导数性质求下列函数的象函数利用导数性质求下列函数的象函数tttd)d(sin1)(cos返 回0122ss22ss推广推广:)0()0()(2fsfsFs的象函数) ()( 2)( ttf解解tttd)(d)(s1)(Ltd)(dLnnttf)0()0()(11nnnffssFsd)(dL22ttf)0()0()(ffssF

9、s101ssd)(dL)(Lttt下 页上 页返 回下 页上 页3.3.积分性质积分性质) s ()(L Ftf若：) s (s1d)(L 0Fft则：证证) s (d)(L 0tttf令tttfttf0d)(dd L)(L应用微分性质应用微分性质00d)()(s)(ttttfssFs) s () s (F0返 回的象函数和求)() t () ()( : 2ttftttf下 页上 页d2L0ttt例例)(Ltt2111sssd)(L0tt)(L2tt32s解解返 回4.4.延迟性质延迟性质tettfsttd)(00)(0sFest)()(L sFtf若：)()()( L 000sFettttf

10、st则：tettttfttttfstd)()()()(L00000d)(0)(0tsef0 tt令延迟因子 0ste下 页上 页证证d)(00sstefe返 回例例1)()()(TtttfTeFss1s1) s ()()()(Tttttf)()()()()(TtTTtTttttfTTeTeFss22ss1s1) s (例例2求矩形脉冲的象函数求矩形脉冲的象函数解解根据延迟性质根据延迟性质求三角波的象函数求三角波的象函数解解下 页上 页TTf(t)o1Ttf(t)o返 回TeFss1s1) s ()()()(Tttttf)()()()()(TtTTtTttttfTTeTeFss22ss1s1)

11、s (求周期函数的拉氏变换求周期函数的拉氏变换 设设f1(t)为一个周期的函数为一个周期的函数 )2()2( )()()()(111TtTtfTtTtftftf1)(321 sTsTsTeeesF)(111sFesT例例3解解)()(L11sFtf )()()()(L1211sFesFesFtfsTsT下 页上 页.tf(t)1T/2 To返 回)s1s1() s (2/s1TeF)2()()(1Ttttf)11(12/sTes )(11)(L 1sFetfsT)11(112/sTsTesse)(L tf下 页上 页对于本题脉冲序列对于本题脉冲序列5.5.拉普拉斯的卷积定理拉普拉斯的卷积定理)

12、()(L )()(L 2211sFtfsFtf若：返 回下 页上 页)()( d )()(L)()(L 21t02121sFsFftftftf则：证证tftfetftfstdd )()()()(Lt021021tfttfestdd )()()(0210 tx 令xeefxxfsxsdd )()()(0021 0201d )(d)()(ssxefxexxf)()( 21sFsF返 回14.3 14.3 拉普拉斯反变换的部分分式展开拉普拉斯反变换的部分分式展开 用拉氏变换求解线性电路的时域响应时用拉氏变换求解线性电路的时域响应时,需要把需要把求得的响应的拉氏变换式反变换为时间函数。求得的响应的拉氏

13、变换式反变换为时间函数。由象函数求原函数的方法由象函数求原函数的方法:(1)利用公式利用公式seFtfstjjd) s (j21)(cc(2)对简单形式的对简单形式的F(s)可以可以查拉氏变换表得原函数查拉氏变换表得原函数下 页上 页(3)把把F(s)分解为简单项的组合分解为简单项的组合)()()()(21sFsFsFsFn )()()()(21tftftftfn 部分分式部分分式展开法展开法返 回利用部分分式可将利用部分分式可将F(s)分解为分解为: :)( )()()(110110mnbsbsbasasasDsNsFnnnmmm nppns 10)(D (1)个单根分别为有若下 页上 页象

14、函数的一般形式象函数的一般形式nnpsKpsKpsKsF 2211)(待定常数待定常数讨论tptptpeKeKeKtfn21n21)( 返 回n321 )(、ipssFKipsii待定常数的确定待定常数的确定: :方法方法1 1下 页上 页 nnpsKpsKpsKFps22111)() s ()(方法方法2 2求极限的方法求极限的方法) s ()s)(s (limpDpNKisii令令s = p1返 回) s () s ()s)(s (limpDNpNisi)()(iiipDpNK 下 页上 页) s ()s)(s (limpDpNKisii的原函数求 6s5s5s4) s ( 2F3s2s2

15、1KK33s5s421SK72s5s43s2K例例解法解法16s5s5s4) s (2F返 回33s5s421SK72s5s43s2K)(7)(3)(32tetetftt35254)()(2111ssspDpNK75254()(3222sss)pDpNK解法解法2下 页上 页tpnntptpnepDpNepDpNepDpNtf)()()()()()()(221121 原函数的一般形式原函数的一般形式返 回jpjp21)()()()()()(1sDjsjssNsDsNsF)()(1121sDsNjsKjsK具有共轭复根若 0)( )2(sD下 页上 页K1、K2也是一对共轭复数也是一对共轭复数注

16、意j21 )()()j)(jssDsNssFKs，返 回) t ()(1)(j)(jfeeKeeKtjtj) t (1)( j)( jfeeeKttt)()cos(21tfteKtj2j1e e-KKKK设：) t ()()(1)j(2)j(1feKeKtftt下 页上 页返 回)( 523)( 2tfssssF的原函数求2 j121,p4525 . 050 j50) j21(2j1s1.ssK4525 . 0) j21(ss2j1s2K)452cos(2)(tetft例例解解的根： 0522 ss4525 . 022ss) s () s (2j1s1DNK或：下 页上 页返 回 )p()(1

17、110nmmmsasasasF nnnnpsKpsKpsKpsKsF)()()()(1111112112111 具有重根若 0)( ) 3(sD下 页上 页1)()(11psnnsFpsK1)()(dd111psnnsFpssK1s11111)()(dd)!1(1pnnnsFpssnK返 回222211) 1() 1(sKsKsK) t ( ) 1(4)(2fssssF的原函数求：4) 1(4021sssK34122sssK1221)() 1(ddssFssK44dd1ssssttteetf344)(例例解解2) 1(4)(ssssF下 页上 页返 回 n =m 时将时将F(s)化成真分式和多

18、项式之和化成真分式和多项式之和 nnpKpKpKAF sss) s (2211由由F(s)求求f(t) 的步骤的步骤: : 求真分式分母的根求真分式分母的根, ,将真分式展开成部分分式将真分式展开成部分分式 求各部分分式的系数求各部分分式的系数 对每个部分分式和多项式逐项求拉氏反变换对每个部分分式和多项式逐项求拉氏反变换) s () s () s (0DNAF下 页上 页小结返 回的原函数求： 65119)(22sssssF655412sss37231ss)37()()(23tteettf例例解解65119)(22sssssF下 页上 页返 回14.4 14.4 运算电路运算电路基尔霍夫定律的

19、时域表示基尔霍夫定律的时域表示: 0)(ti 0)(tu1.1.基尔霍夫定律的运算形式基尔霍夫定律的运算形式下 页上 页 0)(sI0) s (U根据拉氏变换的线性性质得根据拉氏变换的线性性质得KCL、KVL的运算形式的运算形式对任一结点对任一结点对任一回路对任一回路返 回u=Ri)()(sGUsI)()(sRIsUGsYRsZ)()(2.2.电路元件的运算形式电路元件的运算形式 电阻电阻R的运算形式的运算形式取拉氏变换取拉氏变换电阻的运算电路电阻的运算电路下 页上 页uR(t)i(t)R+-时域形式时域形式:R+-)(sU)(sI返 回tiLudd)0()()0()()(LissLIissI

20、LsUsisLsUsI)0()()(sLsYsLsZ1)()( 电感电感L的运算形式的运算形式取拉氏变换取拉氏变换,由微分性质得由微分性质得L的的运算运算电路电路下 页上 页i(t)+ u(t) -L+ -sL)0(LiU(s)I(s)+-时域形式时域形式:sL+ U(s)I(s )si)0( -返 回d )( 1)0(0tiCuususIsCsU)0()(1)()0()()(CussCUsIsCsYsCsZ)(1)( 电容电容C的运算形式的运算形式C的的运算运算电路电路下 页上 页i(t)+ u(t) -C时域形式时域形式:取拉氏变换取拉氏变换,由积分性质得由积分性质得+ -1/sCsu)0

21、(U(s)I(s)-+1/sCCu(0-)+ U(s)I(s ) -返 回1211/iiRui)()(/)()(1211sIsIRsUsI受控源的运算电路受控源的运算电路下 页上 页时域形式时域形式:取拉氏变换取拉氏变换 i1+_u2i2_u1i1+R)(1sU)(1sI)(2sU)(1sI+_+R)(2sI返 回受控源的运算形式受控源的运算形式3. 3. RLC串联电路的运算形式串联电路的运算形式下 页上 页u (t)RC-+iLU (s)R1/sC-+sLI (s)时域电路时域电路 0)0( 0)0(Lciu若：ttiCtiLiRu0d1dd)(1)()()(sIsCssLIRsIsU拉氏

22、变换拉氏变换运算电路运算电路)()()1)(sZsIsCsLRsIsCsLRsYsZ1)(1)(运算阻抗运算阻抗返 回)()()()()()(sUsYsIsIsZsU下 页上 页运算形式的运算形式的欧姆定律欧姆定律u (t)RC-+iL0)0( 0)0(Lciu若：+-U (s)R1/sC-+sLI (s)+-Li(0-)suc)0(拉氏变换拉氏变换返 回suLisUsIsZsIsCsLR)0()0()()()()()1(C下 页上 页susIsCLisLIRsIsU)0()(1)0()(s)()(C+-U (s)R1/sC-+sLI (s)+-Li(0-)suc)0(返 回 电压、电流用象函

23、数形式电压、电流用象函数形式; ; 元件用运算阻抗或运算导纳表示元件用运算阻抗或运算导纳表示; ; 电容电压和电感电流初始值用附加电源表示。电容电压和电感电流初始值用附加电源表示。下 页上 页电路的运算形式电路的运算形式小结例例给出图示电路的运算电路模型。给出图示电路的运算电路模型。1F100.5H50V+-uC+-iL51020解解t=0 时开关打开时开关打开uc(0-)=25V iL(0-)=5A时域电路时域电路返 回注意附加电源注意附加电源下 页上 页1F100.5H50V+-uC+-iL51020200.5s-+-1/s25/s2.5V5IL(s)UC(s)t 0 运算电路运算电路返

24、回14.5 14.5 应用拉普拉斯变换法应用拉普拉斯变换法 分析线性电路分析线性电路由换路前的电路计算由换路前的电路计算uc(0-) , iL(0-) ; ;画运算电路模型画运算电路模型, ,注意运算阻抗的表示和附加注意运算阻抗的表示和附加电源的作用电源的作用; ;应用前面各章介绍的各种计算方法求象函数应用前面各章介绍的各种计算方法求象函数; ;反变换求原函数。反变换求原函数。下 页上 页1. 1. 运算法的计算步骤运算法的计算步骤返 回例例10)0( Li(2) 画运算电路画运算电路sL1ss11s11sCV1)0(cu解解(1) 计算初值计算初值下 页上 页电路原处于稳态电路原处于稳态,

25、,t =0 时开关闭合时开关闭合, ,试用运算法试用运算法求电流求电流 i(t)。1V1H11Fi+-11/ss11/sI(s)+-1+-uC(0-)/s返 回(3) 应用回路电流法应用回路电流法下 页上 页1/ss11/sI(s)+-1+-uC(0-)/s)(1sI)(2sI0)0(1) s (1)()11 (C21susIssIssssuIsIs1)0() s ()11 () s (1C21-返 回下 页上 页2)2(1)()(21ssssIsI) j1s (j1)(321KsKsKsI(4)反变换求原函数反变换求原函数j1j10 :30)(D321ppps，个根有21) s (01ssI

26、Kj)2(11) j1)(j12sssIKj)2(11) j1)(j13sssIK返 回下 页上 页) j1() j1 (21j1) j1 (2121)(ssssI)sinecose1 (21)()(L1tttisItt例例2，求，求uC(t)、iC(t)。0)0(),(csuti图示电路图示电路RC+ucis解解画运算电路画运算电路1/sC+Uc(s)( )1sI s R)(CsI返 回sCsIsCRRsUsC1)(/1)()/1(RCsRCR1)()(RsCRsCsCsUsICC111RsC)0(1/teCuRCtc)0(1)(/teRCtiRCtc下 页上 页1/sC+Uc(s)( )1

27、sI s R)(CsI返 回t = 0时打开开关时打开开关 , ,求电感电流和电压。求电感电流和电压。0)0(A5)0(21ii例例3下 页上 页解解计算初值计算初值+-i10.3H0.1H10V23i2画运算电路画运算电路10/s0.3s1.5V 0.1sI1(s)+-+-23返 回s.ssI4055110)(1ss.s.)405(51105 .1275. 12ss25 .12175. 12ieitsss)5 .12(75. 325下 页上 页10/s0.3s1.5V 0.1sI1(s)+-+-23注意)0()0(11 ii)0()0(22 ii返 回5 . 1) s (s3 . 0)(11

28、IsUL375. 05 .1256. 6sUL1(s)(1 . 0)(2ssIsUL5 .1219. 2375. 0stLettu5 .12219. 2)(375. 0)(tLetu5 .12156. 6)(375. 0) t (下 页上 页10/s0.3s1.5V 0.1sI1(s)+-+-23返 回3.75ti1520tLettu5 .12156. 6)(375. 0)(tLettu5 .12219. 2)(375. 0)(下 页上 页25 .12175. 12ieituL1-6.56t-0.375(t)00.375(t)uL2t-2.190返 回iL下 页上 页注意由于拉氏变换中用由于拉

29、氏变换中用0- 初始条件初始条件, ,跃变情况自动跃变情况自动包含在响应中包含在响应中,故不需先求故不需先求 t =0+时的跃变值。时的跃变值。两个电感电压中的冲激部分大小相同而方向两个电感电压中的冲激部分大小相同而方向相反相反, ,故整个回路中无冲激电压。故整个回路中无冲激电压。 满足磁链守恒。满足磁链守恒。返 回)0()()0()0(212211iLLiLiL75. 34 . 0053 . 014.6 14.6 网络函数的定义网络函数的定义1. 网络函数网络函数H（s）的定义）的定义 线性时不变网络在单一电源激励下线性时不变网络在单一电源激励下,其零状其零状态响应的象函数与激励的象函数之比

30、定义为该电态响应的象函数与激励的象函数之比定义为该电路的网络函数路的网络函数H(s)。)()( L )(L L L )(defsEsRtetrsH）激励函数零状态响应下 页上 页返 回由于激励由于激励E(s)可以是电压源或电流源可以是电压源或电流源,响应响应R(s)可可以是电压或电流以是电压或电流,故故 s 域网络函数可以是驱动点域网络函数可以是驱动点阻抗（导纳）阻抗（导纳）,转移阻抗（导纳）转移阻抗（导纳）,电压转移函数电压转移函数或电流转移函数。或电流转移函数。下 页上 页注意若若E(s)=1,响应响应R(s)=H(s),即即网络函数是该响应的网络函数是该响应的象函数。网络函数的原函数是电

31、路的冲激响应象函数。网络函数的原函数是电路的冲激响应 h(t)。2.2.网络函数的应用网络函数的应用由网络函数求取任意激励的零状态响应由网络函数求取任意激励的零状态响应返 回)()()(sEsRsH)()()(sEsHsR例例下 页上 页解解画运算电路画运算电路电路激励为电路激励为)()(Stti)(tuC，求冲激响应，求冲激响应GC+ucissC+Uc(s)(sIsGRCsCGsCsZsUsEsRsHC1111)(1)()()()(1 11111( )( )L ( )Le( )1tRCCh tutH stCCsRC1 11111( )( )L ( )Le( )1tRCCh tutH stCC

32、sRC返 回14.7 14.7 网络函数的极点和零点网络函数的极点和零点1. 1. 极点和零点极点和零点)()()()()()()(21210nmpspspszszszsHsDsNsH 下 页上 页njjmiizszsH110)()(当当 s =zi 时时, ,H(s)=0, 称称 zi 为零点为零点, , zi 为重根为重根, ,称称为重零点为重零点; ;当当 s =pj 时时，H(s) ， 称称 pj 为极点，为极点，pj 为重根，为重根，称为重极点；称为重极点；返 回2. 2. 复平面（或复平面（或s 平面）平面）js 在复平面上把在复平面上把 H(s) 的极点用的极点用 表示表示 ,

33、,零零点用点用 o 表示。表示。零、极点分布图零、极点分布图下 页上 页zi , , Pj 为复数为复数j oo返 回42 )(21zzsH，的零点为：23231 ) s (3 , 21jppH，的极点为：例例36416122)(232ssssssH绘出其极零点图。绘出其极零点图。解解)4)(2(216122)(2sssssN)23j23)(23j23)(1( 364)(23sssssssD下 页上 页返 回下 页上 页24 -1j ooo返 回14.8 14.8 极点、零点与冲激响应极点、零点与冲激响应零零状状态态e(t)r(t)激励激励 响应响应)()()(sEsHsR 1)( )()(

34、sEtte时，当下 页上 页1. 1. 网络函数与冲激响应网络函数与冲激响应)(L)()( )()( 1sHthtrsHsR零零状状态态(t)h(t) 1 R(s)冲激响应冲激响应H(s) 和冲激响应构成一对拉氏变换对。和冲激响应构成一对拉氏变换对。结论返 回) 1() 1()(0sssHsHH0=-10例例 已知网络函数有两个极点为已知网络函数有两个极点为s =0、s =-1，一个，一个单零点为单零点为s=1，且有，且有 ，求，求H(s) 和和 h(t)10)(limtht解解由已知的零、极点得由已知的零、极点得: :teHHsssHsHth000112)1()1(L )(L)(10)(lim tht令：下 页上 页) 1() 1(10)(ssssH返 回下 页上 页2. 2. 极点、零点与冲激响应极点、零点与冲激响应 若网络函数为真分式且分母具有单根若网络函