模糊数学方法详细介绍

1、模糊数学模糊数学引例：引例：你某时到某地去接一个你某时到某地去接一个“大胡子大胡子. 高个高个子子. 长头发长头发. 戴宽边黑色眼镜的中年男子戴宽边黑色眼镜的中年男子”，尽，尽管提供的只有一个精确的信息管提供的只有一个精确的信息男人，而其男人，而其它的信息它的信息大胡子大胡子. 高个子高个子. 长头发长头发. 戴宽边戴宽边黑色眼镜黑色眼镜. 中年男人都是模糊的，但你对这些中年男人都是模糊的，但你对这些模糊概念经过头脑的综合分析判断就可以接到模糊概念经过头脑的综合分析判断就可以接到这个人。这个人。 模糊数学的概述模糊数学的概述 现实中的模糊概念现实中的模糊概念例如：厚、薄、美、丑、例如：厚、薄、

2、美、丑、早晨、中午、晴天、阴天、优、劣，蔬菜、水早晨、中午、晴天、阴天、优、劣，蔬菜、水果、感冒、合格品、次品等果、感冒、合格品、次品等 n量的分类量的分类模糊数学模糊性随机数学随机性不确定性经典数学确定性量模糊数学模糊数学1965年美国加利福尼亚大学控制专家扎德年美国加利福尼亚大学控制专家扎德(zadeh L.A)在在information and control杂志上发表了一杂志上发表了一篇开创性论文篇开创性论文“Fuzzy sets”这标志着模糊数学的诞生。这标志着模糊数学的诞生。 模糊数学是研究和处理模糊性现象的数学方法。是模糊数学是研究和处理模糊性现象的数学方法。是把模糊的问题化为确

3、定性问题的基础，是数据处理常用把模糊的问题化为确定性问题的基础，是数据处理常用的方法。的方法。模糊数学应用广泛模糊数学应用广泛农业，林业，气象，环境，地质勘探，医学，经济管理等从精确到模糊n精确q答案确定：要么是，要么不是qf : A 0,1q他是学生？他不是学生？n模糊q答案不定：也许是，也许不是，也许介于之间qA : U 0,1q他是成年人？他不是成年人？他大概是成年人？一、模糊集合论的基础知识一、模糊集合论的基础知识1、模糊集与隶属度、模糊集与隶属度n定义定义1： 设设U是论域，称映射是论域，称映射 1 , 0)(,1 , 0:xxUAAn隶属函数一般根据经验确定隶属函数一般根据经验确定

4、n当值域为当值域为0,1时，模糊子集时，模糊子集A就是经典子集就是经典子集确定了一个确定了一个U上的上的模糊子集模糊子集A， 称为称为A的的隶属函数隶属函数， 称为称为x对对A的隶属程度的隶属程度. 的点的点x 称为过渡点，称为过渡点，此点最具模糊性此点最具模糊性. 此后此后 简记为简记为A(x).A)(xA5 . 0)(xA)(xA一、模糊集合论的基础知识一、模糊集合论的基础知识140190140)(xxAn例例1：设论域：设论域U=x1(140), x2(150), x3(160), x4(170), x5(180), x6(190) (单位单位:cm) 表示人的身高，那么表示人的身高，那

5、么“高高个子个子” 就是就是U上的一个模糊集，其隶属函数可定义为上的一个模糊集，其隶属函数可定义为n则：则：. 1)(, 8 . 0)(, 6 . 0)(, 4 . 0)(, 2 . 0)(, 0)(665544332211xAxxAxxAxxAxxAxxAx一、模糊集合论的基础知识一、模糊集合论的基础知识 2、模糊集的表示法、模糊集的表示法n（1）扎德表示法）扎德表示法n（2）向量表示法）向量表示法n（3）序偶表示法）序偶表示法 nnxxAxxAxxAA)()()(2211)(,),(),(21nxAxAxAA)(,( ,),(,(),(,(2211nnxAxxAxxAxAn上例中上例中 A

6、=（0，0.2，0.4，0.6，0.8，1）或者）或者65432118 .06 .04 .02 .00 xxxxxxA一、模糊集合论的基础知识一、模糊集合论的基础知识n例例2、设以人的岁数作为论域、设以人的岁数作为论域U0,120，单，单位是位是“岁岁”，那么，那么“年轻年轻”，“年老年老”，都是，都是U上的模糊子集。隶属函数可以定义如下：上的模糊子集。隶属函数可以定义如下：n“年轻年轻”（u）n“年老年老”（u） 121025251251205uuu121050251501205uuu 一、模糊集合论的基础知识一、模糊集合论的基础知识隶属函数图隶属函数图 模糊集合的隶属函数p确定隶属函数的原

7、则p隶属函数的确定应遵守一些基本原则。p表示隶属函数的模糊集合必须是凸模糊集合p通常，某一模糊概念的隶属函数的确定应首先从最适合这一模糊概念的点下手，然后向两边延伸。延伸时其隶属函数的值必须单调递减，不允许有波浪形。p某专家根据他本身的经验对“舒适”温度的隶属函数定义如下：图2.3 隶属函数向最大值两边延伸的差别 图2.4 非凸模糊集合隶属函数p变量所取隶属函数通常是对称和平衡的p隶属函数要符合人们的语义顺序，避免不恰当的重叠p模糊控制系统隶属函数的选择通常应遵循：p论域中的每个点应该至少属于一个隶属函数的区域，同时，它一般应该属于至多不超过两个隶属函数的区域；p对同一个点没有两个隶属函数会同

8、时有最大隶属度；p当两个隶属函数重叠时，重叠部分的任何点的隶属函数的和应该小于等于1。图2.5 交叉越界的隶属度函数示意图 图2.6 重叠指数定义p确定隶属函数的方法p模糊统计法p对论域U上的一个确定元素u0，考虑n个有模糊集合A属性的普通集合A*以及元素u0对A*的归属次数。u0对A*的归属次数和n的比值就是元素u0对模糊集合A的隶属度：nAuunA的次数*00lim)(（2.4）p专家经验法：有专家的实际经验给出模糊信息的处理算式或相应权系数来确定函数的方法。p二元排序法：通过对多个事物之间两两对比来确定某种特征下的顺序，由此来决定这些事物对该特征的隶属函数的大致形状。p典型函数法：根据问

9、题的性质，应用一定的分析与推理，选用某些典型函数作为隶属函数。常见隶属函数有以下类型：常见隶属函数有以下类型： 应用模糊数学方法的关键在于建立符合实际的隶属函数，尽管一个元素应用模糊数学方法的关键在于建立符合实际的隶属函数，尽管一个元素属于模糊集是客观存在的，但是建立隶属函数的方法基本上是主观的，根据人属于模糊集是客观存在的，但是建立隶属函数的方法基本上是主观的，根据人的实践经验，的实践经验，偏大型偏大型中间型中间型偏小型偏小型1.矩形型矩形型 01xaxbA xaxb或 10 xaA xxa 01xaA xxax A x01ax A x01ax A x01ab3 隶属函数的确定隶属函数的确定

10、2.梯形型梯形型 010 xaxaaxbbaA xbxcdxcxddcxd 10 xabxA xaxbbaxb 01xaxaA xaxbbaxb偏大型偏大型中间型中间型偏小型偏小型x A x01abx A x01abcdx A x01ab3.K次抛物型次抛物型 010kkxaxaaxbbaA xbxcdxcxddcxd 10kxabxA xaxbbaxb 01kxaxaA xaxbbaxb偏大型偏大型中间型中间型偏小型偏小型x A x01abx A x01abcdx A x01ab 1k x ak x aexaA xaxbexb 1k x axaA xexa 01k x axaA xexa偏大

11、型偏大型中间型中间型偏小型偏小型4. 型型0k x A x01a1akx A x01ab1ak1bkx A x01a1ak5.正态型正态型 2x aA xe 21x axaA xexa 201x axaA xexa偏大型偏大型中间型中间型偏小型偏小型x A x01ax A x01ax A x01a6.柯西型柯西型偏大型偏大型中间型中间型偏小型偏小型x A x01ax A x01ax A x01a 11A xxa 111xaA xxaxa 011xaA xxaxa0,00,为正偶数0,0一、模糊集合论的基础知识一、模糊集合论的基础知识 4、模糊集的运算、模糊集的运算n相等相等：n包含包含：n并并

12、：n交交：n余余： 符号符号：表示二者之中取大，表示二者之中取大，表示二者之中取小表示二者之中取小 说明说明：排中律不成立，即：排中律不成立，即UxxBxABA),()(UxxBxABA),()()()()(xBxAxBABA），隶属函数（ )()()(xBxAxBABA），隶属函数（ )(1)(xAxAAccc，隶属函数ccAUAA,一、模糊集合论的基础知识一、模糊集合论的基础知识nU = 甲甲, 乙乙, 丙丙, 丁丁qA = “矮子矮子”n隶属函数隶属函数A= (0.9, 1, 0.6, 0)qB = “瘦子瘦子”n隶属函数隶属函数B= (0.8, 0.2, 0.9, 1)q找出找出 C

13、= “既矮又瘦既矮又瘦”nC = AB = ( 0.90.8 , 10.2 , 0.60.9 , 01 ) = ( 0.8, 0.2, 0.6, 0)n甲甲和和丙丙比较符合条件比较符合条件一、一、模糊集合论的模糊集合论的基础知识基础知识n等幂律AA = An交换律AB = BAn结合律(AB)C = A(BC)n分配律A(BC) = (AB)(BC)n德摩根律(AB) = ABn双重否定律A = An两极律UA = Un排中律A A = 模糊集的运算性质一、模糊集合论的基础知识一、模糊集合论的基础知识5. -截集截集n定义定义2：若：若A是是U上的任一模糊集，对上的任一模糊集，对 记记 称称A

14、 为为A的的 -截集截集，其中，其中 称为阈值或置信水平称为阈值或置信水平.nA 是普通集合而不是模糊集。由于模糊集的边是普通集合而不是模糊集。由于模糊集的边界是模糊的界是模糊的, 如果要把模糊概念转化为数学语言，如果要把模糊概念转化为数学语言，需要选取不同的置信水平需要选取不同的置信水平 (0 1) 来确定其隶来确定其隶属关系。属关系。 -截集就是将模糊集转化为普通集的方法。截集就是将模糊集转化为普通集的方法。模糊集模糊集A 是一个具有游移边界的集合，它随是一个具有游移边界的集合，它随 值的值的变小而增大，即当变小而增大，即当 1 2时，有时，有A 1 A 2。1 , 0,)(UxxAxA一

15、、模糊集合论的基础知识一、模糊集合论的基础知识n例例：设论域设论域U=u1， u2， u3， u4， u5， u6， ui表示学生，表示学生，某门课成绩依次是某门课成绩依次是90，60，85，70，50，95. A=“学习成绩好的学生学习成绩好的学生”，隶属度取为，隶属度取为:成绩成绩100，则则A=（0.9，0.6，0.85，0.7，0.5，0.95）n要确定学习好的学生，实际上就是要把模糊集要确定学习好的学生，实际上就是要把模糊集A转转化为经典集合，即先确定一个阈值化为经典集合，即先确定一个阈值 ( 0 1 ) ,然后把隶属度然后把隶属度A(x) 的元素找出来的元素找出来. 有有n当当 =

16、0.8时时， A0.8=u1， u3， u6n当当 =0.9时时 A0.9=u1， u6二、模糊关系与模糊矩阵二、模糊关系与模糊矩阵1、模糊矩阵模糊矩阵n定义定义3： 设设R=(rij)mn，0rij 1，称，称R为为模糊矩阵模糊矩阵.当当rij只取只取0或或1时，称时，称R为布尔（为布尔（Boole）矩阵）矩阵.n例例1、n模糊矩阵的运算：模糊矩阵的运算：q（1）并）并q（2）交）交q（3）余）余nmijijbaBA )(定义为nmijijbaBA )(定义为nmijcaA ）（定义为110.1101AB0.30.5010，二、模糊关系与模糊矩阵二、模糊关系与模糊矩阵n（4）合成（乘法）合成

17、（乘法）n例例2：设：设2 33 210.70.40.70,0.40.610.80.500.30.70.70.50.40.6,0.60.60.510.70.30.30.3ABA BBA则：)(,)(1kjikskijnmijbaccBA其中二、模糊关系与模糊矩阵二、模糊关系与模糊矩阵n（5）模糊矩阵的转置）模糊矩阵的转置n（6）模糊矩阵的）模糊矩阵的 -截矩阵截矩阵：设：设A=(aij)mn，对任意对任意的的 ，称，称 为模糊矩阵为模糊矩阵A的的 -截矩阵，其中截矩阵，其中()Tjim nAa 0,1 ()() ijm nAa ()1,0, ijijijaaa n例例310.50.2110A0

18、.510.1 ,A11000.31001 0 0. . 5 5则则二、模糊关系与模糊矩阵二、模糊关系与模糊矩阵2、模糊关系模糊关系n定义定义4 4：设：设X=x1,x2, ,xm和和Y=y1,y2, ,yn是经典集是经典集 合，称映射合，称映射为为X到到Y的一个二元关系的一个二元关系.当当X=Y时，称时，称R为为X上的关系上的关系.nX到到Y的一个关系可用布尔矩阵的一个关系可用布尔矩阵R=(rij)mn表示表示： R, 0R, 1没有关系与有关系与其中jijiijyxyxry1 y2 ynRx1x2xmr11 r12 r1nr21 r22 r2n.rm1 rm2. rmn1 , 0: ),(Y

19、XyxR二、模糊关系与模糊矩阵二、模糊关系与模糊矩阵n例例：设：设X=1，4，7，8，Y=2，3，6，定义，定义“小于小于”关系关系R：xy. 于是于是R=(1,2), (1,3), (1,6), (4,6)这表明关系这表明关系R是直积是直积的子集的子集n关系矩阵关系矩阵000000100111R二、模糊关系与模糊矩阵二、模糊关系与模糊矩阵n定义定义5 设设R为为X上的一个关系，并且满足：上的一个关系，并且满足：反身性反身性: rii=1，即集合中每个元素和它自己，即集合中每个元素和它自己有关系有关系R；对称性对称性: rij=rji 传递性传递性: 当当rij=1且且 rjk=1时，有时，有

20、rik=1满足满足的关系的关系R称为称为X上的上的等价关系等价关系，此关系矩，此关系矩阵称为阵称为等价矩阵等价矩阵，满足这三条性质的集合，满足这三条性质的集合R为一为一分分类关系类关系. .二、模糊关系与模糊矩阵二、模糊关系与模糊矩阵n例：设，定义关系例：设，定义关系：；：为偶数，则为偶数，则关系关系R1有传递性，但无反身性和对称性；关系有传递性，但无反身性和对称性；关系R2是上的是上的等价关系，按等价关系，按2可以分类：奇数类，和偶数类可以分类：奇数类，和偶数类，1010010110100101,000010001100111021RR二、模糊关系与模糊矩阵n定义：设论域定义：设论域U、V，

21、称，称UV上的一个模糊子上的一个模糊子集集RF(UV)为从为从U到到V的模糊关系其隶属函的模糊关系其隶属函数为映射数为映射n并称隶属度并称隶属度(x,y)为（为（x,y)关于模糊关系关于模糊关系R的的相关相关程度程度. 模糊关系模糊关系R可有模糊矩阵可有模糊矩阵R=(rij)mn表示，其表示，其中中rij=(x，y ).n注记：若注记：若R为布尔矩阵，则关系为布尔矩阵，则关系R为普通关系为普通关系.),(),(, 1 , 0:yxRyxyxVURR记为2.2.2 模糊关系p普通关系p集合的直积p由两个集合U和V的各自元素u与v组成的序偶(u，v)的全体集合，称为U与V的直积,记为UV，即 UV

22、=(u，v)|uU，vV p一般情况下，UVVU。1.普通二元关系p定义 设U与V是两个非空集合。集合U、V的直积UV的一个子集R称为U到V上的一个二元关系，简称关系。p对于直积UV的序偶(u,v)，要么(u,v)具有关系R，记为(u,v)R；要么(u,v)不具有关系R，记为(u,v) R。因此，关系R的特征函数为：(2.5)p若U=V，则直积UV的子集R称为U上的二元关系，或称U上的关系。p关系矩阵3)关系R可以用矩阵来表示，称为关系矩阵，其中元素rij基于特征函数CR(u,v)的定义，即(2.6)p与序偶(ui,vj)R对应者记为1，与序偶(ui, vj) R对应者记为0。p例：设X，Ya

23、，b，c，Z，到Y的关系及Y到Z的关系S可表示为下图。p图中两个元素之间有连线的表示有关系。比如和a之间有关系R，a和之间有关系S。与a之间无关系R，b与a之间无关系S。p对于经典关系可以表示为表格。p模糊关系p定义 集合U和V的直积p中的模糊子集R被称为U到V的模糊关系，又称为二元模糊关系，其特性用隶属函数描述如下：(2.7)p例：设X，Ya，b，c，Z，Y以及YZ上的模糊关系R与S如图所示。Y与YZ上的模糊关系模糊关系的复合运算p两个元素之间有连线的表示两个元素之间有一定关系，连线上的数字表示关系密切程度。p对于模糊关系也可以表示为表格。p模糊关系的表示p模糊集合表示法p例3.1 设集合U

24、1，2，3，V1，2，3，4，5。从U到V的一个模糊关系R可表示为：R0.5/(1,3)+0.8(1,4)+1/(1,5)+0.5/(2,4)+0.8/(2,5)+0.5/(3,5)p模糊关系表表示法p模糊矩阵表示法p上例中模糊关系R的矩阵表示为：0.5 0 0 0 00.8 0.5 0 0 01 0.8 0.5 0 0R4)模糊关系图表示p用图直观表示模糊关系时，则将ui，vj作为节点，在ui到vj的连线上标上R(ui，vj)的值，这样的图便称为模糊关系图。p例：二人博弈，具有相同的策略集：U=V剪刀，石头，布，“甲胜”定为1；“平局”定为0.5，“甲负”定为0。则二人胜负关系可用模糊关系图

25、表示，如图2.9所示。图2.9 模糊关系图p模糊关系的合成p定义 设U、V、W是论域，R是U到V的一个模糊关系，S是V到W的一个模糊关系，则R对S的合成R。S指的是U到W的一个模糊关系T，它具有隶属函数：(2.8)p当U、V、W为有限时，模糊关系的合成可用模糊矩阵的合成来表示。设p定义 设R是U上的一个模糊关系。p如果对于任意的uU，都有R(u,u)1，则称R为自反模糊关系。p如 果 对 于 任 意 的 u、v U ， 都 有 R ( u , v)R(v,u)，则称R为对称模糊关系。p如果对于任意的0，1，R都是具有传递性的普通关系，则称R为传递模糊关系。定义 模糊关系R和S，如果总是存在R(

26、x, y)=S (x,y)，则称模糊关系R与模糊关系S等价，记为R=S。二、模糊关系与模糊矩阵n定义定义7： 设模糊子集设模糊子集RF(UV)为从为从U到到V的模糊的模糊 关系，并且满足：关系，并且满足： 反身性反身性: R(x,x)=1（或（或IR） 对称性对称性: R(x,y)=R(y,x)（或（或 ） 传递性传递性: RRRn满足以上三条，称满足以上三条，称R为一为一模糊等价关系模糊等价关系. 其关系矩阵其关系矩阵称为称为模糊等价矩阵模糊等价矩阵.n只满足的关系称为只满足的关系称为模糊相似关系模糊相似关系.其关系矩阵称其关系矩阵称为为模糊相似矩阵模糊相似矩阵.TRR 二、模糊关系与模糊矩

27、阵n定理：若定理：若R是是n阶模糊等价矩阵，则对任意的阶模糊等价矩阵，则对任意的0,1 ， -截截矩阵矩阵R 是是n阶阶等价布尔矩阵等价布尔矩阵.iRRRR242定义定义12：设：设R是是nn的模糊矩阵，如果满足的模糊矩阵，如果满足RR=R2R，则称则称R为模糊传递矩阵。包含为模糊传递矩阵。包含R的最小的模糊传递矩阵称为的最小的模糊传递矩阵称为R的的传递包传递包，记为，记为t(R).n将将n阶模糊相似矩阵阶模糊相似矩阵R改造成改造成n阶模糊等价矩阵阶模糊等价矩阵t(R)的的方法：方法：n当第一次出现当第一次出现 时，时， 即为所求。即为所求。kkkRRR kR三、模糊数学的应用n1.模糊聚类模

28、糊聚类n2.模糊识别模糊识别n3.模糊决策模糊决策n4.模糊逻辑模糊逻辑n所谓模糊聚类方法，就是依据模糊矩阵将所研所谓模糊聚类方法，就是依据模糊矩阵将所研究的对象进行分类的方法，对于不同的置信水究的对象进行分类的方法，对于不同的置信水平平0,1，可得到不同的分类结果，从而可，可得到不同的分类结果，从而可以形成动态聚类图。以形成动态聚类图。n模糊聚类的基本步骤：模糊聚类的基本步骤：n1）数据的标准化处理数据的标准化处理n2）建立模糊相似矩阵建立模糊相似矩阵n3）聚类分析聚类分析1.模糊聚类1.模糊聚类n第一步：数据标准化处理第一步：数据标准化处理n建立数据矩阵建立数据矩阵：设论域：设论域U= x

29、1,x2, ,xn是被分类对是被分类对象，每个对象又由象，每个对象又由m个指标表示其形状，即个指标表示其形状，即 xi =xi1, xi2, , xim 于是，可得原始数据矩阵于是，可得原始数据矩阵 X=（xij）mnnmnnmmxxxxxxxxx2122221112111.模糊聚类n数据标准化数据标准化nijijjniijjjjijijxxnsxnxsxxx1111,其中n平移平移极差变换法极差变换法n平移平移标准差变换法标准差变换法)(min)(max)(minijiijiijiijijxxxxxn第二步：建立模糊相似矩阵第二步：建立模糊相似矩阵：n 设论域设论域=x1,x2, ,xn，x

30、i=xi1,xi2, ,xin，如果如果xi与与xj之间的相似程度为之间的相似程度为rij=(i, j)，则称，则称之为相似系数。之为相似系数。R=(rij)nn称为相似系数矩阵。称为相似系数矩阵。 n 确定相似系数的方法有多种，常用的有数确定相似系数的方法有多种，常用的有数量积法、夹角余弦法、相关系数法、最大最小量积法、夹角余弦法、相关系数法、最大最小值法、距离法、专家评分法等。值法、距离法、专家评分法等。1.模糊聚类1.模糊聚类1 maxijijijijijxxrijxxijijijxxrx x12211()()()()mikijkjkijmmikijkjkkxxxxrxxxx数量积法数量

31、积法夹角余弦法夹角余弦法相关系数法相关系数法11()()mikjkkijmikjkkxxrxx最大最小值法最大最小值法1.模糊聚类11( ,)( ,)ijijmijikjkkrH d x xd x xxx 211( ,)( ,)ijijmijikjkkrE d x xd x xxx 海明距离法海明距离法欧氏距离法欧氏距离法11( ,)( ,)ijijmijikjkkrH d x xd x xxx 切比雪夫距离法切比雪夫距离法n其中其中H、E均是适当选取的均是适当选取的参数，它使得参数，它使得rij0,1.n第三步：第三步： 聚类分析聚类分析 从第二步求出的从第二步求出的n阶模糊相似矩阵阶模糊相

32、似矩阵R出发，用平方出发，用平方法求其传递闭包法求其传递闭包t(R),它就是将它就是将R改造成的改造成的n阶模糊等阶模糊等价矩阵，再让价矩阵，再让 由大变小，就可形成动态聚类图。由大变小，就可形成动态聚类图。1.模糊聚类15 . 009 . 02 . 05 . 01001 . 00014 . 009 . 004 . 018 . 02 . 01 . 008 . 01tR经过4次复合可得到等价关系 15 . 04 . 09 . 08 . 05 . 014 . 05 . 05 . 04 . 04 . 014 . 04 . 09 . 05 . 04 . 018 . 08 . 05 . 04 . 08

33、. 014RRt进行 分割，并分别取4 . 0 , 5 . 0 , 8 . 0 , 9 . 0 , 1 10000010000010000010000011R10010010000010010010000019 . 0R10011010000010010011100118 . 0R11011110110010011011110115 . 0R 11111111111111111111111114 . 0R分类图例：某三个家庭，共有人口16名，各家庭成员之间有（血缘）关系。16个人各有自己的照片，且混在一起。现在要求一个不认识这三个家庭成员的人根据上述像片确定这些成员之间的相似程度。6 . 0

34、用 对该模糊等价关系进行分割因此可识别出4个性质不同的类型：1,6,8,13,16, 2,5,7,11,14, 3, 4,9,10,12,15例：有5个地区受到近期一次地震而造成损害利用余弦幅度法，得到如下关系：1774. 0818. 0740. 0982. 01441. 0600. 0682. 01934. 0914. 01836. 011symR经两次复合得到等价关系1774. 0914. 0914. 0982. 01774. 0774. 0774. 01934. 0914. 01914. 0131symRR914. 0 1011101000101111011110111R934. 0 1

35、000101000001100011010001R,5321xxxx4x,51xx,32xx4x2.模糊模型识别n模型识别：根据研究对象的某种特征对其进行模型识别：根据研究对象的某种特征对其进行识别并分类。它有两个本质特征：一是事先给识别并分类。它有两个本质特征：一是事先给定若干标准模型（定若干标准模型（标准模型库标准模型库），二是），二是有待识有待识别的对象别的对象.n模糊模型识别：指在模型识别中，标准模型库模糊模型识别：指在模型识别中，标准模型库中提供的模型是模糊的中提供的模型是模糊的.2.模糊模式识别方法一：最大隶属原则模糊模式识别方法一：最大隶属原则n最大隶属原则最大隶属原则 I ：设

36、论域：设论域=x1,x2, ,xn上的上的m个模个模糊子集糊子集A1,A2, ,Am（构成（构成标准模型库标准模型库），），其隶属度函其隶属度函数为数为Ai(x), 若对任一若对任一x0U，一定有，一定有k1,2,m,使得使得 Ak(x0）)=maxA1(x0), A2(x0), , Am(x0)n则认为则认为x0相对隶属于相对隶属于Akn最大隶属原则最大隶属原则2：设论域：设论域U上有一个上有一个标准模型标准模型A，待识待识别对象有别对象有n个个，如果有某个，如果有某个xk满足满足A (xk)=maxA (x1), A (x2), , A (xn)，n则应优先录取则应优先录取xk 。2.模糊

37、模式识别方法二：模糊模式识别方法二：择近原则择近原则n设在论域设在论域=x1,x2, ,xn上有上有m个模糊子集个模糊子集A1,A2, ,Am构成了一个构成了一个标准模型库标准模型库。被识别被识别对象对象B也是也是U上的一个上的一个模糊集模糊集，它与标准模型，它与标准模型库中哪一个模型最贴近，我们用库中哪一个模型最贴近，我们用(A,B)表示表示两个模糊集两个模糊集A,B之间的贴近程度（简称贴近之间的贴近程度（简称贴近度）度）,若有若有k，使得，使得(Ak,B)=max(Ak,B)|1i mn则称则称B与与Ak最贴近，或者说把最贴近，或者说把b归于归于Ak类，这类，这就是择近原则。就是择近原则。

38、2.模糊模式识别之二：模糊模式识别之二：择近原则择近原则n定义定义1：格贴近度格贴近度：max ( )( )A BA xB x其中其中表示两个模糊集表示两个模糊集A,B的内积的内积表示两个模糊集表示两个模糊集A,B的外积的外积格贴近度的不足之处是一般情况下格贴近度的不足之处是一般情况下0(A,A) 1)()(minxBxABA)1 (21),(0BABABA2.模糊模式识别之二：模糊模式识别之二：择近原则择近原则n定义定义（公理化定义公理化定义）：若）：若(A,B)满足满足n1）(A,A)=1n2）(A,B)= (B,A)n3) 若有若有AB C，则，则(A,C) (A,B) (B,C) n则

39、称则称(A,B)为为A与与B的贴近度。的贴近度。2.模糊模式识别之二：模糊模式识别之二：择近原则择近原则n公理化定义具有理公理化定义具有理论价值，但并没有论价值，但并没有提供一个计算贴近提供一个计算贴近度的方法，不便于度的方法，不便于操作，右面介绍一操作，右面介绍一些实用的具体定义。些实用的具体定义。111( ()()( , )( ()()nkkknkkkA xB xA BA xB x1212( ()()( ,)( ()()nkkknkkkA xB xA BA xB x311( , )1()()nkkkA BA xB xn 3.模糊决策模糊决策n决策决策：为了解决当前或未来可能发生的问题而：为

40、了解决当前或未来可能发生的问题而选择最佳方案的过程。选择最佳方案的过程。n模糊决策的模糊决策的目的目的：把论域中的对象按优劣进行：把论域中的对象按优劣进行排序，或者按某种方法从论域中选择一个排序，或者按某种方法从论域中选择一个“令令人满意人满意”的方案。的方案。n下面将介绍：模糊二元对比决策、模糊综合评下面将介绍：模糊二元对比决策、模糊综合评判决策。判决策。3.模糊决策之一模糊决策之一模糊二元对比决策模糊二元对比决策n 设论域设论域U =x1, x2, , xn为为n个备选方案（对个备选方案（对象）象）,在在U上建立一种模糊优先关系上建立一种模糊优先关系,即即先两两进行先两两进行比较比较,再将

41、这种比较模糊化再将这种比较模糊化. 然后用模糊数学方法然后用模糊数学方法给出给出总体排序总体排序,这就是模糊二元对比决策这就是模糊二元对比决策.n基本步骤：基本步骤：n1）建立模糊优先关系）建立模糊优先关系n2）排出一定的优劣次序，）排出一定的优劣次序，确定优先对象，可采确定优先对象，可采用方法用方法: - 截矩阵法、隶属函数法截矩阵法、隶属函数法 、下确界法、下确界法等等.3.模糊决策之一模糊决策之一模糊二元对比决策模糊二元对比决策n第一步，建立模糊优先关系第一步，建立模糊优先关系 先两两进行比较，建立模糊优先矩阵先两两进行比较，建立模糊优先矩阵： R = (rij)nnn在在xi与与xj作

42、对比时作对比时,用用rij表示表示xi对对xj的优越程度的优越程度,并且并且要求要求rij满足满足 rii = 1(便于计算便于计算)； 0 rij 1； 当当ij 时时, rij + rji = 1. 这样的这样的rij组成的矩阵组成的矩阵R = (rij)nn称为称为模糊优先矩阵模糊优先矩阵, 由此矩阵确定的关系称为模糊由此矩阵确定的关系称为模糊优先关系优先关系n第二步，第二步，确定优先对象确定优先对象n - 截矩阵法截矩阵法 取定阈值取定阈值 0,10,1得得 - -截矩阵截矩阵R = (rij( ) )nn, , 当当 由由1 1逐渐下降时逐渐下降时, ,若若R 中首次出现第中首次出现

43、第k行的元素行的元素全等于全等于1 1时时, ,则认定则认定xk是第一优先对象是第一优先对象( (不一定唯一不一定唯一). ). 再在再在R中划去中划去xk所在的行与列所在的行与列, ,得到一个新的得到一个新的n - -1阶模阶模糊优先矩阵糊优先矩阵, ,用同样的方法获取的对象作为第二优先用同样的方法获取的对象作为第二优先对象；如此进行下去对象；如此进行下去, ,可将全体对象排出一定的优劣可将全体对象排出一定的优劣次序次序. .3.模糊决策之一模糊决策之一模糊二元对比决策模糊二元对比决策3.模糊决策之一模糊决策之一模糊二元对比决策模糊二元对比决策n 隶属函数法隶属函数法 直接对模糊优先矩阵进行

44、适当的数学加工处理直接对模糊优先矩阵进行适当的数学加工处理, ,得到得到X上模糊优先集上模糊优先集A的隶属函数的隶属函数, ,再根据各元素隶再根据各元素隶属度的大小给全体对象排出一定的优劣次序属度的大小给全体对象排出一定的优劣次序. .通常通常采用的方法是：采用的方法是：n 取小法：取小法：A(xi) =minrij|1jn,i =1, 2, , n;n 平均法：平均法：n加权平均法：加权平均法：., 2 , 1,1)(1nirnxAnjiji., 2 , 1,)(1nirxAijnjji3.模糊决策之一模糊决策之一模糊二元对比决策模糊二元对比决策n下确界法下确界法 先求先求R每一行的下确界每

45、一行的下确界,以最大下确界所在行以最大下确界所在行对应的对应的xk是第一优先对象是第一优先对象(不一定唯一不一定唯一). 再在再在R中划去中划去xk所在的行与列所在的行与列,得到一个新的得到一个新的n -1阶模阶模糊优先矩阵糊优先矩阵,再以此类推再以此类推. 在实际工作中在实际工作中, ,对一个事物的评价或评估对一个事物的评价或评估, ,常常涉常常涉及多个因素或多个指标及多个因素或多个指标, ,这时就要求根据这多个因素对这时就要求根据这多个因素对事物作出综合评价事物作出综合评价, ,而不能只从某一因素的情况去评价而不能只从某一因素的情况去评价事物事物, ,这就是这就是综合评判综合评判. . 模

46、糊综合评判决策是对受多种因素影响的事物作出模糊综合评判决策是对受多种因素影响的事物作出全面评价的一种十分有效的多因素决策方法全面评价的一种十分有效的多因素决策方法. . 经典综合评判决策：评总分法（如高考成绩）、加权经典综合评判决策：评总分法（如高考成绩）、加权评分法等评分法等.3.模糊决策之二模糊决策之二模糊综合评判决策模糊综合评判决策3.模糊决策之二模糊决策之二模糊综合评判决策模糊综合评判决策n设设U =u1, u2, , un为为n种因素种因素(或指标或指标),V =v1, v2, , vm为为m种评判种评判(或等级或等级). 由于各种因素所处由于各种因素所处地位不同地位不同,作用也不一

47、样作用也不一样,可用权重可用权重A = (a1, a2, , an )来描述来描述,它是因素集它是因素集U 的一个模糊子集的一个模糊子集.n模糊综合评判决策的方法和步骤模糊综合评判决策的方法和步骤：n1） 建立因素集建立因素集U =u1, u2, , un与决断集与决断集V =v1, v2, , vm；3.模糊决策之二模糊决策之二模糊综合评判决策模糊综合评判决策n2）建立模糊综合评判矩阵）建立模糊综合评判矩阵 R = (rij)nm 其中其中rij表示表示vj对因素对因素ui所作的评判；所作的评判；n3)综合评判综合评判 根据各因素权重根据各因素权重A = (a1, a2, , an )综合评

48、判综合评判: B = A R = (b1, b2, , bm )是是V上的一个模糊子上的一个模糊子集，根据运算集，根据运算 的不同定义的不同定义,可得到不同的模型可得到不同的模型.3.模糊决策之二模糊决策之二模糊综合评判决策模糊综合评判决策n模型模型：M(,)主因素决定型主因素决定型bj = (airij), 1in ( j = 1, 2, , m ). 由于综合评判的结果由于综合评判的结果bj的值仅由的值仅由ai与与rij (i = 1,2, ,n )中的某一个确定中的某一个确定(先取小先取小, ,后取大运后取大运算算), ,着眼点是考虑主要因素着眼点是考虑主要因素, ,其他因素对结果其他因

49、素对结果影响不大影响不大, ,这种运算有时出现决策结果不易分这种运算有时出现决策结果不易分辨的情况辨的情况.模型模型：M ( , )主因素突出型主因素突出型bj = (ai rij), 1in ( j = 1, 2, , m ). M ( , )与模型与模型M (,) 较接近较接近, 区别在区别在于用于用ai rij代替了代替了M (,) 中的中的airij . 在模型在模型M ( , )中中,对对rij乘以小于乘以小于1的权重的权重ai表明表明ai是在考虑多因素时是在考虑多因素时rij的修正值的修正值,与主要因素与主要因素有关，忽略了次要因素有关，忽略了次要因素.3.模糊决策之二模糊综合评判

50、决策n模型模型： M(, )主因素突出型主因素突出型bj = (ai rij) ( j = 1, 2, , m ). . 模型模型也突出了主要因素也突出了主要因素. . 在实际应用中在实际应用中, ,如果主因素在综合评判中如果主因素在综合评判中起主导作用起主导作用, ,建议采纳建议采纳, , 当模型当模型失失效时可采用效时可采用,.,.3.模糊决策之二模糊综合评判决策模型模型：M( , )加权平均模型加权平均模型bj = (ai rij) ( j = 1, 2, , m ). . 模型模型M( , )对所有因素依权重大小均衡对所有因素依权重大小均衡兼顾兼顾, ,适用于考虑各因素起作用的情况适用

51、于考虑各因素起作用的情况. .3.模糊决策之二模糊综合评判决策例1：教师讲课的综合评判U是评价因素集，是评价因素集，V是评语等级是评语等级U=清楚易懂，教材熟练，生动有趣，板书整齐清楚易懂，教材熟练，生动有趣，板书整齐V=很好，较好，一般，不好很好，较好，一般，不好0.4 0.5 0.1 00.6 0.3 0.1 00.1 0.2 0.6 0.10.1 0.2 0.5 0.2 rij表示第表示第i个因素着眼，对被评个因素着眼，对被评教师作出第教师作出第j种评语的可能程度：种评语的可能程度：r11 r12 r13 r14r21 r22 r23 r24r31 r32 r33 r34r41 r42

52、r43 r44 很好很好 较好较好 一般一般 不好不好清楚清楚易懂易懂教材教材熟练熟练生动生动有趣有趣板书板书整齐整齐VU数据来源：可以在某一班级做问卷调查，如在清数据来源：可以在某一班级做问卷调查，如在清楚易懂方面有楚易懂方面有40%的学生认为是很好，的学生认为是很好，50%的学的学生认为是较好，生认为是较好，10%的认为一般，没有人认为不的认为一般，没有人认为不好。其它的因素如法炮制。好。其它的因素如法炮制。模糊评价矩阵模糊评价矩阵R权数n我们可以为我们可以为U中的各元素分配不同的权数，表中的各元素分配不同的权数，表示各元素隶属于重要的隶属度。示各元素隶属于重要的隶属度。nA=（0.5，0

53、.2，0.2，0.1）0.4 0.5 0.1 00.6 0.3 0.1 00.1 0.2 0.6 0.10.1 0.2 0.5 0.2 B=（0.5，0.2，0.2，0.1）评价模型是：评价模型是：A R，表示取小取大运算，表示取小取大运算B1=Maxmin0.5,0.4, min0.2,0.6, min0.2,0.1, min0.1,0.1=0.4B2=Maxmin0.5,0.5, min0.2,0.3, min0.2,0.2, min0.1,0.2=0.5B3=Maxmin0.5,0.1, min0.2,0.1, min0.2,0.6, min0.1,0.5=0.2B4=Maxmin0.5

54、,0, min0.2,0, min0.2,0.1, min0.1,0.2=0.1很好很好 较好较好 一般一般 不好不好清楚清楚易懂易懂教材教材熟练熟练生动生动有趣有趣板书板书整齐整齐很好很好 较好较好 一般一般 不好不好B=(0.4, 0.5, 0.2, 0.1)B=(0.33, 0.42, 0.17, 0.08)根据最大隶属原则，该老师讲课只能是较好。根据最大隶属原则，该老师讲课只能是较好。归一化后：归一化后：例2服装评判服装评判U=花色式样、耐穿程度、价格费用花色式样、耐穿程度、价格费用V=很欢迎、较欢迎、不太欢迎、不欢迎很欢迎、较欢迎、不太欢迎、不欢迎一类顾客的评判标准为：一类顾客的评判

55、标准为：A=（0.2,0.5,0.3）对某一种服装，经市场调查有：对某一种服装，经市场调查有：花色式样花色式样：（20%的人欢迎，的人欢迎，70%较欢迎，较欢迎，10%不太欢迎）不太欢迎）耐穿程度：耐穿程度：（40%的人较欢迎，的人较欢迎，50%不太欢迎，不太欢迎，10%不欢迎）不欢迎）价格费用：价格费用：（20%的人欢迎，的人欢迎，30%较欢迎，较欢迎，40%不太欢迎，不太欢迎，10%不欢迎）不欢迎）0.2 0.7 0.1 00 0.4 0.5 0.10.2 0.3 0.4 0.1B=A R=（0.2，0.5，0.3）=(0.2,0.4,0.5,0.1)归一化后：归一化后：B=(0.17，0

56、.34，0.40，0.09)所以该种服装在这类顾客中最可能不太受欢迎。所以该种服装在这类顾客中最可能不太受欢迎。Lily:汪汪P107 因素集因素集U = u1( (外观外观), ), u2( (耗电量耗电量), ), u3( (耐用程度耐用程度), ), u4( (价格价格)； 评判集评判集V = v1( (很满意很满意), ), v2( (较满意较满意), ), v3( (不太满不太满意意), ), v4( (不满意不满意).). 对各因素所作的评判如下：对各因素所作的评判如下：u1 ：(0.2, 0.5, 0.2, 0.1)(0.2, 0.5, 0.2, 0.1)u2 ：(0.7, 0.

57、2, 0.1, 0 )(0.7, 0.2, 0.1, 0 )u3 ：( 0, 0.4, 0.5, 0.1)( 0, 0.4, 0.5, 0.1)u4 ：(0.2, 0.3, 0.5, 0 )(0.2, 0.3, 0.5, 0 )例例3 电动车评判电动车评判05 . 03 . 02 . 01 . 05 . 04 . 0001 . 02 . 07 . 01 . 02 . 05 . 02 . 0R 对于给定各因素权重对于给定各因素权重A = (0.1, 0.2, 0.3, 0.4), ,分分别用各种模型所作的评判如下：别用各种模型所作的评判如下：M(,)： B = (0.2, 0.3, 0.4, 0

58、.1)M( ,)： B = (0.14, 0.12, 0.2, 0.03)M(, )：B = (0.5, 0.9, 0.9, 0.2)M( , )： B = (0.24, 0.33, 0.39, 0.04)05 . 03 . 02 . 01 . 05 . 04 . 0001 . 02 . 07 . 01 . 02 . 05 . 02 . 0R 对于给定各因素权重对于给定各因素权重A = (0.4, 0.35, 0.15, 0.1), ,分别用各种模型所作的评判如下：分别用各种模型所作的评判如下：M(,)： B = (0.35, 0.4, 0.2, 0.1)M( ,)： B = (0.245,

59、0.2, 0.08, 0.04)M(, )：B = (0.65, 0.85, 0.55, 0.2) M( , )： B = (0.345, 0.36, 0.24, 0.055)例例4. “晋升晋升”的数学模型的数学模型. . 以高校老师晋升教授为例：因素集以高校老师晋升教授为例：因素集U = 政治政治表现及工作态度表现及工作态度, ,教学水平教学水平, ,科研水平科研水平, ,外语水平外语水平,评判集评判集V= 好好, ,较好较好, ,一般一般, ,较差较差, ,差差. . 因素因素 好好 较好较好 一般一般 较差较差 差差政治表现及工作态度政治表现及工作态度 4 2 1 0 04 2 1 0

60、 0教学水平教学水平 6 1 0 0 0 6 1 0 0 0 科研水平科研水平 0 0 5 1 1 0 0 5 1 1 外语水平外语水平 2 2 1 1 1 2 2 1 1 1 7 / 17 / 17 / 17 / 27 / 27 / 17 / 17 / 5000007 / 17 / 6007 / 17 / 27 / 4R 给定以教学为主的权重给定以教学为主的权重A = (0.2, 0.5, 0.1, 0.2)，分别用分别用M(,)、 M( , )模型所作的评判如下：模型所作的评判如下： M(,)： B = (0.5, 0.2, 0.14, 0.14, 0.14) 归一化后，归一化后，B =