第十三章动能定理

1、Theoretical Mechanics 返回总目录Theoretical Mechanics Theoretical Mechanics 第三篇第三篇 动动 力力 学学第十三章第十三章 动能定理动能定理Theoretical Mechanics 返回首页Theoretical Mechanics第十三章第十三章 动能定理动能定理目目 录录Theoretical Mechanics Theoretical Mechanics13.1 力的功力的功13.1.1 功的一般表达式功的一般表达式力的元功:在一无限小位移中力所做的功。在一无限小位移中力所做的功。或写成直角坐标形式在一般情况下，上式右边

2、不表示某个坐标函数的全微分，所以元功用符号W而不用dW 。 rF dW sFtWddvF sFWdcoszFyFxFWzyxddd 返回首页Theoretical Mechanics Theoretical Mechanics力在有限路程上的功为力在此路程上元功的定积分力在有限路程上的功为力在此路程上元功的定积分。21dMMWrF21dddMMzZyYxXW功的量纲为 22TLMLFW13.1 力的功力的功13.1.1 功的一般表达功的一般表达式式 返回首页Theoretical Mechanics Theoretical Mechanics13.1 力的功力的功13.1.2 几种常见力的功几

3、种常见力的功常力的功 cosdcos0FsWsFWs当 时功为正；当 时，功为负；当 时s不作功。由此可知，功为代数量。 222 返回首页Theoretical Mechanics Theoretical Mechanics重力的功重力的功)(d211221zzmgzmgWzz重力的功仅与质点运动重力的功仅与质点运动开始和终了位置的高度开始和终了位置的高度差有关，而与运动轨迹差有关，而与运动轨迹无关无关)(2112CCzzmgW13.1 力的功力的功13.1.2 几种常见力的功几种常见力的功 返回首页Theoretical Mechanics Theoretical Mechanics弹性力的

4、功弹性力的功弹性力可表示为弹性力可表示为rlrkeF)(0rerFd)(d01221rMMlrkW202201012)()(21d)(21lrlrkrlrkWrr)d(21ddrrrrrerrrrrrdd21213.1 力的功力的功13.1.2 几种常见力的几种常见力的功功 返回首页Theoretical Mechanics Theoretical Mechanics弹性力的功弹性力的功202201012)()(21d)(21lrlrkrlrkWrr 弹性力在有限路程上的功只决定于弹簧在起始弹性力在有限路程上的功只决定于弹簧在起始及终了位置的变形量，而与质点的运动路径无关。及终了位置的变形量，

5、而与质点的运动路径无关。13.1 力的功力的功13.1.2 几种常见力的功几种常见力的功 返回首页Theoretical Mechanics Theoretical Mechanics滑动摩擦力的功滑动摩擦力的功 物体沿粗糙轨道滑动时，动滑动摩擦力 ，其方向总与滑动方向相反，所以，功恒为负值 NFFf2121ddNMMMMsFfsFW13.1 力的功力的功13.1.2 几种常见力的几种常见力的功功 返回首页Theoretical Mechanics Theoretical Mechanics滑动摩擦力的功滑动摩擦力的功 当物体纯滚动时，圆轮与地面之间没有相对滑动，其滑动摩擦力属于静滑动摩擦力。

6、轮与地面的接触点C是圆轮在此瞬时的速度瞬心， ，得 0Cv0ddCCtWvFrF圆轮沿固定轨道滚动而无滑动时，滑动摩擦力不作功。 13.1 力的功力的功13.1.2 几种常见力的功几种常见力的功 返回首页Theoretical Mechanics Theoretical Mechanics定轴转动刚体上作用力的功定轴转动刚体上作用力的功作用于定轴转动刚体上的力的元功为作用于定轴转动刚体上的力的元功为dddRFsFWrFzzMFMRF)(dzMW13.1 力的功力的功13.1.2 几种常见力的功几种常见力的功 返回首页Theoretical Mechanics Theoretical Mecha

7、nics如图所示，刚体上任意一点的无限小位移可写为iCCirrrddd作用于点 M i上的力的元功为iCiCiiiWrFrFrFddddcosdiiiCiCMFrFd)(iCMF作用于刚体上的全部力的元功为平面运动刚体上力系的功平面运动刚体上力系的功ddd)(dCCRCCMMWrFFrF13.1 力的功力的功13.1.2 几种常见力的功几种常见力的功 返回首页Theoretical Mechanics Theoretical Mechanics其中FR为力系的主矢量，Mc为力系对质心的主矩。ddd)(dCCRCCMMWrFFrF13.1 力的功力的功13.1.2 几种常见力的功几种常见力的功

8、返回首页Theoretical Mechanics Theoretical Mechanics13.1.3 质点系内力的功质点系内力的功当质系内质点间的距离变化时，内力的元功之和不为零。因此刚体内力的功之和恒等于零。)(dddddBAABAAABBAAWrrFrFrFrFrF如图所示，两质点间有相互作用的内力BAFFABABBABArrrr,ABWAdF)(dABFWA13.1 力的功力的功 返回首页Theoretical Mechanics Theoretical Mechanics13.1 力的功力的功13.1.4 约束力的功约束力的功光滑铰链或轴承约束光滑铰链或轴承约束由于约束力的方向恒

9、与位移的方向垂直，所以约束力的功为零。由于约束力的方向恒与位移的方向垂直，所以约束力的功为零。 常见的理想约束有：常见的理想约束有：光滑固定面和辊轴约束光滑固定面和辊轴约束其约束力垂直于作用点的位移，约束力不做功。其约束力垂直于作用点的位移，约束力不做功。理想约束：理想约束：约束力的元功的和等于零的约束。约束力的元功的和等于零的约束。 返回首页Theoretical Mechanics Theoretical Mechanics 刚性连接的约束刚性连接的约束这种约束和刚体的内力一样，其元功之和恒等于零。联结两个刚体的铰联结两个刚体的铰: :两个刚体相互间的约束力，大小相等、方向相反，即，两力在

10、点的微小位移上的元功之和等于零. 柔性而不可伸长的绳索柔性而不可伸长的绳索 绳索两端的约束力,大小相等，即，由于绳索不可伸长，所以两点的微小位移和在绳索中心线上的投影必相等，因此不可伸长的绳索的约束力元功之和等于零。具有理想约束的质点系具有理想约束的质点系，有WN = 0 13.1 力的功力的功13.1.4 约束力的功约束力的功 返回首页Theoretical Mechanics Theoretical Mechanics13.2 质点的动能定理质点的动能定理质系内所有质点在某瞬时动能质系内所有质点在某瞬时动能的算术和为该瞬时质系的动能的算术和为该瞬时质系的动能 221mvT动能是描述质系运动

11、强度的一个物理量221iivm任一质点在某瞬时的动能为 返回首页Theoretical Mechanics Theoretical Mechanics13.2 质点的动能定理质点的动能定理牛顿第二定律牛顿第二定律 即作用于质点上力的元功等于质点动能的微分。即作用于质点上力的元功等于质点动能的微分。质点动能定理质点动能定理的微分形式的微分形式Fa mFtvmdd由于 ，将上式右端乘以ds，左端乘以vdt后，得 tvsdd sFvmvddWmv21d2 返回首页Theoretical Mechanics Theoretical Mechanics13.2 质点的动能定理质点的动能定理21d12MM

12、WrF作用于质点上的力在有限路程上的功作用于质点上的力在有限路程上的功质点动能定理的积分形式，即作用于质点上的质点动能定理的积分形式，即作用于质点上的力在有限路程上的功等于质点动能的改变量力在有限路程上的功等于质点动能的改变量。WmvMMvv21d21212Wmv21d2积分积分 返回首页Theoretical Mechanics Theoretical Mechanics13.3 质点系和刚体的动能质点系和刚体的动能13.3.1 质点系的动能质点系的动能 2121iinivmT质点系的动能为组成质点系的各质点动能的算术和 返回首页Theoretical Mechanics Theoretic

13、al Mechanics13.3 质点系和刚体的动能质点系和刚体的动能13.3.2 平移刚体的动能平移刚体的动能 当刚体平动时，刚体上各点速度相同，于是平动刚体的动能为222212121CmvmvmvT 返回首页Theoretical Mechanics Theoretical Mechanics13.3 质点系和刚体的动能质点系和刚体的动能13.3.3 定轴转动刚体的动能定轴转动刚体的动能 于是绕定轴转动刚体的动能为于是绕定轴转动刚体的动能为22222212121iiiiiirmrmvmT刚体绕定轴z转动的角速度为，任一点mi的速度 iirv 221zIT 返回首页Theoretical M

14、echanics Theoretical Mechanics13.3 质点系和刚体的动能质点系和刚体的动能13.3.4 平面运动刚体的动能平面运动刚体的动能 刚体作平面运动时，可视为绕通过速度瞬心并与运动平面垂直的轴的转动平面运动刚体的动能等于随质心平动的动能与绕通过质心的转轴转动的动能之和。221CIT2222222121)(2121MdIMdIITCCC222121CCIMvT2MdIICC 返回首页Theoretical Mechanics Theoretical Mechanics13.4 质点系的动能定理质点系的动能定理n个方程相加，得2121ddiinivmT质点系由n个质点组成，

15、其中某一质量为质量为mi质点主动力和约束力作用。根据质点动能定理的微分形式有根据质点动能定理的微分形式有niWWvmiNiFii, 2, 121d2nininiiNiFiiWWvm111221d零零FWTd 返回首页Theoretical Mechanics Theoretical Mechanics13.4 质点系的动能定理质点系的动能定理 质系动能定理的微分形式质系动能定理的微分形式：在质系无限小的位移在质系无限小的位移中，质系动能的微分等于作用于质系全部力所做的中，质系动能的微分等于作用于质系全部力所做的元功之和元功之和。即 质系动能定理的积分形式：质系在任意有限路质系动能定理的积分形式

16、：质系在任意有限路程的运动中，起点和终点动能的改变量，等于作用程的运动中，起点和终点动能的改变量，等于作用于质系的全部力在这段路程中所做功的和于质系的全部力在这段路程中所做功的和。iWTT12FWTd 返回首页Theoretical Mechanics Theoretical Mechanics13.4 质点系的动能定理质点系的动能定理例例 题题例13-1 图示系统中，滚子A 、滑轮B 均质，重量和半径均为Q 及r，滚子沿倾角为 的斜面向下滚动而不滑动，借跨过滑轮B的不可伸长的绳索提升重P的物体，同时带动滑轮B绕O轴转动，求滚子质心C的加速度aC 。 解法一 求加速度宜用动能定理的微分形式 F

17、WTd系统在任意位置的动能222221212121pBOACCvgPIIvgQTA轮纯滚动，D为A轮瞬心，所以 rvCA 返回首页Theoretical Mechanics Theoretical Mechanics由 ，得 2221,21,rgQIrgQIvvrvOCCPCB222CvgQPTCCvvgQPTd2d主动力Q、P的元功 sPQWFd)sin(因纯滚动，滑动摩擦力F不作功 代入式 ，两边再除以dt，且知 ，得 CvtsddFWTdCCCvPQtvvgQP)sin(dd213.4 质点系的动能定理质点系的动能定理例例 题题gQPPQtvaCC2sindd 返回首页Theoretic

18、al Mechanics Theoretical Mechanics解法二 此题亦可用动能定理的积分形式，求出任意瞬时的速度表达式，再对时间求一阶导数，得到加速度。 系统的初始动能为T0任意位置的动能 222221212121pBOACCvgPIIvgQT设圆轮质心C走过距离s，动能定理的积分形式sPQTvgQPC)sin(220213.4 质点系的动能定理质点系的动能定理例例 题题 返回首页Theoretical Mechanics Theoretical Mechanics设圆轮质心C走过距离s，动能定理的积分形式sPQTvgQPC)sin(2202vC和s均为变量，将上式两边对时间求一阶

19、导数，得 tsPQtvgQPvCCdd)sin(0dd222gQPPQaC2sin13.4 质点系的动能定理质点系的动能定理例例 题题 返回首页Theoretical Mechanics Theoretical Mechanics例13-2 椭圆规位于水平面内，由曲柄带动规尺AB运动，如图所示。曲柄和AB都是均质杆，重量分别为P和2P，且OCACBCl，滑块A和B重量均为Q。常力偶M作用在曲柄上，设0时系统静止，求曲柄角速度和角加速度 (以转角表示)。 Isin2cos2lvlvBAAvBv解：由几何条件，OCBC， ，因此OC = AB = ，系统由静止开始运动，当转过角时，系统的动能222

20、221212121IIvgQvgQTOBA瞬心为，有运动关系为 13.4 质点系的动能定理质点系的动能定理例例 题题 返回首页Theoretical Mechanics Theoretical MechanicsIAvBvglPQlgPlgPlgQlgQT2)34()2(231213121)sin2(21)cos2(2122222222系统中力做的功为 MW 由动能定理的积分形式 WTT12TTT21, 02)34(2lPQgM13.4 质点系的动能定理质点系的动能定理例例 题题 返回首页Theoretical Mechanics Theoretical MechanicsIAvBv222)3

21、4(/)34(ddddd)34(dlPQMgMglPQtWtTMWglPQT由动能定理的微分形式，得 13.4 质点系的动能定理质点系的动能定理例例 题题 返回首页Theoretical Mechanics Theoretical Mechanics例13-3 图示系统中，物块A重P，均质圆轮B重Q，半径为R，可沿水平面纯滚动，弹簧刚度系数为k，初位置y=0时，弹簧为原长，系统由静止开始运动，定滑轮D 的质量不计，绳不可伸长。试建立物块 A 的运动微分方程，并求其运动规律。 解：为建立物块 A 的运动微分方程，宜对整个系统应用动能定理。以 A 的位移为变量，当A从初始位置下降任意距离y时，它的

22、速度为vA，系统动能 222212121BBBAIvgQvgPT由运动关系RvvvABAB2,2113.4 质点系的动能定理质点系的动能定理例例 题题221RgQIB 返回首页Theoretical Mechanics Theoretical Mechanics21638AvgQPT系统的初动能 00T2202ykPyWF初始位置时，弹簧为原长 ，当A下降y时，弹簧伸长 ，功为 002y22801638ykPyvgQPA由动能定理的积分形式 WTT12对时间求一阶导数，其中 ，得 tyvAdd13.4 质点系的动能定理质点系的动能定理例例 题题 返回首页Theoretical Mechanic

23、s Theoretical Mechanics对时间求一阶导数，其中 ，得 tyvAdd04382dd22kPyQPkgty物块A的运动微分方程 13.4 质点系的动能定理质点系的动能定理例例 题题用微分形式的动能定理求解，2d2dyykyPWFyykPWFd4yykPvgQPAd41638d2代入式 ，得 FWTd 返回首页Theoretical Mechanics Theoretical MechanicsyykPvgQPAd41638d2此式两边被dt除，令 Cyy104382dd1212kPCyQPkgty令 ，得到以y1为变量的标准形式的微分方程 kPC40382dd1212yQPk

24、gty13.4 质点系的动能定理质点系的动能定理例例 题题 返回首页Theoretical Mechanics Theoretical Mechanics设其解为)sin(01tAy物块A的运动规律为)sin(0tACy)cos(dd00tAty初始条件：t = 0时， 代入得 0, 0ddyty物块A的运动规律为kPtQPkgkPy42382sin4物块A作简谐振动13.4 质点系的动能定理质点系的动能定理例例 题题kPA4,2QPkg3820 返回首页Theoretical Mechanics 习习13 8 链条全长链条全长 l = 1m, 单位长质量单位长质量 = 2kg/m , 悬挂在

25、半径为悬挂在半径为R = 0.1m , 质量质量 M= 1kg 的滑轮上的滑轮上. 链条由静止开始下落链条由静止开始下落. 设链条与滑轮无相对滑动设链条与滑轮无相对滑动, 滑轮为均滑轮为均 质圆盘质圆盘. 求求: 链条刚离开滑轮时的速度链条刚离开滑轮时的速度.13.4 质点系的动能定理质点系的动能定理例例 题题OROR解解: 选过选过O 点的水平面为重力零势面点的水平面为重力零势面2211VTVT 221212142220222lglRVMRVlRlgRlRgR 代入具体数值后可得到代入具体数值后可得到:smVsmV/52. 2/30972. 6222 Theoretical Mechanic

26、s Theoretical Mechanics13.4 质点系的动能定理质点系的动能定理1 1具有理想约束的一个自由度系统，应用动能定理具有理想约束的一个自由度系统，应用动能定理可直接建立系统的速度量与位移量之间的关系；进可直接建立系统的速度量与位移量之间的关系；进一步对时间求导数，可求出系统的加速度量。所以，一步对时间求导数，可求出系统的加速度量。所以，在这种情形下应用动能定理求解已知力求运动的问在这种情形下应用动能定理求解已知力求运动的问题是很方便的。题是很方便的。2 2应用动能定理解题的步骤：应用动能定理解题的步骤：（1 1）明确分析对象，一般以整个系统为研究对象；）明确分析对象，一般以

27、整个系统为研究对象；（2 2）分析系统的受力，区分主动力与约束力，在理）分析系统的受力，区分主动力与约束力，在理想约束的情况下约束力不做功；想约束的情况下约束力不做功；小小 结结 返回首页Theoretical Mechanics Theoretical Mechanics3.分析系统的运动分析系统的运动，计算系统在任意位置的动能或在起始和终了位置的动能； 4.应用动能定理建立系统的动力学方程应用动能定理建立系统的动力学方程，而后求解；5.对问题的进一步分析与讨论。动能定理最适用于动力学的第二类基本问题：动能定理最适用于动力学的第二类基本问题：已已知主动力求运动知主动力求运动，即求速度、加速度

28、或建立运动，即求速度、加速度或建立运动微分方程。微分方程。 13.4 质点系的动能定理质点系的动能定理小小 结结 返回首页Theoretical Mechanics Theoretical Mechanics13.5 功率功率 功率方程功率方程13.5.1 功功率率 力在单位时间内所作的功，称为功率。它是用来衡量机器性能的一项重要指标，P表示功率vFttWPvFrFddd力偶或转矩M的功率 MnMtMP30dd功率的量纲为132 TLFTLFTMN功率的单位是焦耳/秒，称为瓦特（W）。1 W=1 J/s=1 Nm/s。 返回首页Theoretical Mechanics Theoretical

29、 Mechanics13.5 功率功率 功率方程功率方程13.5.2 功率方程功率方程由动能定理 无用有用WWWTd等号两边除以dt，即 无用有用NNNtTdd表明机器的输入、消耗的功率与动能变化率的关系。 功率方程 返回首页Theoretical Mechanics Theoretical Mechanics13.6 势力场势力场 势能势能 机械能守恒定律机械能守恒定律13.6.1 势力势力场场 如质点在某空间内任一位置都受有一个大小和方向完全由所在位置确定的力作用，具有这种特性的空间就称为力场，例如地球表面的空间为重力场。如质点在某一力场内运动时，力场力对于质如质点在某一力场内运动时，力场

30、力对于质点所做的功仅与质点起点与终点位置有关，而与点所做的功仅与质点起点与终点位置有关，而与质点运动的路径无关，则这种力场称为质点运动的路径无关，则这种力场称为势力场或势力场或保守力场保守力场。质点在势力场内所受的力称为势力或质点在势力场内所受的力称为势力或保守力保守力。如重力、弹性力及万有引力都是势力。 返回首页Theoretical Mechanics Theoretical Mechanics13.6 势力场势力场 势能势能 机械能守恒定律机械能守恒定律13.6.2 势势能能 PFzFVP势势能：在势力场中，质点由某一位置M运动到选定的参考点M0的过程中，有势力所作的功。以V表示，即00ddddxMMMMzyzFyFxFVrF重力场中的势能重力场中的势能ozzzzFzFV)(d0PP零位置选在z0=0处 返回首页Theoretical Mechanics The