第13讲 主应力法

1、材料成形原理材料成形原理CPrinciple of Material Forming C第十三讲第十三讲Lesson Thirteen李振红李振红Li ZhenhongPhone-Mail： 南京工程学院材料工程系Department of Material Science and Engneering Nanjing Institute of Technology 2第六章 主应力法及其应用主要内容Main Content 主应力法基本原理主应力法基本原理 平面应变镦粗型的变形力平面应变镦粗型的变形力 平面应变挤压型的变形力平面应变挤压型的变形力 轴对称镦粗型的变形

2、力轴对称镦粗型的变形力 轴对称挤压型的变形力轴对称挤压型的变形力 主应力法在塑性成形中的应用主应力法在塑性成形中的应用 接触面上的摩擦切应力及其对压应力分布的影响接触面上的摩擦切应力及其对压应力分布的影响36.1 解析法的解本思路 1 1、基本假设、基本假设 （1 1） 连续的，宏观的连续的，宏观的 （2 2） 确定的确定的描述方程描述方程+ +边界条件边界条件 求定解求定解2 2、描述方程，基本方程、描述方程，基本方程平衡方程平衡方程 几何方程几何方程 物理方程物理方程 屈服准则屈服准则 边界条件边界条件 连续方程连续方程 塑性变形体积不变塑性变形体积不变 4（1）平衡方程 ij0ix. .

3、i jx y z（2）几何方程 jiijij1()2uuxx（3）物理方程 ijijmij1122GE 弹性 塑性 增量理论 ijijdd32ddijij32dijijijmij1212dddGdE 全量理论 ijij32弹塑性增量理论 应力应变速率方程 5（4）边界条件 物体外表面为S，Sd和St分别表示位移和外力 uuTT 位移给定值 外力给定值 （5）补充方程 屈服准则 13|ss连续方程 222221()2xyyxx yyx 2xyyzzxxxyzxy z （+-）塑性变形体积不变 0,0mmd有3+3个方程63、求解 在边界条件 uuTT 下求解 ,iijiju3D2D1D平衡321

4、几何631物理631塑性条件111连续条件622总计22116未知数158374、基本解法 位移法位移法 以位移为未知量，经过几何方程和以位移为未知量，经过几何方程和物理方程，得到一位移表示的应力物理方程，得到一位移表示的应力诸分量。然后带入平衡方程，得到诸分量。然后带入平衡方程，得到位移表示的平衡方程。在边界条件位移表示的平衡方程。在边界条件下，从平衡方程解出连续且单值的下，从平衡方程解出连续且单值的位移。再按几何方程求出位移。再按几何方程求出 ，此，此时将自动满足协调方程。进而按物时将自动满足协调方程。进而按物理方程求出理方程求出 ，此时，此时 将满足平将满足平衡方程。衡方程。 ijiji

5、jij( )iuijijui几何方程几何方程物理方程物理方程平衡平衡+ +边界边界 ( ui)物理方程物理方程8ijij()ij ij以满足平衡条件的应力诸分量以满足平衡条件的应力诸分量 为未知量，经过物理方程得到应为未知量，经过物理方程得到应力表示的应变诸分量力表示的应变诸分量 。在利。在利用几何方程的积分应变求位移用几何方程的积分应变求位移u ui i时，要求积分为单值，即积分只时，要求积分为单值，即积分只依赖于积分路线，必须使被积函依赖于积分路线，必须使被积函数满足全微分条件；对几何方程数满足全微分条件；对几何方程求积分的全微分条件就是变形协求积分的全微分条件就是变形协调方程。为保证此条

6、件成立，应调方程。为保证此条件成立，应将以应力表示的应变诸分量带入将以应力表示的应变诸分量带入协调方程，结合边界条件解出协调方程，结合边界条件解出 ，再按物理方程求相应的应变分量，再按物理方程求相应的应变分量，此时利用几何方程积分，即可得此时利用几何方程积分，即可得到单值的位移分量到单值的位移分量u ui i。 应力法应力法 ij物理方程物理方程 协调方程协调方程+ +边界条件边界条件 ij物理方程物理方程 ijij几何方程几何方程 ui 95、主应力法的基本方法（切块法） 实质是将应力平衡微分方程和屈服方程联立求实质是将应力平衡微分方程和屈服方程联立求解。解。 将问题简化成平面问题或轴对称问

7、题。将问题简化成平面问题或轴对称问题。 根据金属的流动趋向和所选取的坐标系，对变根据金属的流动趋向和所选取的坐标系，对变形体截取包括接触面在内的基元体或基元板块，形体截取包括接触面在内的基元体或基元板块，切面上的正应力假定为主应力，且均匀分布。切面上的正应力假定为主应力，且均匀分布。 不考虑剪应力以材料屈服方程的影响。不考虑剪应力以材料屈服方程的影响。xy2Kxy10 主应力法是最早用于工程上求解塑性加工变主应力法是最早用于工程上求解塑性加工变形力的一种方法，因此也叫做工程法。形力的一种方法，因此也叫做工程法。 在求解过程中由于以平截面截取分离体建立在求解过程中由于以平截面截取分离体建立力平衡

8、微分方程，又假定所截平面为主平面力平衡微分方程，又假定所截平面为主平面以及应力在截面上均匀分布，所以此法又称以及应力在截面上均匀分布，所以此法又称为为平截面法、平均应力法平截面法、平均应力法。 11一般概念一般概念 概念：是一种以满足静力许可条件为前提，计概念：是一种以满足静力许可条件为前提，计算变形力的方法，此法求得之解为下界解。算变形力的方法，此法求得之解为下界解。 求解方法：联立求解力平衡微分方程与屈服条求解方法：联立求解力平衡微分方程与屈服条件，然后利用应力边界条件计算积分常数，从件，然后利用应力边界条件计算积分常数，从而求得应力分布函数，进而求得变形力。而求得应力分布函数，进而求得变

9、形力。 适用范围：平面变形或轴对称变形适用范围：平面变形或轴对称变形 一、主应力法一、主应力法12 概念：为了使所得的解析式比较简单，主应力概念：为了使所得的解析式比较简单，主应力法在求解过程中通常要对问题进行简化处理，法在求解过程中通常要对问题进行简化处理，所得结果只是近似结果，因而得到近似主应力所得结果只是近似结果，因而得到近似主应力法。法。 二、近似主应力法二、近似主应力法 求解方法：以满足静力许可条件为前提，但对求解方法：以满足静力许可条件为前提，但对其进行了近似处理，从而较简便地求得应力分其进行了近似处理，从而较简便地求得应力分布函数，进而求得变形力。布函数，进而求得变形力。 13

10、早期主应力法的实质是在给定的应力边界条件下联早期主应力法的实质是在给定的应力边界条件下联解近似屈服条件和近似力平衡微分方程，为近似主解近似屈服条件和近似力平衡微分方程，为近似主应力法。应力法。 为了提高解的精度，后期的主应力法采用了较精确为了提高解的精度，后期的主应力法采用了较精确的屈服条件和力平衡微分方程，逐步发展为主应力的屈服条件和力平衡微分方程，逐步发展为主应力法。法。 14三、简化处理方法三、简化处理方法 由于在采用主应力法联立求解力平衡微分方程与屈由于在采用主应力法联立求解力平衡微分方程与屈服条件时，经常遇到一些不易解决的困难，故近似服条件时，经常遇到一些不易解决的困难，故近似主应力

11、法对力平衡微分方程与屈服条件等进行了简主应力法对力平衡微分方程与屈服条件等进行了简化处理，从而使求解过程简便易行。化处理，从而使求解过程简便易行。 156.2 平面应变镦粗型的变形力设 mK设长度为l 202xxxxxPlhdlhldxmKddxh 屈服方程为 yxyx2 ;K dd联解(1)(2)得 y2mKxch (1)(2)yyeye,2eexxmKcxh当时所以y金属流动方向镦粗方向xyexexdxyyxx+dxyeh平行砧板间平面应变镦粗及垂直应力y的分布图形16最后得 yye2()emKxxh单位面积平均变形力为 yye01exeemKxPpdxFxhxeye0,2Ky21()2m

12、 bKxh当工件宽度为b高度为h时 2(1)4m bpKh(3)(4)工件外端为自由表面 由（3）得 (5)(6)由（4）得 金属流动方向镦粗方向xyexexdxyyxx+dxyeh平行砧板间平面应变镦粗及垂直应力y的分布图形17平衡微分方程和塑性条件联立求解的数学解析法（附加内容） 对一般空间问题，在对一般空间问题，在3个平衡微分方程和个平衡微分方程和一个塑性条件（屈服准则），一个塑性条件（屈服准则），4个方程求个方程求6个未知数，静不定问题。个未知数，静不定问题。ijn利用利用6个应力应变关系和个应力应变关系和3个变形连续方个变形连续方程，共得程，共得13个方程，求个方程，求13个未知数个

13、未知数 但此方程组无法求解。但此方程组无法求解。ijij, n对于轴对称问题，对于轴对称问题，2个平衡微分方程和个平衡微分方程和1个塑性个塑性条件，再利用条件，再利用4个应力应变关系式和个应力应变关系式和2个变形连个变形连续方程，共得续方程，共得9个方程和个方程和9个未知数，但只有在个未知数，但只有在边界上剪应力只与一个坐标轴有关时才有解。边界上剪应力只与一个坐标轴有关时才有解。18 对于平面问题，对于平面问题， 2个平衡微分方程和个平衡微分方程和1个塑性条件，个塑性条件，求求3个未知数个未知数 ， 当边界上的剪应力为零或当边界上的剪应力为零或只与一个坐标轴有关时，才有解。只与一个坐标轴有关时

14、，才有解。xyxy, 19以平砧压缩矩形件为例以平砧压缩矩形件为例 力平衡微分方程力平衡微分方程0jij 为使其简化，通常将变形过程近似地视为平面变形为使其简化，通常将变形过程近似地视为平面变形或轴对称变形问题，并假设正应力与一个坐标无关。或轴对称变形问题，并假设正应力与一个坐标无关。 00yxyxyxyyxxdxdxxx和和20力平衡微分方程的简化力平衡微分方程的简化OxyPl f fh y f f x x+d xdxdx y21xyy如果假设切应力如果假设切应力 在在 轴方向上呈线性分布，轴方向上呈线性分布，则则hyfyx2xy假设假设 与与 轴无关，则轴无关，则 dxdxxx力平衡微分方

15、程可简化为力平衡微分方程可简化为 02hdxdfx00yxyxyxyyxx22 也可以采用也可以采用 x 轴方向的受力平衡建立力平衡微分方轴方向的受力平衡建立力平衡微分方程程 0X02)(dxhdhfxxxOxyPl f fh y f f x x+d xdxdx y02hdxdfx23对屈服条件的简化对屈服条件的简化 平面变形时，其平面变形时，其Mises屈服条件为屈服条件为 22244kxyyx在近似工程法中，常假设工具与工件的接触面为在近似工程法中，常假设工具与工件的接触面为最大切应力平面，此时有最大切应力平面，此时有 Kkyx224对边界条件的简化对边界条件的简化 近似工程法中，将非自由

16、边界也按自由边界处理近似工程法中，将非自由边界也按自由边界处理 2lx 0 x时，时，022/02hlxxdy2lx 时，时， 工程法中，非自由边界的处理方式为工程法中，非自由边界的处理方式为 25近似处理带来的后果近似处理带来的后果 只能得到接触面上的应力分布，以及变形力的大小，只能得到接触面上的应力分布，以及变形力的大小，但不能求得工件内部的应力分布。但不能求得工件内部的应力分布。 使人们对其解的评价产生一定的困难。使人们对其解的评价产生一定的困难。26例题例题矩形板镦粗矩形板镦粗 已知：已知： 长长L L、宽、宽D D、高为、高为h h，la la 接触面上的剪应力为，接触面上的剪应力为

17、，沿沿L L方向应变为方向应变为0 0 。平面变形问题。平面变形问题。假设：变形无畸变（出现鼓形），假设：变形无畸变（出现鼓形）， 与与x x无关无关 yxxy解解：平衡方程只分析第一象限平衡方程只分析第一象限 0yx0yxyxyxyx22xyx222xyy20 x yy0 xx y 222xyxyxy22(1x yx)y aph对一式和对一式和2式式分别对分别对Y和和X微分得微分得1式减式减2式得式得27屈服条件屈服条件 Mises条件条件2s22xy2yx344K422xyxy2 K(2)22222xyxyxy22K2(3)x yxy 0yxK2x2xy222xy2与x无关，且仅为Y的函数

18、时，才可解xy0y2xy2xy12cc y当y=0时， =0 xy1yh2xy122c =0,chxy2y(4)hh2yxyxy0 x0y0h2xyx代入代入平衡平衡方程方程得得 ahp（2 2）代入（）代入（1 1）得）得积分得得（5）28)x()y(xh22y1x代入屈服准则式（2）得 222221yh4K2)x()y(xh2222212yh4K2)y(xh2)x(xh2c)x(222221yh4K2c)y(xh2ch4K2cxh2y222x 在x= 、y=0处， ，有 2a0 x2Khacy222x2a2x(2K)ha2x4(2K-2 Ky )hh FyyPdFl(x)dx1 a=2kl

19、a(1+)4 h 1 a2k(1PP+=Fla)4 hp 当当 变形力变形力 单位流动压力 ahp积分得 上式左式为上式左式为X X的函数，右式为的函数，右式为Y Y的函数，令等于常数的函数，令等于常数C C代入代入6 6式得式得 （6） （7） x K ya2xa2x(2K)2 (1)h2hk 29轴对称挤压型的变形力22tan( )22tan( )0zzurdzr drdzrdztan( )urrzY由静力平衡关系简化屈服方程联解（1）（2）（3）得22 (1tan)tanzYddzr (1)(2)(3)(4)30由几何关系得由几何关系得tanbrrz代入（代入（4）前述算式积分得）前述算式积分得121ln(tan)2 (1tan)tantanzbKrzcYK1ln(tan)becKrz 当z=ze时，0z 1tanln()tanbzberzKrz11ln(