第12章 塑性本构关系

1、1本章主要内容本章主要内容： 12.1 12.1 弹性本构关系弹性本构关系 12.2 12.2 塑性变形时应力应变的关系特点塑性变形时应力应变的关系特点 12.3 12.3 增量理论增量理论 12.4 12.4 塑性变形的全量理论（形变理论）塑性变形的全量理论（形变理论） 12.5 12.5 真实应力真实应力- -应变曲线应变曲线 12.6 12.6 塑性本构关系实例塑性本构关系实例 第十二章第十二章 塑性本构关系塑性本构关系塑性变形时应力与应变之间的关系称为塑性变形时应力与应变之间的关系称为本构关系本构关系，这种关系的数学表达，这种关系的数学表达式称为式称为本构方程本构方程，它和屈服准则都是

2、求解塑性成形问题的基本方程。，它和屈服准则都是求解塑性成形问题的基本方程。材料成形原理材料成形原理212.1 12.1 弹性本构关系弹性本构关系材料在简单拉伸情况下，应变与应力关系满足材料在简单拉伸情况下，应变与应力关系满足x x方向：增长方向：增长y y方向：缩短方向：缩短z z方向：缩短方向：缩短xzyxE 应变关系满足应变关系满足： 即当材料在某个方向受拉力时，在该方向出现拉伸变形，即当材料在某个方向受拉力时，在该方向出现拉伸变形，而与垂直的两个方向则出现压缩变形。而与垂直的两个方向则出现压缩变形。z0其中：其中：泊松比泊松比xxE1P P第十二章第十二章 塑性本构关系塑性本构关系3xy

3、zy y方向正应力产生方向正应力产生：E,E,Eyzyyyxz z方向正应力产生方向正应力产生：E,E,Ezzzyzx+多向受力时：多向受力时：E,E,Exzxyxxx x方向正应力产生：方向正应力产生：12.112.1 弹性本构关系弹性本构关系4式中式中 EE弹性模数弹性模数 泊松比泊松比 GG剪切模数剪切模数三者关系：三者关系：G=E/2(1+G=E/2(1+) ) zyxzyxzyx2E1GEGEGExyxyxyzzxzxzzxyyyzyzzyxx2;)(12;)(12;)(1广义虎克定律广义虎克定律zyxzyxE21由上，得由上，得mmE2112.1 12.1 弹性本构关系弹性本构关系

4、5mmE21)(1zyxxE)(1)(1E21)(1mxmxmmmEEExzyxx同理可得：同理可得：mxmy-E1mzmz-E1xxx2G1E1zz2G1yy2G112.1 12.1 弹性本构关系弹性本构关系6结论：结论：物体形状改变只由应力偏张量引起物体形状改变只由应力偏张量引起mmE21物体弹性变形时，单位体积变化率物体弹性变形时，单位体积变化率=3=3m m 与平均应力成正比。与平均应力成正比。结论：结论：应力应力球球张量使物体产生弹性体积改变张量使物体产生弹性体积改变yy2G1zz2G1ijij2G1应变偏张量与应力偏张量成正比应变偏张量与应力偏张量成正比xx2G112.1 12.1

5、 弹性本构关系弹性本构关系7ijmijijEG2121广义虎克定律的张量表达式：广义虎克定律的张量表达式：mmE21已知：已知：ijij2G1ijmijij应变张量可以分解成偏张量和球张量应变张量可以分解成偏张量和球张量12.1 12.1 弹性本构关系弹性本构关系8广义虎克定律其他形式广义虎克定律其他形式1 1、比例形式：、比例形式：2G1xzxzyzyzxyxyzzyyxx2G1xzxzyzyzxyxyxzxzzyzyyxyx2xz22xz2zy22zy2yx22yx4G4G4G2 2、差比形式：、差比形式：上式两边平方后整理后得：上式两边平方后整理后得：2xz22xz2yz22yz2xy2

6、2xy4G4G4G12.1 12.1 弹性本构关系弹性本构关系92xz22xz2zy22zy2yx22yx4G4G4G64G664G664G62xz22xz2yz22yz2xy22xy+等式左边为：等式左边为：2xz2yz2xy2xz2zy2yx62xz2yz2xy2xz2zy2yx621等效应力为：等效应力为：等式右边为：等式右边为：对等式右边开方再乘以对等式右边开方再乘以 ，得，得222222xyyzzxxyyzxz2G622222222xyyzzxxyyzxz4G62112.1 12.1 弹性本构关系弹性本构关系102xz2yz2xy2xz2zy2yx61E212xz2yz2xy2xz2

7、zy2yx622G弹性应变强度弹性应变强度结论：结论：材料弹性变形范围内，应力强度与应变强度成正比，材料弹性变形范围内，应力强度与应变强度成正比，比例系数为比例系数为E E等式左边与右边关系为：等式左边与右边关系为：=iEi其中其中12.1 12.1 弹性本构关系弹性本构关系11=0.5等效应变表达式：等效应变表达式：222222ixyyzzxxyyzxz162 1弹性应变强度表达式：弹性应变强度表达式：i222222xyyzzxxyyzxz263则等效应变与弹性应变强度关系为：则等效应变与弹性应变强度关系为：3=2(1)i当当 时时12.1 12.1 弹性本构关系弹性本构关系12弹性变形应力

8、应变关系关系特点弹性变形应力应变关系关系特点: : 应力应变完全成应力应变完全成线性关系线性关系，应力主轴与应变主轴重合。，应力主轴与应变主轴重合。 弹性变形可逆，应力应变之间为弹性变形可逆，应力应变之间为单值关系单值关系，加载与卸载，加载与卸载规律相同。规律相同。 弹性变形时，应力球张量使物体产生体积变化，弹性变形时，应力球张量使物体产生体积变化，泊松比泊松比0.50.5。12.1 12.1 弹性本构关系弹性本构关系1312.2 12.2 塑性变形时应力应变的关系特点塑性变形时应力应变的关系特点12.2.1 12.2.1 塑性变形应力应变关系特点塑性变形应力应变关系特点 塑性变形不可恢复，是

9、塑性变形不可恢复，是不可逆不可逆不可恢复不可恢复oc1412.2 12.2 塑性变形时应力应变的关系特点塑性变形时应力应变的关系特点co不可恢复不可恢复 对于硬化材料，卸载后在重新加载，其屈服应力就是卸对于硬化材料，卸载后在重新加载，其屈服应力就是卸载后的屈服应力，比初始屈服应力要高。载后的屈服应力，比初始屈服应力要高。1512.2 12.2 塑性变形时应力应变的关系特点塑性变形时应力应变的关系特点 塑性变形时，认为体积不变，应力球张量为零，泊松比塑性变形时，认为体积不变，应力球张量为零，泊松比 =0.5=0.5。 应力应变之间关系是应力应变之间关系是非线性关系非线性关系，全量应变主轴与应力，

10、全量应变主轴与应力主轴主轴不一定重合不一定重合。co不可恢复不可恢复单拉时，材料进入塑性变单拉时，材料进入塑性变形后，加载会有新的塑性形后，加载会有新的塑性变形产生；卸载关系为弹变形产生；卸载关系为弹性关系。性关系。1612.2 12.2 塑性变形时应力应变的关系特点塑性变形时应力应变的关系特点不同路径下的变形不同路径下的变形 加载路径可分成加载路径可分成简单加载简单加载和和复杂加载复杂加载二大类。二大类。 简单加载简单加载是指单元体的应力张量各分量之间的比值是指单元体的应力张量各分量之间的比值 保持不变，按同一参量单调增长。不满足上述条件保持不变，按同一参量单调增长。不满足上述条件的为的为复

11、杂加载复杂加载。 简单加载路径在应力空间中为一直线，如简单加载路径在应力空间中为一直线，如OFEOFE12.2.2 12.2.2 加载路径与加载历史加载路径与加载历史1712.2 12.2 塑性变形时应力应变的关系特点塑性变形时应力应变的关系特点 图图2-5 2-5 平面上的加载准平面上的加载准加载加载：e edde e 0 0，应力点保持在加载曲面上，此时有新的塑，应力点保持在加载曲面上，此时有新的塑性变形发生，性变形发生，- -关系为塑性关系。关系为塑性关系。卸载卸载：e edde e0 0，应力点向加，应力点向加载曲面内侧变动，不会产生新载曲面内侧变动，不会产生新的塑性变形，的塑性变形，

12、 - -关系为弹关系为弹性关系。性关系。中性变载中性变载：若：若e edde e= =0 0 ，应力，应力点在原有屈服曲面上变动，对点在原有屈服曲面上变动，对于强化材料而言为没有新的塑于强化材料而言为没有新的塑性变形，关系为弹性关系。性变形，关系为弹性关系。 1812.2 12.2 塑性变形时应力应变的关系特点塑性变形时应力应变的关系特点加载与卸载准则通用式表示加载与卸载准则通用式表示弹性状态：弹性状态： 强化材料加载：强化材料加载：强化材料变载，理想材料加载：强化材料变载，理想材料加载： 强化材料卸载：强化材料卸载：0dd, 0)(ijijijfff0dd, 0)(ijijijfff0)(i

13、jf0)(ijf0dd, 0)(ijijijfff1912.3 12.3 增量理论增量理论 0d-d卸卸载载时时，变变形形时时变变化化。瞬瞬时时的的非非负负比比例例系系数数。 每一加载瞬间，应力主轴与应变增量主轴重合。每一加载瞬间，应力主轴与应变增量主轴重合。 应变增量与应力偏张量成正比，即：应变增量与应力偏张量成正比，即：ijijdd12.3.1 12.3.1 列维列维- -密席斯增量理论密席斯增量理论 材料是理想刚塑性材料，即弹性应变增量为零，材料是理想刚塑性材料，即弹性应变增量为零， 塑性应变塑性应变增量就是总应变增量。增量就是总应变增量。 材料服从密席斯屈服准则，即：材料服从密席斯屈服

14、准则，即： 塑性变形时体积不变，即：塑性变形时体积不变，即：s因此：因此：xyz123dddddd0ijijdd20(2)(2)差比形式：差比形式：上式两边平方后整理后得：上式两边平方后整理后得：222xyxy222yzyz222xzxz6d6d6d6d6d6d222xyxy222yzyz222zxzxdddddddddyxyyzxzxzxyzxyyzxzdddddddxyyzzxxyyzzxddddddd上式上式 称为列维米塞斯方程称为列维米塞斯方程 (1)(1)比例形式：比例形式：ijijdd12.3 12.3 增量理论增量理论21d23d上面两式相加上面两式相加令令为塑性应变增量强度，也

15、称等效应变增量。为塑性应变增量强度，也称等效应变增量。2222d29d222222xyyzzxxyyzxz2ddddddd6 ddd3222222xyyzzxxyyzxz2222222xyyzzxxyyzxz22 dddddd6 dddd62d则则 d12.3 12.3 增量理论增量理论22（2 2）对于某些轴对称的问题，若有某两个）对于某些轴对称的问题，若有某两个应变分量的增量相等，则对应的应力偏量的应变分量的增量相等，则对应的应力偏量的增量也相等，于是，对应的应力分量也相等。增量也相等，于是，对应的应力分量也相等。可得广义胡克定律可得广义胡克定律xxyzyyzxzzxyxyxyyzyzzx

16、zxd1d2d1d2d1d23 dd23 dd23 dd2设设 则类似于弹性模量与剪切模量。则类似于弹性模量与剪切模量。1 d3dEG，因此可以证明前面已引用的结论。因此可以证明前面已引用的结论。（1 1）平面塑性变形时，没有应变方向的应力）平面塑性变形时，没有应变方向的应力值等于球应力的值。值等于球应力的值。yxz12mxyzxxzzxzy1111332212.3 12.3 增量理论增量理论23zzyyxx23;)(2123;)(2123;)(21xxxyzzzzzxyyyyzyxx广义胡克定广义胡克定律的形式为：律的形式为：12.3.2 12.3.2 应力应变速率关系方程（应力应变速率关系

17、方程（Saint-VenantSaint-Venant塑性流动理论）塑性流动理论）23dt/23dtdd0对对两边除以两边除以dtdt，得：，得：卸载时卸载时，式中式中ijijij称为应变速率强度或称等效应变速率。称为应变速率强度或称等效应变速率。为应力为应力- -应变速率分量方程，也称圣文南塑性流动方程。应变速率分量方程，也称圣文南塑性流动方程。ijijijijdd12.3 12.3 增量理论增量理论24dGijijijd21mmd2-1E12.3.3 12.3.3 普朗特普朗特路埃斯方程路埃斯方程pxzexzxzpzezzpyzeyzyzpyeyypxyexyxypxexx;pijeiji

18、jijmijEGd21d21eij 当变形较小时，在塑性区考虑弹性变形，即总应变增量当变形较小时，在塑性区考虑弹性变形，即总应变增量分量由弹性、塑性增量分量构成。即：分量由弹性、塑性增量分量构成。即：dd21d21ijijijmijEG普朗特普朗特路埃斯方程路埃斯方程由于由于因此，可推出因此，可推出或或12.3 12.3 增量理论增量理论25 增量理论给出了塑性应变增量与应力偏量之间关系。增量理论给出了塑性应变增量与应力偏量之间关系。 增量理论给出各瞬间应力与应变增量之间变化关系。增量理论给出各瞬间应力与应变增量之间变化关系。 增量理论反映了加载过程对变形的影响。增量理论反映了加载过程对变形的

19、影响。 增量理论没有给出卸载规律。增量理论没有给出卸载规律。12.3 12.3 增量理论增量理论2612.4 12.4 塑性变形的全量理论塑性变形的全量理论 塑性变形时，全量应变主轴与应力主轴不一定重合，但在比塑性变形时，全量应变主轴与应力主轴不一定重合，但在比例加载时，应力主轴方向固定不变，应变增量主轴与应力主轴重例加载时，应力主轴方向固定不变，应变增量主轴与应力主轴重合。对普朗特合。对普朗特路埃斯方程进行积分得到全量应力应变关系路埃斯方程进行积分得到全量应力应变关系全全量理论。量理论。0ijijC0ijijC式中：式中： 分别为初始应力和初始应力偏张量；分别为初始应力和初始应力偏张量；C

20、C变形过变形过程单调函数。理想塑性材料，塑性变形阶段为常数。程单调函数。理想塑性材料，塑性变形阶段为常数。由由ij)CCd21(CCd21Cdd21ij0ijijGGGijijijCij0ijGij21ij比例加载比例加载ijij、 dd21ijijijGdCd210ijijijG小变形时，小变形时，积分即为小应变张量积分即为小应变张量ij2712.4 12.4 塑性变形的全量理论塑性变形的全量理论其他全量理论其他全量理论ijijG21ij伊留申全量理论伊留申全量理论硬化材料硬化材料假定条件：假定条件：塑性变形微小，和弹性变形同一数量级；塑性变形微小，和弹性变形同一数量级；外载荷各分量按比例增

21、加，不中途卸载；外载荷各分量按比例增加，不中途卸载；变形体不可压缩，即变形体不可压缩，即加载过程中，应力主轴方向与应变主轴方向固定不变，且加载过程中，应力主轴方向与应变主轴方向固定不变，且重合；重合；- -符合单一曲线假设，且呈幂指数关系；符合单一曲线假设，且呈幂指数关系；如果材料刚塑性，则如果材料刚塑性，则1 1/2G=0/2G=0，则汉基方程可写为：，则汉基方程可写为：ijijG21ij或或；0， 5.0m283E)1 (2EG设设 为塑性模量，则塑性变形时，塑性模量与塑性切变模量为塑性模量，则塑性变形时，塑性模量与塑性切变模量 之间为：之间为：2331G G3EEGE上式其比例形式和差比

22、形式如下：上式其比例形式和差比形式如下：G21zxzxzyzyyxxxG21131332322121G21xzxzyzyzxyxyzzyyxxG21m33m22m1112.4 12.4 塑性变形的全量理论塑性变形的全量理论29塑性变形全量广义胡克公式塑性变形全量广义胡克公式GEGEGExyxyxyzzxzxzzxyyyzyzzyxx2;)(2112;)(2112;)(21112.4 12.4 塑性变形的全量理论塑性变形的全量理论3012.5 12.5 真实应力真实应力- -应变曲线应变曲线 流动应力变化规律通常表达为真实应力与应变的关系，真实流动应力变化规律通常表达为真实应力与应变的关系，真实

23、应力应力- -应变关系曲线一般由实验确定应变关系曲线一般由实验确定。12.5.1 12.5.1 基于拉伸试验确定的应力基于拉伸试验确定的应力- -应变曲线应变曲线 标称应力标称应力- -应变曲线有三个应变曲线有三个特征点，将整个拉伸变形过程特征点，将整个拉伸变形过程分为三个阶段：弹性变形、塑分为三个阶段：弹性变形、塑性变形和局部塑性变形。性变形和局部塑性变形。（1 1）拉伸图和条件应力）拉伸图和条件应力- -应变曲线应变曲线 31（2 2）真实应力）真实应力- -应变曲线应变曲线 在解决实际塑性成形问题时，需要反映实际应力与应变的曲线，在解决实际塑性成形问题时，需要反映实际应力与应变的曲线，即

24、真实应力即真实应力- -应变曲线。真实应力简称真应力，是瞬时的流动应力应变曲线。真实应力简称真应力，是瞬时的流动应力S S。1 1）真实应力）真实应力- -应变曲线分类应变曲线分类 真实应力与相对线应变真实应力与相对线应变 曲线曲线 真实应力与相对断面收缩率真实应力与相对断面收缩率 曲线曲线 真实应力与对数应变（也叫真实应变）真实应力与对数应变（也叫真实应变） 曲线曲线对数应变优点：对数应变优点： 对数应变有可加性对数应变有可加性212020112001lnlnlnllllll将试样拉伸一倍再压缩至原长，则对数应变值相同（只差一个符号）将试样拉伸一倍再压缩至原长，则对数应变值相同（只差一个符号

25、）22lnln2llll221lnln22llllll 用对数应变表示的拉伸和压缩真实应力用对数应变表示的拉伸和压缩真实应力- -应变曲线在理论上完全重合，只应变曲线在理论上完全重合，只是应力有拉、压之分，这和实验结果比较吻合，因而两者可以互相替代。是应力有拉、压之分，这和实验结果比较吻合，因而两者可以互相替代。SSS -12.5 12.5 真实应力真实应力- -应变曲线应变曲线32对数应变相对断面收缩相对伸长三种应变表达式FpS0010lllll2 2）第三种类型的真实应力）第三种类型的真实应力- -应变曲线的确定应变曲线的确定010FFFr真实应力真实应力相对伸长相对伸长断面收缩断面收缩1

26、2.5 12.5 真实应力真实应力- -应变曲线应变曲线33对数应变（真实应变）对数应变（真实应变）当试样当试样L0拉伸至拉伸至L1时，总的真实应变为：时，总的真实应变为：在出现缩颈以前，试样处于均匀拉伸状态：在出现缩颈以前，试样处于均匀拉伸状态：当在小变形时当在小变形时 ，可以认为，可以认为01ln1010llldldllll)1ln()ln(ln0001lllll101llrr11111100101001llFFFFFllr12.5 12.5 真实应力真实应力- -应变曲线应变曲线34拉伸真实应力拉伸真实应力应变曲线塑性失稳点的特征应变曲线塑性失稳点的特征轴向力轴向力P、断面、断面F、真实

27、应力、真实应力SFSP FFll00lnlneFF0eFSP0当在塑性失稳点时，当在塑性失稳点时，P P有极大值有极大值dp=0)(0dsedseFdp在失稳点在失稳点S=SS=Sb b 、=b b， 代入上式，则代入上式，则 bSdds=1 =1 失稳点特性失稳点特性12.5 12.5 真实应力真实应力- -应变曲线应变曲线3512.5.2 12.5.2 基于单向压缩试验确定的应力基于单向压缩试验确定的应力- -应变曲线应变曲线 压缩实验的主要问题是试样与工具的接触面上不可避免地存压缩实验的主要问题是试样与工具的接触面上不可避免地存在摩擦，这就改变了试样的单向压应力状态，并使试样出现鼓形。在

28、摩擦，这就改变了试样的单向压应力状态，并使试样出现鼓形。所以，消除接触表面间的摩擦是求得精确压缩实际应力所以，消除接触表面间的摩擦是求得精确压缩实际应力- -应变曲应变曲线的关键。线的关键。 测定单压测定单压 曲线时，曲线时，试样的直径试样的直径/ /高度一般为高度一般为1 1，每次压缩量为试样高度的每次压缩量为试样高度的10%10%。记录载荷和测量高度，然后记录载荷和测量高度，然后加润滑剂再压。若出现明显加润滑剂再压。若出现明显鼓形，将试样进行车削，消鼓形，将试样进行车削，消除侧鼓，并使直径除侧鼓，并使直径/ /高度仍为高度仍为1 1。这样一直压缩至要求的变。这样一直压缩至要求的变形程度为止

29、，利用数据绘制形程度为止，利用数据绘制 曲线。曲线。 12.5 12.5 真实应力真实应力- -应变曲线应变曲线36 用外推法可以得到消除摩擦影用外推法可以得到消除摩擦影响的响的 曲线。用不同曲线。用不同D/HD/H试样进试样进行压缩实验，记录行压缩实验，记录 曲线，可曲线，可得到不同得到不同D/HD/H的的 ，如图，如图12-9a12-9a所示。然后根据图所示。然后根据图12-9a12-9a可得到一可得到一定变形程度下的定变形程度下的 曲线（图曲线（图12-9b12-9b）。将图中各曲线延伸到与）。将图中各曲线延伸到与 轴相交，就可得到一定变形程度下轴相交，就可得到一定变形程度下D/HD/H

30、0 0时的应力，从而得到消除摩时的应力，从而得到消除摩擦影响的擦影响的 曲线。曲线。PH/D H12.5 12.5 真实应力真实应力- -应变曲线应变曲线37 （2 2）线性强化模型（图）线性强化模型（图12-1112-11）。）。该模型的弹塑性区域分开表示，即：该模型的弹塑性区域分开表示，即： / ()(/) / ()ssssEEDEE弹性塑性 呈线性关系，只是弹性、塑性的斜率有所差异，适合呈线性关系，只是弹性、塑性的斜率有所差异，适合于考虑弹性问题的冷加工，如弯曲。于考虑弹性问题的冷加工，如弯曲。12.5.3 12.5.3 真实应力真实应力- -应变曲线与数学模型应变曲线与数学模型 （1

31、1）幂函数强化模型（图）幂函数强化模型（图12-1012-10）。该模型特点为弹塑性区域）。该模型特点为弹塑性区域用统一方程表示，即：用统一方程表示，即：nA常应用于室温下的冷加工。常应用于室温下的冷加工。12.5 12.5 真实应力真实应力- -应变曲线应变曲线38软化与硬化相等，适合于热加工分析。软化与硬化相等，适合于热加工分析。 （3 3）线性刚塑性强化模型（图）线性刚塑性强化模型（图12-1212-12）。与模型（）。与模型（2 2）相似，）相似，只是没有考虑弹性变形，即：只是没有考虑弹性变形，即：(/)/sssDEE，适合于忽略弹性的冷加工。适合于忽略弹性的冷加工。 （4 4）理想弹塑性模型（图）理想弹塑性模型（图12-1312-13）。该模型的弹塑区域分开表）。该