高数一全面复习总汇

1、第一讲函数、一、理论要求1函数概念与性质2极限3连续二、题型与解法A.极限的求法高等数学复习教程连续与极限函数的基本性质(单调、有界、奇偶、周期)几类常见函数(复合、分段、反、隐、初等函数)极限存在性与左右极限之间的关系夹逼定理和单调有界定理会用等价无穷小和罗必达法则求极限函数连续(左、右连续)与间断理解并会应用闭区间上连续函数的性质(最值、有界、介值)(1) 用定义求(2) 代入法(对连续函数，可用因式分解或有理化消除零因子)(3) 变量替换法(4) 两个重要极限法(5) 用夹逼定理和单调有界定理求(6) 等价无穷小量替换法(7) 洛必达法则与Taylor级数法(8) 其他(微积分性质，数列

2、与级数的性质)arctan x x2x3arcta n x x1. limzx 0 ln(12x3)2.已知xim0sin 6x xf (x)3x0,求 limx 0f(x)2 x解:limx 0sin 6x xf (x)3xlimx 06cos6x f (x)3xxy36 sin6x 2y xy limx 06x216cos6x 3y xy2163y(0)06y(0)726 -o m H X,y 厶 mo H XH XX f6372_2（洛必达）2x2x3. lim (x 1 x（重要极限）4.已知a、b为正常数,a* x bx0解：令tx 2-)llnt-I n(ax xbx)In 2li

3、m In tx 0limx 0ax3/2t (ab)3 xxx(a Ina b bInb)32（ab）（变量替换）1ln(1丁 In (cos x)x2)125. lim (cosx)ln(1 0 6)x 012解：令 t (cosx)ln(1 %),lntlim Intlim 3x 0x 0 2x1/2e（变量替换）6设 f(x)连续，f(0)0, f(0)lim 0x 02Xx2f(t)dtH 10 M（洛必达与微积分性质）ln(cosx)x 2 ,x7已知f (x)a,x 00在x=0连续，求解：令 a x叫n（cosx）/x21/2（连续性的概念）三、补充习题（作业）1.lim “1

4、xx 0 .1 x cos . x3（洛必达）12. lim ctgx(-x 0sin xx t2x e dt3. lim 0x 0 1（洛必达或Taylor）（洛必达与微积分性质）第二讲导数、微分及其应用一、理论要求1.导数与微分2微分中值定理3应用导数与微分的概念、几何意义、物理意义会求导（基本公式、四则、复合、高阶、隐、反、参数方程求导） 会求平面曲线的切线与法线方程理解 Roll、Lagrange、Cauchy、Taylor 定理会用定理证明相关问题会用导数求单调性与极最值、凹凸性、渐进线问题，能画简图 会计算曲率（半径）二、题型与解法A.导数微分的计算基本公式、四则、复合、高阶、隐函

5、数、参数方程求导1. y y(x)由 2yXarcta n t t ety25决定，求2B.曲线切法线问题2. y y(x)由ln(x2y)dydxx3ysin x决定，求 |x 0 1解：两边微分得 x=0时y y cosx y，将x=0代入等式得y=13. yy(x)由2xyx y决定，则dy |x 0(In 2 1)dx4.求对数螺线e 在（，）（e /2/2）处切线的直角坐标方程。” x解：ycossin,(x,y)|/2(0,e /2),y|/21e /25.f(x)为周期为5f(1+sinx)-3f(1-sinx)=8x+o(x)。求 f(x)在(6，f(6)处的切线方程。的连续函

6、数，它在 x=1可导，在x=0的某邻域内满足解：需求f(6), f(6)或f(1), f(1)，等式取x-0的极限有：f(1)=0limx 0f (1 sin x) 3f (1 sin x)sin xsinx tlimt 0Lf(1 t) tf(1)型C.导数应用问题4f(1)8 f(1)2 y 2(x 6)6已知 yf (x)对一切 x 满足 xf(x) 2xf(x)1 e x，若f(Xo) 0(X0 0)，求(Xo,y)点的性质。exo 10 f( 1)f(0)- f(0)-f( 1)将x=1，x=-1代入有2 *6111f(1)f(0)f(0)f(2)o x o解：令x x0代入，f(x

7、0) 飞0，故为极小值点。exo X。0, X。0Xx X/2 arctanx7. y2，求单调区间与极值、凹凸区间与拐点、渐进线。(x 1)y re 1 X解：定义域X (,1)(1,)y0驻点X0及 x 3y0拐点X0； x 1：铅垂；y x 2:斜8求函数y(X 1)e/2 arctan x的单调性与极值、渐进线。驻点x 0与x1D.幕级数展开问题渐：y(x2)与 y x9. sin(x t)2dt dx 0sin x22 2sin(x t) (x t)t)61)n (X t)2(2n 1sin(x t)2dt (x t)3t)(2n 1)!4n 1(1)n1(4n 1)(2 n 1)!

8、Xsin(x t)2 x3丄 x7033!71)nX4n1d X221补哑t)dt x(4n 1)(2 n 1)!(2n 1)(1)0丄(2n 1)! 2 sinx或：x td 02d x 22usinu ( du)sinu du sinxdx xdx 0E.不等式的证明10.求 f (x)解：x1 2 ln(1f (n) (0)11.x2 ln(1x)在xx)x2(x0处的n阶导数f (n)(0)1)o(xn 2)1)no(xn)(1)n1 n!(0,1)求证(1 x) l n 2(1 x)2x，n 2ln(1 x) x证：1)令 g(x) (1 x)ln2(1 x)x2,g(0)0g(x)

9、,g(x),g(x)2ln(10,g(0)g(0)0(1 x)x (0,1)时g(x)单调下降，g(x)0,g(x)单调下降g(x)0, g(x)单调下降，g(x) 0；得证。1 1F.中值定理问题2)令h(x) 亍 丁 (。仲匕)0,单调下降，得证。12.设函数f (x)在1,具有三阶连续导数，且f( 1)0, f (1) 1，f(0)0,求证：在(-1，1)上存在一点 ，使f( )31 2 1 3证：f (x) f (0)f(0)x f“(0)x6 f( )x两式相减：f( 1)f( 2)62!3!其中 (0,x), x 1,1三、补充习题（作业）2 213.e a b e，求证：In证：

10、Lagrange: f(b) f(a)Inf(令 f(x) In22 2In b In ax,-b a令(t)In2 b1.f(x)J,求八x2.曲线y平，1 Intt2In2 ag(bea)2 a ；(b a)e2ln20( ) (e )（关键：构造函数）Inet sin 2tt在(0,1)处切线为ye cos2t2x3. y xIn(e $(xx0）的渐进线方程为y4.证明 x0 时(x21)lnx (x 1)22证：令 g(x) (x21)In x (x 1) ,g(x),g(x),g(x)2(x21)3xg(i) g(i)o, g(i) 2 o(0,1),g(1,),g 0,g 2o,

11、g 2g(0,1), g (1, ),g00g0第三讲不定积分与定积分一、理论要求1.不定积分2.定积分掌握不定积分的概念、性质会求不定积分（基本公式、线性、凑微分、换元技巧、分部） 理解定积分的概念与性质理解变上限定积分是其上限的函数及其导数求法 会求定积分、广义积分会用定积分求几何问题（长、面、体）会用定积分求物理问题（功、弓I力、压力）及函数平均值（线性、与微分的关系）二、题型与解法A.积分计算dxx(4 x)dx(x 2)2x 2arcs in C22.e2x(ta nx1)2dx2x 2e sec xdx2 e2x tan xdx etanx CB.积分性质C.积分的应用3设 f (

12、In x)ln(1 x)x，求 f(x)dx解:4. 1f(x)dxe x ln(1arctanx ,2 dxxln(1xedx(1xe x)dx1 e(1e x)ln(1ex) C5.f(x)连续，(x)在x 0的连续性。解：f (0)(x)(0)xf(x)11 xf(x)1 arcta nx hlimxb1f (xt)dt,且 lim -_-一 x0,y xtx0 f(y)dy6. tf (x2 t2)dt dx 0dx22dx0 f(y)d(y)(x)(0)d2dx0f(x2xf(x2)7设 f (x)在0,1连续，在(0,1)上 f (x)又 f (x)与 x=1,y=0所围面积S=2

13、。求xrv)dx】ln242A，求(x)并讨论(x)x0 f(y)dyxA lim2 x 0t2)d(t2(0)A/2(0)x2)3a0,且 xf(x) f (x)x2，f (x)，且a=?时S绕x轴旋转体积最小。解: a(冲dx x3a3a2f(x)3a 2xcx1o f (x)dx 2 c 4 af (x) x2(4 1)xV(；y2dx) 0 a 58曲线y1，过原点作曲线的切线,求曲线、切线与x轴所围图形绕x轴旋转的表面积。2L解：切线y x/ 2绕x轴旋转的表面积为2 yds . 50曲线y x 1绕x轴旋转的表面积为2 _i2ydS 6(55 1)总表面积为石.、5 1）三、补充习

14、题（作业）Insinx1. 2 dxcotxInsin2x cotx x Csin xx 52. rdxx2 6x 133.arcsi n xdx第四讲向量代数、多元函数微分与空间解析几何一、理论要求1向量代数理解向量的概念（单位向量、方向余弦、模） 了解两个向量平行、垂直的条件 向量计算的几何意义与坐标表示2多元函数微分理解二元函数的几何意义、连续、极限概念，闭域性质理解偏导数、全微分概念能熟练求偏导数、全微分熟练掌握复合函数与隐函数求导法3多元微分应用4空间解析几何理解多兀函数极值的求法，会用Lagrange乘数法求极值掌握曲线的切线与法平面、曲面的切平面与法线的求法 会求平面、直线方程与

15、点线距离、点面距离、题型与解法A.求偏导、全微分1. f（x）有二阶连续偏导,zf (exsin y)满足 Zyye2xz，求f(x)解：f f 0f(u)uceC2e2. z1f (xy)y (xy),求2zxx y3. y y(x), z z(x)由z xf (x y), F(x, y,z) 0决定，求 dz/dxB.空间几何问题4.求 x /y , za上任意点的切平面与三个坐标轴的截距之和。解：x/ x y/. y。 z/, Zoa d a5曲面x2 2y2 3z221在点(1, 2,2)处的法线方程。C极值问题2226.设z z(x, y)是由x 6xy 10y 2yz z 180确

16、定的函数,求z z(x, y)的极值点与极值。三、补充习题(作业)21. z f (xy, -) g(-),求-y x x yxyz2. z f(xy, g(),求yxx3. z u ,u In x2 y2, arcta求dzx第五讲多元函数的积分、理论要求f (x, y)dxdyDbdxa2d1y2(x)y1(x)f (x, y)dyr2()r1() f(r, )rdrf(x,y,z)dzf (x, y, z)dxdydzVz22( z)r2(z,)dz1(z)d1( ) f(r,z)rdrz1r1(z,)2()r2(,)r2sin drd1()dr1(,)f(r,by2(x)z2(x,y)

17、dx dyay1(x)z1(x,y)1.重积分熟悉二、三重积分的计算方法（直角、极、柱、球）会用重积分解决简单几何物理问题（体积、曲面面积、重心、转动惯量）2.曲线积分z f （x, y） A D 1 zx z：dxdy理解两类曲线积分的概念、性质、关系，掌握两类曲线积分的计算方法L：yy(x)b少a f(x,y(x) . 1 yxdxxx(t)r 2 2L:f (x(t), y(t)xtyt dtyy(t)L : r r()f (r cos ,rsin )、r2 r2dLf(x,y)di熟悉Green公式，会用平面曲线积分与路径无关的条件理解两类曲面积分的概念（质量、通量） 、关系 熟悉Ga

18、uss与Stokes公式，会计算两类曲面积分3曲面积分S:z z(x,y)f (x, y,z)dSDxyf(x,y,z(x,y)J 丈 zydxdyGauss_SE dSVStokes： F drS(EdV（通量，散度）F） dS（旋度）二、题型与解法A.重积分计算1. I(x2y2)dv,为平面曲线02z绕z轴旋转一周与 z=8的围域。解:8dz02 2 (x2y 2y2)dxdy8dz02z 2r rdr0102432. ID 4a2x2dxdy, D 为.a2x2(a0)与x围域。（I1)3. f (x, y)2 .x y,10,其他x 2,0求 d f (x, y) dxdy, D :

19、 x22x(49/20)B.曲线、曲面积分4. I(ex siny b(x y)dx (Lexcosy ax)dyL 从 A(2a,0)沿 y2ax x2至0(0,0)IL L1 L12(2 2)ab解：令L1从O沿y2a(b a)dxdy ( bx)dxD5.|气xd葺 彎,l为以(1Q)为中心，r( 1)为半径的圆周正向L 4x y2x rcos y r sin解：取包含(0,0)的正向L1: 0LL1L L16对空间x0内任意光滑有向闭曲面S,2xxf (x)dydz xyf (x)dzdx e zdxdy 0，且 f (x)在 x0 有连续一SDLL1阶导数，lim f (x)1,求

20、f (x)。x 0解: 0: F dSsFdV (f(x) xf(x) xf(x) e2x)dVy (- 1)y e2xxxxe / x 八 y (e1)x第六讲常微分方程、理论要求1一阶方程2高阶方程3二阶线性常系数熟练掌握可分离变量、齐次、一阶线性、伯努利方程求法y pyq 0pq 01X2X12y 1c1ec2e侪次)12 y1(Sc2 x)e xiy1 ex cosxc2 sin x)y2Qn (x)e xf(x)Pn (x)e xO 2xy2Qn (x)xe(非齐次)1and 22 xy2 Qn (x)x e会求 y(n) f (x), y f(x, y)(yp(x), y” f(y

21、, y)(yp(y)f (x) e x(pi (x)cos x pj (x)sin x)iy2 ex(qn(x)cos x rn(x)sin x(非齐xi目2 xe (qn(x)cosx G(x)sin x(n max(, j)、题型与解法A.微分方程求解1. 求(3x22xyy2)dx (x2 2xy)dy 0(xy2x3c)2.利用代换y化简cosxycosx 2ysin x 3ycosxex并求通解。(u 4u ex, y s cos2x 2c2 sin x e -) cosx5 cosx3.设y y（x）是上凸连续曲线，（x, y）处曲率为1.1 y2，且过（0,1）处切线方程为y=x

22、+1 , 求y y（x）及其极值。解：y y2 10y In | cos( x) | 1412In2，ymax丄In 22三、补充习题（作业）1已知函数y y（x）在任意点处的增量y x1x2 o(x)，y(0),求y（i）。（e4)2 x2.求 y 4y e 的通解。(y c1e2xc2e2x丄 xe2x)43.求 (y . x2 y2 )dx xdy 0(x0), y(i)0的通解。（y1 , 21(x 1)2x4.求 y 2y e 0,y(0)y(0)1的特解。2x2x)e第七讲无穷级数一、理论要求1.收敛性判别级数敛散性质与必要条件常数项级数、几何级数、p级数敛散条件正项级数的比较、比

23、值、根式判别法交错级数判别法2.幕级数幕级数收敛半径、收敛区间与收敛域的求法幕级数在收敛区间的基本性质（和函数连续、逐项微积分）3.Fourier 级数Taylor 与 Maclaulin 展开 了解Fourier级数概念与Dirichlet收敛定理会求1,1 的Fourier级数与0,1 正余弦级数第八讲线性代数一、理论要求1行列式2矩阵会用按行（列）展开计算行列式几种矩阵（单位、数量、对角、三角、对称、反对称、逆、伴随） 矩阵加减、数乘、乘法、转置，方阵的幕、方阵乘积的行列式 矩阵可逆的充要条件，会用伴随矩阵求逆 矩阵初等变换、初等矩阵、矩阵等价 用初等变换求矩阵的秩与逆理解并会计算矩阵的

24、特征值与特征向量 理解相似矩阵的概念、性质及矩阵对角化的冲要条件掌握将矩阵化为相似对角矩阵的方法掌握实对称矩阵的特征值与特征向量的性质3向量理解n维向量、向量的线性组合与线性表示掌握线性相关、线性无关的判别理解并向量组的极大线性无关组和向量组的秩 了解基变换与坐标变换公式、过渡矩阵、施密特方法 了解规范正交基、正交矩阵的概念与性质4.线性方程组理解齐次线性方程组有非零解与非齐次线性方程组有解条件 理解齐次、非齐次线性方程组的基础解系及通解掌握用初等行变换求解线性方程组的方法5二次型二次型及其矩阵表示，合冋矩阵与合冋变换二次型的标准形、规范形及惯性定理掌握用正交变换、配方法化二次型为标准形的方法

25、 了解二次型的对应矩阵的正定性及其判别法第九讲概率统计初步一、理论要求1随机事件与概率了解样本空间（基本事件空间）的概念，理解随机事件的关系与运算 会计算古典型概率与几何型概率掌握概率的加减、乘、全概率与贝叶斯公式2随机变量与分布理解随机变量与分布的概念理解分布函数、离散型随机变量、连续型变量的概率密度掌握0-1、二项、超几何、泊松、均匀、正态、指数分布，会求分布函 数3二维随机变量数理解二维离散、连续型随机变量的概率分布、边缘分布和条件分布 理解随机变量的独立性及不相关概念掌握二维均匀分布、了解二维正态分布的概率密度会求两个随机变量简单函数的分布4数字特征理解期望、方差、标准差、矩、协方差、

26、相关系数的概念 掌握常用分布函数的数字特征，会求随机变量的数学期望5.大数疋理了解切比雪夫不等式，了解切比雪夫、伯努利、辛钦大数定理6数理统计概念7.参数估计8假设检验第十讲总结1.极限求解了解隶莫弗-Laplace定理与列维-林德伯格定理理解总体、简单随机样本、统计量、样本均值、样本方差及样本矩 了解 2分布、t分布、F分布的概念和性质，了解分位数的概念 了解正态分布的常用抽样分布掌握矩估计与极大似然估计法了解无偏性、有效性与一致性的概念，会验证估计量的无偏性会求单个正态总体的均值和方差的置信区间掌握假设检验的基本步骤了解单个及两个正态总体的均值和方差的假设检验变量替换（1作对数替换），洛必达法则，其他（重要极限，微积分性质，级数，等价小量替换）11. lim （x n n数）22. 冋（一arccosx）旦）（xn1/ x2.导数与微分3. lim (2 x)x 14. limx5. limx axtan2空).(xnne /2（对数替换）（几何级3(6n(X6. f (x)x-)xnna ) na(x a)21(x a)cos2x2 ,xx4, x 0xcostdt-