[VIP专享]第五章弯曲内力

1、第五章弯曲内力习 5-1 如图 5-6 所示各梁，试求指定截面（标有细线）的剪力和弯矩。图 5-6解：（ a）图 5-6a 所示为悬臂梁，不必先求支座反力。由简便方法，直接可得指定截面上的剪力和弯矩，1-1截面：，2-2截面：，（f ）如图 5-6f所示，先取简支梁为研究对象，由平衡方程求出其支座反力，由简便方法，即得指定截面上的剪力和弯矩，1-1 截面：，2-2 截面：，（ i ）图 5-6i 所示为外伸梁，但由于指定截面均位于外伸段，故不必求支座反力。由简便方法，直接可得指定截面上的剪力和弯矩，1-1 截面：，2-2 截面：，习 5-2 试建立习题5-2 图所示各梁的剪力方程和弯矩方程，绘

2、制剪力图和弯矩图并确定| FS |max 和 |M|max 。习题 5-2 图解： （ d）图（ d）所示为悬臂梁，无需求支座反力。如图 d 所示，在距梁左端A 为 x 处任取一截面，由简便方法，列出其剪力方程、弯矩方程分别为（ 0xl ）根据剪力方程、弯矩方程，作出该简支梁的剪力图和弯矩图如图d 所示。由图可得（ i）如图（ i）所示习题 5-2 图先取外伸梁AC 为研究对象，由平衡方程求出其支座反力根据梁上外力情况，需分AB 、 BC 两段建立其剪力方程和弯矩方程。在距梁左端A 为 x处任取一截面，由简便方法，列出其剪力方程、弯矩方程分别为AB 段：BC 段：根据剪力方程、弯矩方程，分段作

3、出该简支梁的剪力图和弯矩图如图i 所示。由图可得习 5-3 如图 5-8 所示各梁，试利用弯矩、剪力和载荷集度间的关系作剪力图和弯矩图。图 5-8解：（ a）图 5-8a 所示为悬臂梁，无需求支座反力。根据梁上外力情况，作图时应分为 、 两段。利用弯矩、剪力和载荷集度间的关系，作出其剪力图和弯矩图如图 5-8a 所示。（b ）如图 5-8b 所示，先取简支梁为研究对象，由平衡方程求出其支座反力，根据梁上外力情况，作图时应分为作出其剪力图和弯矩图如图5-8b所示。、两段。利用弯矩、剪力和载荷集度间的关系，（ j ）如图 5-8j 所示，先取简支梁为研究对象，由平衡方程求出其支座反力，根据梁上外力

4、情况，作图时应分为 、 两段。利用弯矩、剪力和载荷集度间的关系，作出其剪力图和弯矩图如图 5-8j 所示。习 5-5 试选择合适的方法作出简支梁在图 5-10 所示四种载荷作用下的剪力图和弯矩图，并比较其最大弯矩值。试问由此可以引出哪些结论？图 5-10解：在如图5-10 所示四种载荷作用下，由对称性易知，简支梁的支座反力相等，均为利用弯矩、剪力和载荷集度间的关系，分别作出该简支梁在四种载荷作用下的剪力图、弯矩图如图 5-10a 、b 、 c、 d 所示，其最大弯矩值分别为，由此可见，将载荷分散作用于梁上，可减小梁内的最大弯矩值，从而提高梁的承载能力。习 5-6 试作出习题5-6 图所示刚架的

5、弯矩图。解：（ a）如图 a 所示刚架一端固定、一端自由，无需支座反力。根据刚架的结构和所受外力情况，应分为CB 、BA两段来绘制其弯矩图。CB段：其上没有分布载荷，弯矩图为斜直线，作图需2 个控制点。由截面法或简便方法，得其两端截面上的弯矩BA 段：弯矩图为斜直线，作图需2 个控制点。弯矩在B 端处连续，即有再由截面法或简便方法，得其下端A 截面上的弯矩综上所述，即可作出该刚架的弯矩图如图b 所示。习 5-7 试选择适当方法作出图5-12 所示各梁的剪力图和弯矩图，并确定与。图 5-12解：（d ）如图 5-12d 所示，选取简支梁为研究对象，由对称性得其支座反力利用弯矩、剪力和载荷集度间的

6、关系，作出其剪力图和弯矩图如图5-12d 所示。由图可得，第六章弯曲应力习 6-1 对称 形截面如图 6-5 分对水平形心轴 的静矩；（所示，已知、2 ）问 轴以上部分面积对、 、 。（ 1）求阴影部轴的静矩与阴影部分对 轴的静矩有何关系？解：（ 1）确定形心位置如图 6-5 所示，将整个 形截面分割为上、下两个矩形，根据平面图形的形心坐标计算公式，得其形心坐标（2 ）求阴影部分对轴的静矩将阴影部分分割为上、下两个矩形（见图6-5 ），由公式（ 6-3 ），得其对轴的静矩（ 3 ）由于整个 形截面对形心轴 的静矩为零，由此推断， 轴以上部分面积对 轴的静矩与阴影部分对 轴的静矩互为相反数，即二

7、者大小相等，正负号相反。习 6-3 如图 6-7a 所示，简支梁承受均布载荷作用。若分别采用截面面积相等的实心和空心圆截面，且，试分别计算它们的最大正应力并比较其大小。解：（ 1）计算空心圆内、外径据题意，实心圆与空心圆的面积相等，即有代入已知条件，解得空心圆的内、外径分别为，（2 ）确定最大弯矩作出梁的弯矩图如图6-7b 所示，可知梁的最大弯矩（ 3 ）计算最大正应力并比较大小对于实心圆截面梁，其最大正应力对于空心圆截面梁，其最大正应力比较二者大小即相对于实心圆截面梁，空心圆截面梁的最大正应力减小了习 6-4 矩形截面悬臂梁如习题 6-4 图（ a）所示，已知。L=4m ，b/h=2/3，

8、q=10kN/m， =10MPa。试确定梁的横截面尺寸。习题 6-4 图解：（ 1）作弯矩图，确定最大弯矩作出梁的弯矩图如习题6-4 图（ b ）所示，可见其最大弯矩（ 2 ）强度计算根据弯曲正应力强度条件习 6-5 20a 号工字钢简支梁的受力情况如图6-9a 所示。已知许用应力，试求许可载荷。解：（ 1）作弯矩图，确定最大弯矩作弯矩图如图6-9b 所示，可见、截面同为危险截面，其处最大弯矩（2 ）强度计算查型钢表得20a 工字钢的抗弯截面系数。根据弯曲正应力强度条件解得所以，许可截荷习 6-7量如图 6-11a 所示，简易吊车梁 为一根 45a 工字钢，梁自重，材料的许用应力 ，试对该梁进

9、行强度校核。，最大起吊重解：（ 1）求支座反力选取梁为研究对象，作出其受力图如图6-11a所示，由对称性得支座反力（2 ）作弯矩图，确定最大弯矩作弯矩图如图6-11b 所示，可见危险截面位于梁的跨中，其处最大弯矩（3 ）强度校核查型钢表得号工字钢的抗弯截面系数。根据弯曲正应力强度条件所以，该梁的强度满足要求。习 6-9形截面悬臂梁的长度、横截面尺寸以及所受载荷如图6-13a所示。已知，截面对形心轴的惯性矩；梁的材料为铸铁，许用拉应力，许用压应力。试按强度条件确定梁的许用载荷。解：（ 1）作弯矩图，确定最大弯矩作梁的弯矩图如图6-13b 所示，可见正、负弯矩的最大值分别在、截面取得，为，（2 ）

10、强度计算此梁为脆性材料，横截面关于中性轴又不对称，故需分别对最大正弯矩和最大负弯矩所在的两个截面进行强度计算。截面：弯矩 为正值，故其上的最大拉、压应力分别发生在截面的下、上边缘处。由拉应力强度条件解得由压应力强度条件解得截面 ： 弯矩 为负值，故其上的最大拉、压应力分别发生在截面的上、下边缘处。显然只需考虑拉应力强度条件，由解得综上所述，梁的许用载荷为习 6-13 如图 6-17 所示矩形截面简支梁，试计算11截面上 点和点的正应力和切应力。解：（ 1）求支座反力选取梁为研究对象，作出其受力图如图6-17 所示，由平衡方程得其支座反力，（2 ）确定 11截面上剪力和弯矩用截面法或简便方法，得

11、11截面上剪力、弯矩分别为，（3 ）计算 11截面上点和点的正应力11截面上的弯矩为正值，故截面中性轴以上部分受压、以下部分受拉。根据弯曲正应力计算公式，得 点、 点的正应力分别为（4 ）确定 11截面上点和 点的切应力根据公式（ 6-20 ），得 11截面上点、 点的切应力分别为习 6-17 梁的受力情况与截面尺寸如图6-21a 所示。已知惯性矩，试求最大拉应力和最大压应力，并指出最大拉应力和最大压应力的所在位置。图 6-21解：（ 1）求支座反力由对称性可知，梁的支座反力（见图6-21a ）（2 ）确定最大弯矩作出弯矩图如图621b所示，可见正、负弯矩的最大值分别在、 （）截面处取得，其大

12、小相等，为（3 ）求最大拉应力和最大压应力根据弯矩的正负号不难判断，梁的最大拉应力发生在（ ）截面的上边缘处；最大压应力发生在截面的上边缘处，其大小相等，即有习 6-20 矩形截面外伸梁如习题 6-20 图所示，已知 q=20kN/m ， Me=40kN m ，材料的许用应力 =170MPa 、 =100MPa 。试确定该梁的截面尺寸。习题 6-20 图解： （ 1）求支座反力选取外伸梁AC 为研究对象，作受力图如习题6-20 图 a 所示，由平衡方程得其支座反力(2) 作剪力图和弯矩图，确定最大剪力和最大弯矩作出梁的剪力图、弯矩图分别如习题6-20 图 b、 c 所示，其最大剪力、最大弯矩分

13、别为（ 3 ）由弯曲正压力强度条件确定截面尺寸根据弯曲正压力强度条件解得由弯曲正压力强度条件初选（ 4 ）弯曲切应力强度校核根据弯曲切应力强度条件，有符合切应力强度要求。所以，可以确定梁的截面尺寸为第七章弯曲变形习题 7-5 用积分法求图 7-9 所示各悬臂梁的挠曲线方程以及自由端的挠度和转角。设梁的为常量。图 7-9解：（ a）如图 7-9a 所示，悬臂梁的弯矩方程为将上述弯矩方程依次带入公式（7-5 ）、（ 7-6 ）积分，得转角方程（a ）和挠曲线方程（ b）梁的位移边界条件为，将式（ a）、（ b）代入上述位移边界条件，可得关于积分常数的2 个代数方程，联立解之，即得 2 个积分常数，

14、再将所得积分常数回代式（a）、（ b），整理即得该梁的转角方程（ c）和挠曲线方程（d ）最后，将带入式（ c）、（ d），得自由端的挠度和转角分别为，（ b ）如图 7-9b 所示，分段列出梁的弯矩方程段（ ）：段（）：将上述弯矩方程分别依次带入公式（7-5）、（ 7-6）积分，得转角方程段（ ）：（ a）段（ ）：（ b ）和挠曲线方程段（ ）：（ c）段（ ）：（ d ）该梁的位移边界条件为，位移连续条件为，将式（ a）、（ b）、（ c）、（ d ）代入上述位移边界条件和位移连续条件，可得关于积分常数的 4 个代数方程，联立解之，即得4 个积分常数依次为，再将所得积分常数回代到式（a

15、）、（ b ）、（ c）、（ d ）中，整理得该梁的转角方程段（ ）：（ e）段（ ）：（ f）挠曲线方程段（ ）：（ g ）段（ ）：（ h ）最后，将带入式（ g ）、（ e ），得自由端的挠度和转角分别为，习题 7-7 用叠加法计算图711a 所示悬臂梁截面的挠度和转角。设梁的为常量。解： 如图 7-11b 所示，在均布载荷单独作用下，横截面的转角和挠度由表查出，分别为，如图 7-11c 所示，在力偶单独作用下，横截面的转角和挠度由表查出，分别为，由图 7-11c 所示几何关系，得在力偶单独作用下横截面的转角和挠度，将以上结果叠加，即得在均布载荷和力偶共同作用下，截面的挠度和转角习题 7

16、-12 试用叠加法计算图 7-16 所示各种外伸梁的外伸端 C的挠度和转角。设梁的 EI 为常量。图 7-16解：（b）将图 7-16 所示外伸梁分解为如图7-16b1 、b2 和 b3 三种情况的叠加。查表得，截面C的转角分别为截面 C 的挠度分别为将上述所得结果叠加，即得图7-16b 所示外伸梁的外申端C 的挠度和转角习题 7-16 一工字钢简支梁受力如习题7-16 图所示，若许用应力 =160MPa，许用挠度 =L/400 ，材料的弹性模量E=210GPa，试选择工字钢的型号。习题 7-16 图解：（ 1）强度计算作出梁的弯矩图如图7-20b 所示，其最大弯矩根据梁的正应力强度条件，有代

17、入数据，解得（ 2）刚度计算此梁的最大挠度发生在跨中截面 C，查表得根据梁的刚度条件，有代入数据，解得根据上述计算结果查型钢表，可选择No.20a 工字钢，其抗弯截面系数对中性轴的惯性矩，同时满足梁的强度和刚度要求。习题 7-21 计算图 7-25a 所示梁的支座反力，并作梁的弯矩图，确定。设梁的为常量。解：（ 1）解除多余约束这是一次超静定问题，将处活动铰支座视为多余约束。解除该处约束，以相应的约束力代之作用，得到原静不定梁的相当系统，如图725b 所示。2）建立变形协调条件变形协调条件为支座处的挠度等于零，即（3 ）建立补充方程由叠加法计算相当系统的，得补充方程（ 4 ）求解多余约束力由上

18、述补充方程，解得多余约束力（ 5 ）作梁的弯矩图根据相当系统作出梁的弯矩图如图725c 所示，可见其最大弯矩为作出梁的弯矩图如图726c 所示，由图可见，其最大弯矩为习题 7-24 如习题 7-24 图所示，受有均布载荷 q 作用的钢梁 AB，一端固定，另一端用钢拉杆BC系住。钢梁的搞弯刚度为 EI ，钢拉杆的抗拉钢度为 EA，尺寸 h,L 均为已知，试求钢拉杆 BC的内力。习题 7-24 图解：（ 1）解除多余约束这是一次超静定问题，视右端拉杆为多余约束。解除该处约束，以相应的约束力代之作用，得到原超静定梁 AB的相当系统，如图7-28b 所示。（2）建立变形协调条件变形协调条件为梁AB端点

19、 B 的挠度等于拉杆BC的轴向伸长，即（3）建立补充方程用叠加法计算，得补充方程（ 4）解除多余约束力由上述补充方程，解得多余约束力，即钢拉杆 BC的内力第八章 应力状态与强度理论习题 8-1 构件受力如图8-8 所示。（ 1）确定危险截面和其上危险点的位置；（2）用单元体表示各危险点的应力状态，并写出各应力的计算式。图 8-8解： （ d）图 8-8d 中圆杆承受弯曲与扭转组合变形，固定端截面上弯矩最大，为危险截面。固定端截面的上边缘点 （或下边缘点 ）处的弯曲正应力和扭转切应力均取得最大值，为危险点（见图 8-8d ）。危险点 的单元体如图 8-8d1 所示，为二向应力状态，其上应力，习题

20、 8-2 试求图 8-10a 所示县臂梁爱载荷F=10kN作用，试绘制A 点处的应力单元体应力状态图。并确定主应力的大小和方位。图 8-10解： （ 1）截取单元体围绕点 A 截取单元体如图8-10b 所示，为二向应力状态，其四侧面上的应力（2 ）计算主应力和主方向采用解析法，根据式（8-4 ），得面内正应力极值所以单元体的主应力由式（ 8-3 ），得主平面方位角习题 8-3 已知应力状态如图8-11 所示（图中应力单位为），试用解析法计算图中指定截面的正应力与切应力。图 8-11 （ d ）解：（ d）在图 8-11d 所示单元体中，同理得指定截面上的正应力、切应力分别为，、习题 8-4 已

21、知应力状态如图8-12 所示（图中应国各单位为MPa ），试用解析法（1）确定主应力和主方向，并在单元体上绘制出主平面的位置以及主应力的方向；（2 ）计算最大切应力。图 8-12解： （ b）在图 8-12b 所示单元体中，根据式（ 8-4 ），得面内正应力极值所以主应力由式（ 8-3 ），得主平面的方位角主应力单元体如图8-13b 所示。由式（ 8-12 ），得最大切应力图 8-13（ d ）在图 8-12d 所示单元体中，同理得，主应力主平面方位角主应力单元体如图8-13d 所示。最大切应力习题 8-5 用图解法求解题8-3 。图 8-11 （ d）解： （ d）在图 8-11d 所示单元

22、体中，1. 作应力圆如图 8-14d 所示，按选定比例尺，由，确定点，由，确定点；作的垂直平分线，交轴于点；以点为圆心，以（或）为半径作应力圆。图 8-14 （ d） 确定指定截面的应力将半径 顺时针旋转 至 处，所得点 的横坐标、纵坐标即为指定 截面上的正应力、切应力，按选定比例尺量得，习题 8-6 用图解法求解习题8-4 。图 8-12解：（ b）在图 8-12b 所示单元体中，1. 作应力圆2.3.图 8-15如图 8-15b 所示，按选定比例尺，由， 确定点，由，确定点；连接，交 轴于点；以点为圆心，以（或）为半径作应力圆。 确定正应力和主方向由应力圆，按选定比例尺量得，主应力另一个主应力由于在应力圆上，逆时针旋转至 CB 处，所以在单元体上，将x 轴逆时针旋转，即得所在主平面的外法线（见图8-13b ）。图 8-13确定最大切应力此时，最大切应力即为应力圆的半径，故由应力圆，按选定比例尺量得，最大切应力（d ）在图 8-12d 所示单元体中， 作应力圆如图 8-15d 所示，按选定比例尺，由， 确定点，由， 确定点；连接，交 轴于点；以点为圆心，以（或）为半径作应力圆。 确定正应力和主方向由应力圆，按选定比例尺量得，主应力另一个主应力由于在应力圆上，顺时针旋转至 CA 处，所以在单元体上，将x 轴顺时针旋转，即得所在主平面的外法线（见图8-13d ）。确定最大切应力