电磁场及电磁波1

1、第1章 矢量分析矢量分析是研究电磁场在空间的分布和变化规律的基本数学工具。第1章矢量分析2本章学习内容本章学习内容n1.1矢量代数n1.2 三种常用的正交坐标系 n1.3 标量场的梯度标量场的梯度n1.4 矢量场的通量与散度矢量场的通量与散度n1.5 矢量场的环流和旋度矢量场的环流和旋度n1.6 无旋场与无散场n1.7 拉普拉斯运算拉普拉斯运算与格林定理n1.8 亥姆霍兹定理亥姆霍兹定理n本意小结本意小结*第1章矢量分析3本章的学习重点本章的学习重点n场的概念n标量场的梯度n矢量场的散度和旋度n拉普拉斯运算n亥姆霍兹定理*第1章矢量分析4本章的基本要求本章的基本要求n理解场场的概念,了解描述标

2、量场的等等值面值面和描述矢量场的矢量线矢量线的概念。n深刻理解梯度梯度、散度散度、旋度和旋度和拉普拉拉普拉斯运算斯运算的概念，并掌握其计算公式。n熟练掌握高斯定理高斯定理和斯托克斯定理斯托克斯定理。n理解亥姆霍兹定理姆霍兹定理的重要性。*第1章矢量分析51.1矢量代数n标量标量 仅有数值大小数值大小特征的量。 例如电压u、电荷量q、质量m、 能量W等等都是标量。 有明确物理意义的量(物理量物理量)都 必须被赋予“物理单位”。*第1章矢量分析61.1矢量代数n矢量矢量n同时具有数值大小和方向数值大小和方向特征的量。 如电场强度 E、磁场强度 H、作用力 F 、速度 v 等等。n用带有矢量符号的字

3、母 或黑体字母 F 来表示矢量。F*第1章矢量分析71.1矢量代数n矢量的大小：模模 A或 |A|n矢量的方向：单位矢量单位矢量eA=A/A (矢量可表示为：A= A eA)n常矢量常矢量：大小和方向均不变的矢量。n注意：单位矢量单位矢量不一定是常矢量。 *第1章矢量分析81.1矢量代数n矢量的几何表示矢量的几何表示n带有箭头的直线段，n长度表示模，方位表示方向。*第1章矢量分析91.1矢量代数n矢量的加法和减法矢量的加法和减法 矢量D可按平行四边形法则或三角形法则求得交换律结合律 B A D ABBA()()ABCABCDAB*第1章矢量分析101.1矢量代数n矢量的减法矢量的减法 式中(-

4、B)的大小与B的 大小相等，但方向与B相反。 A-B 同样可按平行四边形法则或三角形法则求得。 B A A B B () ABAB*第1章矢量分析111.1矢量代数n矢量的乘法矢量的乘法n标量和矢量相乘 C=k A 若k0，则C与A同方向； 若k0, 则该点有正通量源。 当divF0, 则该点有负通量源。 当divF=0, 则该点无通量源。(a) divF0(b) divF0(c) divF0*第1章矢量分析981.4 矢量场的通量与散度n散度的定义与坐标系无关、与闭合面的形状无关，但在不同坐标系中的计算式不一样。n散度在直角坐标系中的计算式=yxzFFFxyzFdiv *第1章矢量分析99n

5、直角坐标系中散度计算式直角坐标系中散度计算式的推导的推导取包围P（x0、y0、z0）点的体积微元V 为一直平行六面体，则oxyzzxyP1.4 矢量场的通量与散度123456dd()() ()SxxyyzzFy zFy zFx zFx zFx yFx y FSFS前后左右上下*第1章矢量分析100侧面很小，可认为各点的Fx是相等的。穿出前、后两侧面的净通量值为000000000000,000000,(,),22(,),22xxxxyzxxxxyzFxxF xyzFxyzxFxxF xyzFxyzx000000(,)(,)22xxxFxxF xyzF xyzy zx y zx 1.4 矢量场的通

6、量与散度按泰勒级数在P点展开，略去高次项：*oxyzzxyP453612第1章矢量分析101根据定义，则得到直角坐标系中的散度 表达式为 同理可得穿出另两组侧面的净通量，并求和，即得由点P 穿出该六面体的净通量为dyxzSFFFx y zxyz FS0ddiv limySxzVFFFVxyzFSF1.4 矢量场的通量与散度*第1章矢量分析1021.4 矢量场的通量与散度矢量场三分量沿对应坐标对应坐标的变化率之和。利用算符，将上式改写为div () ()xyzxxyyzzFFFxyz FeeeeeeF*=yxzFFFxyzFdiv 第1章矢量分析1031.4 矢量场的通量与散度n在圆柱坐标系中散

7、度的计算式n在球坐标系中散度的计算式(哈密顿算符的矢量运算规则仅限于直角坐标。)11()zFFFzF22111()(sin)sinsinrFr FFrrrrF*第1章矢量分析1041.4 矢量场的通量与散度n散度散度定理定理(高斯定理) 矢量场的散度在体积 V 上的积分等于矢量场在包围该体积闭合面 S 的通量，即ddVSVFFSSV*第1章矢量分析1051.4 矢量场的通量与散度n散度定理的证明散度定理的证明： 如图所示，将闭合面包围的体积V分成许多体积元 dV1、dV2、，计算每个体积元的小闭合面Si（i=1,2,）上的通量，然后叠加。 e1=-e2e1e2*第1章矢量分析1061.4 矢量

8、场的通量与散度 由于相邻两体积元公共表面上的通量等值异号，求和时互相抵消。 由散度的定义可得 故即定理得证。12dddSSSFSFSFSdd (1,2,)iiSVi FSF12ddddSVVVV FSFFF*第1章矢量分析1071.4 矢量场的通量与散度n散度散度定理的意义定理的意义n在数学上，它表示体积分与面积分的积分变换关系。是矢量分析中的一个重要的恒等式。n在物理上，反映了矢量场场在闭合曲面上的通量通量与其内部的通量源总量通量源总量的关系。这在电磁理论中非常有用。 *第1章矢量分析1081.4 矢量场的通量与散度n矢量场的通量和散度在电磁场中的应用示例n 介质中的静电场有 由散度定理可得

9、SVddVD SD*1.4 矢量场的通量与散度n电流连续性方程由散度定理可得第1章矢量分析109ddSVVt JS0tJ*1.4 矢量场的通量与散度n闭合面闭合面S内内的极化电荷量的极化电荷量由散度定理可得n恒定磁场的磁通量恒定磁场的磁通量由散度定理可得第1章矢量分析110dPSq PSP P*( ) d0SB rS( )=0 B r第1章矢量分析1111.4 矢量场的通量与散度n要点：要点： vd ddssSVV场源（通量源、标量源）为边界的 内的通量源总量场点的通量源强度（体密度）反映源的空间分布，与矢量场在空间的变化相联系二者的联系F rFSFFSF*第1章矢量分析1121.4 矢量场的

10、通量与散度n散度的有关公式0fffff 为常矢为常量CCCCFFFFFFGFG*第1章矢量分析1131.4 矢量场的通量与散度n例题P20例1.4.2n思考题 P30 1.7、1.8n习题P32 1.18*第1章矢量分析1141.5 矢量场的环流和旋度n矢量场的两种源n矢量场的环流量（闭合线的积分）n矢量场的环流面密度n矢量场的旋度（环流源的密度）n矢量场的斯托克斯定理n矢量场的两个恒等式*第1章矢量分析1151.5 矢量场的环流和旋度n矢量场的两种源矢量场的两种源：n通量源通量源 (标量源标量源)产生的矢量场对于所在空间中任一闭合曲面的积分（通量）一般不为零。其矢量线不闭合（发散或汇聚的），

11、称为发散场。n环流源环流源 (矢量源矢量源)产生的矢量场对于所在空间中任一闭合路径的积分(环流)一般不为零。其矢量线闭合，称为旋涡场。*第1章矢量分析1161.5 矢量场的环流和旋度n矢量场的环流矢量场的环流（矢量场的线积分）矢量场F沿有向闭合路径C的环流式中，为F与dl间的夹角。矢量矢量F沿有向闭合路径沿有向闭合路径 C 的线积分的线积分为代数量，可以用来描述矢量场的可以用来描述矢量场的旋涡旋涡特性。特性。dlFCdcos dCCFlFl*第1章矢量分析1171.5 矢量场的环流和旋度n环流在直角坐标系中的计算式由得xxyyzzxyzxyzCCFFFddxdydzdF dxF dyFdzF

12、=e+e+ele+e+eFl+*第1章矢量分析1181.5 矢量场的环流和旋度n环流的物理意义环流的物理意义n矢量场为质点在空间各点所受到的力力为力作的功(可正、负或零)。n矢量场为空间各点的非静电场非静电场为回路上的电动势。dCFldCFl*第1章矢量分析1191.5 矢量场的环流和旋度n与矢量场的环流有关的源称为旋涡源（矢量源）旋涡源（矢量源）。(如电流是磁感应强度矢量的旋涡源。)n矢量源产生的矢量场的矢量线是闭合闭合的（旋涡场）。*第1章矢量分析1201.5 矢量场的环流和旋度n环流由通过以闭合路径为边界的曲面的旋涡源的总量确定。如恒定磁场中有n环流环流给出了矢量场与穿过积分回路所围曲面

13、的旋涡源的总量总量的整体关系。n为了给出空间各点点矢量场与该点旋涡源旋涡源分布之间的局部关系，引入旋度的概念。0( , , ) d( , , ) dCSx y zx y zBlJS*第1章矢量分析1211.5 矢量场的环流和旋度n环流环流(rotation)面密度面密度 取极限过程中保持面元法线方向。其值与回路的形状无关，对应单位面积边界上的环流量。环流面密度与点M和面元的法线方向en有关（此特性类似于方向导数）。0drotlimCnSS FlFSCMFne*面元法线方向与回络绕行方向服合右手螺旋关系。第1章矢量分析1221.5 矢量场的环流和旋度n矢量场的旋度n矢量场在点M处的旋度是一个矢量

14、，记作rotF，其方向沿着使环流面密度取得最大值的面元法线方向、大小等于该环流面密度最大值，即 比较： 式中，en是环流面密度取得最大值的面元法线单位矢量。maxrotrotnnFeF*maxgrad luule第1章矢量分析1231.5 矢量场的环流和旋度n旋度旋度与沿任一方向的环流面密度环流面密度的关系 矢量场在点M处沿方向 en的 环 流 面 密 度rotnF等于rotF在该方向上的投影，即 rotrotnnFeF 图 1.5.3 rotF在面元矢量上的投影 C S dl rotF rotnF ne *第1章矢量分析1241.5 矢量场的环流和旋度n旋度的性质旋度的性质n矢量场的旋度仍是

15、一个矢量场，称为矢量场的旋度场。n矢量场在某点的旋度就是该点的旋涡源最大面密度矢量。n矢量场在某点沿某方向的环量面密度等于该点的旋度在该方向上的投影。*第1章矢量分析1251.5 矢量场的环流和旋度n旋度计算式的推导旋度计算式的推导 旋度是一个矢量，在直角坐标中可表示为下面先计算分量即面元法向沿x坐标轴的环流面密度rotrotrotrotxxyyzzFeFeFeFrotxF*第1章矢量分析1261.5 矢量场的环流和旋度在直角坐标系中，如图所示的矩形面元，沿回路C（绕行方向如图所示）的积分为 xxxSy z ee oyz yCMzx123412341234ddddd( )( )Cllllyzy

16、zFyFzFyFzFlFlFlFlFl*第1章矢量分析127而而 而而有有1.5 矢量场的环流和旋度1234()2()2()2()2yyyMzzzMyyyMzzzMFzFF MzFyFF MyFzFF MzFyFF Myoyz yCMzx1234d()yzCFFy zyz Fl*第1章矢量分析1281.5 矢量场的环流和旋度n故n类似地，可得到01rotlimdxyzxCSxFFSyzFFl001rotlimd1rotlimdyzxzyCSyyxzCSzFFSzxFFSxyFFlFFl*第1章矢量分析1291.5 矢量场的环流和旋度n旋度在直角坐标系中的计算式旋度在直角坐标系中的计算式n旋度运

17、算也表示与矢量场的空间变化有关。旋度运算也表示与矢量场的空间变化有关。rot()()()yyxxzzxyzxyzxyzFFFFFFyzzxxyxyzFFFFeeeeee*第1章矢量分析1301.5 矢量场的环流和旋度n沿任一面法线方向沿任一面法线方向 上的环流面密度上的环流面密度比较：沿任一方向比较：沿任一方向coscoscosnxyzeeeerot()cos()cos()cosnnyyxxzzFFFFFFyzzxxy FF ecoscoscoslzuuluuuxyz ee*coscoscoslxyzeeee第1章矢量分析1311.5 矢量场的环流和旋度n例如：流速场例如：流速场V= Vx(y

18、)exrot()xzVyVerot()()()yyxxzzxyzFFFFFFyzzxxyFeeexyz*第1章矢量分析1321.5 矢量场的环流和旋度利用哈密顿算符将改写为rot() ()xyzxxyyzzFFFxyz FeeeeeeFrot()()()yyxxzzxyzFFFFFFyzzxxyFeee*第1章矢量分析1331.5 矢量场的环流和旋度n在圆柱坐标系中旋度的计算式为 ()11()()1zzzzzFFFFFFzzzFFFFeeeeee*第1章矢量分析1341.5 矢量场的环流和旋度n在球坐标系中旋度的计算式为21(sin)sin()()111sinsin1sinsinrrrrrFF

19、rrFrFFFrrrrrrrrFrFrFFeeeeee*第1章矢量分析1351.5 矢量场的环流和旋度n斯托克斯定理斯托克斯定理n矢量场沿闭合路径的线积分等于矢量场的旋度在该闭合路径包围的曲面上的积分。ddCSFlFSCS*第1章矢量分析1361.5 矢量场的环流和旋度n斯托克斯定理的证明斯托克斯定理的证明 如图将曲面S划分成许多小面元。对包围每一个小面元的闭合路径计算环流，相邻小回路在公共边界上积分由于线段元矢量方向相反而抵消，结果有12dddCCCFlFlFlc*第1章矢量分析1371.5 矢量场的环流和旋度 由旋度的定义，对每个小回路有 则即定理得证。1122n11n22drotdddr

20、otddCCSS FlFFSFlFFS12ddddCSFlFSFSFS*第1章矢量分析1381.5 矢量场的环流和旋度n斯托克斯定理的意义斯托克斯定理的意义n数学上，给出了线积分与曲面积分之间的积分变换关系。这也是矢量分析中的一个重要的恒等式 。n物理上，反映了闭合路径上的矢量场环流与穿过闭合路径所围面积的旋涡源（矢量源）总量之间的关系。这在电磁理论中有重要应用。 *第1章矢量分析1391.5 矢量场的环流和旋度n矢量场的环流和旋度在电磁场矢量场的环流和旋度在电磁场中的应用示例中的应用示例n恒定磁场中有恒定磁场中有 由斯托克斯定理可得由斯托克斯定理可得CSddHlJSHJ*1.5 矢量场的环流

21、和旋度n穿过穿过曲面S的磁化电流由斯托克斯定理可得由斯托克斯定理可得*第1章矢量分析140dMCIMlM JM1.5 矢量场的环流和旋度n静电场中有静电场中有由斯托克斯定理可得由斯托克斯定理可得*第1章矢量分析1410Ed0CEl第1章矢量分析1421.5 矢量场的环流和旋度 ccsdCSdd 场源（旋涡源、矢量源）穿过以 为边界的 的旋涡源总量各点的旋涡源强度(最大环流面密度） 反映源的空间分布， 与矢量场在空间的变化相联系。二者的关系F rFlFFlFS要点：要点：*第1章矢量分析1431.5 矢量场的环流和旋度n旋度的另一种定义旋度的另一种定义n旋度定理旋度定理比较：散度定理0dlimS

22、VVSFFddVSVFSFddVSVFFS*第1章矢量分析1441.5 矢量场的环流和旋度n旋度有关的公式旋度有关的公式GFFGGFGFGFFFFCCCCfffff为常矢量0*第1章矢量分析1451.5 矢量场的环流和旋度n两个重要的恒等式两个重要的恒等式n矢量场旋度的散度恒等于零矢量场旋度的散度恒等于零。证明：()0A()() ()()()()()()0yyxxzzxyzxyzyyxxzzAAAAAAxyzyzzxxyAAAAAAxyzyzxzxy Aeeeeee*第1章矢量分析1461.5 矢量场的环流和旋度根据这一性质可导出下面结论：如果则可令 即一个散度处处为零的矢量场一个散度处处为零

23、的矢量场 F，可以表示为另一矢量场可以表示为另一矢量场A的旋度。的旋度。 矢量场A称为无散场F的矢量位函数，简称矢量位矢量位。0F FA*1.5 矢量场的环流和旋度n恒定磁场中由于可引入矢量磁位可以通过间接求解方法简化恒定磁场问题求解。比较：*第1章矢量分析1470BBA2 HJ2 AJ第1章矢量分析1481.5 矢量场的环流和旋度n标量场梯度的旋度恒等于零。证明()0u 222222()() ()()()()0 xyzxyzxyzuuuuxyzxyzuuuuuuy zz yz xx zx yy x eeeeeeeee*第1章矢量分析1491.5 矢量场的环流和旋度由这一性质可导出下面结论：如

24、果则可令即一个旋度处处为零的矢量场一个旋度处处为零的矢量场F，可可以表示为另一标量场以表示为另一标量场u的梯度。的梯度。函数u称为无旋场F的标量位函数，简称标标量位量位。 0Fu F*1.5 矢量场的环流和旋度n在静电场中由于可引入标量电位可以通过间接求解方法简化静电场问题求解。比较：*第1章矢量分析1500E E rr21E 2 rr第1章矢量分析1511.5 矢量场的环流和旋度 0,0FF0.0FF0,0FF0,0FF*第1章矢量分析1521.5 矢量场的环流和旋度n旋度与散度的区别旋度与散度的区别：n旋度是矢量，而散度是标量。n旋度与产生矢量场的旋涡源(矢量)相联系，而散度与产生矢量场的

25、通量源(标量）相联系。*第1章矢量分析1531.5 矢量场的环流和旋度n旋度与各场分量在与其垂直的方向上的变化有关; n散度与各场分量沿各自方向上的变化有关。()()()yyxxzzxyzFFFFFFyzzxxyFeee=yxzFFFxyzF*第1章矢量分析1541.5 矢量场的环流和旋度n场空间变化（场空间变化（局域局域）的描述）的描述（揭示场与场源之间的关系）n标量场： 梯度方向导数(最大)n矢量场： 散度通量体密度 旋度环流量面密度(最大)*第1章矢量分析1551.5 矢量场的环流和旋度n标量函数在空间的变化：梯度（从标量函数导出的矢量函数）n矢量函数在空间的变化：散度（从矢量函数导出的

26、标量函数）旋度（从一个矢量函数导出的另一矢量函数）n只有在场函数连续的区域内在场函数连续的区域内，梯度、旋度和散度才有意义。*第1章矢量分析1561.5 矢量场的环流和旋度n例题P25例1.5.1n思考题 P31 1.9、1.10n习题 P32 1.21、1.23*第1章矢量分析1571.7 拉普拉斯运算与格林定理n标量场的拉普拉斯运算n矢量场的拉普拉斯运算n标量场的格林定理n矢量场的格林定理*第1章矢量分析1581.7 拉普拉斯运算与格林定理n拉普拉斯运算拉普拉斯运算 对标量场标量场 u 的梯度求散度: (u) 称为标量场 u 的拉普拉斯运算， 记为 2u 2称为拉普拉斯算符。 (标量场 u

27、 的拉普拉斯运算2u与标量场的源有直接联系。) *1.7 拉普拉斯运算与格林定理n电位的微分方程由得比较：电场的微分方程*第1章矢量分析159 E rr D rr 2 rr在有源区，此方程求解较电场的微分方程简单。 21E第1章矢量分析1601.7 拉普拉斯运算与格林定理n在直角坐标系中，n在圆柱坐标系中 n在球坐标系中 2222222()xyzuuuuuuuxyzxyz eee22222211()uuuuz22222222111()(sin)sinsinuuuurrrrrr*第1章矢量分析1611.7 拉普拉斯运算与格林定理n对于矢量场的运算 (F)也记为 拉普拉斯运算2F，也可定义为n在直

28、角坐标系中n注意：对于非直角坐标系分量，2()() FFF2222xxyyzzFFFFeee2222() ()iiFF FF如：*1.7 拉普拉斯运算与格林定理222()()()()()()xyzxxyyzzxxxxyzxyyyxyzyzzzxyzzxxyyzzxxyyzFFFxyzFFFxyzFFFxyzFFFxyzFFFFF FFeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeee2zF第1章矢量分析162*第1章矢量分析163 1.7 拉普拉斯运算与格林定理n格林定理格林定理(格林恒等式格林恒等式 )n格林第一恒等式格林第一恒等式 任意两个标量场( 及及 )，若在区域 V 中具有连续的二阶偏

29、导数,则两标量场间满足 式中， 是闭曲面上的外法向导数。n格林第二恒等式格林第二恒等式2()ddVSVSnn22()d()dVSVSnn SV,ne*第1章矢量分析1641.7 拉普拉斯运算与格林定理n推导：在散度定理 中，令其中和是体积内的两个任意标量场，有 而则有 FddVSVFFS()d() dVSV S2() nn e2()ddVSVSn*第1章矢量分析1651.7 拉普拉斯运算与格林定理将格林第一恒等式中的与 对调一下，则有两式相减则得2()ddVSVSn2()ddVSVSn22()d()dVSVSnn *第1章矢量分析1661.7 拉普拉斯运算与格林定理n格林定理的意义格林定理的意

30、义n说明了区域 V 中的场与边界 S 上的场之间的关系。利用格林定理可以将区域中场的求解问题转变为边界上场的求解问题。n描述了两个标量场之间满足的关系。如果已知其中一个场的分布，可以利用格林定理求解另一个场的分布。n 格林定理在电磁场中有着广泛的应用。*第1章矢量分析1671.7 拉普拉斯运算与格林定理n矢量第一格林定理矢量第一格林定理任意两个矢量场（ P 与 Q ），若在区域 V 中具有连续的二阶偏导数，那么，该矢量场 P 及 Q 满足下列等式 式中S 为包围V 的闭合曲面，面元 dS 的方向为S 的外法线方向。SVV d d )()(SQPQPQP*第1章矢量分析1681.7 拉普拉斯运算

31、与格林定理基于上式还可获得下式：此式称为矢量第二格林定理矢量第二格林定理。 ()(d dVSV QPPQPQQPS*第1章矢量分析1691.6 无旋场与无散场n矢量场的分类（按矢量场的散度、旋度）n各类矢量场的求解方法（在源分布已知的情况下）*第1章矢量分析1701.6 无旋场与无散场n矢量场的散度和旋度都是表示矢量场性质的量度，矢量场的性质可由它的散度和旋度来描述。 n矢量场散度和旋度反映了产生矢量场的两种不同性质的源的分布，不同性质的源产生的矢量场具有不同的性质 。*第1章矢量分析1711.6 无旋场与无散场n矢量场的分类矢量场的分类根据散度和旋度是否为零，可将矢量场分为四种基本类型：n无

32、旋无散场无旋无散场(调和场)矢量场 F 在区域 V 内处处有F 0， F 0 说明：调和场只能存在于调和场只能存在于有限有限区域内区域内，是由区域之外的源产生的。*第1章矢量分析1721.6 无旋场与无散场 由恒等式(u) 0， 可令F u， 代入F 0得 2u=0，这是拉普拉斯方程拉普拉斯方程 对于调和场，可先通过解拉普拉斯方程求得 u 后，再由 F u计算矢量场 F。*第1章矢量分析1731.6 无旋场与无散场n有散无旋场有散无旋场(无旋场无旋场)矢量场 F 在区域 V 内处处有F 0， 但 F 0仍有F u，代入F 得2u= ，这是泊松方程泊松方程。对于有散无旋场， 可先通过求解泊松方程

33、求得 u 后, 再由 F u 计算矢量场 F。*第1章矢量分析1741.6 无旋场与无散场由斯托克斯定理 可知：无旋场F沿闭合路径C的环流等于零，即 矢量线不闭合矢量线不闭合。（静电场就是这样的矢量场。） ddSCFSFld0CFl*第1章矢量分析1751.6 无旋场与无散场这一结论等价于无旋场的曲线积分与路径无关，只与起点P和终点Q有关。 dQPFldddd( )( )( )d( )QQQPPPQPQPuulluu Pu Qu Puu Q Flll*第1章矢量分析1761.6 无旋场与无散场n有旋无散场有旋无散场(无散场无散场)矢量场 F 在区域 V 内处处有 F 0， 但 F J 0， 利

34、用恒等式(A ) 0，可令FA （A称为矢量位矢量位）代入F J得为得到唯一的定解，还需给定A,若令A0，得这是矢量位 A 的矢量泊松方程矢量泊松方程。2 AAJ2 AJ*第1章矢量分析1771.6 无旋场与无散场 对于有旋无散场， 可先由矢量泊松方程求得 A 后, 再由 FA 计算矢量场 F。*第1章矢量分析1781.6 无旋场与无散场 由散度定理可知，无散场通过任何闭合曲面的通量等于零，即矢量线是闭合的矢量线是闭合的。（恒定磁场就是这样的矢量场。）d0SFSddVSVFFS*第1章矢量分析1791.6 无旋场与无散场n有散有旋场有散有旋场(一般的矢量场 )矢量场F在区域V内处处有 F ，

35、但F J，可将矢量场表示为有散无旋场Fl和有旋无散场Fs 的叠加，即 F= Fl+ Fs 式中Fl 和Fs分别满足0llFF0ssFFJ*第1章矢量分析1801.6 无旋场与无散场因而可定义一个标量位函数 u和一个矢量位函数 A，使得 2u= 采用前面的方法分别求得 u 和 A 后，再由求得有散有旋场 F。lsu FFAu FA2 AJ*第1章矢量分析1811.6 无旋场与无散场n电磁场中的几种场电磁场中的几种场n无散无旋场（只存在于有限区域）无源区域中的静电场，无源区域中的恒定磁场n有散无旋场有源区域中的静电场*第1章矢量分析1821.6 无旋场与无散场n有旋无散场有源区域中的恒定磁场，无源

36、区域中的时变电磁场n有散有旋场有源区域中的时变电磁场*第1章矢量分析1831.6 无旋场与无散场n思考题P31 1.11、1.12、1.13、1.14n习题P32 1.16、1.27*第1章矢量分析1841.8 亥姆霍兹定理n亥姆霍兹定理亥姆霍兹定理 在有限区域V内，任一矢量场由它的散度、旋度和边界条件（即限定区域V的闭合面S上的矢量场的分布）惟一地确定，且可表示为 其中，( )( )( )u F rrA r( )1( )1( )dd44( )1( )1( )dd44nVSnVSuVSVS e F rF rrrrrreF rF rA rrrrr*第1章矢量分析1851.8 亥姆霍兹定理n亥姆霍

37、兹定理的证明亥姆霍兹定理的证明参见：参见：冯恩信编著冯恩信编著电磁场与电磁波电磁场与电磁波（第（第2版）版） P26（矢量场的表达式）（矢量场的表达式）P32（矢量场的唯一性定理）（矢量场的唯一性定理）*第1章矢量分析1861.8 亥姆霍兹定理n亥姆霍兹定理的含义亥姆霍兹定理的含义n一般矢量场一般矢量场可以用一个标量函数的梯度和一个矢量函数的旋度之和来表示。此标量函数由它的散度和在边界S上的法向分量完全确定；而此矢量函数则由它的旋度和在边界面S上的切向分量完全确定；*第1章矢量分析1871.8 亥姆霍兹定理n对于无界空间，只要矢量场满足 且源分布在有限区域内时有 在无界空间中，散度与旋度均处处

38、为零无界空间中，散度与旋度均处处为零的矢量场是不存在的的矢量场是不存在的。11 (0)Frr( )1d0, 4( )1d04nSnSSS e F rrreF rrr*第1章矢量分析1881.8 亥姆霍兹定理n在无界区域内，唯一确定矢量场的条件：区域中的源分布（通量源和环流源）n在有界区域内，唯一确定矢量场的条件：区域中的源分布（通量源和环流源）和边界条件（边界上的场分布实际上反映了边界上的源或区域外的源对区域中的场的贡献。）如果在区域V内矢量场的散度与旋度均处处为零，则由其在边界面S上的场分布完全确定；*第1章矢量分析1891.8 亥姆霍兹定理n亥姆霍兹定理的意义亥姆霍兹定理的意义n亥姆霍兹定理不但给出了场和源之间的定量关系，同时揭示了散度和旋度对于分析矢量场特性的重要意义。*第1章矢量分析1901.8 亥姆霍兹定理n亥姆霍兹定理是研究矢量场的主线。n分析矢量场时，总是从研究它的散度和旋度着手，得到的散度方程和旋度方程组成了矢量场的基本方程矢量场的