求阴影面积的常用方法

1、膃计算平面图形的面积问题是常见题型，求平面阴影部分的面积是这类问题的难点。不规则阴影面积常 常由三角形、四边形、弓形、扇形和圆、圆弧等基本图形组合而成的，在解此类问题时，要注意观察和 分析图形，会分解和组合图形。现介绍几种常用的方法。芀一、转化法 袇此法就是通过等积变换、平移、旋转、割补等方法将不规则的图形转化成面积相等的规则图形，再利 用规则图形的面积公式，计算出所求的不规则图形的面积。蚄例1.如图1,点C、D是以AB为直径的半圆0上的三等分点，AB=12则图中由弦AC AD和围成 的阴影部分图形的面积为 。B分析：连结CD OC 0D如图2。易证AB/CD，贝U和在OCD的面积相等，所以图

2、中阴影部分的面积就等于扇形OCD勺面积。易得 v -，故_ 2劇腮0OD _60址 62360和差法=%障思心+ %私一 %直進配=90 423605-討心4十芇有一些图形结构复杂，通过观察，分析出不规则图形的面积是由哪些规则图形组合而成的，再利用这 些规则图形的面积的和或差来求，从而达到化繁为简的目的。c 1肂例2.如图3是一个商标的设计图案，AB=2BC=B丄为.圆，求阴影部分面积所以,蚀分析：经观察图3可以分解出以下规则图形：矩形 ABCD扇形ADE蚈就是把所求阴影部分的面积问题转化为可求面积的规则图形的重叠部分的方法。这类题阴影一般是由 几个图形叠加而成。要准确认清其结构，理顺图形间的

3、大小关系。螄例3.如图4,正方形的边长为a,以各边为直径在正方形内作半圆，求所围成阴影部分图形的面积蚩 厅；解：因为4个半圆覆盖了正方形，而且阴影部分重叠了两次，所以阴影部分的面积等于4个半圆的面积和与正方形面积的差。故蒀四、补形法螅将不规则图形补成特殊图形，利用特殊图形的面积求出原不规则图形的面积薆例4.如图5,在四边形ABC冲，AB=2 CD=1Z3 = ZD= 90，求四边形ABCD所在阴影部分的面积。E/ ,i * * * * M图& 解：延长BC AD交于点E,因为Zj4=60# 二网，所以= 30，又ZDC= 90%所以込 2CD DE = 43，易求得 盹=2羽，所以1 = BE

4、-CD =-膆五、拼接法羄例5.如图6,在一块长为a、宽为b的矩形草地上，有一条弯曲的柏油小路（小路任何地方的水平宽 都是c个单位），求阴影部分草地的面积。苑厂一解：（1）将“小路”沿着左右两个边界“剪去”；c个单位；（3）得到一个新的矩形（如图7）。由于新矩形的纵向宽仍然为 所以草地的面积为城口-町二必-民。（2）将左侧的草地向右平移b,水平方向的长变成了，图7六、特殊位置法薇例6.如图8,已知两个半圆中长为4的弦AB与直径CD平行，且与小半圆相切，那么图中阴影部分的 面积等于。在大半圆中，任意移动小半圆的位置，阴影部分面积都保持不变，所以可 将小半圆移动至两个半圆同圆心位置（如图 9）聿图

5、9解：移动小半圆至两半圆同圆心位置，如图 9。设切点为H,连结OH OB由垂径定理，知。又AB切小半圆于点H,故，故羈* Sd W膄七、代数法肃将图形按形状、大小分类，并设其面积为未知数，通过建立方程或方程组来解出阴影部分面积的方法。衿例7.如图10,正方形的边长为a,分别以两个对角顶点为圆心、以a为半径画弧，求图中阴影部分的面 积。膅卫1 L祎解：设阴影部分的面积为x，剩下的两块形状、大小相同的每块面积为y，则图中正方形的面积是?，-,0= a2x = (-l)a2而：r是以半径为a的圆面积的：。故有 f。解得。即阴影部分的面积是。袂需要说明的是，在求阴影部分图形的面积问题时，要具体问题具体

6、分析，从而选取一种合理、简捷的方 法。罿思考吧 如图11,正方形的边长为1,以CD为直径在正方形内画半圆，再以点 C为圆心、1为半径画弧 BD则图中阴影部分的面积为 。图1芃例6:如图，已知 ABC内接于。0,且AB = BC = CA = 4cm,则图中阴影部分的面积是 cm2袅AP是大圆上任一点，PA切小圆于点A，设PA= 4,则图中阴影部分面2 二，、3 :蚈(A) 丁 (B)亍(C)(D)蚄B节E蚅C羃蒈例7:如图，A、B、C、D是圆周上的四点，且 AB + CD = AD + BC,如果弦 AB的长为8,弦CD的 长为4,那么图中两个弓形（阴影部分）的面积和是。（二取3）蚇5、环形

7、袃例8:如图，在两个同心圆中,积是。薅蒁薈羂6、扇形 薄例9:如图，在矩形 ABCD中，AB = 1, AD =，以BC的中点E为圆心的MPN与AD相切于P,则图 中阴影部分的面积为（）袀二、组合图形 羇1、四边形与圆组合袈例10:如图，四个正方形的边长都相等，其中阴影部分面积相等的图形个数是（）（A） 0; （B） 2; （C） 3; （D） 4。蚂2、圆与圆组合腿例11:如图，AB、AE分别为两个半圆的直径，弦 部分的面积为。CD / AB，且与小圆相切，若CD = 12,则图中阴影袁莃A螁E薈0羁B 蒄A膈0薁B螃例12:如图，设计一个商标图案（如图阴影部分）， 圆心，AD长为半径作半圆

8、，则商标图案面积为螃芇袃B肀B蒅E莁C、2BC,且 AB=8cm，以点为蚈4、扇形与圆组合螄例.13:如图，O 0半径为2cm，直径AB垂直于直径CD，以B为圆心，BC的长为半径作CED，则 CED与CAD所围成的阴影部分的面积是；蚃三、动态图形 蒀1、翻折螅例14:矩形ABCD的长、宽分别为5和3,将顶点C折过来，使它落在AB上的C，点（DE为折痕），那 么阴影部分的面积是 ；薆2、旋转蒂例15：如图，将边长为1的正方形ABCD绕A点按逆时针方向旋转60，得正方形A/B/C/D/，则旋转 前后两个正方形重叠部分的面积是。蕿组合图形膆1、求下列组合图形阴影部分的面积。2cm53cm羈肃衿膅祎聿蝿/2 8K32芃薀罿2、求它的周长和面积。 （单位：厘米）肅长方形的面积和圆的面积相等，已知圆蚃的半径是3cm，求阴影部分的周长和面积。求直角三角形中阴影部分的面积。（单位：分米）蒃下图中长方形长 6cm，宽4cm，已知阴影莂比阴影面积少 3cm2，求EC的长。图中阴影比阴影面积小48平方厘米,AB=40cm，求 BC 的长。j?A腿螈ii芈袅V$匕羀莈羃蒈(11)求阴影部分面积。(单位：cm)賺求阴影部分的面积。蚃已知AB=8cm , AD=12cm ,三角形ABE和三角形 ADF的面积，各占长方形 ABCD的1/3,求三角形 AEF的面积。蚇(12)梯形面积是48平方