浙江大学《概率论与数理统计》课件ch5

1、1第五章 大数定律和中心极限定理 关键词： 大数定律中心极限定理 随机变量序列依概率收敛的定义 1,0,0,1,5.1.1.nnnnYYYlim P YYY nYPYYnn 设为一个随机变量序列， 为随机变量，若对于均有： 成立，则称随机变量依概率收敛于序列， 定义： 记为：当ccc,1.nYcY nc特别地，依概率收敛当为一时，称于常数常数1 大数定律(laws of large numbers)性质：,(,( , )若当n时.函数（x,y）在点(a,b)连续，则 ），当n时. PPnnPnnXa Ybgg XYg a b 在给出大数定律之前，先介绍几个重要不等式/(0).PnnPnnPnn

2、XYabXYa bXYa b b 如:当n时 ，4(1),(| )0,;(| )1.5.1.1 kkkkYkkE YP YE YP Y 设随机变量 的 阶矩存在则对于任意都有：成定理马尔立定理的为：可夫不等式 ：等价形式 马尔可夫不等式和切比雪夫不等式 ()kkYE YP Y特别地，当 为取非负值的随机变量时，则有 ,0,YYf x证明： 仅就 为连续型时证之 设 的概率密度为则对于任意有 xP Yf x dx | |kkxxf x dx 1|kkxf x dx(| ).kkE Y22222,0,;15.1.2 XE XD XP XP X 设随机变量 具有数学期望方差,则对于任意都有：定理定理

3、切比雪夫不等式 ：的为：等价形式,2YXk证明：在定理5.1.1中取即可.( )f x,1,2, .()()()5.100,0.50.5iiinXinE XD Xnn例1某天文机构想测量宇宙中两颗行星的距离，进行了 次独立的观测，测量值分别为 （光年）若为两颗行星的真实距离,未知 ，现取这 次观测的平均作为真实距离 的估计.(1)若那么估计值与真实值之间的误差在光年之内的概率至少有多大？（2）若要以不低于95%的把握控制估计值与真实值之间的误差在光年之内，至少要观测多少次？1,2,(),()5,iiiinE XD XX解：由于对，都有且相互独立，故21111115(),()().nnniiii

4、iiEXDXD Xnnnn100,n (1)当时，由切比雪夫不等式知1002115/100| 0.510.8;1000.5iiPX (2)同样利用切比雪夫不等式，要使得2115/| 0.510.950.5niinPXn ，400.nn 需满足例2 在n重贝努里试验中，若已知每次试验事件A出现的概率为0.75，试利用切比雪夫不等式,(1)若n=7500,估计A出现的频率在0.74至0.76之间的概率至少有多大；（2）估计n,使A出现的频率在0.74至0.76之间的概率不小于0.90。nA解：设在 重贝努里试验中，事件 出现的次数为X，,0.75B n则X,0.75 ,0.1875 ,E Xnpn

5、 D Xnpqn nXfAn又 18750.740.7610.90XPnn (2) 18750n1875(1)7500,0.740.7610.757500XnPn 20.18750.740.760.750.0110.01nXPP Xnnnn 几种大数定律 1111, ,15.0,10,11.01 21,nnninnininnininiYYc nlim PYcnlim PYcnPYcnn 设为一个随机变量序列， 若存在常数序列，使得对均有： （或写为） 成立，即有当， 定义： ,1iY i 服从 则称随机变量(弱)大序列数定律.2111,11,1 ()0 (5.1.8) 0,11 |()|0ii

6、nininniiniiX iiXlimDXnlim PXE Xnn 为一随机变量序列，若对所有的的方差都存在，并且 则定理5.1.3 马尔可夫对有大数定律,1iX i 成立，即随机变量服从大数定律.1211111()(),()(),nniinnniniiiYXnE YE XD YDXnn证明：记，则nY对应用切比雪夫不等式，并结合条件(5.1.8)，得2()|()|nnnD YP YE Y2211()niiDXn0, .n 当0 1111 |()|0nniiniilim PXE Xnn即，11,1 (), 1,2, 0,11 5.1. |()1|iiinniiniiX iCD XCiXlim

7、PXE Xnn 为相互独立的随机变量序列，若存在常数 ，使得 即所有的的方差有共同的上界，则对有推论切比雪夫大数定律0,1iX i 成立，即随机变量服从大数定律.5.1.2,1,1iiX iX i 为相互独立的随机变量序列，若它们的方差 存在并推论相同，则随机变量也服从大数定律.22211()()0,nniiiinCCDXD Xnnnnn 11证明：由于当(5.1.8)即，条件满足,由定理5.1.3知结论成立.1,11, 01,1,2,.2,1niiiiXXP XiP XiP XiiiX i 例3设随机变量相互独立，且它们的分布律为试判断是否服从大数定律？1,()0,iiE X解：由于对任意的

8、有,15.1.2iX i 所以相互独立，方差相同，由推论知满足大数定律，且11.niiPXnn 0,当22211()()0()()1,22iiD XE Xiiii5.1.3(0)0,AAnnnAApnlim Ppn 设为 重贝努里试验中事件 发生的次数，并记事件 在每 次试验中发生的概率为 ，则对有： 推论贝努里大数定 律 1,1, 1,2, ,0, (1, ).nAiiiinXiAXiniAXBp证明思路：易见其中第 次试验中 发生；第 次试验中 不发生；大数定律的重要意义： 贝努里大数定律建立了在大量重复独立试验中事件出现频率的稳定性，正因为这种稳定性，概率的概念才有客观意义.贝努里大数定

9、律还提供了通过试验来确定事件概率的方法，既然频率nA/n与概率p有较大偏差的可能性很小，因此可以通过做试验确定某事件发生的频率并把它作为相应的概率估计，这是一种参数估计法，该方法的重要理论基础之一就是大数定律。11,1,01lim01,5.1,.41ininkniiiX iPXnPXnnX i 设为独立同分布的随机变量序列，且其期望存在， 记为则对，有： ， 相定理辛钦当于当 大数定律 ： 即随机变量服从大数定律.前面的定理和推论中均要求随机变量的方差存在，但当随机变量服从相同分布时，就不需要这一要求。证略.111,1( )| ()|,01lim(5.1.)0( (),(,14)ininkiX

10、 ih xE h XPh XanaE h Xh Xi 设为独立同分布的随机变量序列， 若为一连续函数，且则对，有： ， 其推论中,即随机变量也：服从大数定律.112111,( 1,1).111123nnnnkkkkkkXXXUXXXnnn例4设随机变量相互独立同分布，则（），（ ），（ ）分别依概率收敛吗？如果依概率收敛，分别收敛于什么？1111222112111,(),(),()111nnnnnnkkkkkkXXE XXXE XXXE XXXXnnn解：由辛钦大数定律及推论，相互独立同分布，存在,相互独立同分布，存在,相互独立同分布，存在,故，均依概率收敛。1()0,E X因为，11nkkP

11、Xn 故，0，111(),E Xxdx11同理，2212211(),E Xxdx112311nkkPXn 1，2211.nkkPXn 131112,(0,1),nnnXXXUX XX例5设随机变量相互独立同分布，则依概率收敛吗？如果依概率收敛，收敛于什么？111,ln(lnln).解：记Y令ZnnnnnnXXYXXn1.利用依概率收敛的性质，得，当 nZpnYeen11ln,ln,lnln 110则相互独立同分布，又 E()=，nXXXxdx1,.n那么由辛钦大数定律知，Z当 pn2 中心极限定理(Central Limit Theorem)背景： 有许多随机变量，它们是由大量的相互独立 的随

12、机变量的综合影响所形成的，而其中每 个个别的因素作用都很小，这种随机变量往 往服从或近似服从正态分布，或者说它的极 限分布是正态分布，中心极限定理正是从数 学上论证了这一现象，它在长达两个世纪的 时期内曾是概率论研究的中心课题。 5.2.1 定理独立同分布的中心极限定理212212,1,2,1,( )2niiniintxnnXXE XD XiXnnYnxRlim P Yxedtx 设随机变量X相互独立同分布，则前 个变量的和的标准化变量为：有： 5.2.1 定理独立同分布的中心极限定理210,1(,),nniinYNXN nn此定理表明，当 充分大时，近似服从，即：（近似）11niiXXn思考

13、题：的近似分布是什么？2( ,)Nn答案：1()()().niibnanP aXbnn 从而，5.2.1 推论德莫佛-拉普拉斯定理 2201 ,1lim( ).(1)2AtxAnnnAP AppxnnpPxedtxnpp 设为 重贝努里试验中 发生的次数，则对任何实数 ，有：() (,(1).AnN np npp即:近似()()(1)(1)AbnpanpP anbnppnpp 2215.2.1,(1)2tbAnannplim P abedtnpp由定理1 0 iiAXiA第 次试验时 发生证明：令第 次试验时 未发生12,(1, ).niXXXXBp则相互独立同分布,12,AnnXXX由于 例

14、6：某宴会上提供一瓶6升(l)的大瓶法国红酒,假定与会者每次所倒红酒的重量服从同一分布,期望值为100毫升(ml),标准差为32毫升.若每次所倒红酒都是相互独立的,试问:倒了55次后该瓶红酒仍有剩余的概率约为多少?2()100,()32 ,1,2,55.iiiiXiXE XD Xi解：设为第 次所倒的红酒重量(单位:ml), 则相互独立且 分布相同,55155 1000,132 55iiXN根据独立同分布的中心极限定理:知 （近似地），551 556000iiPPX所以倒了次后该瓶红酒仍有剩余600055 10032 55 2.110.9826. 55155 100600055 10032 5

15、532 55iiXP 例7：某校1500名学生选修“概率论与数理统计”课程,共有10名教师主讲此课,假定每位学生可以随意地选择一位教师(即,选择任意一位教师的可能性均为1/10),而且学生之间的选择是相互独立的.问:每位教师的上课教室应该设有多少座位才能保证该班因没有座位而使学生离开的概率小于5%.解：由于每位学生可以随意地选择一位老师，因此我们只需要考虑某个老师甲的上课教室的座位即可.引入随机变量1150010(0,1).9115001010YN由德莫佛-拉普拉斯中心极限定理，知 （近似）1, 1,2,1500.0 iiXi第 个学生选择教师甲,，其它,(1,1/10).iiXXB则独立同分

16、布，15001,(1500,1/10).iiYXYB记则aa设教室需要设 个座位，由题意知 需要满足95%P Ya1150010()1915001010a (1.645)95%,查表得，1501.645,135a故需169.11.a 解得故每位老师的上课教室应该至少设170个座位才能保证因没有座位而使得学生离开的概率小于5%. 例8：某保险公司的老年人寿保险有1万人参加，每人每年交200元,若老人在该年内死亡，公司付给受益人1万元。设老年人死亡率为0.017，试求保险公司在一年内这项保险亏本的概率。200P XX解：设 为一年中投保老人的死亡数，(0,1)(1)XnpNnpp由德莫佛-拉普拉斯

17、中心极限定理，知（近似），故保险公司亏本的概率为：1000010000 200PX 20011npnpp 12.3210.01 10思考题：求保险公司至少盈利万元的概率。答案： 0.939,10000,0.017XB n pnp则 例9：设某工厂有400台同类机器，各台机器发生故障的概率都是0.02，各台机器工作是相互独立的，试用三种方法求机器出故障的台数不小于2的概率。400 0.02 0.982.8121(1)17 0.99382.8npqnpP XP Xnpq ,400,0.02XXB解：设机器出故障的台数为则，1. 用二项分布计算40039921011 0.98400 0.02 0.9

18、80.9972P XP XP X 2. 用泊松分布近似计算400 0.028 ,21011 0.0003350.0026840.9969.npP XP XP X 3. 用正态分布近似计算 例10：12012020202111,( 1,1)111123202020kkkkkkXXXUXXX设随机变量相互独立同分布，。分别求（），（ ），（ ）的近似分布。2020202111111202020kkkkkkXXX解：由中心极限定理，均近似服从正态分布。1()0,E X因为，1(),E X1221(),E X1314(),12D X132011(0,),20kkXN近似16022111()() (),D XE XE X1122011( ,)20kkXN近似11，2 2402422111()() (),D XE XE X1145945211( ,)nkkXNn近似11。3 225 例11：（例2续）在n重贝努里试验中，若已知每次试验事件A出现的概率为0.75，试利用中心极限定理,(1)若n=7500,估计A出现的频率在0.74至0.76之间的概率近似值；（2）估计n,使A出现的频率在0.74至0.76之间的概率不小于0.90。nAX解：设在 重贝努里试验中，事