高三数学复合函数的导数、对数与指数函数的导数人教版知识精讲

1、高三数学复合函数的导数、对数与指数函数的导数人教版【本讲教育信息】教学内容：复合函数的导数、对数与指数函数的导数1.yu2.本周教学重、难点：复合函数的求导法则设u (X)在点x处有导数ux (x)， y f (u)，则f( (x)在点x处也有导数，且yx 对数函数的导数1f (u)在点x的对应点u处有导数ux或 fx( (x) f (u)(x)yu3.(1) (lnx)x指数函数的导数(1) (ex)ex(2)(log ax)-log a e x(ax)In a【典型例题】例1求下列函数的导数(1)(4)(x22x)31(sin x2)3(2)(5)(6)x3log3 x(7)e54x2(3

2、)y 3 ax2 bx c解:(1)(2)3uu e(3)u23u3(x25 4x2e(4)yuuvVx(5)(6)(7)ln(x .1 cos5x sin2xx2)22x) (2x 2)6(x8x1 ( 2(ax31u3x .1 x2(x13x2 log 31)(x22x)22bx c) 3 (2ax b)23 cosv (2x)訥X2)2cosx2x2x cosx223(si nx2)31 x2)12、1W1_1_- 1 x2(12xx2)启)log3ex(cos5x) sin 2x cos5x(sin 2x)(1x32呱儆3)(cos5x)sin 2x5sin5x sin 2x 2cos

3、5x cos2x2(sin 2x)(sin 2x)2例2若 f (x)x In( x5)，g(x)In (x11解:f (x)1g (x)x 5x 1f (x)g(x)1 11x 5x 1x 5或x 1两函数定义域为1)解不等式f (x) g (x). (x 3)2(x 5)(x 1)x 50 x 5x10解集为(5,)例3设曲线y 求切线I的方程。解：y- y(x0)在点t)处的切线l与x, y轴围成的三角形面积为s(t),(etx)eet(xt)y lx tt e x(t 1)例5将水注入锥形容器中， 求当水深为5m时，水面上升的速度。例4曲线y e2xcos3x在(o, 1)处的切线与I

4、的距离为一 5,求I的方程。 解：y(e2x) cos3x e2x(cos3x)2e2x cos3x 3( sin 3x)e2x2e2xcos3x 3e2x sin3x曲线在(0, 1)处的切线的斜率 k y lx 02切线方程为y 1 2x、Im 1| 厂设I的方程为y 2 x m d v 5 m 4或6当m 4时，I为：y 2x 4当m 6时，I为：y 2x 6其速度为4m3/min，设锥形容器的高为8m，顶口直径为6m ,解：设注入水t min后，水深为3hm，由相似三角形对应边成比例可得水面直径为hm，413264这时水的体积为V -(3h)2 h38由于水面高度h随时间t而变化，因而

5、h是t的函数h h(t)由此可得水的体积关于时间t的导数为Vt Vh ht(3 h3) ht9 h2 ht6464由假设，注水速度为 4m3/min924 64- Vt 9 h2 ht 4即 ht 4649 h二当h 5m时，水面上升的速度为:4 64256225(m/ min)例6求下列函数的导数(1) y2(x)(2) y1(x 5)2(x 叭(2)5(x 4)。(x解:(1)：两边取对数得In y1丄冋122(x)两边求导得:y_y(x) (x)12(x)(x) (x)2(x)(x)2(x) 11(x)2(x)4)(x) (x)12(x)(2)V y 0两边取对数:In在上式两边求导得整

6、理后得y 14)空2)5(x 4户15) ln(x313(x 4)ln(x 5)2(x(x2ln(x2x 515)2(x 4)3(x 2)5(x14)24)5ln(x 2)12(x4)1An (x 4)213(x 4)x 22(x 4)求证：两曲线在公共点处相切。证明：设两曲线公共点为(X。，y )贝卩 yf(x), yf (x0) sin ax0即 f (Xo)f (Xo)sin axo sin ax01 ax02k -(k Z)2 x1 (2k-) ( ka2Z )对y1f (x)有 y1f (x)对y2f (x)sin ax 有 y2f (x) s in (ax)af (x) cosax

7、y1|x x0f (x0)y2 lxx f (x)sinaxaf(x0)cosax0f (x0)sin(2k)af (x0) cos(2k)f (x)例7已知曲线y f (x)与yy1 |x X。y2 |x X。-两曲线彼此相切f (x) sinax(a 0)，其中f(x) 0，且都为可导函数,例 9已知 f (x) In(ex 解：设 y In(ex a) /. x In(ey a)a)(a0)求ey1(x) In(f (x)的反函数 ae a)(xx eIn a)yeyf 1(x)及 f (x)af (x) In(ex a)f (x) In(ex a)x-(eaa)xexe a例8设曲线y

8、 x2 x 1 Inx在x 1处的切线为I，数列an中ai 1，且点 (an ,an 1 )在 I 上。(1)求证:数列an1是等比数列，并求an;(2)求an的前n项和Sn。(1)证明:由y x2x1 In x 得 x1 时，y 3又- y 12 x 1切线方程为y32(x1)即 y 2x 1( an? an1)在切线I上an 12an 1则 an 112(an 1)即 an 11an 12 an1是以a112为首项，2为公比的等比数列 an 12 2n 1 即 an2n 1(2)解：由(1)知 Sn a1a21an21 22 12n1(22n、2(1 2n)n1 2n22 ) n2(21)

9、 n2n 1 n 2an的前n项和Sn 2n 1 n 2【模拟试题】.选择：1函数y(3x4)2的导数是( )A.4(3x2)B. 6x C.6x(3x4) D. 6(3x4)2.已知 f (x) cos(2xA.3)，则 f13.函数y2 B. 2 C.1的导数是 a x(-)等于(D. 012(a32)2D.1 z 22(a3X2/4. ysin ( 33x)在 x 3处的切线方程是()A.33y(x)B.y2223C.333y(x-)D.y22325.若f(x) (12 x1)5 ,则f (0)等于()2A.xx(a23x2)2 C.2 2a xB.3(x2(xA. 5 B. 20 C.

10、 40 D. 06.已知 f (x) In (In x)，则 f (e)等于()A. 0 B. 1 C.7.已知某函数的导数是 yA.ln(1x)B.D. e 11 ，则这个函数可能是(2(x 1)1y ln C.J xy ln . 1 x D.1ln1 x8.函数f(x)log 2A.1x21B.1 x的导数f (x)等于( ,1 x王C1 x2Iog2ex21D.1.解答：首先指出下列函数是怎样复合的,然后求导:2.3.2x log 2 ex25(1) y (2x 1) ；( 2) y求下列函数的导数(1) y(3) y已知曲线3 2axbx(3)1y (12x)5log2(x 1 x2)

11、ln- 11 x22x,sin 2x lnxC1： y x2 与 C2： y(4)2(x 2)，2ln sin (e x)直线I与G、a都相切，求直线l的方程。参考答案1. D2. D解析:f (x)sin(2x3)(f(3)2si n(2 3-)3C2x解析2 a2x2J2 2、2 (、a x )(a2B解析:y3cos(3x), y |3ysin ( 3)TD解析:f (x)5(1 、一 1x2)4(5(1, 1x2)5(1, 1x2)VT2 xf (0)524 0 0D1ln x解析:f (x)ln(ln x)CC解析:f (x)J .1(2log21x)xlog2 elog 22(1

12、x)2(13.4.5.6.7.8.2x 3)2S(2x3)2一2 一x(a2).a x3cos(3切线方程为yI.14丄(124xx2)1x2) 2(1(In x)1xln x1log 2 (1 x) 2ex)log2ex2-时,3I(x 3)x2)1f (e)e1严2(1 x)(1) 解：设 u 2x 1,则 y u5445(2x 1)210(2x1)2(2) 解：设 u ax bx c，则 y yx1u?4yu ux 5u (2x1)1.yxyuUx1(ax2bx c)23 (2ax b)(2ax b)Vax2 bx c(3)解:12x, y5u , yxyuux5u3(ax22)bx c

13、)10(12x)62.解:(1)log2eq (xX , 1 Xlog 2 e_2 IX3.(2)(3)(4)由对数运算性质，有-.1 x2)2 21(1 X )(1 x )X-2)1 X21丄l n(121(1Xlog2 e2X v 1 X log2 e1X2(1x2)ln(1x2)2 21 X 1 Xxsin 2x( )si n2xx2sin (e x)sin2(e x)2sin(e x) sin(e x)sin 2x2x2 Xcos2x 2 x芒)2x1 X4sin 2x 1x22cot 2 xsi n2(e x)2sin(e x) cos(e x) (e x)si n2(e x)2cot(e x)解：依题意，可