四边形性质的探索

1、第四章四边形性质的探索第 1课时平行四边形的性质（1）一、温故知新1下列图形中是平行四边形的是_AADAADBDBCBCBCC2学校的网状电动门，可以自由的伸缩是利用了平行四边的_ 3平行四边形的一边为a，这边上的高为 h，则这个平行四边形的面积为_ 二、自主学习1将一张纸对折，剪下两张叠放的三角形纸片将它们相等的一组边重合，拼成一个四边形(1) 你拼出了怎样的四边形 ?与同伴交流，并把拼出的所有图形画在下面(2) 小明拼出了如图所示的一个四边形，这个四边形的对边有怎样的位置关系?说说你的理由!理由：结 ： _的 四 边 形 叫 做 平 行 四 边 形 记 作 ： _ ，_ 叫做它的对角线平行

2、四边形的对边_ ，平行四边形的对角_ 邻角 _三、课堂同步阶梯一基础训练1如图 4-1-1， ABCD 是平行四边形 (已知 )_ _， _ _ ()ADCDAB=_ ， AD=_()oBCABA_, B_ ()图 4-1-1图 4-1-22在 ABCD 中， A=48， BC=3cm，则 B=， C=，AD=3在 ABCD 中： ADC =125 ， CAD =21， (1) ABC =_(2) CAB =_GAD4如图 4-1-2，已知 ABCD 中， AD=12 ， AB=13 ，则 BC=_ ， CD =_ EOF5如图 4-1-3，在 ABCD 中， EF BC ，GH AB ，则下

3、图中平行四边形有（）B HCA9 个B8 个C6 个D7个图 4-1-316如图4-1-4，在 ABCD 中， AE 垂直于 CD ， E 是垂足如果 B 55 ，那么 D 与 DAE 分别等于多少度 ?图 4-1-47如图4-1-5，已知 ABCD ， AE 平分 DAB ， AB=5 ，BC=3，求 EC 长EDCAB图 4-1-5能力应用阶梯二8如图4-1-6，在 ABCD 中，已知 AB :BC=3:5 ，且周长等于 48，求这个平行四形四条边的长ADBC图 4-1-69如图 4-1-7， AB CD， AC 、 BD 交于点 O，且 AC =BD ，求证： OD =OCABODC拓展

4、练习图 4-1-7阶梯三0如图 4-1-8，四边形 ABCD 是平行四边形，分别过点A、 B 作 BC 的垂线，垂足分别为E、F1求证： BE=CFADBECF图 4-1-82第 2课时平行四边形的性质（2）一、温故知新1的四边形是平行四边形2平行四边形一边长 6cm ，周长为28cm ，则这条边的邻长是 _ 3已知一平行四边形的两邻角之比为3:2，则这平行四边形的四个角分别为_ 4如图 4-2-1，已知 ABCD 的周长为 28cm ， ABC 的周长为 22cm，则 AC=_ AD5在 ABCD 中， A- B=70，则 A=_ ， B =_ 二、自主学习BC1如图 4-2-2， ABCD

5、 的两条对角线 AC， BD 相交于点 O，AD图 4-2-1(1) 图中有哪些三角形是全等的?有哪些线段是相等的 ?oBC图 4-2-2(2) 能设法验证你的猜想吗 ? 验证方法：结：平行四边形的对角线是_ 数学表示方法：如图4-2-2四边形 ABCD 是平行四边形 OA= OC， OB=OD三、课堂同步阶梯一基础训练1如图 4-2-3，已知 ABCD ， AC=6cm ， BD =8cm，则 OA=_ ， OB=_ ， OC=_ ， OD =_2如图 4-2-3，在 ABCD 中，已知 OA=5， OB=7， 则 AC+ BD=_ AD3如图 4-2-3 ，在 ABCD 中，若 AC=16

6、，BD=20 ，则 BC 的取值范围是 _ o4火车两条铁轨的位置关系是_ ，如果枕木与两条铁轨垂直，则所有夹在CB图 4-2-3铁轨之间的枕木长度_ ，理由： _5如图 4-2-4 ，BC 为固定的木条， AB，AC 为可伸缩的橡皮筋，当A 点在与 BC 平行的轨道l 上滑动时， ABC的面积变化情况是_Al6如图 4-2-5 所示，在 ABCD 中， AB=6cm ， BC=12cm ，对边 AD 和 BC 的距离为 4cm ，ADBC则对边 AB 和 CD 的距离是 _图 4-2-4B 图 4-2-5 C7如图 4-2-6 ，已知 O 是 ABCD 对角线的交点，OBC 的周长为59，B

7、D=3AC=24，则DCAD =_ oA图 4-2-6B8在 ABCD 中， A: B: C: D 的值可以是 ()A 1:2:3:4B 1:2:2:1C 1:2:1:2D 1:1:2:2AD9如图 4-2-7，在 ABCD 中，已知对角线 AC 和 BD 相交于点 O， AOB 的周长为 15，0AB=6，那么对角线AC 和 BD 的和是多少 ?CB图 4-2-7310 如图 4-2-8 ，已知 ABCD ， BD AD ，求 BC ， CD 及 BD 的长12DA13BC图 4-2-8能力应用阶梯二11如图 4-2-9, ABCD 的周长为60cm ， AOB 的周长比BOC 大 8cm，

8、求 AB、 BC 的长DCOAB图 4-2-912 如图 4-2-10 ，在 ABCD 中， AC 与 BD 相交于点O，点 E,F 在 AC 上，且BE DF ，求证： BE=DFADEOFBC图 4-2-10拓展练习阶梯三13 如图 4-2-11 是李锋家一块平行四边形花圃 ,周长为 36cm ，且 DE AB， DF BC ， DE =5， DF =7，求花圃的面积DCFAEB图 4-2-114第 3 课时 平行四边形的判别（1）一、温故知新1平行线之间的距离处处_ 2在 ABCD 中， A+ C=140 ，则 B _ 3以不在同一直线上的三个点为顶点作平行四边形，最多能作_个4在 AB

9、CD中， A: B: C: D 的值可以是 ( )A 2:2:3:4B 1:2:2:1C 1:2:1:2D 1:1:2:25如图 4-3-1ABCD 的两条对角线AC ， BD 相交于点 O，则其中全等的三角形有()ADA2 对B3对C4 对D5 对OB图 4-3-1C二、自主学习1如图 4-3-2，将两根木条AC，BD 的中点重叠， 并用钉子固定， 则四边形 ABCD 就是平行四边形，为什么 ?(利用平行四边形定义证明)AD证明：0B图 4-3-2C2如图 4-3-3 ，将两根同样长的木条AB ， CD 平行放置，再用木条AD ， BC 加固，得到的四边形ABCD 就是平行四边形，为什么 ?

10、AD证明：B图 4-3-3C结：两条对角线_ 的四边形是平行四边形一组对边 _ 的四边形是平行四边形三、课堂同步基础训练阶梯一1能判定四边形 ABCD 为平行四边形的一组条件是（）A AB CD ，AD=BCB A=B， C= DC AB=CD ， AD =BCD AB =AD， CB=CD2如图 4-3-4，在 ABCD 中，已知点 E、 F 是对角线 AC 上的点，且AE=CF ，证明：四边形BFDE 是平行四边形ADEOFB图 4-3-4 C53如图4-3-5，在 ABCD 中，已知M， N 是和 AB 和 DC 的中点，求证：四边形BNDM 是平行四边形ADMNBC图 4-3-54如图

11、4-3-6，在 ABCD 中，已知AE， CF 分别是 DAB ， BCD 的角平分线求证：四边形AFCE 是平行四边形AFDBEC图 4-3-6能力应用阶梯二5如图 4-3-7, 在 ABCD 中 , 已知 AF =CH ， DE=BG，求证 ： EG 和 HF 互相平分DHCEGAFB图 4-3-76如图 4-3-8， A,B,E 在同一直线上， AB= DC ， CCBE，证明： AD=BCDCABE图 4-3-8拓展练习阶梯三7如图 4-3-9，E, F 分别是 ABCD 的 AD ，BC 边上的点，且AE=CF ，M，N 是 BE ，DF 的中点，试证明 MFNE是平行四边形EDAM

12、NBFC图 4-3-96第 4 课时平行四边形的判别（2）一、温故知新1两条对角线_ 的四边形是平行四边形2一组对边_ 的四边形是平行四边形3ABCD 的一个内角比它的邻角大24 ，这个平行四边形的四个内角度数分别为_ 4顺次连接一个任意四边形四边的中点，得到一个四边形二、自主学习1如图 4-4-1 ，小明用两根长40cm 和两根长 30cm 的木条作为四边形的四条边，拼成如下图形，此四边形是平行四边形吗 ?为什么 ?证明：40DA3030B40C图 4-4-12如图 4-4-2，小明手中有一个四边形，用量角器量得AC,BD ，这个四边形ABCD 是平行四边形吗 ?为什么 ?AD证明：BC图

13、4-4-2结：两组对边_ 的四边形是平行四边形两组对角 _ 的四边形是平行四边形三、课堂同步基础训练阶梯一1在下列性质中，平行四边形不一定具有的性质是（）A 邻角互补B 对角相等C对角互补D 内角和为3602在给定的条件中，能画出平行四边形的是（）A 以 60cm 为一条对角线，20cm 、34cm 为两条邻边 ;B 以 6cm 、 10cm 为对角线， 8cm 为一边 ;C以 20cm 、36cm 为对角线，22cm 为一边 ;D以 6cm 为一条对角线，3cm、 10cm 为两条邻边3如图4-4-3，在 ABCD 中， E、 F 是对角线AC 的两个三等分点，求证：四边形BFDE 是平行四

14、边形图 4-4-34如图 4-4-4，在 ABCD 中， BAD 和 BCD 的平分线 AE 、 CF 分别与对角线BD 相交于点 E， F 求证：四边形AECF 是平行四边形ADFEBC图 4-4-475如图 4-4-5，在 ABCD 的一组对边AB 与 DC 的延长线上各取一点E、 F ，使 BE=DF ，求证：四边形 AFCE是平行四边形EADBCF能力应用图 4-4-5阶梯二6如图 4-4-6 ，在 ABCD 中 , 对角线上取两点G、 H 在 AB、 CD 上分别取两点E、 F ，且 BH=DG, BE=DF ，求证： EHFG 是平行四边形DFCGHAEB图 4-4-67如图 4-

15、4-7 , AB、 CD 相交于点 O， AC DB ，OA=OB ， E、 F 分别是 OC 、 OD 的中点，证明：四边形AFBE是平行四边形ACEF0DB图 4-4-7阶梯三拓展练习8如图 4-4-8，E 、F 分别是 ABCD 的边 AD 、BC 的中点， AF 与 BE 相交于 G，CE 与 DF 相交于 H，连结 GH 、AEEF D( 1) 图中有多少个平行四边形( ABCD 除外 ) ，请选取一个加以证明GH( 2) 求证： EF 与 GH 互相平分BFC图 4-4-88第5课时菱形一、温故知新判定文字语言图形语言数学语言 ABCD，两组对边分别平行的AD BC定义四边形是平行

16、四边四边形 ABCD形是 判定 1判定 2判定 3二、自主学习1定义：一组邻边相等的平行四边形叫做菱形(rhombus)A2如图 4-5-1，在菱形 ABCD 中，对角线AC， BD 相交于点 O(1)图中哪些线段是相等的 ?哪些角是相等的 ?DB0C(2)图中有哪些等腰三角形、直角三角形?图 4-5-1(3) 两条对角线 AC 、 BD 有什么特定的位置关系 ?结：菱形的四条边都_ ，两条对角线 _ ，每一条对角线_ 一组对角菱形是轴对称图形，它有_条对称轴三、课堂同步阶梯一基础训练1如图4-5-1，四边形ABCD 是菱形，则有(边) AB=_=_=_ ， _ _ ，_ _，(角) ABC_

17、,ABD_BAD_,CAB_(对角线 )OA=_= 1 AC ， OB=_=1 BD ， AC _222如图 4-5-2，在 ABCD 中， AC BD 求证： ABCD 是菱形 (用菱形的定义证明 )ADB0C图 4-5-293如图4-5-3，在四边形ABCD 中， AB=BC=CD=DA求证：四边形ABCD 是菱形 (用菱形的定义证明)ADBC图 4-5-3边：一组邻边相等的平行四边形是菱形结：四条边都相等的四边形是菱形对角线互相垂直的平行四边形是菱形4如图4-5-4，在 ABCD 中， AC 与 BD 相交于点O， AC= 4， BD= 2， AB5 A(1) AC 与 BD 互相垂直吗

18、 ?为什么 ?(2) 四边形是菱形吗 ?为什么 ?DB0C图 4-5-4能力应用阶梯二5如图4-5-5， AD 是 ABC 的角平分线，DE AC， AB 于点 E， DF AB ，交 AC 于点 F 求证：四边形AEDF 是菱形AEFBCD图 4-5-56如图 4-5-6， ABCD 对角线 AC 的中垂线分别交AD , BC 于点 E,F，求证：四边形AFCE 是菱形AED0BFC拓展练习图 4-5-6阶梯三7如图 4-5-7 ，在 ABC 中， AB=AC ，点 D 是 BC 边上的中点， DE AC ，DG AB，EK AB ，GH AC ，EK交 GH 于点 E 求证：四边形 DEF

19、G 是菱形AKHFGEBDC图 4-5-710第6课时矩形一、温故知新1一组邻边 _的 _ 是菱形2对角线互相 _ 的 _ 是菱形3四条边都 _ 的 _ 是菱形4设 x， y 为实数，且x 1 3( y2) 20 ，则 x- y=_ 1_,3 125_, 3 8_ 5计算16二、自主学习1定义：有一个内角是直角的平行四边形是矩形(rectangle)2如图 4-6-1，在一个平行四边形 ABCD 活动框架上，有两根橡皮筋分别套在相对的两个顶点上，拉动一对不相邻的顶点，改变平行四边形的形状ADADADBCBCBC图 4-6-1(1) 随着ADC 的变化，两条对角线的长度分别是怎样变化的?(2)

20、当ADC 是锐角时，两条对角线的长度有什么关系?当是钝角时呢 ?(3) 当ADC 是直角时，平行四边形变成矩形，此时两条对角线的长度有什么关系?结：矩形的对角线_，四个角都是_ 三、课堂同步阶梯一基础训练1如图 4-6-2，四边形 ABCD 是矩形，则有AD(边 )AB=_ ， BC=_ ， _ _， _ _ ，( 角) ABC_0900OAB_OCD_,OBC_OAD_( 对角线 ) AC=_, OA=_=_ =OD = 11 _BCAC图 4-6-2222已知矩形 ABCD 中， S 矩形 ABCD =24cm 2，若 BC=6cm ，则对角线 AC 长是 _cm 3 若矩形的两条对角线的

21、一个交角是60 ，且一条对角线与一条较短边的和是15cm，则此矩形较短边的长是_cm ，周长是 _cm DC4已知：如图4-6-3，在矩形 ABCD 中， CE BD ， E 为垂足， DCE : ECB=3:1 ，则 ACE =_ E5矩形各内角平分线围成的四边形是（）ABA 平行四边形B矩形C菱形D正方形图 4-6-36如图 4-6-4，在 ABCD 中， ACBD ，求证： ABCD 是矩形 (用矩形的定义证明)AD0BC11图 4-6-4结：对角线相等的平行四边形是矩形7如图4-6-5，在四边形ABCD 中， A= B= C=90求证：四边形ABCD 是矩形ADBC图 4-6-5结：三

22、个角是直角的四边形是矩形8如图4-6-6，在 ABCD 中， AB=6， BC=8， AC=10，求证：四边形ACBD 是矩形阶梯二ADBC图 4-6-6能力应用9如图4-6-7， AC 、 BD 是 O 的直径，求证：四边形ABCD 是矩形ADOBC图 4-6-710 如图 4-6-8 ，矩形 ABCD 中， BE AC，交 DC 的延长线于点E，试说明： BDE 是等腰三角形ADBC图 4-6-8 E拓展练习阶梯三11如图 4-6-9 ，在 ABC 中， AB =AC ， AD 和 AE 分别是 A 的内角和外角的角平分线，BE AE求证： AB=DE BDECA图 4-6-912第 7课

23、时正方形一、温故知新1矩形的对角线_，四个角都是_2对角线 _ 的平行四边形是矩形3三个角都是直角的_ 是矩形4矩形是轴对称图形，它有_ 条对称轴5直角三角形斜边上的中线等于斜边长的_ 6菱形的周长为20，其中一条对角线的长度为8，则另一条对角线的长度是_二、自主学习1定义：一组邻边相等的矩形或者有一个角是直角的菱形叫做正方形(square)2正方形既是矩形，也是_，它具有平行四边形，矩形，菱形所具有的一切性质3如图4-7-1，四边形ABCD 是正方形，则有(边 ) AB=_ ，BC=_ ， _ _， _ _ ，( 角 )ABC_90，AD0OAB_OBC_OCD ,_ODA_ 45 ( 对角

24、线 ) AC=_,AC _ BD , OA=_=_= OD = 1AC1_BC图 4-7-1224在图中填上平行四边形，菱形，矩形，正方形表示它们的关系示意图：三、课堂同步基础训练阶梯一1正方形的一条边长为3，那么它的对角线长是_ 2 E 为正方形内部一点，且到各顶点的距离都等于3，则这个正方形的面积为_3如图 4-7-2，正方形 ABCD 中， CM =CD ， NM AC，连结 CN，则 MCN =_=_ ， ANM =_ 4四边形 ABCD 的对角线相交于点 O，能判定它是正方形的条件是（）ANDA AB= BC=CD =DAB AO=CO， BO= DO， AC BDMC AC= BD

25、 ， AC BD 且 AC、 BD 互相平分D AB=BC， CD= DA5在一个正方形的四角各截去全等的等腰直角三角形而得到一个小正方形，若小方形的边长为1，那么所截的三角形的直角边长是_6 E 为正方形ABCD 内一点，且EBC 为等边三角形，则EAD =_ 7如图4-7-3，正方形ABCD ， AB=8，M 为 AB 的中点， ED =3AEBC图 4-7-2(1) 求 ME 的长；(2) EMC 是直角三角形吗 ?为什么 ?EADMBC图 4-7-3138如图4-7-4，正方形ABCD 中， E 是 CD 边上的一点，F 为 BC 延长线上一点，CE=CF (1) BEC DFC 吗?

26、为什么 ?AD(2)若 BEC=60，求 EFD 的度数 ?EB图 4-7-4 CFAD9如图4-7-5，在正方形ABCD 中， CE DF 求证： CE=DFEBFC图 4-7-5能力应用阶梯二10 如图 4-7-6 ，在 ABC 中， C=90，四边形ABDE ， AGFC 是正方形求证： BG=ECEDCFABG图 4-7-611如图 4-7-7 ，在 ABC 中， ACB =90， CD 是 ACB 的角平分线，DF AC ， DE BC ， E、 F 是垂足求证： CFDE 是正方形CEBFDA图 4-7-7拓展练习阶梯三12 如图 4-7-8 ，以锐角 ABC 的边 AC ， AB

27、 为边向外作正方形ACDE 和正方形 ABGF ，连结 BE、 CF(1) BE 和 CF 有怎样的数量和位置关系？说明理由(2) 你能找到哪两个图形可以通过旋转而相互得到，并指出旋转中心和旋转角EFADGHBC图 4-7-814第 8课时梯形（ 1）一、温故知新1对角线互相 _ 的矩形是正方形，有一个角是直角的_ 也是正方形2 4 的平方根是 _， 0 的平方根是 _， 25 的算术平方根是 _ 2_2，12 12_ 3 x 49( x 7)34如图 4-8-1，面积为 12cm2的 ABC 沿 BC 方向平移至 DEF 的位置，平移的距离是边BC 长的两倍，则图中的四边形ACED 的面积为

28、（） cm2A24B 36C 48D 无法确定5下列说法中，其中正确个数是（）图 4-8-1(1) 对角线互相垂直平分的四边形是正方形；(2) 对角线垂直相等的四边形是菱形；(3) 对角线相等且互相平分的四边形是矩形；(4) 四边都相等的四边形是正方形A 1B 2C 3D 0二、自主学习1定义：一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫做梯形(trapezoid)2两条腰相等的梯形叫做_3一条腰和底垂直的梯形叫做_4梯形和平行四边形最根本的区别是_5常用的等腰梯形辅助线添加方法：ACADADBEFDBECBCF(1) 作高(2)平移一腰(3) 平移对角线EDADAADEBCBCFBEC(4) 延

29、腰(5)等积变形(6)取中点对称三、课堂同步阶梯一基础训练1如图 4-8-2，四边形 ABCD 是等腰梯形，则有(边 ) AB=_ ， AD _ ，(角 ) ABC_, BAD_. ABC_BCD_ 180 (对角线 ) AC=_AD2断一断：(1)一组对边平行的四边形是梯形()(2)一组对边平行且不相等的四边形是梯形()C(3)(B等腰梯形的两个底角相等)图 4-8-2(4)等腰梯形的对角线相等()3填一填：(1)已知等腰梯形的一个锐角等于75 ，则其它三个角分别等于 _ (2)梯形 ABCD 中， AD BC ， AB BC ，且 C=45AB=3， AD =2，则 BC=_ 154梯形A

30、BCD 中， AB CD ， AB=5 ， AD=6， C=30， D=60，则 CD 的长为（）A11B13C15D175梯形ABCD 中， AD BC ，那么 A: B: C: D 的比值可能是下面哪一组（）A3564B3456 C4563D65436如图 4-8-3，梯形 ABCD 中， AD BC ， AB=CD ， B=60， BC=20cm ，梯形的周长为50cm 求梯形 ABCD的另外三边的长和梯形的面积AD阶梯二BC图 4-8-3能力应用7如图4-8-4，在等腰梯形ABCD 中， AD BC， DE AB， AB=7， BC =11，DA =5，求 CED 的周长 .ADBEC

31、图 4-8-48如图4-8-5，在梯形ABCD 中， AB DC ， DE CB， AED 的周长为18， EB=4，求梯形ABCD 的周长阶梯三DCAEB图 4-8-5拓展练习9如图 4-8-6 ，在梯形ABCD 中， AB DC ， AD=BC ，延长 AB 到 E，使 BE=DC ，连结 AC、 CE 你能用几种方法说明AC=CE?请你写出其中一种推理过程DCABE图 4-8-616第 9课时梯形（2）一、温故知新1等腰梯腰上、下底之差等于一腰长，那么腰与下底的夹角是（）A75B60C45D302梯形的同一个底上的两个底角为70 和 25 ，则它的另两个内角是3只有一组对边平行，另一组对

32、边相等的四边形是4等腰梯形的一个内角为54 ，则其余的三个角是5等腰梯形的一个内角是60 ，两底长分别为15cm 和 49cm，则腰长为 _ 6直角梯形的直腰长为2cm ，另一腰与下底的夹角为45 ，则此腰的长为7等腰梯形的上底为 3，腰长为4，有一内角为60 ，则下底长为8如图 4-9-1，梯形 ABCD 中，如果 DC AB， AD =BC， A=60， DB AD ， AD =3，DC那么 DBC =， C=， CD=二、自主学习AB图 4-9-11等腰梯形的判定(1) 同一底上的两个底角相等的梯形是等腰梯形(2) 对角线相等的梯形是等腰梯形AD2如图 4-9-2，在梯形 ABCD 中，已知 BC 求证：梯形ABCD 是等腰梯形 （根据等腰梯形的定义证明）3如图4-9-3，在梯形ABCD 中，已知AC=BD 求证：梯形ABCD 是等腰梯形 （根据等腰梯形的定义证明）BC图 4-9-2ADBC图 4-9-3三、课堂同步阶梯一基础训练1若等腰梯形 ABCD 中， AD BC， AB= CD ， AC 、 BD 相交于点 O，那么图中全等三角形共有_ 对，若梯形 ABCD 为一般梯形，那么图中面积相等三角形共有_对2等腰梯形