arc换元积分法PPT教学课件

1、dxxxf)()()()(xuduuf第一类换元公式（凑微分法）定理定理1 1可导，则具有原函数，设)()(xuuf说明说明 使用此公式的关键在于将dxxg)(化为.)()(dxxxf观察重点不同，所得结论不同。观察重点不同，所得结论不同。例1 求.2sinxdx解（一） 原式)2(2sin21xxd;2cos21Cx 第1页/共28页解（二） 原式xdxxcossin2)(sinsin2xxd;sin2Cx解（三） 原式xdxxcossin2)(coscos2xxd.cos2Cx例2 求.231dxx解dxxx)23(23121原式)23(23121xdx.|23|ln21Cx 第2页/共2

2、8页dxbaxf)(baxuduufa)(1一般地一般地例3 求.)ln21 (1dxxx解)(lnln211xdx原式)ln21 (ln21121xdx.|ln21 |ln21Cx 例4 求.)1 (3dxxx解 原式dxxx3)1 (11)1 ()1 (1)1 (132xdxx第3页/共28页221)1 (2111CxCx.)1 (21112Cxx例5 求.122dxxa解dxaxa222111原式axdaxa2111.arctan1Caxa例6 求解.2cos3cosxdxx),cos()cos(21coscosBABABA第4页/共28页dxxx)5cos(cos21原式.5sin10

3、1sin21Cxx解一：原式例7 求.cos11dxxdxxxxcos1cos1cos1dxxx2cos1cos1dxxx2sincos1)(sinsin1sin122xdxdxx.sin1cotCxx第5页/共28页解二：2sin212xdx原式)2(2csc2xdxCx2cot解 原式例8 求.cossin52xdxx)(sincossin42xxdx)(sin)sin1 (sin222xdxx)(sin)sinsin2(sin642xdxxx.sin71sin52sin31753Cxxx第6页/共28页说明：说明：当被积函数是三角函数相乘时，拆开奇次项去凑微分。例9 求22xadx解dx

4、xaxaa)11(21原式xadxaxadxa2121cxaaxaa|ln21|ln21)0(|ln21acxaxaa第7页/共28页类似地可推出类似地可推出22axdx)0(|ln21acaxaxa解（一）dxxsin1原式例10 求.cscxdxdxxx2cos2sin2122cos2tan12xdxx2tan2tan1xdxCx2tanln.cotcsclnCxx第8页/共28页解（二）dxxsin1原式 dxxx2sinsin)(coscos112xdxxucosduu211duuu111121Cuu11ln21.cos1cos1ln21Cxx类似地可推出类似地可推出.tansecln

5、secCxxxdx第9页/共28页例11 求22xadx解2)(11axdxa原式2)(1)(axaxd)0(arcsinacax第10页/共28页积积 分分 公公 式（式（2）22)16(xadx)0(ln21acxaxaa22(axdx或）)0(ln21acaxaxa22)15(xadx)0(arcsinacaxdxxa221)14(.arctan1caxaxdxsec)17(Cxxtanseclnxdxcsc)18(CxxcotcsclnCxxdxcoslntan)19(Cxxdxsinlncot)20(第11页/共28页问题问题?125dxxx解决方法解决方法 改变中间变量的设置方法.

6、过程过程令txsin,costdtdx dxxx251tdtttcossin1)(sin25tdtt25cossin（应用（应用“凑微分凑微分”即可求出结果）即可求出结果）二、第二类换元法第12页/共28页具有原函数，则又设，且是单调、可导的函数，设)()(0)()(ttfttx)()()()(xtdtttfdxxf定理定理2 2的反函数。为其中)()(txx第二类积分换元公式例10 求).0(122adxax解taxtan令tdtadx2sec2,2ttdtata2secsec1原式tdtsecCtttansecln第13页/共28页tax22ax .ln22Caaxax解例11 求.423

7、dxxxtxsin2令tdtdxcos22,2ttdtttcos2sin44sin223原式tdtt23cossin32tdttt22cos)cos1 (sin32t2x24x tdttcos)cos(cos3242第14页/共28页Ctt)cos51cos31(3253.4514345232Cxx解例12 求).0(122adxaxtaxsec令2, 0ttdttadxtansecdttattatantansec原式tdtsecCtttansecln.ln22Caaxaxtax22ax 第15页/共28页说明说明(1)(1) 以上几例所使用的均为三角代换，目的目的是化掉根式. 积分中为了化掉

8、根式是否一定采用三角代换并不是绝对的，需根据被积函数的情况来定.一般规律如下：当被积函数中含有22) 1 (xa 可令;sintax 22)2(xa 可令;tantax 22)3(ax 可令.sectax 说明说明(2)(2)第16页/共28页例13 求dxxx251, 122tx,tdtxdx 21xt令解一：tdttt221原式dttt1224Cttt353251Cxxx2421)348(151解二：txtan令tdtdx2sec2,2ttdttsectan5原式ttd sectan4tdtsec) 1(sec22tdttsec) 1sec2(sec24第17页/共28页Ctttsecse

9、c32sec5135.1)348(151242Cxxxt12 xx1解例14 求.11dxexxet1令dtttdx122dtt122原式dttt1111Ctt11ln.11ln2Cxex,1ln2tx第18页/共28页例15 求.)1 (13dxxx解6tx 令,65dttdx dtttt)1 (6235原式dttt2216说明说明(3)(3) 当被积函数含有两种或两种以上的根式 时，可采用令 （其中 为各根指数的最小公倍数） lkxx,ntx ndttt221116Cttarctan 6.arctan 666Cxx第19页/共28页三、小结两类积分换元法： （一）（一）凑微分（二）（二）三

10、角代换、根式代换基本积分表(2)第20页/共28页一、一、 填空题：填空题： 1 1、 若若CxFdxxf )()(而而)(xu 则则 duuf)(_； 2 2、 求求 )0(22adxax时， 可作变量代换时， 可作变量代换_ _，然后再求积分；，然后再求积分； 3 3、 求求 dxxx211时可先令时可先令 x_； 4 4、 dxx_)1(2xd ； 5 5、 dxex2_)1(2xed ； 6 6、 xdx_)ln53(xd ； 练练 习习 题题第21页/共28页7 7、 291xdx = =_)3arctan(xd；8 8、 21xxdx_)1(2xd ；9 9、 dtttsin_；1

11、010、 222xadxx_ . .二、二、 求下列不定积分： （第一类换元法）求下列不定积分： （第一类换元法） 1 1、 dxxaxa； 2 2、 )ln(lnlnxxxdx； 第22页/共28页3 3、 221.1tanxxdxx； 4 4、 xxeedx； 5 5、 dxxx321； 6 6、 dxxxx4sin1cossin； 7 7、 dxxxxx3cossincossin； 8 8、 dxxx2491； 9 9、 dxxx239； 10 10、 )4(6xxdx； 1111、 dxxxx)1(arctan ； 12 12、 dxxexxx)1(1； 1313、 dxxx2arcc

12、os2110； 14 14、 dxxxxsincostanln. . 第23页/共28页三、三、 求下列不定积分： （第二类换元法）求下列不定积分： （第二类换元法） 1 1、 21xxdx； 2 2、 32)1(xdx； 3 3、 xdx21； 第24页/共28页练习题答案练习题答案一、一、1 1、CuF )(; ;； 2 2、taxsec 或或taxcsc ； 3 3、t1； 4 4、21； 5 5、- -2 2； 6 6、51； 7 7、31； 8 8、 ； 9 9、Ct cos2； 10 10、Cxaaxaxa )(arcsin22222. . 二、二、1 1、Cxaaxa 22arcsin； 2 2、Cx lnlnln； 3 3、Cx 21cosln. 3； 4 4、Cex arctan； 5 5、Cx 233)1(92； 6 6、Cx )arctan(sin212； 第25页/共28页7 7、Cxx 32)cos(sin23； 8 8、Cxx 44932arcsin212； 9 9、Cxx )9ln(292