最新数学建模第五讲

1、精品文档数学建模课程教案讲课题目：第五讲微分方程模型目的要求：了解微分方程在数学建模中应用随进度板书 标题、提纲， 内容、例题用PPT演示，建 模过程讲解 板书。重点难点：微分方程模型在数学建模中的应用方法步骤：理论讲授器材保障：多媒体设备教学内容与时间安排：时间分配随 课堂情况调微分方程是研究函数变化规律的有力工具，在科技、工程、经济、军事、生 态、社会等各个领域有着广泛的应用。因此，如何对实际问题建立起微分方程就 成了重要的，而且是和解方程截然不同的问题，这就是微分方程的建模问题。这 些问题常常是困难的，但也并非是“无章可循”，事实上运用微分方程解决实际问 题，常有一定的模式。所谓模式就是

2、问题所遵循的共性规律，或者分析实际问题 时所采用的共同方法。建立微分方程模型需对研究对象作具体分析，一般有以下三种方法：一是根 据问题所遵循的规律（如电学、热学、力学、物理学）建模；二是用微元法建模， 即分析微元之间的关系式；三是用模拟近似法建模。建立微分方程模型只是解决问题的第一步。通常要求出方程的解来说明实际 现象，并用以检验。如果能得到解析形式的解固然便于分析和应用，但许多方程 是求不出解析解的，因此研究其稳定性和数值解法也是十分重要的方法。5.1微分方程的简单应用问题40分钟例1 （物体达到的最大高度）在地面上以初速度V。铅直向上发射一质量为m的物 体，设地球引力与物体到地心的距离平方

3、成反比，求物体可能达到的最大高度。若物体脱离太阳系，则V。应为多少？模型建立记地球半径为R,假设空气阻力不计。精品文档设在t时刻物体上升的高度为sS(t)(即离开地面的高度)，则根据Newton万有引力定律知，物体受地球的引力为k(R s)2(k 0)(5.1.1)其中k为比例系数。因为当物体在地面上时,s 0,Fmg，即mgkR2k mgR2FR2F mg2(R s)2又物体在上升过程中满足 Newton第二定律所以F ma m学dt2所以2 2Rd smg 2 m 2-(R s)2dt2整理得d2s gR2dt2(Rs)2s(0)0, s (0)v(0) v。(5.1.2)此即为物体运动过

4、程中的数学模型, 模型求解令ds vdt它是个二阶微分方程。d 2s dt2dvdtdv?dsds dtdvvdsdv v dsgR2(R s)分离变量得vdvgR2 (R s)2积分得1 2 vgR22R s再代入初始条件s(0)0,v(0) 乂 ，可得以之代入(5.1.2 )式，有2dsCc 卜。2 gR!vo2 gR21 2 gR2-v J2 R s由于物体达到最大高度时，v 0，所以由gR2R s1 22VogR 0解得物体的最大高度为Vo2R2gR如果物体要脱离地球引力而进入太阳系，此时必有2gR vo2 o，所以应取2vo必须s ，（5.1.3）由（5.1.3）式知,Vo(5.1.

5、4)将 g 9.8m/s2, R 6370km代入(5.1.4 )式，可得v0. 2gR 11.2km/s即Vo应为第二宇宙速度。思考题：若有空气阻力，如何建立其数学模型。例2 （液体的浓度稀释问题） 在甲、乙两个大桶内各装有100L的盐水（两桶 均未装满），其浓度均为5g/L。现用一根细管将净水以2L/min的速度输入甲桶， 搅拌均匀，同时又将混合液仍以2L/min的速度用细管输入乙桶（两桶容积足够大， 在稀释过程中不会溢出）；然后用细管以1L/min的速度从乙桶将混合液输出。问 时刻t乙桶盐水的浓度是多少？模型建立与求解设yjt）, y2（t）分别表示t时刻甲、乙两桶内盐的数量。先分析甲桶

6、：任取一段时间t,t t，贝U该时段甲桶内盐的改变量为川.2 t益？2 t两边同除以t，并令t 0,得初值问题dy_dty1 (0)50(5.1.5 )500这就是甲桶中盐含量的数学模型。对（5.1.5 ）式分离变量并积分，可得ty, （t）500e 50它表示甲桶内盐的变化，显然甲桶中盐水在稀释。现分析乙桶：同理在任意时间段t,t t内乙桶内盐的改变量为y2 (tt）y2（t）流入量一流出量y2（t）2?2 t-?1 t100100 (21)t两边同除以t，并令t0，得初值问题dy21亠办y1(t) dt 50y2(0)1100 t500y2(t)(5.1.6 )这就是乙桶中盐含量的数学模型

7、。t将y1 （t）500e 50代入（3.1.6 ）并整理得晋 R(t)y2(0) 500t10e 50(5.1.7 )求解此一阶线性微分方程，得y2(t)一1 一 125000100 t500(150tt)e 50y2(t)tt)e 50 (g/L)所以任意时刻，乙桶内盐水的浓度为1y 125000500(150100 t (100 t)例3 （凶杀作案时间的推断问题） 某天在一住宅发生一起凶杀案，下午16: 00刑侦人员和法医赶到现场，立即测得尸体温度为300C ,室内环境温度为200C。已知在环境温度200C状况下尸体在最初2小时其温度下降20C，若假定室内环境基 本上为恒温，试推断这一

8、凶杀作案的时间。问题分析该问题归结为物理上的冷却现象，需要运用Newt on冷却定律“物体在介质中的冷却速度同该物体温度与介质温度之差成正比”来解决。由于速度 刻画的是物体在某时刻的变化率，涉及导数的概念，因此反映在数学模型上必然可以运用微分方程来建模。模型建立 现就一般情形考虑，记Tt为时刻t物体的温度，T。为初始时刻t。物体的温度（本例中为受害者被害时的体温），Te为介质（环境）温度，则由Newton冷却定律可得一阶线性微分方程模型dTTdtTt0T0(Tt Te)(5.1.8)其中0为比例系数，由物体和介质的性质来决定，而负号则表示温度是下降的。模型求解对数学模型（5.1.8 ）分离变量

9、法求解，易得Tt 仃0 Te)e(tt0)Te(5.1.9)这就是物体冷却过程中物体温度随时间变化的函数关系。在根据物体和介质的性质确定值后，利用To,Te与Tt值已知的条件，由（5.1.9 ）式就可以得到便于应用的形式t t010 TeTt Te(5.1.10)F面介绍确定参数的两种方法。方法利用已知介质（环境）温度Te下物体在最初时间段t1 to其温度下降度数为Td这一条件来确定。此时有Tt1ToTd将其代入到（5.1.9）式中，有T0Td(T0 Te)e(t1 t0)Te解得T0Te-lnt1 t0T0 TdTe于是得Tt(T0 Te)et t0 T0 TeTeInt1 t0T0 Td

10、Te(5.1.11)笛 t)ln；0 Te t tTtTe0 lnT0TeT0TdTe(5.1.12)方法二利用在现场过一段时间增加一次温度测定从而增加一个条件的方法来确定，记Tt1为在时刻1物体再一次被测定的温度，将其代入到（5.1.9）式中，有Tti(T。Te)e(t1 t0)Te解得于是得Tttot t0 ln T0 Te(T0 Te)e t1 t0 Tt1 Te Te(t1 t0)l n；0 TTt I elnT0 TeT, Te(5.1.13)(5.1.14)显然, 质（环境）是方法二的特殊情形，如果已经有通过试验而列出的在不同介 温度状况下物体在最初时间段其温度下降的度数表，那么通

11、过查这种方法表立知时刻以及温度下降速度，因而就利用方法一来确定，可以减少再一次测定物体温度的手续。现在对本例运用方法一求解计算，将具体数据To37（C）（案发时刻to的人梯的正常体温）Te20（oC）（室内环境（介质空气）温度）Td2（oC）（尸体在最初2小时其温度下降的度数）Tt30（oC）（刑侦人员和法医赶到现场第一次测得的尸体温度），t 16: 00t1to 120 (分钟)代入（5.1.12）式，得于是37 20 120ln16:00 t0 3_2037 20ln 37 2 20120ln1.7508.74 （分钟）In 1.33333to 16:008:29 7:31结果表明，这一凶

12、杀案致受害者死亡的案发时间大约在当天上午7： 31左右。例4(马王堆一号墓入葬年代的测定问题) 湖南省长沙市马王堆一号墓于1972年8月发掘出土，其时测得出土的木炭标本中碳一14平均原子蜕变数29.78次/分钟，而新烧成的同种木炭标本中碳一14 (C14)平均原子蜕变数38.37次/分 钟，又知碳一14的半衰期为5730年，试由此推断入葬的大致年代。问题分析 放射性元素衰变的速度是不受环境影响的，它总是和该元素当前 的量成正比，运用碳一14测定文物或化石年代的方法是基于下面的理由：(1)宇宙射线不断轰击大气层，使大气层中产生碳一 14而同时碳一14又在不断衰变，从而大气层中碳一14含量处于动态

13、平衡中，且其含量自古至今基本上是不变的;(2)碳一14被动植物体所吸收，所以活着的生物体由于不断的新陈代谢，体内的碳一14也处于动态平衡中，其含量在物体中所占的百分比自古至今都是一样的;(3)动植物的尸体由于停止了从环境中摄取碳一 14,从而其体内碳一14含量将由于衰变的不断减少，碳定年代法就是根据碳一14的减少量来判断物体的大致死亡时间。模型建立设t时刻生物体中碳一14的含量为x(t)，放射性物质的半衰期(即放射性物质的原子数衰减一半所需的时间)为 T，生物体死亡时间为to，则由放射性物质衰变规律得数学模型dx x, dtx（t。）x。,（5.1.15）其中0称为衰变系数，由放射性物质所决定

14、，X。为生物体在死亡时刻t0时的碳一14含量。模型求解 对所得的一阶线性微分方程模型（5.1.15）采用同变量分离法求解, 得x(t)X0e(t t0)由于t t0T时，有x(t)X(t0T)1 X0 2代入上式，有1TIn 2-e2T所以得巴（t to）x（t） xoe T（ 5.1.16）这就是生物体中碳一14的含量随时间衰变的规律，由之易解得t toT In x（to）（5.1.17）ln2 x（t）将所得的数学模型的一般解应用于本例，此时以T 5730,X。38.37（新木炭标准中碳一14原子蜕变数）,x（1972）29.78 （出土的木炭标本中碳一14原子蜕变数）代入到（5.1.17

15、）式，得573038.37一t to In2095（年）In 229.78于是得t0 t 2095 1972 2095123（年）结果表明，马王堆墓入葬年代大约在公元前123年左右的西汉中期，该结论与马王堆出土文物的考证结果相一致。本例中所显示出的运用碳一 14衰变来测定文物或化石年代的方法叫做碳定年代法。5.2减肥的数学模型25分钟一、问题的提出随着生活水平的提高，普通百姓减肥之风日盛，但是众多的减肥食品几乎让 人不知所措，有些甚至对身体产生危害，迫切需要考虑如何建立减肥的数学模型 以便进行指导？二、问题分析各种族不同性别的人都有自己的体重标准。对亚洲人来说，超过标准体重的20%视为肥胖，肥

16、胖从某种意义上就是脂肪过多。如果吸收了过多的热量，则这 些热量就会转化为脂肪而使体重增加。为了减肥似乎应该不吃或少吃，但为了维 持生命，就必须摄入一定的热量以进行必要的新陈代谢、学习、工作。因此，减 肥应基于对饮食、新陈代谢、学习、工作这些关系的正确分析上，选择适当的方 法进行。减肥模型的建立就由此入手。三、模型假设（1）设某人每天摄取的热量是a J,其中b J用于新陈代谢（自动消耗），而从 事工作、生活每天每kg体重消耗 J的热量，进行体育锻炼每天每kg体重消耗 J 的热量；（2） 某人以脂肪形式储存的热量百分百有效， 而1 kg脂肪所含热量是42000J;（3） 设体重（t）是t的连续可微

17、函数。四、模型建立显然，某人每天体重的变化等于输入热量所产生的体重减去输入热量所消耗的 体重，这里输入热量是指扣除了新陈代谢之外的净吸收热量，输出热量是从事工 作、生活、进行体育锻炼的总消耗量，由于 1 kg脂肪所含热量是42000J,故某人a b每天净吸收脂肪量=42000,每天每kg体重净消耗脂肪量=42000,进而知在t到t t时间内体重的变化为(t t)爲0 t 42000t由此得到体重变化的数学模型为d (a b)()(521)dt42000(0) 0五、模型求解运用变量分离法，解方程(5.2.1),有ddt(ab)()420001 ln|(a b)(门 42000 C()利用初始条

18、件(0)0得C 一1ln|(a b)( )0于是得()t|(a b) () |(a b) () 0e 42000(5.2.2)(a b) () 0同号，故有(a b)()t)(a b) () 0 e 42000解得(t) ab(a b) ()0e(42000注意到 (5.2.2)两端同号，指数因式为正，因此(a b)()与F面作进步的分析，对(5.2.3)求导得(523)d(a_b)()十扁dt42000(5.2.4)由(521)、( 5.2.3)、( 5.2.4)可以对减(增)肥效果分析如下:(1)若(a b) () 0，即每天净吸收大于当初总消耗,ddt0,则体重增加;（2）若（a b）（

19、则体重减少；（3）若（a b）（则体重不变；（4）由（523）知）0，即每天净吸收小于当初总消耗,ddt0,d）0，即每天净吸收deng于当初总消耗，0,dt历史背景lim (t)t上述分析结果表明，只要适当控制 a （进食）、b （新陈代谢）、（生活），（体（ ）t育锻炼），要使体重控制在某个范围是可能的，而且从数学上看， e 42000衰减得 很快，一般在有限时间内（3-4个月）体重就近似等于-ab。因此要减肥，要减少a,增大b、。有必要指出，市场上某些减肥药可能在 b （新陈代谢）上做文章，从而具有某种速效，然而人们的新陈代谢不能违反生理规律，所以某 些药物强制性大幅度改变人们的新陈代谢

20、对人们的身体造成了不良后果。正确的 减肥策略最主要是有一个良好的饮食、工作、锻炼的习惯，即要适当控制a及。当然，对于少量肥胖者和运动员来说，研究不伤身体的新陈代谢的改变 也是必要的。5.3名画“ Emmaus （艾牟斯）的信徒们”伪造案的侦破30分钟二战比利时解放后，荷兰保安机关开始搜捕纳粹的合作者， 于1945年5月以 通敌罪逮捕了一名三流画家 Van Meegren范.梅格伦），此人曾将荷兰17世纪著名 绘画家Jan Vermee的名画盗卖给德寇。可是，Van Meegren被捕后于同年7月宣称他从没出卖过荷兰的利益，所有 画是伪造的。为了证明，他开始在牢内作画，当快要完成时，他得悉通敌罪

21、会变为伪造罪，为逃避判决，他拒绝完成，指望别人不会发现他使复制品老化的秘密。为审理这一案件，法庭组织了一个由化学家、物理学家、艺术史学家组成的 陪审团。科学家采用了当时最先进的科学方法，终于在其中几幅画发现了本世纪 初才有的某些有机化合物（酚醛类人工树脂），判定几幅画确系伪造，并由此判定 Va n Meegre n伪造罪成立，判刑一年，Van Meegre n在监狱心脏病突发，于1947 年12月30日去世。事情并未到此结束，其余的画是不是贋品？事实上，在此之前有的画已经被 著名鉴定家认定为真迹，“ Emmaus的信徒们”被Rembradt以高达17万美元买去。 专门小组解释为这些伪造品是Va

22、n Meegren开始伪造时为了成名之作，当他有了 杰作后，后来就不用心了。这种解释不能令怀疑者满意他们要求用科学方法证明。 这一问题悬而未决了 20年，直到1967年，Carnegie Mellon University（卡内基.梅 伦大学）的科学家才通过建立一阶常微分方程数学模型， 证明“Emmaus的信徒们” 确系贋品，了结了这一公案。二、测定含放射性元素材料年龄的原理测定油画（岩石，化石等）的原理关键是本世纪初发现的放射性现象。英国著名物理学家Rutherford（卢瑟福）在本世纪初发现：某些放射性元素的原 子是不稳定的，并且在已知的一段时间内，有一定比例的原子自然蜕变而形成新 元素的

23、原子，并且物质的放射性与所存在物质的原子数称正比。dN记N（t ）为t时刻存在的原子数，则 为单位时间内蜕变的原子数，因此有dNdtdt(5.3.1)其中 是衰变常数，越大，物质蜕变的越快，的量纲是时间的倒数。物理学中用半衰期T来衡量物质的蜕变率，定义为给定数量的放射性原子蜕变一半所需时间。通常通过来计算T，假设N（t。）Ng，于是得初值问题(5.3.2)dNdtN(tg) Ng其解为由（5.3.3）两边取对数得N Noe (t to)(5.3.3)(tto)No(534)ttoln2许多物质的半衰期已经确定如碳-14的半衰期T5730年；铀-238的半衰期为45亿年。“放射性测定年龄法”的根

24、据是这样的，由（5.3.4)解出t to1lnN tNolnNIn 2 No1, Nln No，在大No，便可确在某些情况如果to是物质最初形成或制造出来的时间，则物质的年龄是 多数情况下， 已知或能够算出并且易知 N的值。因此，只要知道定物质年龄。然而，这正是问题的难处，因为通常不知N。不过下，或者可以间接确定No，或者可以知道No的一些适当范围。下面介绍对油画 间接确定No的方法。三、有关的化学知识地壳中几乎所有元素都含有少量铀，岩石中的铀蜕变为另一种放射性元素， 该放射性元素又蜕变为一系列元素，最后变为无放射性的铅。铀不断提供这一系 列中后面各种有还俗的来源，使得当它们蜕变时就有后面的元

25、素予以补充。所有油画中都含有少量放射性元素铅-2io以及更少量的镭-226,因为2ooo多 年来画家所用的颜料铅白（氧化铝）都含有这些元素。铅白是由金属铅制成的，而金属铅又是从铅矿石中化炼而成的。在这一过程 中，矿石中的铅-2io会同金属铅一起练出，而 9。-95%的镭及其蜕变后裔则称 废渣被除去。这样铅-210的绝大部分来源被切断，它便以22年的半衰期迅速蜕变, 这个过程一直进行到铅白中的铅-210同所余少量的镭再度处于放射性平衡为止， 这时铅-210的蜕变恰好被镭的蜕变所补足而得到平衡。四、油画中放射性物质含量的数学模型艺术家用铅白作颜料之一已2000多年，铅白中含微量的放射性铅-210及

26、少量 镭-226,铅白又是铀蜕变的，过程如下铀-238T=45亿年J镭-226T=1600 年铅-206T=22 年铅-210无放射性有放射性通过以上分析，我们可由油画中铅-210的量来确定油画年龄。先建立关于 铅-210含量的数学模型。由于我们鉴定几幅不超过三百年的画，为使模型简单， 作如下简化、假设：（1）每克铅白中的镭在每分钟蜕变率r是一常数，因为镭的半衰期T=1600a, 经过300a左右铅白中的镭至少还有原量的 90%以上（微分方程法）；（2）铅的半衰期T=138d容易测定，铅-210半衰期T=22a，对要鉴别应有 300a历史的颜料来说，每克铅白中钚每分钟蜕变数与铅 -210蜕变数相差极微，以 至事实上无法区分，因而我们认为两者相等。记y（t）为t时刻每克铅白所含铅-210数量，y0为制造时刻t。每克铅白所含 铅-210数量，r为镭-226在每克铅白中每分钟蜕变量，是铅-210的衰变常数，则油画中铅-220含量应满足dy y rdt（ 5.3.5）y（t。） y。其解为r (t t0)(t t0)y(t) 1 e ( ) yoe ( )(536)在(5.3.6)中，由假设及y(t)的可测性，只要知道y0，便可以算出t to