第三章量子力学中的算符12

1、l算符算符l厄米算符的本征函数厄米算符的本征函数l动量算符和角动量算符动量算符和角动量算符l电子在库仑场中的运动电子在库仑场中的运动l基本对易关系基本对易关系重点：厄米算符平均值角动量算符对易关系算符算符算符是指作用在一个函数上得出另一个函数的运算符号算符是指作用在一个函数上得出另一个函数的运算符号 vuf f就是一个算符就是一个算符 如果量子力学中的力学量f在经典力学中有相应的力学量，则表示这个力学量的算符由经典表示式f(r,p)中将动量p换为动量算符得出 ),() , (iffr rp pr r名称名称力学量力学量operator算符坐标坐标动量动量势能势能动能动能总能量总能量角动量角动量

2、经常遇到的力学量所对应的算符rrrp ip )(ru)()(rurumpt222222mmpt)(rute)(ruthprl)(irprl简并简并degeneration 当算符的某一本征值n的本征函数不止一个，而是 f 个线性无关的函数n1、 n2、 nf，则称该本征值 f 度简并。 ninnia), 2 , 1(fi 若一个算符作用在波函数上得出一个常数乘以该波函数 ，如，则称此方程为该算符的本征方程，称此常数fn为算符f的第n个本征值，波函数为fn相应的本征波函数nnnff线性算符线性算符 linear operator 设设u u1 1、 u u2 2为任意函数，为任意函数，c c1

3、1、c c2 2是任意两个复常数，如果是任意两个复常数，如果22112211)(uacuacucuca则称则称 为为线性算符线性算符 x、d/dx是线性算符，而开方运算不是线性算符 量子力学中用来表示力学量的算符，都是线性算符 是态叠加原理的要求设设11a22a根据态的叠加原理根据态的叠加原理也就是假设说也就是假设说 是二度简并的是二度简并的2211cc也是算符也是算符的本征态，应有的本征态，应有a当当为线性算符时为线性算符时)(2211ccaa)(2211cc1 厄米算符厄米算符 设u、 v为两个任意函数，如果算符满足dvaudvua)()()()(r rr rr rr r则称为厄米算符量子

4、力学中代表力学量的算符必须是线性厄米算符量子力学中代表力学量的算符必须是线性厄米算符 量子力学的又一基本概念 厄米算符在任意状态下的平均值必须是实数 力学量观测值必须是实数，要求算符的本征值是实数 线性厄米算符的作用就是把态空间中的一个元素变成另一个 元素 线性厄米算符的本征函数构成一个正交归一的函数系（1） 厄米算符本征函数的正交归一性(orthonormality)( 0)( 1)()(nmnmdmnnmr rr r（2） 完备性(completeness)设1 、2、 、n，是某一线性厄米算符的本征函数系，任何与n满足同样边界条件且在同样区间定义的波函数,都可以按n展开，即厄米算符的本征

5、函数厄米算符的本征函数(本征态本征态)具有正交、完备性具有正交、完备性1)()()(nnntcr rt t, ,r rdcnn若在每个r处，此无穷级数都收敛到(r,t)，则称n是完备的(1)力学量处于本征态时设厄米算符的本征函数分别为1 、2、 、n，所属的本征值为， 1、 2、 n，当体系处于n时，力学量a有确定的值 n，nnna（2）当体系处于）当体系处于的非本征态的非本征态 时，力学量时，力学量a为何值？为何值？在非本征态中测量力学量的值为一平均值，当体系处于算符的非本征态时，测量力学量a所得为平均值，如果已经归一化，力学量的平均值为daa)()(r rr rddaa)()()()(r

6、rr rr rr r如果如果 尚未归一化，力学量的平均值为尚未归一化，力学量的平均值为122221nccc利用归一化条件利用归一化条件1)()(nnnacar rr r用 *左乘上式并对全空间积分左乘上式并对全空间积分dcacdannnmmm)()()()(11r rr rnnccca2222121111*dccdnnnmmm根据本征函数的完全性根据本征函数的完全性1)()(nnncr rr r力学量的平均值为：所以为在n态中，a取n的几率2nc)()(21)(31xxx状态时，粒子的能量？状态时，粒子的能量？)()(21)(31xhxhxh)()(213311xexeexxe)()(2131

7、也就是说，此时粒子不处于本征态。也就是说，此时粒子不处于本征态。 在此状态下，测量粒子的能量在此状态下，测量粒子的能量由于波函数是归一化的由于波函数是归一化的)(2131eeemamama25)292(21222222), 0( , 0)0( ,sin/2)(axxaxaxnaxn本征函数为：解：例例：设粒子在一维无限势阱：设粒子在一维无限势阱(0,a)中运动，如果描述粒子状态的中运动，如果描述粒子状态的波函数为波函数为3 轨道角动量算符的本征值和本征函数(1) 轨道角动量算符定义p pr rl lzyxzyxpppzyxeeeyzxp zp yl )(yzzyizxypxpzlxyzpypx

8、l2222zyxllll若位势与坐标的方向无关，即，则称此位势为 中心力场 粒子若在中心力场中运动，角动量是表征体系转动性质的 重要物理量 为区别自旋角动量，将其称之为轨道角动量)()(rvrv(2) 本征问题本征问题 ),(1),(,2,2 mlmlyllyl spherical-harmonics, 3 , 2 , 1 , 0 llm , 3, 2, 1, 0l 称为称为角量子数角量子数，表征角动量的大小，表征角动量的大小a的本征方程本征函数),(lmym称为称为磁量子数磁量子数),(),(sin1)(sinsin122222lmlmyy2l 本征值为22) 1(lll球谐函数，不仅应当在

9、全空间有限，而且是一个单值函数例如：例如：l=2时时),(6),(, 22, 22mmyylm可以取可以取-2,-1,0,1,2;五个值五个值),(6),(2, 222, 22yyl),(6),(1, 221, 22yyl),(6),(0 , 220 , 22yyl),(6),(1 , 221 , 22yyl),(6),(2 , 222 , 22yyl),(),(lmlmzymyl本征值本征值mlz本征函数本征函数),(lmyb lz的本征值和本征函数lz表示体系的轨道角动量在表示体系的轨道角动量在z轴方向的投影轴方向的投影一个本征值对应一个本征值对应2l+1个本征函数，本征值是个本征函数，本

10、征值是2l+1度简并的度简并的(3)讨论l算符的本征值是量子化的，只能取断续值l除了的基态外，算符的所有本征值都是简并的，且简并度为 ),(1),(,2,2 mlmlyllyl ),(),(lmlmzymyl, 3 , 2 , 1 , 0 llm , 3, 2, 1, 00l2l12 lfzll2与例题若粒子处于状态),(31),(31),(35),(312021yyy求：分别测量的可能取值与相应的取值概率zll2与解：首先判断波函数是否是归一化的状态其次计算各种条件下各力学量的可能取值和取值概率222) 1(llll的本征值为：算符llmlmclll222) 1(w）（mllzz的本征值为：

11、算符在态下，相应的取值概率公式为31c12w23122）（l32cc6w22022122）（l91c0w220z ）（l98ccw231221z ）（l4 类氢原子的波函数和能量本征值类氢原子的波函数和能量本征值(1) 分离变量法求解定态方程，可以得到满足波函数条件的解设设 ),()(),(lmnlnlmyrrr在球坐标下，薛定谔方程变为在球坐标下，薛定谔方程变为eryryrzeryrrrmrs2222222sin1)(sinsin12),(lmy类氢原子中的电子有三个自由度，因此要用三个量子数n,l,m来描述其运动状态rnl(r) 是径向函数是角度部分的波函数，称球谐函数主量子数：主量子数：

12、n角量子数：角量子数：l磁量子数：磁量子数：m能量能量角动量角动量角动量在角动量在z轴上的投影轴上的投影（2 2） 本征能量本征能量能量取下列离散值时，才有满足波函数有限性条件的解, 3 , 2 , 1,12220222242nnaeznemzessn电子的能量只与量子数电子的能量只与量子数n n有关有关, ,n称为主称为主量子数量子数20204mea玻尔第一轨道半径玻尔第一轨道半径氢原子的基态能量为若要使处于基态的氢原子电离，必须外加 13.6ev的能量 随量子数n的增加，氢原子能级间隔越来越 小，当n时能级接近连续分布evaees6 .132021氢原子能级图eoe1e2),()(),(l

13、mnlnnlmyrrerh电子的能级电子的能级en只与只与主量子数主量子数n有关有关对应一个对应一个n值值， l 可以取可以取 0,1,2n-1共共n个个对应一个对应一个l 值值， m又可以取又可以取 0, 1, 2, l共共2l+1个个l、m不同，不同，函数函数),(lmy)(rrnl的形式不同的形式不同同一能量级对应着不同的本征函数同一能量级对应着不同的本征函数库仑场中运动的电子能级是简并的库仑场中运动的电子能级是简并的简并度为简并度为电子的能级是电子的能级是n2度简并的度简并的) 12(l10nl102nlln2n例例1对能级对能级242318semze简并度是简并度是9，9个不同的波函

14、数个不同的波函数(9个不同的本征态个不同的本征态)有相同的能量有相同的能量它们是它们是2l1, 0 m0l2, 1, 0m322321320132232,1l311310131,0m300例例2：氢原子中的电子处于：氢原子中的电子处于),(43),(41),(211321rrr状态，求：状态，求：(1) 归一化的波函数归一化的波函数(2) 能量有无确定值？如果没有，求其可能能量有无确定值？如果没有，求其可能值和取这些值的几率，并求平均值？值和取这些值的几率，并求平均值？(3) 角动量有无确定值？如果没有，求其可角动量有无确定值？如果没有，求其可能值和取这些值的几率，并求平均值？能值和取这些值的

15、几率，并求平均值？(4) 角动量的角动量的z分量有无确定值？如果有，求分量有无确定值？如果有，求其本征值其本征值da 2000211321*211321243414341da 20002211321*211211*32123212169163163161利用本征函数的正交性，得到利用本征函数的正交性，得到22851691611aa所以所以5102a归一化的波函数为归一化的波函数为),(103),(101),(211321rrr解解:(1) 设归一化常数为设归一化常数为a，利用归一化条件，利用归一化条件dra 20002),(1(2) ),(103),(101),(211321rrhrh),(1

16、03),(10121123213rere),(re所以此波函数不是能量的本征函数，在此态中能量无确定值，所以此波函数不是能量的本征函数，在此态中能量无确定值，能量的可能值为能量的可能值为e2和和e3，能量的平均值为，能量的平均值为23109101eee2414417sme(3) 容易证明此波函数不是角动量平方算符的本征态容易证明此波函数不是角动量平方算符的本征态),(103),(101),(21132122rrlrl),() 11 ( 1103),() 12(210121123212rr),(2103),(610121123212rr),(2rl角动量平方的可能值为角动量平方的可能值为2622

17、101101)6(22w109103)2(22wl2平均值：2225121018106),(103),(101211321rr),(103),(101211321rr),(r是其本征函数，本征值为是其本征函数，本征值为(4),(103),(101),(211321rrlrlzz作业题：作业题：1 氢原子中的电子处于氢原子中的电子处于310311210414121),(r求求: (1) 归一化的波函数；归一化的波函数； (2) 能量有无确定值？如没有，求其能量的可能值和取这能量有无确定值？如没有，求其能量的可能值和取这些值的几率些值的几率 (3) 角动量平方有无确定值？如果有求其本征值角动量平方

18、有无确定值？如果有求其本征值 (4) 角动量的角动量的z分量有无确定值？如果没有？求其可能值和分量有无确定值？如果没有？求其可能值和取这些值的几率取这些值的几率2 氢原子能量简并度是多少？写出氢原子能量简并度是多少？写出n2的所有可能的能量状态的所有可能的能量状态讲义讲义：p74 14任选两道量子力学中可以进一步通过代表不同力学量的算符间所满足的关系，来判断哪些力学量可以同时取确定值，哪些力学量不可以同时取确定值，引入了对易的概念uaouoa算符算符、 不对易不对易如果两个算符、 ，先后作用到一个波函数上，作用的结果与作用的顺序无关，如uaouoaaooa两个两个算符算符、对易对易可以同时测定可以同时测定如果两个算符满足amma两个算符反对易0,oa0,oa1 算