定积分经典习题

1、定积分习题课定积分习题课问题问题1:1:曲边梯形的面积曲边梯形的面积问题问题2:2:变速直线运动的路程变速直线运动的路程可积条件可积条件定积分定积分定积分定积分的性质的性质定积分的定积分的计算法计算法牛顿牛顿- -莱布尼茨公式莱布尼茨公式)()()(aFbFdxxfba 一、主要内容一、主要内容1 1、问题的提出、问题的提出实例实例1 （求曲边梯形的面积（求曲边梯形的面积A）iniiTxfA)(lim10曲曲边边梯梯形形 由由连连续续曲曲线线)(xfy )0)( xf、x轴轴与与两两条条直直线线ax 、bx 所所围围成成.2 2、定积分的定义、定积分的定义设设函函数数)(xf在在,ba上上有有

2、界界，在在,ba中中任任意意若若干干若若干干个个分分点点bxxxxxann 1210把把区区间间,ba分分成成n个个小小区区间间，各各小小区区间间的的长长度度依依次次为为1 iiixxx，), 2 , 1( i，在在各各小小区区间间上上任任取取一一点点i （iix ），定义定义,12110nnxxxxxx 怎怎样样的的分分法法，也也不不论论在在小小区区间间,1iixx 上上的的取取法法，和和S总总趋趋于于确确定定的的极极限限I，在在区区间间,ba上上的的定定积积分分，记为记为如如果果不不论论对对,ba我我们们称称这这个个极极限限I为为函函数数)(xf作作乘乘积积iixf )( ), 2 , 1

3、( i点点i 怎怎样样并并作作和和iinixfS )(1 ，可积的可积的条件：条件： 当当函函数数)(xf在在区区间间,ba上上连连续续时时，定理定理1定理定理2 设设函函数数)(xf在在区区间间,ba上上有有界界，称称)(xf在在区区间间,ba上上可可积积.且且只只有有有有限限个个间间断断点点，则则)(xf在在区区间间,ba上上可可积积.3 3、可积条件、可积条件Riemann可积的充要条件f(x)在a,b上Riemann可积iniixT1, 0，使得分划11sup ( ):inf ( ):iiiiiiiiiMf xxxxmf xxxxMm其中：xi-1 xi4 4、定积分的性质、定积分的性

4、质 badxxgxf)()( badxxf)( badxxg)(性质性质1 babadxxfkdxxkf)()( (k为为常常数数)性质性质2 badxxf)( bccadxxfdxxf)()(假假设设bca 性质性质3 则则0)( dxxfba )(ba 性质性质5如如果果在在区区间间,ba上上0)( xf，推论：推论：则则dxxfba )( dxxgba )( )(ba 如如果果在在区区间间,ba上上)()(xgxf ，（1）dxxfba )(dxxfba )()(ba （2）dxba 1dxba ab 性质性质4如如果果函函数数)(xf在在闭闭区区间间,ba上上连连续续，则则在在积积分分

5、区区间间,ba上上至至少少存存在在一一个个点点 ， 使使dxxfba )()(abf )(ba 性质性质7 (定积分中值定理定积分中值定理)设设M及及m分分别别是是函函数数 则则 )()()(abMdxxfabmba . )(xf在在区区间间,ba性质性质6上的最大值及最小值，上的最大值及最小值，积分中值公式积分中值公式5 5、牛顿、牛顿莱布尼茨公式莱布尼茨公式 如如果果)(xf在在,ba上上连连续续，则则积积分分上上限限的的函函数数dttfxxa )()(在在,ba上上具具有有导导数数，且且它它的的导导数数是是 )()()(xfdttfdxdxxa )(bxa 定理定理1定理定理2（原函数存

6、在定理）（原函数存在定理） 如如果果)(xf在在,ba上上连连续续，则则积积分分上上限限的的函函数数dttfxxa )()(就就是是)(xf在在,ba上上的的一一个个原原函函数数.定理定理 3（微积分基本公式）（微积分基本公式） 如果如果)(xF是连续函数是连续函数)(xf在区间在区间,ba上的一个原函数，则上的一个原函数，则 )()()(aFbFdxxfba .)()(babaxFdxxf 也可写成也可写成牛顿牛顿莱布尼茨公式莱布尼茨公式.,:上的增量上的增量它的任一原函数在区间它的任一原函数在区间上的定积分等于上的定积分等于一个连续函数在区间一个连续函数在区间表明表明baba6 6、定积分

7、的计算法、定积分的计算法 dtttfdxxfba )()()(换元公式换元公式（1）换元法）换元法（2）分部积分法）分部积分法分部积分公式分部积分公式 bababavduuvudv例例1 1解解.2sin120 dxx求求 20cossindxxx原式原式 2440)cos(sin)sin(cosdxxxdxxx. 222 二、典型例题二、典型例题例例2 2解解.cossinsin20 dxxxx求求,cossinsin20 dxxxxI由由,cossincos20 dxxxxJ设设,220 dxJI则则 20cossincossindxxxxxJI 20cossin)sin(cosxxxxd

8、. 0 ,22 I故故得得.4 I即即例例3 3解解.2sinln40 xdx求求,2tx 令令.sinln212sinln2040 tdtxdx 402sinlnxdxI 40)cossin2ln(dxxx 40)coslnsinln2(lndxxx 2440sinlnsinln2ln4xdxxdx 20sinln2ln4xdxI22ln4 . 2ln4 I例例5 5. )1(ln1sin212128 dxxxx求求解解dxx 2121)1ln(0原原式式dxxdxx 210021)1ln()1ln(.21ln23ln23 例例6 6.,1min222 dxxx求求解解 1,11,1min22xxxxxx是偶函数是偶函数,dxxx,1min2220 原原式式 21102122dxxdxx. 2ln232 例例7 7.)()()(. 0)(,)(2abxfdxdxxfxfbaxfbaba 证证明明上上连连续续，且且在在区区间间设设证证作辅助函数作辅助函数,)()()()(2axtfdtdttfxFxaxa )(2)(1)()(1)()(axxfdttfdttfxfxFxaxa ,2)()()()(