概率论大题附答案

1、第一章 随机事件及其概率1.6 假设一批100件商品中有4件不合格品抽样验收时从中随机抽取4件，假如都为合格品，则接收这批产品，否则拒收，求这批产品被拒收的概率p解 以表示随意抽取的4件中不合格品的件数，则1.7 从等11个数中随机取出三个，求下列事件的概率：=三个数最大的是5；=三个数大于、等于和小于5的各一个；=三个数两个大于5，一个小于7解 从11个数中随机取出三个，总共有种不同取法，即总共有个基本事件，其中有利于的取法有种（三个数最大的是5，在小于5的5个数中随意取两个有种不同取法）；有利于的取法有55=20种（在小于5的5个数中随意取一个，在大于5的5个数中随意取一个，有55=25种

2、不同取法）；有利于的取法有5种(在小于5的5个数中随意取一个，在大于5的5个数中随意取两个)于是，最后得1.8 考虑一元二次方程 , 其中B, C分别是将一枚色子接连掷两次先后出现的点数(1) 求方程无实根的概率， (2) 求方程有两个不同实根的概率解 显然，系数B和C各有1,2,3,4,5,6等6个可能值；将一枚色子接连掷两次，总共有36个基本事件考虑方程的判别式事件无实根和有两个不同实根，等价于事件和下表给出了事件和所含基本事件的个数B1 2 3 4 5 6含基本事件数0 0 2 3 6 617由对称性知和等价，因此易见，方程无实根的概率和有两个不同实根的概率为1.15 已知概率分别求下列

3、各事件的概率：，解 由事件运算的性质，易见 1.18 假设箱中有一个球，只知道不是白球就是红球现在将一个白球放进箱中，然后从箱中随机取出一个球，结果是白球求箱中原来是白球的概率请预览后下载！解 引进事件：取出的是白球，箱中原来是白球，箱中原来是红球，则构成完全事件组，并且由条件知由贝叶斯公式，有1.21 假设一厂家生产的每台仪器，以概率0.7可以直接出厂；以概率0.30需进一步进行调试， 经调试以概率0.90可以出厂，以概率0.10定为不合格品不能出厂现在该厂在生产条件稳定的情况下，新生产了20台仪器求最后20台仪器(1) 都能出厂的概率；(2) 至少两台不能出厂的概率解 这里认为仪器的质量状

4、况是相互独立的设=仪器需要调试，=仪器不需要调试，=仪器可以出厂由条件知(1) 10台仪器都能出厂的概率(2) 记10台中不能出厂的台数，即10次伯努利试验“成功(不能出厂)”的次数由(1)知成功的概率为p=0.06易见，10台中至少两台不能出厂的概率1.23 设是任意二事件，证明：(1) 若事件和独立且，则或；(2) 若事件和独立且不相容，则和中必有一个是0概率事件证明(1) 由于，可见因此，若，则；若，(2) 对于事件和，由于它们相互独立而且不相容，可见，因此，概率和至少有一个等于0补充：第二节 事件的关系和运算请预览后下载！1. 设,是三个随机事件,用事件,的运算关系表示下列事件： ,三

5、个都发生； 发生而,都不发生； ,都发生, 不发生； ,恰有一个发生； ,恰有两个发生； ,至少有一个发生； ,都不发生.解：（1） （2） （3） （4） (5) (6) (7) 第三节 事件的概率1. ,求,.解：由知， =0.1 2. ,求.解：由，得，3. 已知,试证.解：由知，4. 设是三个事件,且,求至少有一个发生的概率.解：由条件，知， 5. 设,是两事件,且,问请预览后下载！ 在什么条件下,取到最大值,最大值是多少？ 在什么条件下,取到最小值,最小值是多少？解：由知，又因为，所以，所以，所以.第四节 条件概率及与其有关的三个基本公式1设有对某种疾病的一种化验，患该病的人中有呈阳

6、性反应，而未患该病的人中有呈阳性反应，设人群中有的人患这种疾病，若某病人做这种化验呈阳性反应，则他患有这种疾病的概率是多少？解：设，.依条件得, ，且 ,所以 第五节 事件的独立性和独立试验1设有个元件分别依串联、并联两种情形组成系统和,已知每个元件正常工作的概率为，分别求系统、的可靠性（系统正常工作的概率）解：， ，且， ，由条件知，每个元件正常是相互独立的，故 ，2. 设有六个相同的元件，如下图所示那样安置在线路中，设每个元件通达的概率为 ，求这个装置通达的概率.假定各个元件通达、不通达是相互独立的.解: 设 , ，由条件知，请预览后下载！第二章 随机变量及其分布2.8 口袋中有7个白球，

7、3个黑球，每次从中任取一球且不再放回(1) 求4次抽球出现黑球次数的概率分布；(2) 抽球直到首次出现白球为止，求抽球次数的概率分布解 (1) 随机变量有4个可能值0,1,2,3，若以W和B分别表示白球和黑球，则试验“4次抽球”相当于“含7个W和3个B”的总体的4次不放回抽样，其基本事件总数为，其中有利于的基本事件个数为：，因此，或(2) 随机变量显然有1,2,3,4等4个可能值；以和分别表示第次抽到白球和黑球，则“不放回抽球直到首次出现白球为止”相当于“自含7个白球3个黑球的总体的4次不放回抽样”，其基本事件总数易见2.11 设服从泊松分布，且已知，求解 以X表示随意抽取的一页上印刷错误的个

8、数，以表示随意抽取的第k页上印刷错误的个数，由条件知X和服从同一泊松分布，未知分布参数决定于条件：于是=2由于随机变量显然相互独立，因此2.14 设随机变量服从区间上的均匀分布，求对进行3次独立观测中，至少有2次的观测值大于3的概率解 设3次独立试验事件出现的次数，则服从参数为的二项分布，其中因此请预览后下载！2.17 设随机变量服从正态分布，且满足 和，分别求常数C解 （1）由与为对立事件，又得 所以C=3 (2) 由题意可知 所以反查表可得2.22 设随机变量服从上的均匀分布，求随机变量的分布律，其中解 由于服从上的均匀分布，知随机变量的概率分布为补充：第二节 离散随机变量1. 从学校乘公

9、交车到火车站的途中有三个交通岗，假设在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的 ，并且概率都为，设遇到红灯的次数，求随机变量的分布列及至多遇到一次红灯的概率。解：由条件知，随机变量的分布列如下： 0123设，则2.设每分钟通过交叉路口的汽车流量服从泊松分布，且已知在一分钟内无车辆通过与恰好有一辆车通过的概率相同，求在一分钟内至少有两辆车通过的概率。 解：A=在一分钟内至少有两辆车通过，在一分钟内至多有一辆车通过由条件知，且，即，求出， 故：，请预览后下载！ 3.计算机硬件公司制造某种特殊型号的芯片，次品率达，各芯片成为次品相对独立，求在1000只产品中至少有2只次品的概率。以记产品中的次品数。解：

10、设，由条件知， 第三章 随机向量及其概率分布3.6设随机变量和的联合密度为(1) 试求的概率密度；(2) 试求事件“大于”的概率；解 (1) 易见，当时=0；对于，有(2) 事件“大于”的概率3.11 设随机变量和的联合密度为求随机变量和的联合分布函数和概率解 设是和的联合分布函数当或时；设，则请预览后下载！于是3.12 设是曲线和直线所围成的封闭区域，而随机向量在区域上均匀分布，求和的概率密度解 设是和所围区域，其面积为因此和的联合概率密度为(1) 的密度 对于，于是(2) 的密度 对于 于是补充：第一节 二元随机向量及其分布1.设二维随机变量的联合分布函数为：，求常数解: 由条件知，,即：

11、请预览后下载！ 求出，2设的联合概率密度函数为 ，求和的边缘密度函数。解：设为关于的边缘密度函数，为为关于的边缘密度函数，且，当时，当时，当时，当，时，第四章 随机变量的数字特征4.3 设随机变量X的概率密度为已知，求未知常数与的值解 由题设知另一方面，由于 ，于是，得关于与的方程组其解为请预览后下载！4.5 设随机变量服从参数为2的泊松分布，求解 熟知，参数为2的泊松分布的数学期望，故4.6 求，已知随机变量具有概率密度为 解 由数学期望的定义，知4.7 设随机变量具有概率密度如下，求的数学期望解 由随机变量函数的数学期望，知4.11 设随机变量相互独立，且服从区间(0,6)上的均匀分布，而

12、付出参数为3的泊松分布，试求的方差解 由条件知，而由方差的性质可得4.12 设随机变量相互独立，且，试求随机变量的数学期望、方差以及概率密度解 由条件知，从而由期望和方差的性质得由于是和的线性函数，且是相互独立的正态随机变量，故也为正态随机变量，而正态分布完全决定于其期望和方差，因此，于是，的概率密度为4.16 已知随机向量的概率密度请预览后下载！求解 (1) 求。由对称性，有(2) 求第六章 数理统计的基本概念和抽样分布6.4 假设总体服从参数为的泊松分布, ，而是来自总体的简单随机样本求的概率函数解 总体的概率函数为由于独立同服从参数为的泊松分布，可见的概率函数为6.5 假设总体，而是来自

13、总体的简单随机样本求的概率函数.解 由于独立同分布，可见的密度为其中第七章 参数估计请预览后下载！7.4 设总体的概率分布为，其中是未知参数，由总体的(简单随机)样本值：(3,1,3,0,3,1,2,3)，求的矩估计值和最大似然估计值解 (1) 的矩估计量 由样本值(3,1,3,0,3,1,2,3)，得样本均值用估计数学期望，可得关于未知参数矩估计量的方程；总体X的数学期望为于是，的矩估计值为(2) 的最大似然估计量 易见，在 中0,1,2和3各出现1，2，1和4次，因此未知参数似然函数和似然方程为其中是常数，而似然方程的解显然不合题意。于是，参数的最大似然估计值为7.6 设总体的密度函数为其中为未知参数, 为来自总体的一个样本，求的矩估计量和最大似然估计量.解 (1) 矩估计量 总体的数学期望为将换成样本均值，得参数的矩估计量：请预览后下载！(2)