chapter函数极限连续小结PPT课件

1、一、主要内容一、主要内容（一）函数的定义（一）函数的定义函函 数数的定义的定义反函数反函数隐函数隐函数反函数与直接反函数与直接函数之间关系函数之间关系基本初等函数基本初等函数复合函数复合函数初等函数初等函数函函 数数的性质的性质单值与多值单值与多值奇偶性奇偶性单调性单调性有界性有界性周期性周期性双曲函数与双曲函数与反双曲函数反双曲函数第1页/共52页（二）极限的概念（二）极限的概念左右极限左右极限两个重要两个重要极限极限求极限的常用方法求极限的常用方法无穷小无穷小的性质的性质极限存在的极限存在的充要条件充要条件判定极限判定极限存在的准则存在的准则无穷小的比较无穷小的比较极限的性质极限的性质数列

2、极限数列极限函函 数数 极极 限限axnn limAxfxx )(lim0Axfx )(lim等价无穷小等价无穷小及其性质及其性质唯一性唯一性无穷小无穷小0)(lim xf两者的两者的关系关系无穷大无穷大 )(limxf第2页/共52页定义定义 如果对于任意给定的正数如果对于任意给定的正数 (不论它多么不论它多么小小),总存在正数总存在正数N,使得对于使得对于Nn 时的一切时的一切nx,不不等式等式 axn都成立都成立,那末就称常数那末就称常数a是数列是数列nx的极限的极限,或者称数列或者称数列nx收敛于收敛于a,记为记为 ,limaxnn 或或).( naxn., 0, 0 axNnNn恒有

3、恒有时时使使1 1、极限的定义、极限的定义定义定义N 第3页/共52页定义定义 2 2 如果对于任意给定的正数如果对于任意给定的正数 ( (不论它多么小不论它多么小),),总存在正数总存在正数 , ,使得对于适合不等式使得对于适合不等式 00 xx的的一切一切x, ,对应的函数值对应的函数值)(xf都满足不等式都满足不等式 Axf)(, ,那末常数那末常数A就叫函数就叫函数)(xf当当0 xx 时的极限时的极限, ,记作记作)()()(lim00 xxAxfAxfxx 当当或或定义定义 .)(,0, 0, 00 Axfxx恒有恒有时时使当使当第4页/共52页左极限左极限.)(, 0, 000

4、Axfxxx恒有恒有时时使当使当右极限右极限.)(, 0, 000 Axfxxx恒有恒有时时使当使当.)0()(lim0)(000AxfAxfxxxx 或或记作记作.)0()(lim0)(000AxfAxfxxxx 或或记作记作.)0()0()(lim:000AxfxfAxfxx 定理定理第5页/共52页无穷小无穷小:极限为零的变量称为极限为零的变量称为无穷小无穷小.).0)(lim(0)(lim0 xfxfxxx或或记作记作绝对值无限增大的变量称为绝对值无限增大的变量称为无穷大无穷大.无穷大无穷大:).)(lim()(lim0 xfxfxxx或或记作记作在同一过程中在同一过程中, ,无穷大的

5、倒数为无穷小无穷大的倒数为无穷小; ;恒不为恒不为零的无穷小的倒数为无穷大零的无穷小的倒数为无穷大. .无穷小与无穷大的关系无穷小与无穷大的关系2 2、无穷小与无穷大、无穷小与无穷大第6页/共52页定理定理1 在同一过程中在同一过程中,有限个无穷小的代数和有限个无穷小的代数和仍是无穷小仍是无穷小.定理定理2 有界函数与无穷小的乘积是无穷小有界函数与无穷小的乘积是无穷小.推论推论1 在同一过程中在同一过程中,有极限的变量与无穷小的有极限的变量与无穷小的乘积是无穷小乘积是无穷小.推论推论2 常数与无穷小的乘积是无穷小常数与无穷小的乘积是无穷小.推论推论3 有限个无穷小的乘积也是无穷小有限个无穷小的

6、乘积也是无穷小.无穷小的运算性质无穷小的运算性质第7页/共52页定理定理. 0,)()(lim)3(;)()(lim)2(;)()(lim)1(,)(lim,)(lim BBAxgxfBAxgxfBAxgxfBxgAxf其中其中则则设设推论推论1 1).(lim)(lim,)(limxfcxcfcxf 则则为常数为常数而而存在存在如果如果.)(lim)(lim,)(limnnxfxfnxf 则则是正整数是正整数而而存在存在如果如果推论推论2 23 3、极限的性质、极限的性质第8页/共52页4 4、求极限的常用方法、求极限的常用方法a.多项式与分式函数代入法求极限多项式与分式函数代入法求极限;b

7、.消去零因子法求极限消去零因子法求极限;c.无穷小因子分出法求极限无穷小因子分出法求极限;d.利用无穷小运算性质求极限利用无穷小运算性质求极限;e.利用左右极限求分段函数极限利用左右极限求分段函数极限.第9页/共52页准则准则 如果当如果当),(00rxUx (或或Mx )时时,有有,)(lim,)(lim)2(),()()()1()()(00AxhAxgxhxfxgxxxxxx 那末那末)(lim)(0 xfxxx 存在存在,且等于且等于A.5 5、判定极限存在的准则、判定极限存在的准则准准则则 单单调调有有界界数数列列必必有有极极限限.(夹逼准则夹逼准则)第10页/共52页(1)1sinl

8、im0 xxx(2)exxx )11(limexxx 10)1(lim; 1sinlim 某过程某过程.)1(lim1e 某过程某过程6 6、两个重要极限、两个重要极限第11页/共52页);(, 0lim)1( o记作记作高阶的无穷小高阶的无穷小是比是比就说就说如果如果定义定义: :. 0, 且且穷小穷小是同一过程中的两个无是同一过程中的两个无设设;),0(lim)2(是同阶的无穷小是同阶的无穷小与与就说就说如果如果 CC;, 1lim 记作记作是等价的无穷小是等价的无穷小与与则称则称如果如果特殊地特殊地7 7、无穷小的比较、无穷小的比较第12页/共52页定理定理(等价无穷小替换定理等价无穷小

9、替换定理).limlim,lim, 则则存在存在且且设设.),0, 0(lim)3(无穷小无穷小阶的阶的是是是是就说就说如果如果kkCCk 定理定理 若若)(limxf存在存在,则极限唯一则极限唯一.8、等价无穷小的性质、等价无穷小的性质9、极限的唯一性、极限的唯一性第13页/共52页（三）连续的概念（三）连续的概念左右连续左右连续在区间在区间a,ba,b上连续上连续连续函数连续函数的的 性性 质质初等函数初等函数的连续性的连续性间断点定义间断点定义连连 续续 定定 义义0lim0 yx)()(lim00 xfxfxx 连续的连续的充要条件充要条件连续函数的连续函数的运算性质运算性质非初等函数

10、非初等函数的连续性的连续性 振荡间断点振荡间断点 无穷间断点无穷间断点 跳跃间断点跳跃间断点 可去间断点可去间断点第一类第一类 第二类第二类第14页/共52页定义定义1 1 设函数设函数)(xf在点在点0 x的某一邻域内有定义的某一邻域内有定义, ,如果当自变量的增量如果当自变量的增量x 趋向于零时趋向于零时, ,对应的函数对应的函数的增量的增量y 也趋向于零也趋向于零, ,即即0lim0 yx 或或 0)()(lim000 xfxxfx那末就称函数那末就称函数)(xf在点在点0 x连续连续, ,0 x称为称为)(xf的连的连续点续点. .1 1、连续的定义、连续的定义).()(lim200

11、xfxfxx 定义定义第15页/共52页定理定理.)()(00既左连续又右连续既左连续又右连续处处在在是函数是函数处连续处连续在在函数函数xxfxxf.)(),()0(,),)(0000处右连续处右连续在点在点则称则称且且内有定义内有定义在在若函数若函数xxfxfxfbxxf 3 3、连续的充要条件、连续的充要条件2 2、单侧连续、单侧连续;)(),()0(,()(0000处左连续处左连续在点在点则称则称且且内有定义内有定义在在若函数若函数xxfxfxfxaxf 第16页/共52页:)(0条件条件处连续必须满足的三个处连续必须满足的三个在点在点函数函数xxf;)()1(0处有定义处有定义在点在

12、点xxf;)(lim)2(0存在存在xfxx).()(lim)3(00 xfxfxx ).()(),()(,00或间断点或间断点的不连续点的不连续点为为并称点并称点或间断或间断处不连续处不连续在点在点函数函数则称则称要有一个不满足要有一个不满足如果上述三个条件中只如果上述三个条件中只xfxxxf4 4、间断点的定义、间断点的定义第17页/共52页(1) 跳跃间断点跳跃间断点.)(),0()0(,)(0000的跳跃间断点的跳跃间断点为函数为函数则称点则称点但但存在存在右极限都右极限都处左处左在点在点如果如果xfxxfxfxxf (2)可去间断点可去间断点.)()(),()(lim,)(00000

13、的可去间断点的可去间断点为函数为函数义则称点义则称点处无定处无定在点在点或或但但处的极限存在处的极限存在在点在点如果如果xfxxxfxfAxfxxfxx 5 5、间断点的分类、间断点的分类第18页/共52页跳跃间断点与可去间断点统称为跳跃间断点与可去间断点统称为第一类间断点第一类间断点.特点特点: :.,0右极限都存在右极限都存在处的左处的左函数在点函数在点x可去型可去型第一类间断点第一类间断点跳跃型跳跃型0yx0 x0yx0 x第19页/共52页0yx无穷型无穷型振荡型振荡型第二类间断点第二类间断点0yx0 x第二类间断点第二类间断点.)(,)(00类间断点类间断点的第二的第二为函数为函数则

14、称点则称点至少有一个不存在至少有一个不存在右极限右极限处的左处的左在点在点如果如果xfxxxf第20页/共52页.,)(,),(上连续上连续在闭区间在闭区间函数函数则称则称处左连续处左连续在右端点在右端点处右连续处右连续并且在左端点并且在左端点内连续内连续如果函数在开区间如果函数在开区间baxfbxaxba 6 6、闭区间的连续性、闭区间的连续性7 7、连续性的运算性质、连续性的运算性质定理定理.)0)()()(),()(),()(,)(),(000处也连续处也连续在点在点则则处连续处连续在点在点若函数若函数xxgxgxfxgxfxgxfxxgxf 第21页/共52页定理定理1 1 严格单调的

15、连续函数必有严格单调的连严格单调的连续函数必有严格单调的连续反函数续反函数. .定理定理2 2).(lim)()(lim,)(,)(lim000 xfafxfaufaxxxxxxx 则有则有连续连续在点在点函数函数若若8 8、初等函数的连续性、初等函数的连续性.)(,)(,)(,)(00000也连续也连续在点在点则复合函数则复合函数连续连续在点在点而函数而函数且且连续连续在点在点设函数设函数xxxfyuuufyuxxxxu 定理定理3 3第22页/共52页定理定理4 4 基本初等函数在定义域内是连续的基本初等函数在定义域内是连续的.定理定理5 5 一切初等函数在其一切初等函数在其定义区间定义区

16、间内都是连续的内都是连续的.定义区间是指包含在定义域内的区间定义区间是指包含在定义域内的区间.9 9、闭区间上连续函数的性质、闭区间上连续函数的性质定理定理1(1(最大值和最小值定理最大值和最小值定理) ) 在闭区间上连续在闭区间上连续的函数一定有最大值和最小值的函数一定有最大值和最小值. .第23页/共52页定理定理 3(3(零点定理零点定理) ) 设函数设函数)(xf在闭区间在闭区间 ba,上连续，且上连续，且)(af与与)(bf异号异号( (即即0)()( bfaf),),那末在开区间那末在开区间 ba,内至少有函数内至少有函数)(xf的一个零的一个零点点, ,即至少有一点即至少有一点

17、)(ba ，使，使0)( f. .定理定理2(2(有界性定理有界性定理) ) 在闭区间上连续的函数一定在闭区间上连续的函数一定在该区间上有界在该区间上有界. .第24页/共52页推论推论 在闭区间上连续的函数必取得介于最大值在闭区间上连续的函数必取得介于最大值M与最小值与最小值m之间的任何值之间的任何值.定理定理 4(4(介值定理介值定理) ) 设函数设函数)(xf在闭区间在闭区间 ba, 上上连续，且在这区间的端点取不同的函数值连续，且在这区间的端点取不同的函数值 Aaf )( 及及 Bbf )(, ,那末，对于那末，对于A与与B之间的任意一个数之间的任意一个数C，在开区间，在开区间 ba,

18、内至少有一点内至少有一点 ，使得，使得cf )( )(ba . .第25页/共52页二、典型例题二、典型例题 . 1 求下列函数的定义域求下列函数的定义域ex 49)3ln(1)(1)(2xxxf Solution. 13030492xxx由由 2377xxx得得)3 , 2()2 , 7( 故所求定义域为故所求定义域为 )2(sin,)(10)2(的定义域的定义域求求有定义有定义时函数时函数设设xfufu Solution., 12sin0: x依题意要求依题意要求由此可求得由此可求得x的取值范围，即为定义域的取值范围，即为定义域.第26页/共52页).1(, 35)1(. 22242 xf

19、xxxfex求求设设Solution.13312)1(2242 xxxxf1)1(3)1(222 xx13)(2 xxxf1)1(3)1()1(2222 xxxf故故. 324 xx第27页/共52页,)1()(. 3bacbaxcxbfxafex 且且为常数为常数其中其中设设).()(xfxf 求证求证Proof. 1代入已知表达式得代入已知表达式得以以x )()1(cxxbfxaf 两式联立可求得，两式联立可求得，)()(22bxxabacxf )()(22bxxabacxf 而而)(22bxxabac )(xf ).()(xfxf 第28页/共52页Solution.)(lim)00(

20、0 xffx )(lim)00( 0 xffx . )(lim 0不不存存在在xfx).(lim,0 , 120 , 00 , 12)( . 40 xfxxxxxxfexx 求求设设, 1)12(lim0 xx, 1)12(lim0 xx第29页/共52页ex5. 计算计算 .1lim21 xnxxxnxSolution.1lim21 xnxxxnx1)1()1()1(lim21 xxxxnx)1()1()1(1lim2121 nnxxxxxxnn )1(321.2)1( nn第30页/共52页ex6. 计算计算 ).1311(lim31 xxxSolution.)1311(lim31 xxx

21、131lim321 xxxx)1)(1()2)(1(lim21 xxxxxx. 112lim21 xxxx第31页/共52页.11lim 7.431 xxexx计算计算Solution.1211lim431txxxx 11lim341 ttt1)1)(1(lim221 ttttt.34 .lim 8.xxxxexx 计算计算Solution. .limxxxxx xxxxxxx lim.21 第32页/共52页.sincossin1lim. 90 xxxxxexx 计算计算Solution. )cossin1(sincossin1limsincossin1lim200 xxxxxxxxxxxx

22、xxx)cossin11sinsinsin(lim20 xxxxxxxxx . 1)sin1(lim210 xxx第33页/共52页Solution.,0 时时当当x.21cos1 ,sin2xxxx 3030sintanlimsinsintanlimxxxxxxxx .21cos21lim320 xxxxx.sinsintanlim .1030 xxxexx 计算极限计算极限xxxxxcos)cos1(sinlim30 第34页/共52页.sinlim .11sin0 xxeeexxxx 计算极限计算极限Solution.xxeexxeexxxxxxxsin)1(limsinlimsinsi

23、n0sin0 xxxxexxsin)sin(limsin0 . 1limsin0 xxe第35页/共52页.)cos1(cos1lim .120 xxxexx 计算极限计算极限Solution.)cos1)(cos1(cos1lim)cos1(cos1lim00 xxxxxxxxx )cos1(22lim20 xxxxx .21 第36页/共52页ex13. 计算计算.coslim0 xxx Solution. xxxxxx100coslimcoslim xxx10)1(cos1lim xxx1202sin21lim xxxxx2sin22sin2120222sin21lim .21 e第37

24、页/共52页).1.2111(lim . 41222nnnnexn 求求Solution.)12111(222nnnn nnn212 nn, 0lim 2 nnnn又又. 01lim2 nnn由夹逼准则得由夹逼准则得 . 0)1.2111(lim222 nnnnn第38页/共52页证明证明为正整数为正整数设设, 0,.1521kaaaexk ,maxlim2121knnknnnaaaaaa Proof. ,max21kaaaa 令令nnnnknnnnakaaaa 21 anka , 1lim nnk又又,maxlim2121knnknnnaaaaaaa 第39页/共52页, , 0.1621a

25、axaxaex 证明数列证明数列设设,3aaaxaaaxn 的极限存在，并求其极限的极限存在，并求其极限.Solution. ), 2 , 1( 1 nxaxnn, 01 ax,112xaxax , 1 nnxx假设假设nnnnxxaxax 11 则则. 单增单增即即nx, 1 1 nnxx从而从而第40页/共52页, 1 nnxax又又. 12 nnxax则则nnnxxx2 nnxxa1 nnnxxxa1 1 aa1 a. 上有界上有界即即nx所以数列极限存在所以数列极限存在.,limAxnn 设设.lim)(limlim 112 nnnnnnxaxax则则, 2AaA 即即2411 aA

26、解得解得.2411lim axnn )(负号舍去负号舍去第41页/共52页. 0 , 10 ,sin .172连续区间连续区间求求 xxxxxyexSolution. ),()(的定义域为的定义域为xf;,sin)(,0连续连续为初等函数为初等函数时时当当xxxfx ;,1)(,02连续连续为初等函数为初等函数时时当当 xxfx, 1)0( f而而, 1sinlim)(lim)00(00 xxxffxx, 1)1(lim)(lim)00(200 xxffxx.0,)(lim0为间断点为间断点即即不存在不存在 xxfx)., 0)0 ,( 连续区间为连续区间为第42页/共52页., , 22li

27、m 18.222baxxbaxxexx求求设设 Solution., 024 , ba依题意依题意.24 ab 即即224lim2lim222222 xxaaxxxxbaxxxx则则)1)(2()2()2)(2(lim2 xxxaxxx12lim2 xaxx34a 2 , 2 a. 8 b第43页/共52页xxxxaxaaxax)21(lim)(lim axaxaaxxaax 22)211(limaxaxx 2limea2e ., 9)(lim.19aaxaxexxx求求设设 Solution. , 9e 2 a故故. 3ln a第44页/共52页.0, 0, 0,cos)( ,.20处连续处

28、连续在在函数函数取何值时取何值时当当 xxxaxxxfaexSolution.xxfxxcoslim)(lim00 , 1 )(lim)(lim00 xaxfxx , a ,)0(af ),0()00()00(fff 要使要使,1时时故当且仅当故当且仅当 a.0)(处连续处连续在在函数函数 xxf, 1 a第45页/共52页 . 1 12 .21的正根的正根至少有一个小于至少有一个小于验证验证 xxexSolution. , 12)( xxxf设设.1 , 0 )(上连续上连续在闭区间在闭区间则则xf, 01)0( f又又, 01)1( f, 01)1()0( ff即即由零点定理由零点定理, . 0)( ),1 , 0( f使得使得至少存在一点至少存在一点 , 012 即即 . 1 12 的正根的正根至少有一个小于至少有一个小于即方程即方程 xx第46页/共52页Proof.,)()( xxfxF 设设则则 F(x) 在闭区间在闭区间 0,1上连续上连续. , 0)0()0( fF又又. 01)1()1( fF由零点定理得由零点定理得, ),1 , 0( 至至少少存存在在一一点点, 0)( F使使得得.)( f即即.)(),1 , 0(: , 1)(