高等数学教学课件4.2

1、科学出版社二、其他类型的不定式极限 洛必达法则 第四四章 一、00型或型不定式极限第二节第二节科学出版社一、一、( )1) lim( )xaf xg x( )3) lim( )xafxg x存在( )( )limlim( )( )xaxaf xfxg xg x2)( )fgu a与 在( )0g x 定理定理 1. 设设00(洛必达法则) 型或型或型不定式极限型不定式极限 则为00型或极限.下面证明洛比达法则仅考虑xa时的00型极限.中可导且科学出版社( 在 x , a 之间)不妨假设( )( )0,f ag a在指出的邻域内任取,ax 则( ),( )f xg x在以 x, a 为端点的区间

2、上满足柯故( )( )( )( )( )( )f xf xf ag xg xg a( )( )fg( )lim( )xaf xg x( )lim( )xafg( )lim( )xafxg x)3定理条件定理条件: 西定理条件,1) lim( )lim ( )0 xaxaf xg x证证:( )3) lim( )xafxg x存在 2)( )fgu a与 在( )0g x 中可导,且科学出版社定理 1 中ax 换为下列过程之一：, ax, ax,xx条件 2) 作相应的修改 , 定理 1 仍然成立.,x( )( )limlim( )( )xaxaf xfxg xg x洛必达法则定理1 注注1：注

3、注2：若( )lim( )xafxg x仍是不定式的极限，洛必达法则的条件，就可以继续用洛必达法则.只要它仍满足科学出版社例例1. 求.123lim2331xxxxxx解解: 原式型0023注意注意: 不是不定式不能用洛必达法则 !266lim1xxx166lim1x332x1232 xx lim1x洛洛266lim1xxx洛洛科学出版社例例2. 求.arctanlim12xxx解解: xlim型00221limxxx1211x21x思考思考: 如何求 nnn12arctanlim( n 为正整数) ?型洛洛原式科学出版社例例3. 求lnlim(0).xxx解解:原式1limxx0例例4. 求

4、求解解: .原式02(1)limexxx lim(0 ,).exxx型型洛洛1(1)()limekxxk x 存在正整数 k , 使得1kk负指数11limxxx洛洛1limexxx洛洛科学出版社例4.lim0(0 ).exxx. )0(0lnlimnxxnx例3. 说明说明:1) 例3 , 例4 表明x时,ln , x后者比前者趋于更快 .例如,xxx21lim21limxxxxxx21lim事实上xxx21lim11lim2xx1ex(0),x用洛必达法则2) 洛必达法则的条件是充分的，不是必要的，洛必达法则不能解决问题时，不能断定该极限不存在.因此当科学出版社3) 若( )lim(),(

5、 )fxg x 不存在时( )( )limlim.( )( )f xfxg xg x例如例如,xxxxsinlim1cos1limxx)sin1 (limxxx1极限不存在不能用洛必达法则 ! 即 科学出版社三、其他不定式三、其他不定式:,0 ,00,1型0解决方法解决方法:通分转化转化000取倒数转化转化0010取对数转化转化例例5. 求0limln(0).xxx型0解解: 原式0lnlimxxx110limxxx 00lim()xx洛洛科学出版社型. )tan(seclim2xxx解解: 原式)cossincos1(lim2xxxxxxxcossin1lim2xxxsincoslim20例

6、例6. 求通分转化转化000取倒数转化转化0010取对数转化转化洛洛科学出版社例例7. 求.lim0 xxx型00解解: xxx0limxxxln0elim0e1利用利用 例例5例5 通分转化转化000取倒数转化转化0010取对数转化转化科学出版社例例8. 求111lim.xxx1型解解: 111limxxxln11limexxx例5 通分转化转化000取倒数转化转化0010取对数转化转化1lnlim1exxx11limexx1e .科学出版社例例9. 求.sintanlim20 xxxxx解解:sin ,xx原式30tanlimxxxx22031seclimxxx2203tanlimxxxx

7、x22tan1sec31型00洛洛注意到先用等价无穷小代换科学出版社求下列极限 :;)11ln(lim) 12xxxx解解:tttt1)1ln(1lim2020)1ln(limtttt.cossec)1ln()1ln(lim)3220 xxxxxxx;e1lim)2211000 xxx)11ln(lim) 12xxxx)1 (2lim0ttttttt21lim11021)1(xt 令洛洛例例9.科学出版社,12xt 则tttelim50原式 =50limettt0ttte50lim49211000e1lim)2xxx解解: 令tte!50lim洛洛洛洛科学出版社xxxxxcossec)1ln(lim22201xxxxxcossec)1 (lnlim420 xxxxxcosseclim4200limx1sec42sinlim220 xxxxxxxxxxxxcossec)1ln()1ln(lim)3220解解:原式 =342xxxxtansec)sin(x第三节 洛洛uuu)1ln(0时科学出版社洛必达洛必达(1661 1704)法国数学家, 他著有无穷小分析(