平方与立方数列求和公式

1、2010-10-25 16:51 求12+22+32+.+n2的值第一题：求12+22+32+.+n2的值方法一：利用立方差公式 n3-(n-1)3=1*n2+(n-1)2+n(n-1) =n2+(n-1)2+n2-n =2*n2+(n-1)2-n 23-13=2*22+12-2 33-23=2*32+22-3 43-33=2*42+32-4 . n3-(n-1)3=2*n2+(n-1)2-n 各等式全相加n3-13=2*(22+32+.+n2)+12+22+.+(n-1)2-(2+3+4+.+n) n3-1=2*(12+22+32+.+n2)-2+12+22+.+(n-1)2+n2-n2-(

2、2+3+4+.+n) n3-1=3*(12+22+32+.+n2)-2-n2-(1+2+3+.+n)+1 n3-1=3(12+22+.+n2)-1-n2-n(n+1)/2 3(12+22+.+n2)=n3+n2+n(n+1)/2=(n/2)(2n2+2n+n+1) =(n/2)(n+1)(2n+1) 12+22+32+.+n2=n(n+1)(2n+1)/6方法二：另外一个很好玩的做法 想像一个有圆圈构成的正三角形， 第一行1个圈，圈内的数字为1 第二行2个圈，圈内的数字都为2， 以此类推 第n行n个圈，圈内的数字都为n， 我们要求的平方和，就转化为了求这个三角形所有圈内数字的和。设这个数为r

3、下面将这个三角形顺时针旋转60度，得到第二个三角形 再将第二个三角形顺时针旋转60度，得到第三个三角形 然后，将这三个三角形对应的圆圈内的数字相加， 我们神奇的发现所有圈内的数字都变成了2n+1 而总共有几个圈呢，这是一个简单的等差数列求和 1+2+n=n(n+1)/2 于是3r=n(n+1)/2*(2n+1) r=n(n+1)(2n+1)/6 拓展：12+32+52+.+(2n-1)2=(2-1)2+(4-1)2+(6-1)2+.+(2n-1)2 =22-2*1*2+12+42-2*1*4+12+.+(2n)2-2*1*2n+12 =22+42+.+(2n)2+n-22+4+.+2n =4*

4、12+22+.n2+n-2n(n+1) =2n(n+1)(2n+1)/3+n-2n(n+1) =n(4n2-1)/3第二题：证明13+23+33+.+n3=(1+2+3+.+n)2=n(n+1)/22（1+2+3+.+n）2 (n+1)4-n4=(n+1)2+n2(n+1)2-n2 =(2n2+2n+1)(2n+1) =4n3+6n2+4n+1 24-14=4*13+6*12+4*1+1 34-24=4*23+6*22+4*2+1 44-34=4*33+6*32+4*3+1 . (n+1)4-n4=4*n3+6*n2+4*n+1 各式相加有 (n+1)4-1=4*(13+23+33.+n3)+

5、6*(12+22+.+n2)+4*(1+2+3+.+n)+n 4*(13+23+33+.+n3)=(n+1)4-1+6*n(n+1)(2n+1)/6+4*(1+n)n/2+n =n(n+1)2第三题： 14+24+34+44+n4=n(n+1)(2n+1)(3n2+3n-1)/30 证明：(n+1)5-n5=5n4+10n3+10n2+5n+1n5-(n-1)5=5(n-1)4+10(n-1)3+10(n-1)2+5(n-1)+125-15=5*14+10*13+10*12+5*1+1全加起来(n+1)5-15=5*(14+24+34+44+n4)+10*(13+23+33+43+n3)+10

6、*(12+22+32+44+n2)+5*(1+2+3+4+n)+n因为13+23+33+43+n3=n(n+1)/2212+22+32+44+n2=n(n+1)(2n+1)/61+2+3+4+n=n(n+1)/2所以14+24+34+44+n4=(n+1)5-15-10*n(n+1)/22-10*n(n+1)(2n+1)/6-5*n(n+1)/2-n/5=n(n+1)(2n+1)(3n2+3n-1)/30第四题：求五次方和公式：15+25+35+45+n5=? 有没有六次、七次甚至N次方和的公式？ 万分感谢求15+25+35+n5。首先写出和式的前6项即15=1 25=32 35=243 45

7、=1024 55=3125 65=7776再求出相邻两数之差，得31 211 781 2101 4651再次求出相邻两数之差，得180 570 1320 2550再次求，一直求到只剩一个数为止390 750 1230360 480120最后，取每一组数的第一个数（包括原数组），得：1，31，180，390，360，120则15+25+35+n5=1*C(1,n)+31*C(2,n)+180*C(3,n)+390*C(4,n)+360*C(5,n)+120*C(6,n)对于某一个p，有一种通法可以求1p+2p+3p+.+np。首先写出这个和式的前(p+1)项，即1p 2p 3p 4p (p+1)p然后求出相邻两数之差，得到的差有p个再求出差的相邻两数之差，得到的差有(p-1)个一直求下去，求到只剩一个差为止。最后，包括原数组1p 2p 3p 4p (p+1)p，一共有(p+1)组数。取每组数的第一个数a1、a2、a3、a4a(p+1)（注：这(p+1)个数的顺序为为求得差时的顺序。）则1p+2p+3p+.+np=a1*C(1,n)+a2*C(2