(离线答案)福师大2020年8月《数学建模》期末考试A卷

1、(离线答案)福师大2020年8月数学建模期末考试A卷模型具有可转移性。()一个原型，为了不同的目的可以有多种不同的模型。()一个理想的数学模型需满足模型的适用性和模型的可靠性。()力学中把质量、长度、时间的量纲作为基本量纲。()数学模型是原型的复制品。()下列说法正确的有_。A、评价模型优劣的唯一标准是实践检验B、模型误差是可以避免的C、生态模型属于按模型的应用领域分的模型D、白箱模型意味着人们对原型的内在机理了解不清楚建模能力包括_。A、理解实际问题的能力B、抽象分析问题的能力C、运用工具知识的能力D、试验调试的能力按照模型的应用领域分的模型有_。A、传染病模型B、代数模型C、几何模型D、微

2、分模型E、生态模型对黑箱系统一般采用的建模方法是_。A、机理分析法B、几何法C、系统辩识法D、代数法一个理想的数学模型需满足_。A、模型的适用性B、模型的可靠性C、模型的复杂性D、模型的美观性用框图说明数学建模的过程。四条腿长度相等的椅子放在起伏不平的地面上，4条腿能否同时着地?建立模型说明同样多的面粉，多包几个饺子能多包馅，还是少包几个饺子能多包馅?投资生产A产品时，每生产一百吨需资金200万元，需场地200平方米，可获利润300万元;投资生产B产品时，每生产一百吨需资金300万元，需场地100平方米，可获利润200万元，现某单位可使用资金1400万元、场地900平方米，问应做怎么样的组合投

3、资，可使所获利润最多。在某5000个人中有10个人患有一种病，现要通过验血把这10个病人查出来，若采用逐个人化验的方法许化验9999次，(这里所需化验次数是指在最坏情况下化验次数，如果碰巧，可能首先化验的10个人全是病人，10次化验就够了，下面讨论的化验次数均指在最坏情况下的化验次数)。为了减少化验次数，人们采用分组化验的办法，即把几个人的血样混在一起，先化验一次，若化验合格，则这几个人全部正常，若混合血样不合格，说明这几个人中有病人，再对它们重新化验(逐个化验或再分组化验)。试给出一种分组化验的方法使其化验次数尽可能地小，不超过1000次。 参考答案：正确参考答案：正确参考答案：正确参考答案

4、：正确参考答案：错误参考答案：AC参考答案：ABCD参考答案：AE参考答案：C参考答案：AB参考答案：概括的说，数学模型就是一个迭代的过程，其一般建模步骤用框架图表示如下：参考答案：4条腿能同时着地(一) 模型假设对椅子和地面都要作一些必要的假设：对于此题，如果不用任何假设很难证明，结果很可能是否定的。因此对这个问题我们假设：(1)地面为连续曲面(2)长方形桌的四条腿长度相同(3)相对于地面的弯曲程度而言，方桌的腿是足够长的(4)方桌的腿只要有一点接触地面就算着地。那么，总可以让桌子的三条腿是同时接触到地面。(二)模型建立现在，我们来证明：如果上述假设条件成立，那么答案是肯定的。以长方桌的中心

5、为坐标原点作直角坐标系如图所示，方桌的四条腿分别在A、B、C、D处，A、B、C、D的初始位置在与x轴平行，再假设有一条在x轴上的线ab，则ab也与A、B，C、D平行。当方桌绕中心0旋转时，对角线ab与x轴的夹角记为。容易看出，当四条腿尚未全部着地时，腿到地面的距离是不确定的。为消除这一不确定性，令f()为A、B离地距离之和，g()为C、D离地距离之和，它们的值由唯一确定。由假设(1)，f()，g()均为0的连续函数叹由假设(3)，三条腿总能同时着地，故f()g()=0必成立()。f()，g()均为0的连续函数。又由假设(3)，三条腿总能同时着地，故f()g()=0必成立()。不妨设f()=0，

6、g()>0(若g(0)也为0，则初始时刻已四条腿着地，不必再旋转)，于是问题归结为：已知f(0)，g()均为的连续函数，f(0)=0，g(0)>0且对任意有f()g()=0，求证存在某一0，使f()g()=0。(三)模型求解证明：当日=时，AB与CD互换位置，故f()>0， g()=0 rno作h()=f()-g()，显然，h()也是的连续函数，h()= f()- g()<0而h()=f()- rn8(r)>0，由连续函数的取零值定理，存在，0<<，使得h()=0，即h()=g()。又由于f()g()=0，故必有f()=g()=0，证毕。参考答案：在饺

7、子皮相对与饺子馅比较薄的情况下，忽略饺子皮厚度对饺子体积的影响，每个饺子能包的馅y=f(x)=kx1.5 rn其中x为每个饺子消耗面粉量，k为常数。所以能包的馅总共有 My/x=Mkx0.5 其中M为总面粉量。显然这个函数在0到正无穷上是增函数，所以结论：饺子包越大相同面粉能包的馅越多，少包几个饺子能多包馅。参考答案：设生产A产品X百吨，生产B产品Y百吨，则最大利润为Z，则有模型如下：Z=300X+200Y，由题得X、Y需要满足：200X+300Y1400200X+100Y900画图解得X=3.25；Y=2.5时Z最大，且此时Z=300*3.25+200*2.5=1475得出，生产A产品3.2

8、5百吨，生产B产品2.5百吨时获利最大，最大利润为1475万元。参考答案：我们给出如下的方法：从1000人中任取64人，把他们的血样混合化验。一般地，n个人中有k个病人，令s使2sn/k<2s+1，则从n个人中任取25个人一组，当n=1000，k=10时，25=64若这64人混合血样合格(化验是阴性)，则这64个人正常，可排除，无需再化验，再从剩下未化验的人中任取64个人，混合血样化验。若这64人混合血样不合格(化验呈阳性)，说明这64人中有病人。把这64个人，分为两组，每组32人。任取一组的混合血化验，即可确定有病人的一组。(即只需化验一次，若化验的这组血样成阴性，则病人在另一组。若化验的这组血样成阳性，这组有病人，但此时，另一组也可能有病人。)作为最坏的可能情形，我们无法保证另一组的32人中没有病人，故选定有病人的一组后，把另一组人退回到未化验的人群中去。把有病人的这组32人，再分为两组，每组16人，重复上述过程。即化验一次，确定有病人的一组，把另一组退回到未化验的人群中。依次下去，直到找到一个病人为止。至此一共化验了7次。再从未化验的人中任取64人