Ch16.5-6(分子动理论)

1、复复 习习1. 理想气体的压强：理想气体的压强：231vnmP wn32 2. 理想气体的温度、平均平动动能和方均根速率：理想气体的温度、平均平动动能和方均根速率：kwT32 molMRTmkTv332 3. 能量均分原理：能量均分原理：每一个自由度的平均动能为每一个自由度的平均动能为kT21一个分子的总平均动能为一个分子的总平均动能为kTi2 摩尔理想气体的内能摩尔理想气体的内能nkTP RTiEEmol2 kTvmw23212 16-5 麦克斯韦气体分子速率分布律麦克斯韦气体分子速率分布律（英（英 J. C. Maxwell 1831-1879 ） 对大量分子系统：热平衡状态下，热运动速度

2、的分对大量分子系统：热平衡状态下，热运动速度的分布是有其规律的。这个规律叫麦克斯韦速度分布律。布是有其规律的。这个规律叫麦克斯韦速度分布律。一、麦克斯韦速率分布律一、麦克斯韦速率分布律（1859年）年）1. 统计分布规律基本概念统计分布规律基本概念 O)(vfv2. 麦氏速率分布律麦氏速率分布律分布函数：分布函数：分布规律的解析函数表达式（例分布规律的解析函数表达式（例f(v)），即概率密度。），即概率密度。 分布曲线：分布曲线：分布函数曲线（例分布函数曲线（例 ：1859 年麦克斯韦从理论上推导出这个比率为年麦克斯韦从理论上推导出这个比率为（1）v v + dv 速率间隔内的概率速率间隔内的

3、概率理想气体分子理想气体分子处于无外场作用的温度为处于无外场作用的温度为 T 的平衡态时，其速率在的平衡态时，其速率在 v v + dv 间隔内的概率。即处于间隔内的概率。即处于 v v + dv 间隔内的间隔内的分子数分子数 dN 占总分子数占总分子数 N 的比率的比率 dN/N ：）（玻玻尔尔兹兹曼曼常常量量。一一个个分分子子的的质质量量；KJkkm/1038. 123 vvekTmNNkTmvd.)2(4d22232 称为麦克斯韦速率分布律。称为麦克斯韦速率分布律。其中其中22232)2(4dd)(vekTmvNNvfkTmv 称为麦克斯韦速率分布函数。称为麦克斯韦速率分布函数。（2 2

4、）单位速率间隔内的概率）单位速率间隔内的概率概率密度概率密度分布分布函数函数重点重点 记笔记！记笔记！（3）麦克斯韦分布曲线麦克斯韦分布曲线 dvvfNdN)( O)(vfvNdNdvvf )(面面积积vdvv 分子速率在分子速率在 v v + dv 间隔内的概率：间隔内的概率：分子速率在分子速率在v1v2 间间隔内的概率：隔内的概率： 21)(vvdvvfNN（4）归一化条件：）归一化条件：1%100)(0 dvvfpv)(pvfO)(vfv整个曲线与横坐标轴之间的面积等于整个曲线与横坐标轴之间的面积等于1。 麦克斯韦速率麦克斯韦速率分布律已被分布律已被 Zarteman - -葛正葛正权实

5、验所证实。权实验所证实。(1930 1934年年)NNdvvfvv 21)(面面积积1v2vmolmolpMRTMRTmkTv414. 122 三、三、三种特征速率三种特征速率 1. 最可几速率（最概然速率）最可几速率（最概然速率）vp （p probability） 与与 f(v) 极大值对应的速率极大值对应的速率。表示平衡态理想气体分子速率位于表示平衡态理想气体分子速率位于 vp 附近的概率最大。附近的概率最大。pv)(pvfO)(vfv令令 得：得： 0 pvdvvdf02242222/322 kTmvkTmvevvkTvmekTm mkTvkTmvevpkTmv202222 2. 算术

6、平均速率算术平均速率 ：molmolMRTMRTmkTv60. 188 间间隔隔内内的的分分子子数数。表表示示dvvvdvvNfdN )( )1(的的分分子子的的速速率率总总和和。个个速速率率为为表表示示vdNvdNdvvvNf )( )2( 000)()()3(dvvfvNdvvfNvNdNvvmkTdvvekTmkTmv 8243022/32 3. 方均根速率方均根速率:molmolMRTMRTmkTv73. 1332 mkTdvvfvv3022 molmolMRTMRTmkTv73. 1332 pvvv 2molmolMRTMRTmkTv60. 188 molmolpMRTMRTmkTv

7、414. 122 Opv)(vfvv2v)(pvfvO)(vf1,mT2,mT21mm 不同气体的速率分布曲线不同气体的速率分布曲线讨论讨论 f(v) 与与 T，m 的关系的关系不同温度下的速率分布曲线不同温度下的速率分布曲线O)(vfvK73K273K12735001000同种理想气体（同种理想气体（m 同），温度升高同），温度升高时，三种特征速率都增大，分布曲时，三种特征速率都增大，分布曲线的峰线的峰 向右方移动，但因归一化向右方移动，但因归一化条件，曲线下的总面积应该保持不条件，曲线下的总面积应该保持不变，所以曲线变得平坦些。变，所以曲线变得平坦些。mTvvvp均正比于均正比于2 , ,

8、 不同种类的理想气体不同种类的理想气体（m 不同），温度相同不同），温度相同时，三种特征速率随时，三种特征速率随 m 的减小而增大。的减小而增大。例题：例题：NN 分子速率在分子速率在 v1v2 间隔内的概率。间隔内的概率。dvvf)()1(dvvNf)()2( 21)()3(vvdvvf 21)()4(vvdvvNf 21)()5(vvdvvvfNdN dN 分子速率在分子速率在 vv+dv 间隔内的概率。间隔内的概率。分子速率在分子速率在 vv+dv 间隔内的分子数。间隔内的分子数。分子速率在分子速率在 v1v2 间隔内的分子数。间隔内的分子数。dvNdvdN 注意：此式不表示平均速率，只

9、可表示速率在注意：此式不表示平均速率，只可表示速率在 v1v2 间隔内的间隔内的分子的速率总和再被分子的速率总和再被 N 除，无直接明显的物理意义。除，无直接明显的物理意义。N NdNvNdNvvvvv 2121四、麦克斯韦速度分布律四、麦克斯韦速度分布律麦克斯韦速率分布律对速度的方向未加任何限制。麦克斯韦速率分布律对速度的方向未加任何限制。 若考虑分子速度的大小，又考虑分子速度的方向，若考虑分子速度的大小，又考虑分子速度的方向，则平衡态下分子按热运动速度的分布规律称为麦克斯则平衡态下分子按热运动速度的分布规律称为麦克斯韦速度分布律。韦速度分布律。 所谓速度分布律，即所谓速度分布律，即 在平衡

10、态（在平衡态（T）下，无外场作）下，无外场作用时，速度分量分别位于区间用时，速度分量分别位于区间 vx vx+ dvx， vy vy + dvy，vz vz+dvz 内的分子数占总分子数的比率：内的分子数占总分子数的比率：zyxkTvvvmzyxzyxvvveKTmvvvvvvfNNzyxddd)2(ddd),(d2)(23222 dvx dvy dvz 为为速度空间的一速度空间的一个体积元。个体积元。 kTvvvmzyxzyxekTmvvvf2232222 , , 称为为麦克斯韦速度分布函数。称为为麦克斯韦速度分布函数。其中其中五、测定分子速率分布的实验五、测定分子速率分布的实验六、六、 玻

11、耳兹曼分布律玻耳兹曼分布律 麦克斯韦速度分布律给出了在没有外力作用下处于麦克斯韦速度分布律给出了在没有外力作用下处于平衡态的理想气体分子按速度分布的规律，由于没有平衡态的理想气体分子按速度分布的规律，由于没有外力作用，气体分子在空间的分布是均匀的，当有外外力作用，气体分子在空间的分布是均匀的，当有外力场作用时，气体分子的分布遵从波尔兹曼分布。力场作用时，气体分子的分布遵从波尔兹曼分布。 （一）玻耳兹曼分布一）玻耳兹曼分布 玻耳兹曼把麦克斯韦速率分布律推广到有保守力玻耳兹曼把麦克斯韦速率分布律推广到有保守力作用的情况，得到了波耳兹曼分布律。作用的情况，得到了波耳兹曼分布律。 麦克斯韦速度分布律中

12、指数只包含了分子的平动麦克斯韦速度分布律中指数只包含了分子的平动动能动能)(21222zyxKvvvmE 而玻氏分布律中，考虑在保守场（例如重力场）中，而玻氏分布律中，考虑在保守场（例如重力场）中，由于有外力的作用能量应是总能量由于有外力的作用能量应是总能量E = Ek + Ep ， 而势而势能能 Ep 为位置坐标的函数，因此不仅应考虑速度要限为位置坐标的函数，因此不仅应考虑速度要限制在一定的范围内，而且位置也应该限制在一定范围制在一定的范围内，而且位置也应该限制在一定范围内，于是在保守力场作用下，处于温度为内，于是在保守力场作用下，处于温度为 T 的平衡态的平衡态的理想气体分子，位置坐标介于

13、的理想气体分子，位置坐标介于 xx+dx，y y+dy， z z+dz 内，同时速度分量介于内，同时速度分量介于 vx vx+dvx， vy vy+dvy，vz vz+dvz 内的分子数为：内的分子数为：dxdydzdvdvdvekTmndNzyxkTEEPK 230)2( n0 为为 Ep = 0 势能处的分子数密度（单位体积内势能处的分子数密度（单位体积内的分子数）。的分子数）。kTEe 叫玻耳兹曼因子。叫玻耳兹曼因子。 从统计的观点看，分子处于低能态的概率大一从统计的观点看，分子处于低能态的概率大一些，而处于高能态的概率小一些。些，而处于高能态的概率小一些。 dNEedNkTE, . 1

14、讨讨论论：即，能量大的分子数较少，能量小的分子数较多。也即，能量大的分子数较少，能量小的分子数较多。也就是说分子总处于低能状态的概率大，而处于高能态就是说分子总处于低能状态的概率大，而处于高能态的概率小。的概率小。2. 如不限制速度，只考虑分子在外场中，按空间位置如不限制速度，只考虑分子在外场中，按空间位置的分布，则分布于区间的分布，则分布于区间 xx+dx ， y y+dy，zz+dz 内具有各种速度的分子数为：内具有各种速度的分子数为： zyxkTEkTEdvdvdvekTmdxdydzenNdKP230 )2( 积分号中应满足归一化条件，其结果为积分号中应满足归一化条件，其结果为 1，则

15、有，则有dxdydzenNdkTEP 0 该式给出了气体分子按势能的分布规律，可见势该式给出了气体分子按势能的分布规律，可见势能大的空间位置上，分子出现的概率较小；势能较能大的空间位置上，分子出现的概率较小；势能较小空间位置上，分子出现的概率大。小空间位置上，分子出现的概率大。kTEpendVNdn 0即即kTEPendxdydzdNn 0 玻耳兹曼分布律的玻耳兹曼分布律的 另一种形式另一种形式n 表示在保守力场中式能为表示在保守力场中式能为 Ep 的位置空间附近单的位置空间附近单位体积内的分子数。位体积内的分子数。（二）重力场中大气密度与压强按高度的分布（二）重力场中大气密度与压强按高度的分

16、布 （1）大气分子数密度：）大气分子数密度：取取 z 轴垂直地面向上，轴垂直地面向上，z = 0 处，处，Ep = 0，则分子势能为，则分子势能为 Ep = mgz 则则kTmgzenn 0n 大气分子数密度。大气分子数密度。可见，气体分子数密度随可见，气体分子数密度随高度的增加按指数规律衰减。高度的增加按指数规律衰减。大气密度按大气密度按高度的分布高度的分布说明气体分子在重力场中受到两种对立的作用。说明气体分子在重力场中受到两种对立的作用。（2）压强公式：）压强公式：若把大气视为理想气体，则若把大气视为理想气体，则RTgZMkTmgZkTmgZmolePePkTennkTP 000kTnP0

17、0 为为 z = 0 处的大气压。处的大气压。 上式称为等温压强公式，由上式可近似估算大气压上式称为等温压强公式，由上式可近似估算大气压强随高度的变化。两边取对数，得强随高度的变化。两边取对数，得PPgMRTPPmgkTZmol00lnln 由该式可估算高度由该式可估算高度（高度计原理）（高度计原理）（3）等温高度公式）等温高度公式16-7 分子的平均碰撞次数与平均自由程分子的平均碰撞次数与平均自由程 对麦氏分布律的怀疑：麦克斯韦分布律导出在室对麦氏分布律的怀疑：麦克斯韦分布律导出在室温下算出分子速率为几百米温下算出分子速率为几百米/ /秒。打开香水瓶盖，香秒。打开香水瓶盖，香气为什么不能马上

18、传到远处呢？冬天点燃火炉后，屋气为什么不能马上传到远处呢？冬天点燃火炉后，屋内为什么不能马上变热呢？内为什么不能马上变热呢？例例：教室内教室内( T= 250C )空气分子的方均根速率空气分子的方均根速率molMRTv32 )/(500029. 029831. 83sm 克劳修斯（德克劳修斯（德 R.J.E.Clausius）作出回答：因为分）作出回答：因为分子间相互子间相互频繁碰撞频繁碰撞。由于分子运动中产生频繁地碰由于分子运动中产生频繁地碰撞，路径是曲折的、迂回的，就个别分子的碰撞来撞，路径是曲折的、迂回的，就个别分子的碰撞来说，发生在何处，每秒碰撞的次数都是随机的，对大说，发生在何处，每

19、秒碰撞的次数都是随机的，对大量的分子，碰撞却存在着统计分布规律。量的分子，碰撞却存在着统计分布规律。 分子有效直径分子有效直径 d 两个分子中心可能靠近的两个分子中心可能靠近的最小距离（因斥力势的作用）最小距离（因斥力势的作用）一、分子的平均碰撞频率一、分子的平均碰撞频率 个别分子的碰撞来说，发生在何处，每秒碰撞的个别分子的碰撞来说，发生在何处，每秒碰撞的次数都是随机的次数都是随机的, ,对大量的分子，碰撞却存在着统计对大量的分子，碰撞却存在着统计分布规律。分布规律。平均碰撞频率平均碰撞频率:Z 一个分子单位时间内一个分子单位时间内与其它分子碰撞的平均与其它分子碰撞的平均次数。次数。d2采用理想模型：采用理想模型： 假定每个分子都是直假定每个分子都是直径为径为 d 的弹性球，特定的弹性球，特定分子分子 A 以平均相对速率以平均相对速率为为 u 运动，其它分子不运动，其它分