2021版新高考数学一轮复习第四章三角函数解三角形4.6正弦定理和余弦定理课件新人教B版

1、第六节正弦定理和余弦定理内容索引内容索引必备知识自主学习核心考点精准研析核心素养微专题核心素养测评【教材教材知识梳理知识梳理】1.1.正弦定理与余弦定理正弦定理与余弦定理2.2.三角形的面积公式三角形的面积公式s sabcabc= ah= aha a= bh= bhb b= ch= chc c=_=_=_.=_=_=_.1212121absin c21bcsin a21casin b2【常用结论常用结论】三角形中的必备结论三角形中的必备结论(1)ab(1)abab(ab(大边对大角大边对大角).).(2)a+b+c=(2)a+b+c=(三角形内角和定理三角形内角和定理).).(3)sin(a+

2、b)=sin c(3)sin(a+b)=sin c，cos(a+b)=-cos ccos(a+b)=-cos c， abcabcsincos ,cossin.2222(4)(4)射影定理：射影定理：bcos c+ccos b=abcos c+ccos b=a，bcos a+acos b=cbcos a+acos b=c，acos c+ccos a=b.acos c+ccos a=b.【知识点辨析知识点辨析】( (正确的打正确的打“”“”, ,错误的打错误的打“”)”)(1)(1)在在abcabc中中, ,已知已知a,ba,b和角和角b,b,能用正弦定理求角能用正弦定理求角a;a;已知已知a,b

3、a,b和角和角c,c,能用余弦定理能用余弦定理求边求边c.c.( () )(2)(2)在三角形中在三角形中, ,已知两角和一边或已知两边和一角都能解三角形已知两角和一边或已知两边和一角都能解三角形. .( () )(3)(3)在在abcabc中中,sin asin b,sin asin b的充分不必要条件是的充分不必要条件是ab.(ab.() )提示提示: :根据正弦定理和余弦定理知根据正弦定理和余弦定理知(3)(3)是错误的是错误的,(1)(2),(1)(2)是正确的是正确的, ,所以所以(1),(1),(2),(3)(2),(3). .【易错点索引易错点索引】序号序号易错警示易错警示典题索

4、引典题索引1 1在三角形中在三角形中, ,一个正弦值一个正弦值( (正数正数) )对应两个角对应两个角, ,一个余弦值对应一个角一个余弦值对应一个角考点一、考点一、t3t32 2忽视三角形内角范围忽视三角形内角范围, ,即即0 0a180a180考点二、典例考点二、典例【教材教材基础自测基础自测】1.(1.(必修必修5p75p7例例2 2改编改编 ) )在在abcabc中中,ab=5,ac=3,bc=7,ab=5,ac=3,bc=7,则则bac=bac=( () )【解析解析】选选c.c.在在abcabc中中, ,设设ab=c=5,ac=b=3,bc=a=7,ab=c=5,ac=b=3,bc=

5、a=7,由余弦定理得由余弦定理得cosbac=cosbac=由由a(0,),a(0,),得得a= ,a= ,即即bac= .bac= .25a. b. c. d.6336222bca9254912bc302 ，23232.(2.(必修必修5 p65 p6练习练习bt3bt3改编改编 ) )在在abcabc中中, ,角角a,b,ca,b,c所对的边分别为所对的边分别为a,b,c,a,b,c,若若ccbcos a,bcos a,则则abcabc为为 ( () )a.a.钝角三角形钝角三角形b.b.直角三角形直角三角形c.c.锐角三角形锐角三角形d.d.等边三角形等边三角形【解析解析】选选a.a.依

6、题意得依题意得sin csin bcos a,sin csin bcos a,所以所以sin (a+b)sin bcos a,sin (a+b)sin bcos a,即即sin bcos a+cos bsin a-sin bcos a0,sin bcos a+cos bsin a-sin bcos a0,所以所以cos bsin a0.cos bsin a0,sin a0,于是有于是有cos b0,bcos b0,b为钝角为钝角, ,abcabc是钝角三角形是钝角三角形. .3.(3.(必修必修5p55p5练习练习at1(1)at1(1)改编改编 ) )已知在已知在abcabc中中,a= b=

7、 a=1,a= b= a=1,则则b b等于等于( () )a.2a.2b.1b.1c. c. d. d. 【解析解析】选选d.d.由正弦定理由正弦定理 6，4，23ab1b1bb2.1sin asin b2sinsin6422得，所以，所以 考点一正弦定理考点一正弦定理 【题组练透题组练透】1.1.在在abcabc中中,a,b,c,a,b,c分别是内角分别是内角a,b,ca,b,c所对边的边长所对边的边长. .若若cos c+sin c- cos c+sin c- =0,=0,则则 的值是的值是( () )a. -1 a. -1 b. +1b. +1c. +1 c. +1 d.2d.22co

8、s bsin babc2232.2.已知锐角已知锐角abcabc的三个内角的三个内角a,b,ca,b,c的对边分别为的对边分别为a,b,c,a,b,c,若若b=2a,b=2a,则则 的取的取值范围是值范围是( () )3.(20193.(2019全国卷全国卷)abcabc的内角的内角a,b,ca,b,c的对边分别为的对边分别为a,b,c.a,b,c.已知已知bsin a+bsin a+acos b=0,acos b=0,则则b=_.b=_.世纪金榜导学号世纪金榜导学号asin ab3333a.(,) b.(,)6242133 1c.( ,) d.(, )2262【解析解析】1.1.选选b.b.

9、在在abcabc中中, ,由由cos c+sin c- =0,cos c+sin c- =0,由两角和的正弦公由两角和的正弦公式得式得 =2,=2,所以所以 解得解得c=b= ,c=b= ,所以所以a= .a= .由由正弦定理得正弦定理得 2.2.选选d.d.因为因为b=2a,b=2a,所以所以sin b=sin 2a=2sin acos a,sin b=sin 2a=2sin acos a,由正弦定理得由正弦定理得b=2acos a,b=2acos a,所以所以 因为因为abcabc是锐角三角形是锐角三角形, ,2cos bsin b2sin(c)sin(b)44cb442 ，422sins

10、in1ab2422 1.c2sin42a1asin asin a1,tan a.b2cos ab2cos a2所以所以所以 解得解得 所以所以 tan a1,tan a0,a=2ccos a,cos a= 0,所以所以cos a= .cos a= .由条件及正弦定理得由条件及正弦定理得sin a=sin a=2sin ccos a,2sin ccos a,即即 =2=2 sin c, sin c,所以所以sin c= .sin c= .51155a. b. c. d.2443555a2c2 55552 5514考点二余弦定理考点二余弦定理 【典例典例】在在abcabc中中, ,内角内角a,b,

11、ca,b,c所对的边分别为所对的边分别为a,b,c,a,b,c,已知已知a-c= b,sin b=a-c= b,sin b= sin c. sin c.(1)(1)求求cos acos a的值的值. .(2)(2)求求 的值的值. .666cos(2a)6【解题导思解题导思】【解析解析】(1)(1)在在abcabc中中, ,由由 及及sin b= sin c,sin b= sin c,可得可得b= c,b= c,又由又由a-c= b,a-c= b,得得a=2c,a=2c,所以所以cos a= cos a= (2)(2)在在abcabc中中, ,由由cos a= ,cos a= ,可得可得sin

12、 a= .sin a= .于是于是,cos 2a=2cos,cos 2a=2cos2 2a-1=- ,a-1=- ,sin 2a=2sin asin 2a=2sin acos a= .cos a= .所以所以cos =cos 2a cos +sin 2asin cos =cos 2a cos +sin 2asin bcsin bsin c66662222222bca6cc4c6.2bc42 6c6410414154(2a)66613151153().42428 【规律方法规律方法】用正、余弦定理求解三角形基本量的方法用正、余弦定理求解三角形基本量的方法第一步第一步: :选定理选定理. .两角两

13、边用正弦定理两角两边用正弦定理, ,三边一角用余弦定理三边一角用余弦定理. .第二步第二步: :求解求解. .将已知代入定理求解将已知代入定理求解. .【变式训练变式训练】1.(20191.(2019长沙模拟长沙模拟) )已知在已知在abcabc中中,d,d是是acac边上的点边上的点, ,且且ab=ad,bd= ad,ab=ad,bd= ad,bc=2ad,bc=2ad,则则sin csin c的值为的值为 ( () )【解析解析】选选a.a.设设ab=ad=2a,ab=ad=2a,则则bd= a,bd= a,则则bc=4a,bc=4a,所以所以cosadb= cosadb= 所以所以cos

14、bdc= cosbdc= 整理得整理得cdcd2 2+3acd-+3acd-10a10a2 2=0,=0,解得解得cd=2acd=2a或者或者cd=-5a(cd=-5a(舍去舍去).).所以所以cos c= cos c= 而而c ,c ,所以所以sin c= .sin c= .62151511a. b. c. d.84846222bdadab2bd ad26a642 2a6a，222bdcdbc62bd cd4，22216a4a6a1472 4a2a168 ，(0)2，1582.(20202.(2020晋城模拟晋城模拟) )如图如图, ,在锐角三角形在锐角三角形abcabc中中,sinbac=

15、 ,sinabc= ,sinbac= ,sinabc= ,bc=6,bc=6,点点d d在边在边bcbc上上, ,且且bd=2dc,bd=2dc,点点e e在边在边acac上上, ,且且beac,bebeac,be交交adad于点于点f.f.(1)(1)求求acac的长的长. .(2)(2)求求cosdaccosdac及及afaf的长的长. .242545【解析解析】(1)(1)在锐角三角形在锐角三角形abcabc中中,sinbac= ,sinbac= ,sinabc= ,bc=6,sinabc= ,bc=6,由正弦定理得由正弦定理得 所以所以 (2)(2)由由sinbac= ,sinabc=

16、 ,sinbac= ,sinabc= ,得得cosbac= ,cosabc= ,cosbac= ,cosabc= ,所以所以cos c=-cos (bac+abc)cos c=-cos (bac+abc)=-cosbaccos abc+sinbacsinabc=-cosbaccos abc+sinbacsinabc 242545acbcsin abcsin bac，46bcsin abc5ac5.24sin bac2524254572535732443.2552555因为因为beac,beac,所以所以ce=bccos c=6ce=bccos c=6 ae=ac-ce= . ae=ac-ce=

17、 .在在acdacd中中,ac=5,cd= bc=2,cos c= ,ac=5,cd= bc=2,cos c= ,由余弦定理得由余弦定理得ad= ad= 所以所以cosdac= cosdac= 由由beac,beac,得得afcosdac=ae,afcosdac=ae,所以所以af= af= 31855，75133522acdc2ac dccos c254 1217 ，222adaccd1725419 17.2ad ac8510 1777 175.1919 1785考点三考点三 正、余弦定理的综合应用正、余弦定理的综合应用 命命题题精精解解读读考什么考什么: :判断三角形形状、个数、面积问题判

18、断三角形形状、个数、面积问题, ,最值、范围问题最值、范围问题; ;怎么考怎么考: :考查解三角形问题常与平面几何交汇考查解三角形问题常与平面几何交汇, ,题目中经常出现有关的几何元题目中经常出现有关的几何元素如高、角平分线、线段的垂直平分线、三角形内切圆等素如高、角平分线、线段的垂直平分线、三角形内切圆等; ;与平面向量交汇考与平面向量交汇考查查, ,解三角形还常与不等式解三角形还常与不等式, ,三角函数的性质交汇命题三角函数的性质交汇命题. .学学霸霸好好方方法法1.1.判断三角形形状的两种思路判断三角形形状的两种思路(1)(1)化边化边: :通过因式分解、配方等得出边的相应关系通过因式分

19、解、配方等得出边的相应关系, ,从而判断三角形的形状从而判断三角形的形状. .(2)(2)化角化角: :通过三角恒等变形通过三角恒等变形, ,得出内角的关系得出内角的关系, ,从而判断三角形的形状从而判断三角形的形状. .此时要此时要注意应用注意应用a+b+c=a+b+c=这个结论这个结论. .2.2.在三角形中求边、角的方法在三角形中求边、角的方法(1)(1)若求角若求角, ,寻求得到这个角的一个函数的方程寻求得到这个角的一个函数的方程, ,结合角的范围求解结合角的范围求解. .(2)(2)若求边若求边, ,寻求与该边寻求与该边( (或两边或两边) )有关联的角有关联的角, ,利用三角形面积

20、公式列方程求解利用三角形面积公式列方程求解. .【命题角度命题角度1 1】 判断三角形个数、形状判断三角形个数、形状【典例典例】1.1.在在abcabc中中, ,已知已知a=2,b= ,a=45a=2,b= ,a=45, ,则满足条件的三角形有则满足条件的三角形有( () )a.1a.1个个b.2b.2个个c.0c.0个个d.d.无法确定无法确定62.2.在在abcabc中中, ,内角内角a,b,ca,b,c的对边分别为的对边分别为a,b,c.a,b,c.若若 则则abcabc的的形状是形状是 ( () )世纪金榜导学号世纪金榜导学号a.a.等腰三角形等腰三角形b.b.直角三角形直角三角形c.

21、c.等腰直角三角形等腰直角三角形 d.d.等腰三角形或直角三角形等腰三角形或直角三角形 bcos c1cos2cccos b1cos 2b，【解析解析】1.1.选选b.b.因为因为bsin a= bsin a= 所以所以bsin aab.bsin aab.所以满足条件的三所以满足条件的三角形有角形有2 2个个. .【一题多解一题多解】选选b.b.作作a=45a=45, ,则点则点b,cb,c分别在分别在a a的两条边上的两条边上. .因为因为ac=b= ,ac=b= ,所以点所以点c c固定固定. .过过c c作作abab的垂线的垂线, ,垂足为垂足为d,d,易知易知cd=h= ,cd=h=

22、,又因为又因为a=2,a=2,即即 a ,a ,所以所以b b有两个位置符合题意有两个位置符合题意. .所以满足条件的三角形有所以满足条件的三角形有2 2个个. . 2632，6336 2. 2.选选d.d.由已知由已知 所以所以 或或 =0,=0,即即c=90c=90或或 由正弦定理由正弦定理, ,得得 所以所以 即即sin ccos c=sin bcos b,sin ccos c=sin bcos b,即即sin 2c=sin 2b,sin 2c=sin 2b,因为因为b,cb,c均为均为abcabc的内角的内角, ,所以所以2c=2b2c=2b或或2c+2b=1802c+2b=180,

23、,所以所以b=cb=c或或b+c=90b+c=90, ,所以所以abcabc为等腰三角形或直角三角为等腰三角形或直角三角形形. .22221cos2c2cos ccos cbcos c1cos 2b2cos bcos bccos b，cos cbcos bccos ccos bcos cb.cos bcbsin bcsin c，cos csin bcos bsin c，【解后反思解后反思】1.1.三角形解的个数如何判断三角形解的个数如何判断? ?提示提示: :(1)(1)已知两角和一边已知两角和一边, ,该三角形是确定的该三角形是确定的, ,其解是唯一的其解是唯一的; ;已知两边和一边已知两边

24、和一边的的对角对角, ,该三角形具有不唯一性该三角形具有不唯一性, ,通常根据三角函数值的有界性和大边对大角定通常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行判断理进行判断. .(2)(2)已知三角形的两边和其中一边的对角解三角形已知三角形的两边和其中一边的对角解三角形. .可用正弦定理可用正弦定理, ,也可用余弦也可用余弦定理定理. .用正弦定理时用正弦定理时, ,需判断其解的个数需判断其解的个数, ,用余弦定理时用余弦定理时, ,可根据一元二次方程根可根据一元二次方程根的情况判断解的个数的情况判断解的个数. .(3)(3)数形结合数形结合, ,作图作图, ,与相应的直角三角形比较与相应的直角

25、三角形比较. .2.2.三角形形状如何判定三角形形状如何判定? ?提示提示: :(1)(1)角化边角化边: :利用正弦定理、余弦定理化角为边利用正弦定理、余弦定理化角为边, ,通过代数恒等变换通过代数恒等变换, ,求出求出边与边之间的边与边之间的关系进行判断关系进行判断. .(2)(2)边化角边化角: :通过正弦定理和余弦定理通过正弦定理和余弦定理, ,化边为角化边为角, ,利用三角变换得出三角形内角利用三角变换得出三角形内角之间的关系进行判断之间的关系进行判断. .【命题角度命题角度2 2】面积问题面积问题【典例典例】1.(20191.(2019全国卷全国卷)abcabc的内角的内角a,b,

26、ca,b,c的对边分别为的对边分别为a,b,c.a,b,c.若若b=6,a=2c,b= ,b=6,a=2c,b= ,则则abcabc的面积为的面积为_._.【解析解析】因为因为cos b= ,cos b= ,又因为又因为b=6,a=2c,b= ,b=6,a=2c,b= ,可得可得c c2 2=12,=12,解得解得c=2 ,a=4 ,c=2 ,a=4 ,则则abcabc的面积的面积s= s= 答案答案: : 3222acb2ac333134 32 36 3.226 32.2.在在abcabc中中, ,角角a,b,ca,b,c的对边分别是的对边分别是a,b,ca,b,c且且 acos c=(2b

27、- c)cos a.acos c=(2b- c)cos a.(1)(1)求角求角a a的大小的大小. .(2)(2)若若a=2,a=2,求求abcabc面积的最大值面积的最大值. .【解析解析】(1)(1)由正弦定理可得由正弦定理可得: : sin acos c=2sin bcos a- sin acos c=2sin bcos a- sin ccos a,sin ccos a,从而可得从而可得: : sin(a+c)=2sin bcos a,sin(a+c)=2sin bcos a,即即 sin b=2sin bcos a,sin b=2sin bcos a,又又b b为三角形的内角为三角形

28、的内角, ,所以所以sin b0,sin b0,于是于是cos a= ,cos a= ,又又a a为三角形的内角为三角形的内角, ,所以所以a=a= . .333333326(2)(2)由余弦定理由余弦定理:a:a2 2=b=b2 2+c+c2 2-2bccos a-2bccos a得得4=b4=b2 2+c+c2 2-2bc-2bc 2bc- 2bc- bc,bc,当且仅当当且仅当b=cb=c时取等号时取等号, ,所以所以bc4(2+ ),bc4(2+ ),所以所以s= bcsin a2+ .s= bcsin a2+ .所以所以abcabc面积的最大值为面积的最大值为2+ .2+ .3233

29、3312【解后反思解后反思】与三角形面积有关的问题如何求解与三角形面积有关的问题如何求解? ?提示提示: :【命题角度命题角度3 3】 解三角形与三角恒等变换交汇问题解三角形与三角恒等变换交汇问题【典例典例】abcabc的内角的内角a,b,ca,b,c的对边分别为的对边分别为a,b,c.a,b,c.已知已知sin b+sin a(sin c-sin b+sin a(sin c-cos c)=0,a=2,c= ,cos c)=0,a=2,c= ,则则c=c=世纪金榜导学号世纪金榜导学号( () ) 【解析解析】选选b.b.由题意得由题意得sin(a+c)+sin a(sin c-cos c)=0

30、,sin(a+c)+sin a(sin c-cos c)=0,sin acos c+cos asin c+sin asin c-sin acos c=0,sin acos c+cos asin c+sin asin c-sin acos c=0,即即sin c(sin a+cos a)= =0,sin c(sin a+cos a)= =0,所以所以a= .a= .由正弦定理由正弦定理 得得 即即sin c= ,sin c= ,得得c= .c= .2a. b. c. d.126432sin csin(a)434acsin asin c223sin csin4，126【解后反思解后反思】三角形与三

31、角恒等变换交汇问题如何求解三角形与三角恒等变换交汇问题如何求解? ?提示提示: :【题组通关题组通关】 【变式巩固变式巩固练练】1.1.在在abcabc中中,cos,cos2 2 (a,b,c (a,b,c分别为角分别为角a,b,ca,b,c的对边的对边),),则则abcabc的形状的形状为为( () )a.a.直角三角形直角三角形b.b.等边三角形等边三角形c.c.等腰三角形等腰三角形 d.d.钝角三角形钝角三角形【解析解析】选选a.a.已知等式变形得已知等式变形得cos b+1= +1,cos b+1= +1,即即cos b= .cos b= .由余弦定理得由余弦定理得cos b= ,co

32、s b= ,代入得代入得 整理得整理得b b2 2+a+a2 2=c=c2 2, ,即即c c为直角为直角, ,则则abcabc为直角三角形为直角三角形. .bac22cacac222acb2ac 222acba2acc ，2.2.在在abcabc中中,sin,sin2 2asinasin2 2b+sinb+sin2 2c-sin bsin c,c-sin bsin c,则则a a的取值范围是的取值范围是( () ) 【解析解析】选选c.c.由正弦定理及由正弦定理及sinsin2 2asinasin2 2b+sinb+sin2 2c-sin bsin cc-sin bsin c得得a a2 2

33、bb2 2+c+c2 2-bc,-bc,即即b b2 2+c+c2 2-a-a2 2bc,bc,由余弦定理得由余弦定理得cos a= cos a= 又又0a,0a,所以所以0a0a . .所以所以a a的取值范围是的取值范围是 . .a.(0) b.66c.(0 d.33，222bcabc12bc2bc2 ，3(03，3.(20183.(2018全国卷全国卷)abcabc的内角的内角a,b,ca,b,c的对边分别为的对边分别为a,b,c,a,b,c,若若abcabc的面积的面积为为 , ,则则c=c=( () ) 【解析解析】选选c.c.由题意由题意s sabcabc= absin c= ,=

34、 absin c= ,即即sin c= ,sin c= ,由由余弦定理可知余弦定理可知sin c=cos c,sin c=cos c,即即tan c=1,tan c=1,又又c(0,),c(0,),所以所以c= .c= .222abc4a. b. c. d.234612222abc4222abc2ab4【综合创新综合创新练练】1.1.abcabc的内角的内角a,b,ca,b,c所对的边分别为所对的边分别为a,b,c,a,b,c,已知已知sin c-cos c=1-cos ,sin c-cos c=1-cos ,若若abcabc的面积的面积s= (a+b)sin c= ,s= (a+b)sin

35、c= ,则则abcabc的周长为的周长为( () )a.2 +5 a.2 +5 b. +5b. +5c.2 +3 c.2 +3 d. +3d. +3c212327777【解析解析】选选d.d.由由sin c-cos c=1-cos sin c-cos c=1-cos 2sin cos - =1-2sin cos - =1-cos cos =0, =0,因为因为cos 0,cos 0,所以所以sin -cos =- ,sin -cos =- ,两边平方得两边平方得sin c= ,sin c= ,由由sin -cos =- sin -cos =- 得得sin cos ,sin cos ,所以所以0

36、 0 , ,即即0c ,0c ,由由sin c= sin c= 得得cos c= .cos c= .又又s= absin c= (a+b)sin c= ,s= absin c= (a+b)sin c= ,所以所以a+b=ab=4,a+b=ab=4,所以所以a=b=2,a=b=2,再根据余弦定理得再根据余弦定理得c c2 2=a=a2 2+b+b2 2-2abcos c=8-2 ,-2abcos c=8-2 ,解得解得c= -1,c= -1,所以所以abcabc的周长为的周长为 +3.+3.c2c2c22c(2cos1)2c2ccccos(2cos2sin1)222c2c2c21234c2c212c2c2c23442741212327772.2.如图如图, ,在平面四边形在平面四边形abcdabcd中中,ab=1,bc= ,accd,cd= ac,ab=1,bc= ,accd,cd= ac,当当abcabc变化时变化时, ,对角线对角线bdbd的最大值为的最大值为_. _. 33【解析解析】设设abc=,acb=,abc=,acb=,在在abcabc中中, ,由余弦定理得由余弦定理得acac2 2=4-2 cos .=4-2 cos .由正弦定理得由正弦