新北师大版九年级上册正方形的性质与判定_

1、 2002年世界数学大会会标年世界数学大会会标正方形正方形矩形矩形2 2、给你一张矩形纸能把它折成一个正方形吗？、给你一张矩形纸能把它折成一个正方形吗？9090c ddc abda邻边相等邻边相等的矩形的矩形想一想：正方形是怎样的矩形？想一想：正方形是怎样的矩形？矩形矩形正方形正方形菱形菱形正方形正方形一个角是直角的菱形一个角是直角的菱形想一想：正方形是怎样的菱形？想一想：正方形是怎样的菱形？两组两组对边对边分别分别平行平行有一个角有一个角是直角是直角有一组邻有一组邻边相等边相等四边形四边形平行四平行四边形边形矩形矩形菱菱形形平行四边形平行四边形正方正方形形矩形矩形菱形菱形一组邻边相一组邻边相

2、等等一组邻边相一组邻边相等等一内角是直一内角是直角角一内角是直一内角是直角角平行四边形平行四边形正方形正方形一组邻边相等一组邻边相等一内角是直角一内角是直角定义：定义：一组一组邻边相等邻边相等，且有，且有一个角是直角一个角是直角的平行四边的平行四边形叫做形叫做正方形正方形菱形菱形矩形矩形平行四边形平行四边形正正形形方方平行四边形，矩形，菱形，正方形的关系平行四边形，矩形，菱形，正方形的关系 正方形是特殊的平行四边形，也是特殊的矩正方形是特殊的平行四边形，也是特殊的矩形，也是特殊的菱形。形，也是特殊的菱形。回顾回顾平行四边形平行四边形，矩形矩形，菱形菱形的性质，的性质，完成表格前三列完成表格前三

3、列平行四平行四边形边形矩矩 形形 (所特有所特有)菱形菱形 (所特有所特有)边边角角对角线对角线图形的图形的对称性对称性对边平行对边平行且相等且相等四条边相等四条边相等对边平行对边平行且且四条边相等四条边相等对角相等对角相等四个角都四个角都是直角是直角四个角都四个角都是直角是直角对角线互对角线互相平分相平分对角线对角线相等相等对角线对角线互相互相垂直垂直，每条，每条对角线平分对角线平分一组对角一组对角对角线对角线相等相等且且互互相垂直平分相垂直平分，每，每条对角线平分一条对角线平分一组对角组对角中心对称中心对称图形图形既是既是中心对中心对称图形称图形又是又是轴对称图形轴对称图形既是既是中心对中

4、心对称图形称图形又是又是轴对称图形轴对称图形既是既是中心对中心对称图形称图形又是又是轴对称图形轴对称图形图形性质分类正方形正方形对角线：对角线：相等相等 互相垂直平分互相垂直平分 每条对角线平分一组对角。每条对角线平分一组对角。边边: 对边平行对边平行 四边相等四边相等角角 ：四个角都是直角四个角都是直角图形的对称性：图形的对称性：既是轴对称图形既是轴对称图形, 又是中心对称图形又是中心对称图形.1 1、如图：正方形、如图：正方形abcdabcd的周长为的周长为15cm15cm，则矩形则矩形efcgefcg的周长为的周长为 cmcm。 abcdegf7.57.5试一试试一试2.2.已知：正方形

5、已知：正方形abcdabcd对角线对角线acac、bdbd相相交于点交于点o o，且，且abab2cm2cm，则，则ac=ac= , , 正方形的面积正方形的面积s=_.s=_. obdac22224 46 636363.3.已知：在正方形已知：在正方形abcdabcd中，对角线中，对角线acac、bdbd相交于点相交于点o o，且，且acac6 cm6 cm，面积面积s=s=_. .则边长则边长abab_, , 2obdac如图，在正方形如图，在正方形abcd中，点中，点e在对角在对角线线ac上，那么，上，那么，be和和de相等吗？为什么？相等吗？为什么？abcde解：解：be=de.因为因

6、为 对角线对角线ac所在的直所在的直线是正方形线是正方形abcd的对的对称轴，而点称轴，而点e在对称轴在对称轴上，点上，点b为点为点d关于关于ac的对称点，的对称点，所以所以 be=deabdcfe如图，已知正方形如图，已知正方形abcdabcd，延长，延长abab到到e e，作，作agecagec于于g g，agag交交bcbc于于f f，求证：求证：afafcece。 12adcbefm如图，在正方形如图，在正方形abcdabcd中，点中，点e e、f f分别在分别在bcbc、cdcd上，且上，且aebfaebf，垂足为垂足为m m。求证：。求证：ae=bfae=bf在正方形在正方形abc

7、dabcd中，中，o o是对角线是对角线acac、bdbd的的交点，过交点，过o o作作 oeofoeof分别交分别交abab、bcbc于于e e、f f，若，若ae=4ae=4，cf=3cf=3，则，则efef长为长为 . .a ae eo of fd dc cb b例1：如图1-18，在正方形abcd中，e为cd上一点，f为bc边延长线上一点，且ce=cf.be与df之间有怎样的关系？请说明理由.解：解：be=df,be=df,且且bedf.bedf.理由如下：理由如下：（1 1）四边形四边形abcdabcd是正方形是正方形. .bc=dc,bce=90bc=dc,bce=90（正方形的四

8、（正方形的四条边都相等，四个角都是直角）条边都相等，四个角都是直角）. .dcf=180dcf=180-bce=180-bce=180- -9090=90=90. .bce=dcf.bce=dcf.又又ce=cf.ce=cf.bcebcedcf.dcf.be=df.be=df.(2)(2)延长延长bebe交交dede于点于点m m，（如图，（如图1-191-19）. .bcebcedcf.dcf.cbe=cdf.cbe=cdf.dcf=90dcf=90. .cdf+f=90cdf+f=90. .cbe+f=90cbe+f=90. .bmf=90bmf=90. .bedf.bedf.如图，正方形

9、如图，正方形abcdabcd，abab4a4a，m m为为abab的的中点，中点，eded3ae3ae。（1 1）求）求meme的长。的长。（2 2）求证）求证emcemc为直角三角形。为直角三角形。 你觉得什么样的四边形是你觉得什么样的四边形是正方形呢正方形呢?( ?( 判断一个四边形判断一个四边形是正方形有哪些方法？）是正方形有哪些方法？）平行四边形平行四边形正方形正方形一组邻边相等一组邻边相等一内角是直角一内角是直角1 1、 正方形正方形菱形菱形 2 2、一内角是直角一内角是直角矩形矩形3 3、一组邻边相等一组邻边相等正方形正方形正方形的判定方法：正方形的判定方法：(可从平行四边形、矩形

10、、菱形为基础）可从平行四边形、矩形、菱形为基础）定义法定义法菱形法菱形法矩形法矩形法四条边相等，四个角都是直角四条边相等，四个角都是直角对角线互相垂直、平分且相等对角线互相垂直、平分且相等四边形四边形正方形正方形以四边形为基础：以四边形为基础：既是菱形又是矩形的四边形是正方形既是菱形又是矩形的四边形是正方形。5种识种识别方法别方法三个角是直角三个角是直角四条边相等四条边相等一个角是直角一个角是直角或或对角线相等对角线相等一组邻边相等一组邻边相等或或对角线垂直对角线垂直一组邻边相等一组邻边相等或或对角线垂直对角线垂直一个角是直角一个角是直角或或对角线相等对角线相等一个角是直角且一组邻边相等一个角

11、是直角且一组邻边相等平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定小结平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定小结 正方形具有而矩形不一定具有的性质是（正方形具有而矩形不一定具有的性质是（ ） a、四个角相等、四个角相等. b、对角线互相垂直平分、对角线互相垂直平分. c、对角互补、对角互补. d、对角线相等、对角线相等.2.正方形具有而菱形不一定具有的性质（正方形具有而菱形不一定具有的性质（ ） a、四条边相等、四条边相等. b、对角线互相垂直平分、对角线互相垂直平分. c、对角线平分一组对角、对角线平分一组对角. d、对角线相等、对角线相等.bd3、下列命题正确的是（、下列命题正确的是（ ） a、四个角

12、都相等的四边形是正方形、四个角都相等的四边形是正方形 b、四条边都相等的四边形是正方形、四条边都相等的四边形是正方形 c、对角线相等的平行四边形是正方形、对角线相等的平行四边形是正方形 d、对角线互相垂直的矩形是正方形、对角线互相垂直的矩形是正方形d 4四个内角都相等的四边形一定是（四个内角都相等的四边形一定是（ ）a、正方形、正方形 b、菱形、菱形 c、矩形、矩形 d平行四边形平行四边形 5在四边形在四边形abcd中，中，o是对角线的交点，是对角线的交点，能判定这个四边形是正能判定这个四边形是正 方形的是：（方形的是：（ ）aaobocodo，acbd badbc ac caocobodoa

13、bbc dacbd ca6 四个内角都相等，四条边也都相等的四个内角都相等，四条边也都相等的四边形一定是：（四边形一定是：（ ）a正方形正方形 b菱形菱形 c矩形矩形 d平平行四边形行四边形a5 5、已知四边形、已知四边形abcdabcd是平行四边形，对角线是平行四边形，对角线acac、bdbd相交于点相交于点o o。若若ab=bc，则四边形，则四边形abcd是（是（ ）若若ac=bd，则四边形，则四边形abcd是（是（ ）若若bcd=900，则四边形，则四边形abcd是（是（ ）若若oa=ob，则四边形，则四边形abcd是（是（ ）若若ab=bc，且，且ac=bd，则四边形，则四边形abcd

14、是是 （ ）菱形菱形矩形矩形矩形矩形矩形矩形正方形正方形例例1：已知：如图：已知：如图(2)，点，点a、b、c、d分别是分别是正方形正方形abcd 的边的边ab、bc、cd、da的中点，的中点，求证：四边形求证：四边形abcd是正方形。是正方形。 分析分析:你能先证明四你能先证明四边形是矩形吗？边形是矩形吗？ 2.已知已知:如图如图,abc中中.abc=90,bd是角是角平分线平分线,deab,dfbc,垂足分别是垂足分别是e、f.fabcde试说明：四边形试说明：四边形debf是正方形是正方形.解解: dfbc,deab, deb= dfb=90,而而abc=90, 四边形四边形debf是矩

15、形是矩形 bd平分平分abc, dfbc , deab, de= df 四边形四边形debf是正方形是正方形 反馈检测反馈检测o od dc cb ba a如图，分别延长等腰直角三角形如图，分别延长等腰直角三角形oaboab的两条直角边的两条直角边aoao和和bobo，使，使ococ= =oaoa，odod= =obob求证：四边形求证：四边形abcdabcd是正方形。是正方形。7.如图，在直角三角形中，如图，在直角三角形中，c=90，a、b的平分线交于点的平分线交于点d。deac，dfab。求证。求证:四边形四边形cedf为正方形为正方形abcdefg证明：证明：过点过点d作作dgab，垂足

16、为，垂足为gad是是cab的平分线的平分线deac，dgab de=dg同理：同理：dg=dfed=df deac，dfab dec= dfc=90 又又 c=90 四边形四边形adfc是矩形是矩形四边形四边形adfc是正方形是正方形例例3 3、 直角三角形直角三角形abcabc中，中，cdcd平分平分acbacb交交abab于于d d，deacdeac，dfabdfab。求证：四边形求证：四边形cedfcedf是正方形。是正方形。abcdef四边形四边形abcdabcd是正方形（是正方形（ ) ) de=df( ) de=df( )deacdeac， dfbcdfbc cd cd平分平分ac

17、bacb 四边形四边形abcdabcd为矩形为矩形( )( )而而acb=90acb=90 dec=90 dec=90， dfc=90dfc=90证明：证明： deacdeac，dfabdfab有三个角是有三个角是 直直角的四边形是矩角的四边形是矩形形角平分线的定理角平分线的定理有一组邻边相有一组邻边相等的矩形是正等的矩形是正方形方形已知：如图正方形已知：如图正方形abcdabcd对角线对角线acac、bdbd相交于点相交于点o o。求证：求证： abo abo bco bco cdo cdo adoado 例例1 1、求证：正方形的两条对角线把正方形分成四个求证：正方形的两条对角线把正方形分

18、成四个 全等的等腰直角三角形。全等的等腰直角三角形。3如图如图(3)，正方形，正方形abcd中，中，ac、bd相交于相交于o， 分析：分析：要证明要证明bmcn，大家观察，大家观察图形可以考虑证哪两个三角形全等图形可以考虑证哪两个三角形全等 ? mnab且且mn分别交分别交oa、ob于于m、n，求证：求证：bmcn。 你能完成证明吗你能完成证明吗?abbc，1245 条件够吗？条件够吗？还需要的条件是还需要的条件是 ambnabm bcn你所要证明的两个三角形已经满足你所要证明的两个三角形已经满足了哪些条件了哪些条件?由正方形可以得到的条件有：由正方形可以得到的条件有：例例2 2、如图，正方形

19、如图，正方形abcdabcd中，中，acac、bdbd相交于相交于o o，mnabmnab且且mnmn分别交分别交oaoa、obob于于m m、n n，求证：，求证：bmbmcncn。 证明：证明：oaoaomomobobononomomononomnomn1 13 3onmonm4545又又mnabmnab112 23 34545oaoaob ab=bcob ab=bc四边形四边形abcdabcd是正方形是正方形即：即：am=bnam=bnabmabmbcnbcnbm=cnbm=cn4已知：如图已知：如图(4)在正方形在正方形abcd中，中，f为为cd延长线延长线 上一点，上一点，ceaf于

20、于e，交，交ad于于m， 求证：求证：mfd45分析：分析：欲证欲证mfd45，由于，由于mdf是直角三角形是直角三角形,只须证只须证mdf是等腰三角形是等腰三角形,即只要证即只要证 _=_要证要证mdfd，大家只须证得哪两个三角形全等，大家只须证得哪两个三角形全等? 试一试试一试看能不能完成证明看能不能完成证明?cmd adf例例4 4、已知：如图、已知：如图(4)(4)在正方形在正方形abcdabcd中，中，f f为为cdcd延长线上延长线上一点，一点，ceafceaf于于e e，交，交adad于于m m，求证：求证：mfdmfd4545证明：证明：dm=dfdm=dfrtrtcdmrtc

21、dmrtadfadf(aas)(aas)又又cdcdadad，adfadfmdc=rtmdc=rt112 2cmdcmdameameadcadcaemaem9090ceaf ceaf 四边形四边形abcdabcd是正方形是正方形mfdmfd45451 1、如图，在、如图，在abab上取一点上取一点c c，以，以acac、bcbc为正方形的一边为正方形的一边在同一侧作正方形在同一侧作正方形aedcaedc和和bcfgbcfg连结连结afaf、bdbd延长延长bdbd交交afaf于于h h。求证：求证：(1) (1) acfacfdcb (2) bhafdcb (2) bhaf 练一练练一练2 2

22、、如图、如图(6)(6)，abcabc的外面作正方形的外面作正方形abdeabde和和acfgacfg，连，连结结bgbg、cece，交点为，交点为n n。求证：求证：ceaceaabgabg 证明：证明：四边形四边形abdeabde和四边形和四边形acfgacfg是正方形。是正方形。aeaeababagagacac1 12 29090又又eaceac1 1bacbac9090bacbacbagbag2 2bacbac9090bacbac eaceacbagbag aecaecabgabg(sas)(sas) ceaceaabgabg3 3、在正方形中，点、在正方形中，点 ， ， ， 分别在分

23、别在，上，且，上，且 .四边形四边形 是正方形吗？为什么？是正方形吗？为什么？dcbadcbaa ab bc cd de ef fg g6 6、在、在abcabc中中,ab=ac,d,ab=ac,d是是bcbc的中点的中点,deab,deab,dfac,dfac,垂足分别是垂足分别是e,f.e,f.1)1)试说明试说明:de=df:de=df2)2)只添加一个条件只添加一个条件, ,使四边形使四边形edfaedfa是正方形是正方形. .请你至少写出两种不同的添加方法请你至少写出两种不同的添加方法.(.(不另外不另外添加辅助线添加辅助线, ,无需证明无需证明) )f fe ed dc cb ba

24、 a1 1、在一块正方形的花坛上，欲修建两条直的小、在一块正方形的花坛上，欲修建两条直的小路，使得两条直的小路将花坛平均分成面积相路，使得两条直的小路将花坛平均分成面积相等的四部分（不考虑道路的宽度），你有几种等的四部分（不考虑道路的宽度），你有几种方法？（至少说出三种）方法？（至少说出三种） 课外拓展：课外拓展： 如何设计花坛？如何设计花坛？ 在一块正方形的花坛上，欲修建两条直在一块正方形的花坛上，欲修建两条直的小路，使得两条直的小路将花坛平均的小路，使得两条直的小路将花坛平均分成面积相等的四部分（不考虑道路的分成面积相等的四部分（不考虑道路的宽度），你有几种方法？（至少说出三宽度），你有几

25、种方法？（至少说出三种）种） 请你当设计师请你当设计师1已知：正方形已知：正方形abcd对角线对角线ac、bd相相交于点交于点o，且，且ab2cm，如图，如图(2)。求：求：ac的长及正方形的面积的长及正方形的面积s。 efg矩形efcg的周长。6 6、已知：如图矩形、已知：如图矩形abcd,abcd,对角线对角线acac、bdbd相交于点相交于点o o，aeae平分平分badbad交交bcbc于于点点e e，连接，连接oeoe，若，若eao=15eao=150 0，求，求boeboe的度数。的度数。oabcde7 7、在正方形、在正方形abcdabcd中，中，ac=10ac=10，p p是是

26、abab上任意一点，上任意一点，peacpeac于点于点e e，pfbdpfbd于点于点f f，求，求pe+pfpe+pf的值。的值。abcdepf8、如图，正方形如图，正方形abcdabcd的边长为的边长为8 8， m m在在dcdc上，且上，且dm=2dm=2，n n是是acac上一个动上一个动点，求点，求dn+mndn+mn的最小值。的最小值。abcdmn8、如图，正方形如图，正方形abcdabcd的边长为的边长为8 8， m m在在dcdc上，且上，且dm=2dm=2，n n是是acac上一个动上一个动点，求点，求dn+mndn+mn的最小值。的最小值。abcdmn9 9、已知，如图在

27、、已知，如图在abcabc中，中，ab=acab=ac，adbcadbc，垂足为点，垂足为点d d，anan是是abcabc外角外角camcam的平分线，的平分线，ceancean垂足为点垂足为点e e，求证：四边形求证：四边形adceadce是矩形。是矩形。当当abcabc满足什么条件时，四边形满足什么条件时，四边形 adceadce是正方形，说明理由。是正方形，说明理由。abcemnd10、如图、如图b、c、e是同一直线上的三个是同一直线上的三个点，四边形点，四边形abcd与与cefg是正方形，连是正方形，连接接bg、de（1）观察、猜想）观察、猜想bg与与de之间的大小关之间的大小关系，

28、并说明理由。系，并说明理由。（2）正方形）正方形cefg在绕点在绕点c旋转过程中，旋转过程中，bg与与de之间的关系是否仍然成立。之间的关系是否仍然成立。abcefdgadbgfec11、如图，、如图，m为正方形为正方形abcd边边ab的中的中点，点，e是是ab延长线上一点，延长线上一点，mndm，且交且交cbe的平分线于点的平分线于点n。（1）求证：）求证：md=mn（2）若将上述条件中的）若将上述条件中的“m是是ab的中点的中点”改为改为“m为为ab上任意一点上任意一点”，其它条件不，其它条件不变，问结论变，问结论md=mn是否仍然成立。是否仍然成立。abcdmenfabcdenmp思考题

29、：思考题： 如图正方形如图正方形abcdabcd的对角线相交于点的对角线相交于点o o，o o又是另一个正方形又是另一个正方形oefgoefg的一个顶点，若正方形的一个顶点，若正方形oefgoefg绕点绕点o o旋转，在旋转的过程中旋转，在旋转的过程中. .探究二探究二: :若正方形若正方形oefgoefg与正方形与正方形abcdabcd两边两边分别相交于分别相交于m nm n，试判断线段，试判断线段amam于于bnbn之间之间的关系的关系. .探究一探究一: :两个正方形重叠部分的面积是否会两个正方形重叠部分的面积是否会发生变化？并说明理由。发生变化？并说明理由。探究四：探究四： 如图，有两个大小不等的两个正如图，有两个大小不等的两个正 方形，其中小正方形的面积是大正方形面方形，其中小正方形的面积是大正方形面积的一半，若阴影部分的面积为积的一半，若阴影部分的面积为8 8，则小正，则小正方形的边长为多少？方形的边长为多少？探究三探究三: 若正方形若正方形oefgoefg继续旋转时，继续旋转时，am am 与与 bnbn之间的关系是否还之间的关系是否还成立？成立？构建与证构建与证明明odcba如图，分别延