三角函数的性质

1、1.了解三角函数的定义域、值域、了解三角函数的定义域、值域、周期性、奇偶性、对称性等周期性、奇偶性、对称性等.2.理解正弦函数、余弦函数在区间理解正弦函数、余弦函数在区间0,2上的性质（如单调性、最大值和上的性质（如单调性、最大值和最小值以及与最小值以及与x轴的交点等），理解正轴的交点等），理解正切函数在切函数在(- , ）内的单调性）内的单调性.22a. , b.2k+ ,2k+ (kz)c.(2k+ ,2k+ )(kz)d.k+ ,k+ (kz)1.函数函数y= 的定义域为的定义域为( )2sin1x 6b56656566656 要使函数有意义，要使函数有意义，得得2sinx-10,即即s

2、inx ,由图象可知，由图象可知，2k+ x2k+ (kz).656122.函数函数y=cos2x+sinx在在- , 上的上的最小值为最小值为( )aa. b.- c.-1 d.4454 y=1-sin2x+sinx=-(sin2x-sinx)+1 =-(sinx- )2+ ,因为因为x- , ,所以所以sinx- , 所以所以ymin=f(- )=-(- - )2+ = .5412442222222212541221221223.函数函数f(x)= 的最小的最小正周期为正周期为( )b4422sincossincos2sin2xxxxxa.2 b. c. d.24 f(x) = = (1+

3、sinxcosx)= sin2x+ ,所以所以t= =.4422sincossincos2sin2xxxxx221 sincos2(1 sin cos )xxxx121214224.函数函数y= sin( - )的单调递减区间的单调递减区间是是 .123k- ,3k+ (kz)3898 y= sin( - )=- sin( - ),所以所以2k- - 2k+ ,所以所以3k- x3k+ (kz).1212223x4223x4423x423x3898 因为因为f(x)是偶函数，所以是偶函数，所以f(-x)=f(x).所以所以sin(-x+)+ cos(-x-)=sin(x+)+ cos(x-)，

4、即即sin(x+)+sin(x-)= cos(x+)- cos(x-).所以所以2sinxcos=-2 sinxsin,对对xr恒成立恒成立,所以所以tan=- ,所以所以=k- (kz).5.已知已知f(x)=sin(x+)+ cos(x-)为偶函数，为偶函数，则则= .=k- (kz)6333333336222322222.函数函数y=asinx+b和和y=acosx+b的最大值为的最大值为|a|+b，最小值为，最小值为-|a|+b.3.对称性对称性(1)y=sinx的对称中心为的对称中心为(k,0)(kz);对称对称轴为轴为x=k+ (kz).(2)y=cosx的对称中心为的对称中心为(

5、k+ ,0)(kz);对称轴为对称轴为x=k(kz).(3)y=tanx的对称中心为的对称中心为( ,0)(kz);无对称轴无对称轴.222k例例1 设函数设函数f(x)=sin(2x+)(-0).(1)y=f(x)图象的一条对称轴是直线图象的一条对称轴是直线x= ,求求;(2)y=f(x)为偶函数，求为偶函数，求；(3)若若=k（kz)，试证明，试证明y=f(x)为奇函数为奇函数.58 (1)因为因为x= 是函数是函数y=f(x)的一条对的一条对称轴，则当称轴，则当x= 时，时，y取最值，取最值，所以所以sin(2 +)=1,所以所以 +=k+ (kz).又又-0，所以，所以=- .(2)由

6、由f(x)为偶函数，则当为偶函数，则当x=0时，时，y取最值，取最值，所以所以sin(20+)=1,则则=k+ (kz).又又-0)的最小正周期为的最小正周期为. (1)求求的值；的值； (2)求函数求函数f(x）在区间）在区间0, 上的取值范围上的取值范围.例例22323 (1)f(x)= + sin2x= sin2x- cos2x+=sin(2x- )+ .因为函数因为函数f(x)的最小正周期为的最小正周期为,且且0,所以所以 =,解得解得=1.(2)由由(1)得得f(x)=sin(2x- )+ .因为因为0 x ，所以，所以- 2x- ,所以所以- sin(2x- )1，因此，因此，0s

7、in(2x- )+ ，即即f(x)的取值范围为的取值范围为0, .1 cos22x32321212612226122366761266123232 要求（或应用）周期，常将三角函数统要求（或应用）周期，常将三角函数统一成一成y=asin(x+)+b(或或y=atan(x+)的形的形式，再利用公式式，再利用公式t= (或或 );要求函数的值要求函数的值域 （ 或 最 值 ） ， 常 将 三 角 函 数 统 一 为域 （ 或 最 值 ） ， 常 将 三 角 函 数 统 一 为y=asin(x+)+b，根据弦函数的范围求解；，根据弦函数的范围求解；或整理成关于某一三角函数的一元二次，用或整理成关于某

8、一三角函数的一元二次，用配方法，或用换元法化为可用基本不等式等配方法，或用换元法化为可用基本不等式等结论的形式结论的形式.2|例例3 (1)求函数求函数y=3sin( -2x)的单调区间；的单调区间；3 (1)y=3sin( -2x)=-3sin(2x- )，将，将2x- 看看作一整体，则与作一整体，则与y=sinx的单调性相反的单调性相反.故由故由2k- 2x- 2k+ ,即即k- xk+ (kz)时函数单调递减时函数单调递减;所以递减区间为所以递减区间为k- ,k+ (kz)；同理，递增区间为同理，递增区间为 k+ ,k+ (kz).33333212512125125121112a.在在0

9、, ),( ,上递增上递增, 在在, ),( ,2上递减；上递减；b.在在0, ), )上递增上递增, 在在( ,( ,2上递减上递减c.在在( ,，( ,2上递增，上递增， 在在0, ), )上递减上递减d.在在, ),( ,2上递增，上递增， 在在0, ),( ,上递减上递减(2)函数函数f(x)= （ ）1 cos2cosxx223232232232232232323222a （2）f(x)= = = tanx， - tanx，结合图象易知结合图象易知a正确正确.1 cos2cosxx21 (1 sin)cosxx2 |sin|cosxxx2k,2k+ )或或x(2k+ ,2k+(kz)

10、x2k+,2k+ )或或x(2k+ ,2k+2(kz)=23223222 求求f(x)=asin(x+)的单调区间时，的单调区间时，首先要看首先要看a，是否为正；若为负，则先是否为正；若为负，则先应用诱导公式化为正，然后将应用诱导公式化为正，然后将x+看作看作一个整体，比如若一个整体，比如若a0，0，由，由2k- x+2k+ (kz)解出解出x的范围即为增的范围即为增区间区间.221.三角函数奇偶性的判断与其他函数奇三角函数奇偶性的判断与其他函数奇偶性的判断步骤一致：偶性的判断步骤一致：(1)首先看定义域是否关于原点对称；首先看定义域是否关于原点对称；(2)在满足在满足(1)后，再看后，再看f(-x)与与f(x)的关系的关系.2.三角函数的单调性三角函数的单调性(1)函数函数y=asin(x+)(a0,0)的单调区的单调区间的确定，其基本思想是把间的确定，其基本思想是把x+看作一个整看作一个整体体,由由2k- x+2k+ (kz)解出解出x的范围的范围,所得区间为增区间所得区间为增区间;由由2k+