2022届高考数学统考一轮复习课后限时集训23利用导数解决函数的零点问题理含解析新人教版

1、课后限时集训(二十三)利用导数解决函数的零点问题建议用时：40分钟1(2020石家庄模拟)已知函数f (x)2a2ln xx2(a0)(1)当a1时，求曲线yf (x)在点(1，f (1)处的切线方程；(2)求函数f (x)的单调区间；(3)讨论函数f (x)在区间(1，e2)内零点的个数(e为自然对数的底数)解(1)当a1时，f (x)2ln xx2，f (x)2x，f (1)0，又f (1)1，曲线yf (x)在点(1，f (1)处的切线方程为y10.(2)f (x)2a2ln xx2，f (x)2x.x0，a0，当0xa时，f (x)0；当xa时，f (x)0.f (x)在(0，a)上单

2、调递增，在(a，)上单调递减(3)由(2)得f (x)maxf (a)a2(2ln a1)讨论函数f (x)的零点情况如下：当a2(2ln a1)0，即0a时，函数f (x)无零点，函数f (x)在(1，e2)内无零点当a2(2ln a1)0，即a时，函数f (x)在(0，)内有唯一零点a，而1ae2，函数f (x)在(1，e2)内有一个零点当a2(2ln a1)0，即a时，f (1)10，f (a)a2(2ln a1)0，f (e2)2a2ln e2e44a2e4(2ae2)(2ae2)当2ae20，即a时，f (e2)0，由函数的单调性可知，函数f (x)在(1，a)内有唯一零点x1，在(

3、a，e2)内有唯一零点x2，f (x)在(1，e2)内有两个零点当2ae20，即a时，f (e2)0，由函数的单调性可知，f (x)在(1，e2)内只有一个零点综上所述，当0a时，函数f (x)在(1，e2)内无零点；当a或a时，函数f (x)在(1，e2)内有一个零点；当a时，函数f (x)在(1，e2)内有两个零点2已知函数f (x)xexa(x1)2.(1)若ae，求函数f (x)的极值；(2)若函数f (x)有两个零点，求实数a的取值范围解(1)由题意知，当ae时，f (x)xexe(x1)2，函数f (x)的定义域为(，)，f (x)(x1)exe(x1)(x1)(exe)令f (x

4、)0，解得x1或x1.当x变化时，f (x)，f (x)的变化情况如下表所示：x(，1)1(1,1)1(1，)f (x)00f (x)极大值极小值e所以当x1时，f (x)取得极大值；当x1时，f (x)取得极小值e.(2)法一：分类讨论法f (x)(x1)exa(x1)(x1)(exa)若a0，易知函数f (x)在(，)上只有一个零点，故不符合题意若a0，当x(，1)时，f (x)0，f (x)单调递减；当x(1，)时，f (x)0，f (x)单调递增由f (1)0，且f (1)e2a0，当x时，f (x)，所以函数f (x)在(，)上有两个零点若ln a1，即0a，当x(，ln a)(1，

5、)时，f (x)0，f (x)单调递增；当x(ln a，1)时，f (x)0，f (x)单调递减又f (ln a)aln aa(ln a1)20，所以函数f (x)在(，)上至多有一个零点，故不符合题意若ln a1，即a，当x(，)时，f (x)0，f (x)单调递增，故不符合题意若ln a1，即a，当x(，1)(ln a，)时，f (x)0，f (x)单调递增；当x(1，ln a)时，f (x)0，f (x)单调递减又f (1)0，所以函数f (x)在(，)上至多有一个零点，故不符合题意综上，实数a的取值范围是(，0)法二：数形结合法令f (x)0，即xexa(x1)20，得xexa(x1)

6、2.当x1时，方程为e1a0，显然不成立，所以x1不是方程的解，即1不是函数f (x)的零点当x1时，分离参数得a.记g(x)(x1)，则g(x).当x1时，g(x)0，函数g(x)单调递减；当x1时，g(x)0，函数g(x)单调递增当x0时，g(x)0；当x时，g(x)0；当x1时，g(x)；当x时，g(x).故函数g(x)的图象如图所示作出直线ya，由图可知，当a0时，直线ya和函数g(x)的图象有两个交点，此时函数f (x)有两个零点故实数a的取值范围是(，0)3(2019全国卷)已知函数f (x)ln x.(1)讨论f (x)的单调性，并证明f (x)有且仅有两个零点；(2)设x0是f (x)的一个零点，证明曲线yln x在点a(x0，ln x0)处的切线也是曲线yex的切线解(1)f (x)的定义域为(0,1)(1，)因为f (x)0，所以f (x)在(0,1)，(1，)单调递增因为f (e)10，f (e2)20，所以f (x)在(1，)有唯一零点x1(ex1e2)，即f (x1)0.又01，f ln x1f (x1)0，故f (x)在(0,1)有唯一零点.综上，f (x)有且仅有两个零点(2)因为e，故点b在曲线yex上由题设知f (x