2022版高考数学一轮复习第二章函数导数及其应用第九讲函数与方程学案新人教版

1、第九讲第九讲函数与方程函数与方程知识梳理双基自测zhi shi shu li shuang ji zi ce 知识梳理知识点一函数的零点1函数零点的定义对于函数 yf(x)(xd)，把使 f(x)0 成立的实数 x 叫做函数 yf(x)(xd)的零点注：函数的零点不是点是函数 f(x)与 x 轴交点的横坐标，而不是 yf(x)与 x 轴的交点2几个等价关系方程 f(x)0 有实数根函数 yf(x)的图象与 x 轴有交点函数 yf(x)有零点3函数零点的判定(零点存在性定理)如果函数 yf(x)在区间a，b上的图象是连续不断的一条曲线，并且有 f(a)f(b)0，那么函数 yf(x)在区间(a，

2、b)内有零点，即存在 c(a，b)，使得 f(c)0，这个 c 也就是方程 f(x)0 的根知识点二二分法1对于在区间a，b上连续不断且 f(a)f(b)0 的函数 yf(x)，通过不断地把函数 f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法2给定精确度，用二分法求函数 f(x)零点近似值的步骤如下：(1)确定区间a，b，验证 f(a)f(b)0，给定精确度；(2)求区间(a，b)的中点 c；(3)计算 f(c)；若 f(c)0，则 c 就是函数的零点；若 f(a)f(c)0，则令 bc(此时零点 x0(a，c)；若 f(c)f(b)0，则令

3、 ac(此时零点 x0(c，b)(4)判断是否达到精确度，即：若|ab|，则得到零点近似值 a(或 b)；否则重复(2)(3)(4)重要结论1有关函数零点的结论(1)若连续不断的函数 f(x)在定义域上是单调函数，则 f(x)至多有一个零点(2)连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号(3)连续不断的函数图象通过零点时，函数值可能变号，也可能不变号(4)由函数 yf(x)在闭区间a，b上有零点不一定能推出 f(a)f(b)0，如图所示所以f(a)f(b)0 是 yf(x)在闭区间a，b上有零点的充分不必要条件事实上，只有当函数图象通过零点(不是偶个零点)时，函数值才变号，即相邻两

4、个零点之间的函数值同号(5)若函数 f(x)在a，b上单调，且 f(x)的图象是连续不断的一条曲线，则 f(a)f(b)0)的图象与零点的关系000二次函数 yax2bxc(a0)的图象与 x 轴的交点(x1，0)，(x2，0)(x1，0)无交点零点个数两个零点一个零点无零点双基自测题组一走出误区1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)函数的零点就是函数的图象与 x 轴的交点()(2)二次函数 yax2bxc(a0)在当 b24ac0 时没有零点()(3)函数 yf(x)在区间(a，b)内有零点(函数图象连续不断)，则 f(a)f(b)0，则 f(x)在(a，b)内没有零点()(

5、5)函数 y2x与 yx2只有两个交点()解析(1)函数的零点是函数图象与 x 轴交点的横坐标(2)当 b24ac0.(4)若在区间a，b内有多个零点，f(a)f(b)0 也可以(5)yx2与 y2x在 y 轴左侧一个交点， y 轴右侧两个交点， 如在 x2 和 x4 处都有交点题组二走进教材2(必修 1p92at2 改编)已知函数 f(x)的图象是连续不断的，且有如下对应值表：x12345f(x)42147在下列区间中，函数 f(x)必有零点的区间为(b)a(1，2)b(2，3)c(3，4)d(4，5)解析由所给的函数值的表格可以看出，x2 与 x3 这两个数字对应的函数值的符号不同，即 f

6、(2)f(3)0，f(1)f(2)f(4)0，则下列命题正确的是(d)a函数 f(x)在区间(0，1)内有零点b函数 f(x)在区间(1，2)内有零点c函数 f(x)在区间(0，2)内有零点d函数 f(x)在区间(0，4)内有零点(2)(2021开封模拟)函数 f(x)xln x3 的零点所在的区间为(c)a(0，1)b(1，2)c(2，3)d(3，4)(3)(多选题)若 abc，则函数 f(x)(xa)(xb)(xb)(xc)(xc)(xa)的零点位于区间可能为(bc)a(，a)b(a，b)c(b，c)d(c，)解析(1)因为 f(1)f(2)f(4)0，所以 f(1)、f(2)、f(4)中

7、至少有一个小于 0.若 f(1)0，则在(0，1)内有零点，在(0，4)内必有零点；若 f(2)0，则在(0，2)内有零点，在(0，4)内必有零点；若 f(4)0，则在(0，4)内有零点故选 d(2)解法一：利用零点存在性定理因为函数 f(x)是增函数，且 f(2)ln 210，所以由零点存在性定理得函数f(x)的零点位于区间(2，3)内，故选 c解法二：数形结合函数 f(x)xln x3 的零点所在区间转化为 g(x)ln x，h(x)x3 的图象的交点横坐标所在范围如图所示，可知 f(x)的零点在(2，3)内(3)易知 f(a)(ab)(ac)，f(b)(bc)(ba)，f(c)(ca)(

8、cb)又 ab0，f(b)0，又该函数是二次函数，且图象开口向上，可知两个零点分别位于区间(a，b)和(b，c)内，故选 b、c名师点拨ming shi dian bo确定函数零点所在区间的方法(1)解方程法：当对应方程 f(x)0 易解时，可先解方程，然后再看求得的根是否落在给定区间上(2)利用函数零点的存在性定理：首先看函数 yf(x)在区间a，b上的图象是否连续，再看是否有 f(a)f(b)0的零点个数为(b)a3b2c7d0(2)已知 f(x)|lg x|，x0，2|x|，x0，则函数 y2f2(x)3f(x)1 的零点个数为 5解析(1)解法一：(直接法)由 f(x)0 得x0，x2

9、x20或x0，1ln x0，解得 x2 或 xe.因此函数 f(x)共有 2 个零点解法二：(图象法)函数 f(x)的图象如图所示，由图象知函数 f(x)共有 2 个零点(2)令 2f2(x)3f(x)10，解得 f(x)1 或 f(x)12，作出 f(x)的简图：由图象可得当 f(x)1 或 f(x)12时，分别有 3 个和 2 个交点，则关于 x 的函数 y2f2(x)3f(x)1 的零点的个数为 5.名师点拨ming shi dian bo函数零点个数的判定有下列几种方法(1)直接求零点：令 f(x)0，如果能求出解，那么有几个解就有几个零点(2)零点存在性定理：利用该定理不仅要求函数在

10、a，b上是连续的曲线，且 f(a)f(b)0，则函数 yf(x)3x 的零点个数是(c)a0b1c2d3(2)设函数 f(x)是定义在 r 上的奇函数，当 x0 时，f(x)exx3，则 f(x)的零点个数为(c)a1b2c3d4(3)(2020河南名校联考)函数 f(x)|log2x|，x0，2x，x0，则函数 g(x)3f(x)28f(x)4 的零点个数是(a)a5b4c3d6解析(1)由已知得 yf(x)3xx2x，x0，11x3x，x0.令x2x0， 解得x0或x1.令11x3x0(x0)可得3x2x10.因为1120，所以方程 3x2x10 无实根所以 yf(x)3x 的零点个数是

11、2.(2)f(x)exx3 在(0，)上为增函数，f12 e12520，f(x)在(0，)上只有一个零点，由奇函数性质得 f(x)在(，0)上也有一个零点，又 f(0)0，所以 f(x)有三个零点，故选 c(3)本题考查函数的零点与方程根的个数的关系函数 g(x)3f(x)28f(x)43f(x)2f(x)2的零点，即方程 f(x)23和 f(x)2 的根函数 f(x)|log2x|，x0，2x，x0的图象如图所示，由图可得方程 f(x)23和 f(x)2 共有 5 个根，即函数 g(x)3f(x)28f(x)4 有 5 个零点考向 3函数零点的应用多维探究角度 1与零点有关的比较大小例 3已

12、知函数 f(x)2xx，g(x)xlog12x，h(x)log2x x的零点分别为 x1，x2，x3，则 x1，x2，x3的大小关系为(d)ax1x2x3bx2x1x3cx1x3x2dx3x2x1解析由 f(x)2xx0， g(x)xlog12x0， h(x)log2x x0， 得 2xx， xlog12x，log2x x，在平面直角坐标系中分别作出 y2x与 yx 的图象；yx 与 ylog12x 的图象；ylog2x 与 y x的图象，由图可知：1x10，0 x21.所以 x3x2x1.角度 2已知函数的零点或方程的根求参数例 4(2018全国)已知函数 f(x)ex，x0，ln x，x0

13、，g(x)f(x)xa.若 g(x)存在 2 个零点，则 a 的取值范围是(c)a1，0)b0，)c1，)d1，)解析令 h(x)xa， 则 g(x)f(x)h(x) 在同一坐标系中画出 yf(x)， yh(x)图象的示意图，如图所示若 g(x)存在 2 个零点，则 yf(x)的图象与 yh(x)的图象有 2 个交点由图知a1，a1.名师点拨ming shi dian bo1比较零点大小常用方法：(1)确定零点取值范围，进而比较大小；(2)数形结合法2已知函数有零点(方程有根)求参数值常用的方法和思路：(1)直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法：先将参

14、数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后观察求解变式训练 2(1)(角度 1)(2021安徽蚌埠月考)已知函数 f(x)3xx，g(x)log3xx，h(x)x3x 的零点依次为 a，b，c，则 a，b，c 的大小关系为(b)aabcbacbcdcab(2)(角度 2)(2021杭州学军中学月考)已知函数 f(x)2xa，x0，2x1，x0(ar)，若函数 f(x)在r 上有两个零点，则 a 的取值范围是(d)a(，1)b(，1c1，0)d(0，1分析(1)解法一：依据零点存在定理，确定 a，b，c 所在区间，进而比较大

15、小；解法二：分别作出 y3x、ylog3x、yx3与 yx 的图象，比较其交点横坐标的大小即可解析(1)解法一：f(1)31123，f(0)1，a23，0，又 g13 log3131323，g(1)1，b13，1，显然 c0，acb，故选 b解法二：数形结合法，在同一坐标系中分别作出 y3x、ylog3x、yx 的图象，结合图象及 c0 可知 ac0，a0，c0 时，f(x)2x1，由 f(x)0 得 x12，要使 f(x)在 r 上有两个零点，则必须 2xa0 在(，0上有解又当 x(，0时，2x(0，1故所求 a 的取值范围是(0，1考点二 二分法及其应用自主练透例 5(1)用二分法研究函

16、数 f(x)x33x1 的零点时，第一次经计算 f(0)0，可得其中一个零点 x0(0，0.5)，第二次应计算 f(0.25)(2)在用二分法求方程 x32x10 的一个近似解时，现在已经将根锁定在区间(1，2)内，则下一步可判定该根所在的区间为32，2(3)在用二分法求方程 x22 的正实数根的近似解(精确度 0.001)时，若我们选取初始区间是1.4，1.5，则要达到精确度要求至少需要计算的次数是 7解析(1)因为 f(0)0，由二分法原理得一个零点 x0(0，0.5)；第二次应计算f00.52f(0.25)(2)区间(1，2)的中点 x032，令 f(x)x32x1，f32 27840，

17、则根所在区间为32，2.(3)设至少需要计算 n 次，由题意知1.51.42n100.由 2664，27128，知 n7.名师点拨ming shi dian bo1用二分法求函数零点的方法：定区间，找中点，中值计算两边看，同号去，异号算，零点落在异号间周而复始怎么办？精确度上来判断2利用二分法求近似解需注意的问题(1)在第一步中：区间长度尽量小；f(a)，f(b)的值比较容易计算且 f(a)f(b)0，若函数 g(x)f(x)a 恰有三个互不相同的零点 x1，x2，x3，则 x1x2x3的取值范围是(a)a132，0b116，0c0，132d0，116解析解法一：显然 x0 时，2xa，有一根不妨记为 x1，则 x1a2(a0)，当 x0时x2xa 即 x2xa0 有两个不等正根，不妨记为 x2，x3，则14a0，即 a14，从而a2116，0且 x2x3a.x1x2x3a22132，0，故选 a解