2022高考数学一轮复习第十一章11.1随机事件的概率课件文北师大版

1、11.111.1随机事件的概率随机事件的概率第十一章第十一章2022内容索引必备知识必备知识 预案自诊预案自诊关键能力关键能力 学案突破学案突破案例探究案例探究( (五五) )“正难则反正难则反”思想在概率中的应用思想在概率中的应用必备知识必备知识 预案自诊预案自诊【知识梳理知识梳理】 1.事件的分类 确定事件必然事件在条件s下,一定会发生的事件,叫作相对于条件s的必然事件不可能事件在条件s下,一定不会发生的事件,叫作相对于条件s的不可能事件随机事件在条件s下的事件,叫作相对于条件s的随机事件可能发生也可能不发生2.频率与概率(1)频率的概念:在相同的条件s下重复n次试验,观察某一事件a是否出

2、现,称n次试验中事件a出现的次数na为事件a出现的,称事件a出现的比例fn(a)= 为事件a出现的.(2)随机事件概率的定义:在的条件下,大量重复进行同一试验时,随机事件a发生的会在某个附近摆动,即随机事件a发生的频率具有稳定性.这时这个称为随机事件a的概率,记作p(a),有0p(a)1.(3)概率与频率的关系:对于给定的随机事件a,由于事件a发生的频率fn(a)随着试验次数的增加稳定于概率p(a),因此可以用来估计概率p(a).频数频率相同频率常数常数频率fn(a)3.互斥事件与对立事件(1)互斥事件:在一个随机试验中,把一次试验下发生的两个事件a与b称作互斥事件.(2)和事件:给定事件a,

3、b,我们规定a+b为一个事件,事件a+b发生是指事件a和事件b .(3)和事件的概率:在一个随机试验中,如果随机事件a和事件b是互斥事件,那么有p(a+b)=;如果随机事件a1,a2,an中任意两个是互斥事件,那么有p(a1+a2+an)=p(a1)+p(a2)+p(an).(4)对立事件:在每一次试验中,相互对立的事件a和事件同时发生,并且一定.所以有p()=.不能同时至少有一个发生p(a)+p(b)不会有一个发生1-p(a)4.互斥事件与对立事件的关系对立事件是互斥事件的特殊情况,而互斥事件未必是对立事件.5.概率的几个基本性质(1)概率的取值范围:.(2)必然事件的概率:p(a)=.(3

4、)不可能事件的概率:p(a)=.(4)对立事件的概率:若事件a与事件b互为对立事件,则ab为必然事件.p(ab)=,p(a)=.0p(a)11011-p(b)【考点自诊考点自诊】 1.判断下列结论是否正确,正确的画“”,错误的画“”.(1)事件发生的频率与概率是相同的.()(2)对立事件一定是互斥事件,互斥事件不一定是对立事件.()(3)在大量重复试验中,概率是频率的稳定值.()(4)两个事件的和事件是指两个事件至少有一个发生.()(5)若a,b为互斥事件,则p(a)+p(b)=1.()(6)对立事件一定是互斥事件,互斥事件不一定是对立事件.()2.从一批羽毛球中任取一个,其质量小于4.8克的

5、概率为0.3,质量不小于4.85克的概率为0.32,则质量在4.8,4.85)(单位:克)范围内的概率为()a.0.62 b.0.38c.0.7d.0.68答案 b解析 由互斥事件的概率计算公式可得质量在4.8,4.85)(单位:克)范围内的概率为p=1-0.3-0.32=0.38.故选b.答案 b4.从装有两个红球和三个黑球的口袋里任取两个球,那么互斥而不对立的两个事件是()a.“至少有一个黑球”与“都是黑球”b.“至少有一个黑球”与“至少有一个红球”c.“恰好有一个黑球”与“恰好有两个黑球”d.“至少有一个黑球”与“都是红球”答案 c解析 a,b中的两个事件都不是互斥事件;c中的两个事件是

6、互斥而不对立的两个事件;d中的两个事件是对立事件.5.口袋内有一些大小相同的红球、黄球和白球,从中任意摸出一球,摸出的球是红球或黄球的概率为0.4,摸出的球是红球或白球的概率为0.9,那么摸出的球是黄球或白球的概率为()a.0.7b.0.5c.0.3d.0.6答案 a解析 设摸出红球的概率为p(a),摸出黄球的概率是p(b),摸出白球的概率为p(c),所以p(a)+p(b)=0.4,p(a)+p(c)=0.9,且p(a)+p(b)+p(c)=1,所以p(c)=1-p(a)-p(b)=0.6,p(b)=1-p(a)-p(c)=0.1,所以p(b)+p(c)=0.7.故选a.关键能力关键能力 学案

7、突破学案突破考点考点1 1随机事件的关系随机事件的关系【例1】 (1)在一次随机试验中,彼此互斥的事件a,b,c,d发生的概率分别是0.2,0.2,0.3,0.3,则下列说法正确的是()a.a+b与c是互斥事件,也是对立事件b.b+c与d是互斥事件,也是对立事件c.a+c与b+d是互斥事件,但不是对立事件d.a与b+c+d是互斥事件,也是对立事件(2)某校高三(1)班50名学生参加1500m体能测试,其中23人成绩为a,其余人成绩都是b或c.从这50名学生中任抽1人,若抽得b的概率是0.4,则抽得c的概率是()a.0.14 b.0.20c.0.40d.0.60答案 (1)d(2)a解析 (1)

8、由于a,b,c,d彼此互斥,且a+b+c+d是一个必然事件,故其事件的关系可由如图所示的venn图表示,由图可知,任何一个事件与其余3个事件的和事件必然是对立事件,任何两个事件的和事件与其余两个事件的和事件也是对立事件.故选d.(2)由于成绩为a的有23人,故抽到c的概率为p=1- -0.4=0.14.故选a.思考如何判断随机事件之间的关系?解题心得 判断随机事件之间的关系有两种方法:(1)定义法,就是考查它们能否同时发生,如果不能同时发生,则是互斥事件,否则,就不是互斥事件.(2)类比集合进行判断,把所有试验结果写出来,看所求事件包含哪些试验结果,从而断定所给事件的关系.由各个事件所含的结果

9、组成的集合彼此的交集为空集,则事件互斥.事件a的对立事件所含的结果组成的集合,是全集中由事件a所含的结果组成的集合的补集.注意:事件的包含、相等、互斥、对立等,其发生的前提条件应是一样的;对立是针对两个事件来说的,而互斥可以是多个事件的关系.对点训练1(1)从1,2,3,4,5这5个数中任取两个数,其中:恰有一个是偶数和恰有一个是奇数;至少有一个是奇数和两个都是奇数;至少有一个是奇数和两个都是偶数;至少有一个是奇数和至少有一个是偶数.上述事件中,是对立事件的是()a.b.c.d.(2)对飞机连续射击两次,每次发射一枚炮弹,设a=“两次都击中飞机”,b=“两次都没击中飞机”,c=“恰有一次击中飞

10、机”,d=“至少有一次击中飞机”,其中彼此互斥的事件是,互为对立事件的是.答案 (1)c(2)a与b,a与c,b与c,b与db与d解析 (1)从1,2,3,4,5这5个数中任取两个数有3种情况:一奇一偶,2个奇数,2个偶数.其中“至少有一个是奇数”包含一奇一偶或2个奇数这两种情况,它与两个都是偶数是对立事件.又中的事件可以同时发生,不是对立事件,故选c.(2)设为对飞机连续射击两次所发生的所有情况,由题意可知a与b,a与c,b与c,b与d为互斥事件.而b+d=,故b与d互为对立事件.考点考点2 2随机事件的频率与概率随机事件的频率与概率【例2】某险种的基本保费为a(单位:元),继续购买该险种的

11、投保人称为续保人,续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下:上年度出险次数012345保费0.85aa1.25a1.5a1.75a2a随机调查了该险种的200名续保人在一年内的出险情况,得到如下统计表:出险次数012345频数605030302010(1)记a为事件:“一续保人本年度的保费不高于基本保费”,求p(a)的估计值;(2)记b为事件:“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的160%”.求p(b)的估计值;(3)求续保人本年度平均保费的估计值.解 (1)事件a发生当且仅当一年内出险次数小于2.由所给数据知,一年内出险次数小于2的频率为=0.55,故p(a)的估计值为0

12、.55.(2)事件b发生当且仅当一年内出险次数大于1且小于4.由所给数据知,一年内出险次数大于1且小于4的频率为=0.3,故p(b)的估计值为0.3.(3)由所给数据得调查的200名续保人的平均保费为0.85a0.30+a0.25+1.25a0.15+1.5a0.15+1.75a0.10+2a0.05=1.1925a.因此,续保人本年度平均保费的估计值为1.1925a(元).保费0.85aa1.25a1.5a1.75a2a频率0.300.250.150.150.100.05解题心得 1.概率是频率的稳定值,它从数量上反映了随机事件发生的可能性的大小,它是频率的科学抽象.当试验次数越来越多时,频

13、率越趋近于概率.2.求解随机事件的概率的常用方法有两种:(1)可用频率来估计概率.(2)利用随机事件a包含的基本事件数除以基本事件总数.计算的方法有:列表法,列举法,树状图法.对点训练2从a地到火车站共有两条路径l1和l2,现随机抽取100位从a地到火车站的人进行调查,调查结果如下:所用时间(分钟)1020 2030304040505060选择l1的人数612181212选择l2的人数0416164(1)试估计40分钟内不能赶到火车站的概率;(2)分别求通过路径l1和l2所用时间落在上表中各时间段内的频率;(3)现甲、乙两人分别有40分钟和50分钟时间用于赶往火车站,为了尽最大可能在允许的时间

14、内赶到火车站,试通过计算说明,他们应如何选择各自的路径.解 (1)共调查了100人,其中40分钟内不能赶到火车站的有12+12+16+4=44(人),用频率估计概率,可得所求概率为0.44.(2)选择l1的有60人,选择l2的有40人,故由调查结果得频率分布如下表:所用时间(分钟)10202030304040505060l1的频率0.10.20.30.20.2l2的频率00.10.40.40.1(3)记事件a1,a2分别表示甲选择l1和l2时,在40分钟内赶到火车站;记事件b1,b2分别表示乙选择l1和l2时,在50分钟内赶到火车站.用频率估计概率及由(2)知p(a1)=0.1+0.2+0.3

15、=0.6,p(a2)=0.1+0.4=0.5,p(a1)p(a2),故甲应选择l1;p(b1)=0.1+0.2+0.3+0.2=0.8,p(b2)=0.1+0.4+0.4=0.9,p(b2)p(b1),故乙应选择l2.考点考点3 3互斥事件、对立事件的概率互斥事件、对立事件的概率【例3】经统计,在某储蓄所一个营业窗口等候的人数相应的概率如下:求:(1)至多2人排队等候的概率是多少?(2)至少3人排队等候的概率是多少?排队人数 012345人及5人以上概率0.10.160.30.30.10.04解 记“0人排队等候”为事件a,“1人排队等候”为事件b,“2人排队等候”为事件c,“3人排队等候”为

16、事件d,“4人排队等候”为事件e,“5人及5人以上排队等候”为事件f,则事件a,b,c,d,e,f彼此互斥.(1)记“至多2人排队等候”为事件g,则g=a+b+c,所以p(g)=p(a+b+c)=p(a)+p(b)+p(c)=0.1+0.16+0.3=0.56.(2)(方法一)记“至少3人排队等候”为事件h,则h=d+e+f,所以p(h)=p(d+e+f)=p(d)+p(e)+p(f)=0.3+0.1+0.04=0.44.(方法二)记“至少3人排队等候”为事件h,则其对立事件为事件g,所以p(h)=1-p(g)=0.44.解题心得 求互斥事件概率常见的两种方法:(1)公式法:将所求事件的概率分

17、解为一些彼此互斥的事件的概率的和,运用互斥事件的求和公式计算;(2)间接法:先求此事件的对立事件的概率,再用公式p(a)=1-p()求出所求概率,特别是“至多”“至少”型题目,用间接求法比较简便.对点训练3某商场有奖销售中,购满100元商品得1张奖券,多购多得.1000张奖券为一个开奖单位,设特等奖1个,一等奖10个,二等奖50个.设1张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为a,b,c,求:(1)p(a),p(b),p(c);(2)1张奖券的中奖概率;(3)1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率.案例探究案例探究( (五五) )“正难则反正难则反”思想在概率中的应用思想在概率中的应用 概率求解

18、中什么样的问题需用“正难则反”思维?一般来说,“正难则反”的思想是一种常见的数学思想,如反证法、补集的思想都是“正难则反”思想的体现.在解决问题时,如果从问题的正面入手比较复杂或不易解决,那么尝试采用“正难则反”思想往往会起到事半功倍的效果,大大降低题目的难度.在求对立事件的概率时,经常应用“正难则反”的思想,即若事件a与事件b互为对立事件,在求p(a)时,利用公式p(a)=1-p(b),先求容易的一个,再求另一个.【例】已知射手甲射击一次,命中9环(含9环)以上的概率为0.56,命中8环的概率为0.22,命中7环的概率为0.12.(1)求甲射击一次,命中不足8环的概率;(2)求甲射击一次,至少命中7环的概率.解记“甲射击一次,命中7环以下”为事件a,则p(a)=1-0.56-0.22-0.12=0.1,“甲射击一次,命中7环”为事件b,则p(b)=0.12,由于在一次射击中,a与b不可能同时发生,故a与b是互斥事件,(1)“甲射击一次,命中不足8环”的事件为a+b,由互斥事件的概率加法公式,p(a+b)=p(a)+p(b)=0.1+0.12=0.22.答:甲射击一次,命中不足8环的概率是0.22.(2)方法1:记“甲射击一次,命中8环”为事件c,“甲射击一次,命中9环(含9环)以上”为事件d,