第一讲：代数式与恒等变形

1、第1章代数式与恒等变形1.1四个公式知识衔接在初中，我们学习了实数与代数式，知道代数式中有整式，分式，根式，它们具有类似 实数的属性，可以进行运算。在多项式乘法运算中，我们学习了乘法公式，如：平方差公式 （a+ba-bya2-完全平方公式（a+b）2 =a2 ±2ab+b2 f并且知道乘法公式在整 式的乘除，数值计算，代数式的化简求值以及代数等式的证明等方而有着广泛的应用。而在 髙中阶段的学习中，将会遇到更复杂的多项式运算为此在本章中我们将拓展乘法公式的容。 知识延展1多项式的平方公式：（a + b + c）2 =小+沪+疋+2"b + 2c + 2“c2 立方和公式：（&

2、quot; + b）（/-ab + /） = /+/?、3 立方差公式：（a + ab + ）= a' -戻4 完全立方公式:（a ± b） ' = a3 ± 3a2b + 3ab2 ± b'注意：（1）公式中的字母可以是数，也可以是单项式或多项式；（2）要充分认识公式自身的价值，在多项式乘积中，正确使用乘法公式能提高运算速度, 减少运算中的失误：（3）对公式的认识应当从发现，总结出公式的思维过程中学习探索，概括，抽象的科学 方法：（4）由于公式的围在不断扩大，本章及初中所学的仅仅是其中最基本，最常用的几个公 式。一计算和化简例 1 计算：

3、（“一彷）2（。+ ）（/+" + /异）变式训练：化简(x + y)(x- y)(2 +y2 + y2 -xy) + y(>二利用乘法公式求值: 例2已知，3x+l=0,求x3+-L的值。.V变式训练：已a + b+c = 3ab+bc + ac = 2, a2+b2+c2三利用乘法公式证明例 3 已a+b+c = O,a3+b3 + c3= 0求证：2009 +Z>2009 +c2009 =0变式训练：已知 14(6/2 +h2+c2) = (a + 2b + 3c)2,求证：a:Z>:c = l:2:3习题精练1 化简：(a + b)(a2-ab + b2)-

4、(a + b)32 化简(d-1)(/+" + 1)(。+ 1)(/d +如6+1)(川? + 1)3已知x+y = 0且F + b=100,求代数式x2+y2的值;4已知"存+2心存+19"存+21,求代数式C的值；5 已知(x+y + z)2 =3(x2 +y2 +z2) > 求证：x = y = z6已知a4+b4+c4+d4=4abcd且么仅c,均为正数，求证：以agd为边的四边形为菱形。1.2因式分解知识延展一运用公式法立方和(差)公式：/ +戾=("+/?)(/ -ab + b2)/ 一b' =(“-/?)(/ +ab + b2

5、)二分组分解法1分组后能直接提公因式如：a2 -ab + ac-bc = (a2 -ab) + (ac-be) = a(a -b) + c(a -b) = (a-b)(a + c)2分组后直接应用公式如：4x2 -4xy + y2 - a2 = (4x2 -4xy + y2)-a2 = (2x-y)2 _/ = (2x_y+ g)(2x_ y _a)三十字相乘法1 x2 + (a + b)x + ab = (x + a)(x + b) 女口： x2 +5x-6 = (x + 6)(x-1)2 ax2 +bx + c = axx + q )a2x + c2)其 中 axa2 = a. qc2 =

6、 c, ac2 + «2ci = b如：6x2 -7x-5 = (2x + l)(3x-5)注意：十字相乘法的要领是：“头尾分解，交叉相乘，求和凑中，观察实验”四其它方法简介1添项拆项法如：(1) 4x4 +1 = 4x4 + 4x2 +1 - 4x2 = (2x2 +1)2 - 4x2 = (2x2 +2x+l)(2x2 - 2x +1)(2)3x3 -4x + l = 3x2 -3x-x+ = 3x(x2 -l)-(x-l) = 3x(x + l)(x-l)-(x-l) = (x-l)(3x +3x-l)2配方法如： 宀615=宀6卄9-9-15=(兀 + 3)2-24 =仗 +

7、 3 + 2、丘)(兀 + 3-2后)3运用求根公式法ax2 +bx + c = a(x-xxx-x2)(a H 0, A > 0)题型归类一分解因式例1把下列各式分解因式：(1) 5x2 +6xy-Sy2(2) a4 +a2-2ab-h2 +(3) x2 -2xy + y2 -x+ y-6(4) 9.x" 12-3x+7x，-3x-2二利用分解因式解方程例2解方程：4/一5.丫一10仮=24变式训练：若关于x 的方程(x + a)(x + b) + (x + b)(x + c) + (x + c)(x + d) = O (其中ajc均为正数)有两个相等实根，证明以为长的线段能

8、组成一个三角形，并指岀该三角形 的特征。三利用分解因式化简分式例3已知-；9y6 VV V =i,x 0求上的值: (a + 3xy 一 (ay + 3xy)x的值变式训练：当x等于x的倒数时，求分式厂+ 3x 3+ x 6四利用分解因式化简根式例4化简:yci + 2 *a-2>a-yaa-4ya +4)*(1一变式计算:习题精练1分解因式(1) / -9y2 一 2x + 6y(2) (x + y)2 -4(x + y)-12(3) x3 +x + 2(4) (x l)(x+2)(x 3)(x + 4) + 242已知F + y26x 8y + 25=0,求分式上一丄的值 x y已知 0 v X v 1,化简 l(x-1)2 + 4-!(x +