数学分析第七章

1、 在第一章与第二章中在第一章与第二章中, , 我们已经证明了实我们已经证明了实数集中的确界定理、单调有界定理并给出了数集中的确界定理、单调有界定理并给出了柯西收敛准则柯西收敛准则. . 这三个定理反映了实数的一这三个定理反映了实数的一种特性种特性, ,这种特性称之为完备性这种特性称之为完备性. . 而有理数集而有理数集是不具备这种性质的是不具备这种性质的. . 在本章中在本章中, , 将着重介将着重介绍与上述三个定理的等价性定理及其应用绍与上述三个定理的等价性定理及其应用. .这这些定理是数学分析理论的基石些定理是数学分析理论的基石. .7.1 关于实数集完备性的基本定理一、区间套定理与柯西收

2、敛定理二、聚点定理与有限覆盖定理三、实数完备性基本定理的等价性定义定义1nnab,:设设闭闭区区间间列列满满足足如如下下条条件件111. , ,1, 2,nnnnababn 2. lim()0 ,nnnba ,.nnab则则称称为为闭闭区区间间套套 简简称称区区间间套套定义定义1 中的条件中的条件1 实际上等价于条件实际上等价于条件1221.nnaaabbb nna aa a121nnbbb b12 1定理定理7.1(区间套定理区间套定理),nnab若若是是一一个个区区间间套套, 则则存存在在唯唯一一的的实实数数使使,1, 2,nnabn 或者或者. ,1nnnba 证证 由定义由定义1 的条

3、件的条件1 可知可知, 数列数列an递增递增, 有上界有上界b1. .所以由单调有界定理所以由单调有界定理, 可知可知 an 的极限存在的极限存在. x 从而由定义从而由定义1 的条件的条件2 可得可得.lim)(limlim nnnnnnnaabb因为因为 an 递增递增, bn 递减递减, 所以所以,nnba 下面来证明唯一性下面来证明唯一性. 设设 1 也满足也满足,1nnba ,limnna 设设这样就证明了这样就证明了 的存在性的存在性. 返回返回证证 由区间套定理的证明可得由区间套定理的证明可得:limlim.nnnnab 由极限的保号性由极限的保号性, 对于任意正数对于任意正数

4、, 存在存在 n,1,. 即即惟惟一一性性得得证证10.nnba那那么么,( ; ).nna bu 则任给则任给 0, 存在存在 n,1, 2,.n 当当 n n 时时,推论推论 设设 an ,bn 是一个区间套是一个区间套,nnab nnab,(,). 注注1 该推论有着很强的应用价值该推论有着很强的应用价值,请大家务请大家务必必牢记牢记. .注注2 区间套定理中的闭区间若改为开区间区间套定理中的闭区间若改为开区间, 那么结那么结论不一定成立论不一定成立. 例如对于开区间列例如对于开区间列 , 显然显然10n，nn, 当时 有当时 有,.nnab nnab,即即这这就就是是说说但是定理但是定

5、理1中的中的 是不存在的是不存在的, 这是因为这是因为110,.nn 证证明过程明过程, 哪一步通不过哪一步通不过?111.0,0,1, 2,1nnn 12.lim00.nn 10,1n读读者者可可以以反反思思一一下下, ,对对于于，按按照照定定理理的的,0,nm nn 对对于于任任意意正正数数存存在在时时 有有.2,2 aaaamnnmnmaaaaaa. 因因而而有有例例1、利用区间套定理证明柯西收敛准则。、利用区间套定理证明柯西收敛准则。即证明数列即证明数列 an 收敛的充要条件是收敛的充要条件是: 对任意的对任意的证证 (必要性必要性)lim,nnaa 设设由由数数列列极极限限的的定定义

6、义,.nmm nnaa 当当时时有有存在存在 n, , 0,1111111,(,),222nnnnnnaaa 令令存存在在时时, ,11112111,.,222nnabaa 取取令令存存在在.,(,).nnnnnaannaaa 即即当当时时(:lim.)nnnaa 注注意意 这这并并不不能能说说明明n nn,0, 由题设 对于任意存在时由题设 对于任意存在时()充分性充分性na na nax212(),nnnn 时时nnnaaa222211,22 ababba1122221,2 2222112211,.22nnaba baa 取取显显然然有有nnnaa b222,. 并并且且当当时时. . .

7、 . . . .11,.22kknnnkkaaa. . . . . . .,kkab这这样样就就得得到到一一列列闭闭区区间间满满足足kkkknnnn11,(),2 令令存存在在当当时时1111,.22kkkkkknnkkababaa 取取11(i) ,kkkkabab 1, 2,;k 11(ii)0,2kkkba k; 00,(,),kkab na.所以这就证明了所以这就证明了03,knn 由由性性质质当当时时00,(,),nkkaab kkab,. 由由区区间间套套定定理理 存存在在惟惟一一的的由定理由定理1的的+(iii)n ,.knkkknnaab 当当时时k00, 对对于于任任意意存存

8、在在使使推论，推论， lim.nna 定义定义2 设设 s 为数轴上的非空点集为数轴上的非空点集, 为直线上的为直线上的一个定点一个定点(当然可以属于当然可以属于 s, 也可以不属于也可以不属于s). 若对若对于任意正数于任意正数 , ,在在 ( , + ) 中含有中含有s 的无限个点的无限个点, 10sn 比比如如: : 是是的的一一个个聚聚点点; ;则称则称 是是 s 的一个的一个聚点聚点.us( ; ), 无限集无限集即即11, 1( 1).nsn是是的的两两个个聚聚点点为了便于应用为了便于应用,下面介绍两个与定义下面介绍两个与定义 2 等价的定义等价的定义.srr,.0, 设设若若对对

9、于于任任意意定义定义2定义定义2若存在各项互异的收敛数列若存在各项互异的收敛数列,sxn.lim的的一一个个聚聚点点称称为为那那么么极极限限sxnn 下面简单叙述一下这三个定义的等价性下面简单叙述一下这三个定义的等价性. 若设若设 s 是是 0, 1中的无理数全体中的无理数全体, 则则 s 的聚点的聚点集合集合 ( ; ),.uss 那那么么称称是是的的一一个个聚聚点点s (称为称为 s 的导集的导集) 为闭区间为闭区间 0, 1. 定义定义2 定义定义2 由定义直接得到由定义直接得到.定义定义2 定义定义2 因为因为 0,( ; )0,us 那么那么111,( ;1);xus 取取2122m

10、in 1/2,( ;);xxus 取取;.1min 1/ ,( ;);nnnnn xxus 取取.,nnnxsx 这这样样就就得得到到一一列列由由的的取取法法两两两两,10nxnn lim.nnx 由此由此互异互异, ,并且并且定义定义2定义定义2 由极限的定义可知这是显然的由极限的定义可知这是显然的.定理定理7.2 (聚点定理聚点定理) 实数轴上的任意有界实数轴上的任意有界无限点无限点集必有聚点集必有聚点. .我们再次使用区间套定理来证明聚点定理我们再次使用区间套定理来证明聚点定理, 请务必请务必证证 因为因为s为有界点集为有界点集, 所以存在正数所以存在正数 m, 使使11,.sm mab

11、m m 且且记记现将现将 a1, b1 等分为两个子区间等分为两个子区间 a1, c1, c1,b1,1111111.,2abcaccb 其其中中那那么么中至少有一中至少有一个区间个区间含有含有 s 的无限多个点的无限多个点. 记该区间为记该区间为a2, b2.要注意在区间套的构成中所建立的性质要注意在区间套的构成中所建立的性质 (iii). .,2211baba 显显然然有有22111().2babam再将再将a2, b2等分为两个子区间等分为两个子区间. 同样至少有一个子同样至少有一个子区区间含有间含有 s 的无限多个点的无限多个点, 将这个区间记为将这个区间记为a3, b3.112233

12、,a ba bab 显显然然又又有有.2)(212233mabab nnnmba1(ii)0;2 (iii) 每个闭区间每个闭区间an, bn 均含均含s 的无限多个点的无限多个点.无限重复这个过程无限重复这个过程, 就可得到一列闭区间就可得到一列闭区间,nnabnnnnababn11(i) ,1, 2,; ,nnab 由由区区间间套套定定理理 存存在在惟惟一一的的., 2, 1 n满足满足1:,n 由由定定理理的的推推论论 对对于于任任意意的的正正数数存存在在使使,( ; ),nnabu 所以由所建立的性质所以由所建立的性质(iii)( ; ),nnusabs 无无限限集集. .这就证明了这

13、就证明了 是是 s 的一个聚点的一个聚点.定理定理7.2 有一个非常重要的推论有一个非常重要的推论( (致密性定理致密性定理).).该该定理在整个数学分析中定理在整个数学分析中, ,显得十分活跃显得十分活跃. .证证 设设xn为有界数列为有界数列, 若若xn 中有无限项相等中有无限项相等, 取取这些相等的项可成一个子列这些相等的项可成一个子列. 该子列显然是收敛该子列显然是收敛若数列若数列xn 不含有无限多个相等的项不含有无限多个相等的项, 则则xn作为作为点集是有界的点集是有界的. 由聚点原理由聚点原理, 可设可设 是是xn 的一个的一个推论推论(致密性定理致密性定理) 有界数列必有收敛子列

14、有界数列必有收敛子列.的的. .收敛于收敛于 . .聚点聚点, , 那么再由定义那么再由定义 2 , ,可知可知 xn 中有中有一个子列一个子列 00lim(), , ,().nnf xaxa bf xa 那那么么存存在在使使证证 , ,.nnxa bx 因因故故有有界界 由由致致密密性性定定理理，0.lim.kknnnkxxxx 存存在在一一个个收收敛敛子子列列设设, bxakn 又因又因由极限的不等式性质由极限的不等式性质, 可得可得.0bxa 例例1( ) , , .nf xa bxa b 设设在在上上连连续续，如如果果作为致密性定理的应用作为致密性定理的应用, 我们来看下面两个例我们来

15、看下面两个例题题. . 例例2 用致密性定理证明柯西收敛准则用致密性定理证明柯西收敛准则. 证证01na 设设是是一一个个柯柯西西列列, ,那那么么对对于于， 存存在在0,|1,| | 1.nnnnn nnaaaa 时时故故nnmaaaa121max|,|,| 1, 令令nnnama|,. 那那么么对对一一切切 ，所所以以是是有有界界数数列列.knnaa由由致致密密性性定定理理, ,存存在在的的收收敛敛子子列列f xx0( )由由于于在在点点连连续续, ,根根据据归归结结原原理理00lim()lim( )().knkxxaf xf xf x aaknk lim设设.下面证明下面证明 an 以以

16、 a为极限为极限.因为因为 an 是柯西列是柯西列, 所以对于任意正数所以对于任意正数1,n 1,|.nmn mnaa 当当时时，lim,knkaa 又又因因为为1max,knn nnn 令令当当时时|2 ,kknnnnaaaaaa lim.nnaa 所所以以,kk 时时 有有,k 所所以以对对上上述述存存在在当当|.knaa 定义定义3 设设 s 为数轴上的一个点集为数轴上的一个点集, ,h为一些开区间为一些开区间h( ,). 的的集集合合 即即中中的的元元素素均均为为形形如如的的开开区区间间xshx,( ,),( ,), 若若对对于于任任意意都都存存在在使使则称则称 h 是是 s 的一个开

17、覆盖的一个开覆盖.若若 h是是 s 的一个开覆盖的一个开覆盖, 并且并且h 中的元素中的元素(开区开区间间) ) 仅有有限个仅有有限个, 则称则称 h 是是 s 的一个有限开覆盖的一个有限开覆盖.11,1, 2,.(0,1)2hnnn例例如如是是区区间间的的一个开覆盖一个开覆盖.定理定理7.3 (海涅博雷尔有限覆盖定理海涅博雷尔有限覆盖定理)设设 h是闭区间是闭区间 a, b 的一个开覆盖的一个开覆盖, 则从则从 h 中可选中可选证证 证明该定理有多种证明该定理有多种海涅海涅( heine,h.e. 1821-1881,德国德国 )博雷尔博雷尔( borel,e.1871-1956, 法国法国

18、 ) 出出有限个开区间有限个开区间, ,构成闭区间构成闭区间 a, b 的一个子覆盖的一个子覆盖. .要注意区间套的取法要注意区间套的取法.间套定理来证明间套定理来证明, 仍然仍然方法方法. 这里还是运用区这里还是运用区若定理不成立若定理不成立, 也就是说也就是说 a, b不能不能被被 h 中任何中任何再将再将 a1, b1 等分成两个子区间等分成两个子区间, 其中至少有一个其中至少有一个 有限个开区间所覆盖有限个开区间所覆盖. 将区间将区间a, b等分成两个子等分成两个子区间区间, 那么这两个子区间中至少有一个不能被那么这两个子区间中至少有一个不能被 h中任意有限个开区间所覆盖中任意有限个开

19、区间所覆盖, 设该区间为设该区间为a1 , b1. 不能被不能被 h 中有限个开区间所覆盖中有限个开区间所覆盖. 设该区间为设该区间为aba bbaba11111, , ,().2 并并且且显然有显然有11(i) ,1, 2,;nnnnababn (iii) 对每一个闭区间对每一个闭区间 an, bn, 都不能被都不能被 h 中有限个中有限个满足下列三个性质满足下列三个性质:221122111,().2ababbaba 并并且且a2 ,b2. 同样有同样有将上述过程无限进行下去将上述过程无限进行下去, 可得一列闭区间可得一列闭区间,nnab1(ii)()0,2nnnbaba ;n 11, ,

20、,( ,),abha bh 因因覆覆盖盖了了故故存存在在0,.min,7.1 使使（）取取由由定定理理这就是说这就是说, an , bn 被被 h 中的一个开区间所覆盖中的一个开区间所覆盖,1, 2,.nnabn , 由由区区间间套套定定理理, ,存存在在惟惟一一的的使使开开区间所覆盖区间所覆盖.0,( ;)( ,).nnnabu 论论 存存在在使使的推的推矛矛盾盾. .1(1 )1 2 .1hnn 比比如如开开区区间间集集，覆覆盖盖了了区间区间 (0, 1). 很明显很明显, h 中的任何有限个开区间均不中的任何有限个开区间均不 注注 定理定理7.3中的闭区间不可以改为开区中的闭区间不可以改

21、为开区间间. .能覆盖能覆盖 (0, 1).我们已经学习了关于实数完备性的六个定理我们已经学习了关于实数完备性的六个定理, 它它确界定理确界定理 单调有界定理单调有界定理 区间套定理区间套定理下面证明这六个定理是等价的下面证明这六个定理是等价的. .们是们是:聚点定理聚点定理 有限覆盖定理有限覆盖定理 柯西收敛准则柯西收敛准则 柯西收敛准则柯西收敛准则 区间套定理区间套定理 聚点定理聚点定理 确界定理确界定理 有限覆盖定理有限覆盖定理 单调有界定理单调有界定理 654321例例3 用有限覆盖定理证明聚点定理用有限覆盖定理证明聚点定理.证证 设设 s 是无限有界点集是无限有界点集, 则存在则存在

22、 m 0, 使得使得,.sm m ,ssxm mx 若的聚点集合那么 任给若的聚点集合那么 任给xxx.0( 都都不不是是聚聚点点 这这就就是是说说存存在在表表示示与与有有xxxxs),(,). 关使得有限集关使得有限集在上图的等价性关系中在上图的等价性关系中, 仅仅 和和 尚未证尚未证明明. .这里这里46给出给出 的证明的证明, , 请大家自己阅读教材请大家自己阅读教材. .46很明显很明显, h 覆盖了闭区间覆盖了闭区间 m, m. 根据有限覆盖根据有限覆盖(,)|,0,xxxhxxxm m (,).xxxxs 有有限限集集设开区间集设开区间集0(,)|1, 2,.iiiihxxin 由

23、由h 的构造的构造,有有限限集集， sxxiiii),( 所以所以有有限限集集， sxxsmmsiiiini),(,1 矛盾矛盾.定理定理, , 存在存在 h 中的有限子覆盖中的有限子覆盖7.2 闭区间上连续函数的性质实数完备性理论的一个重要作用就是证一、最大、最小值定理经在第四章给出过. 明闭区间上连续函数的性质，这些性质曾 三、一致连续性定理二、介值性定理首先来看一个常用的定理首先来看一个常用的定理.有界性定理有界性定理 若若 f (x) 在闭区间在闭区间 a, b 上连续上连续, 则则 f (x) , .a b在在上上有有界界证证 用两种方法给出证明用两种方法给出证明.第一种方法第一种方

24、法 使用有限覆盖定理使用有限覆盖定理. 因为因为 f (x) 在在 a, b局部有界的性质化为整体有界性质局部有界的性质化为整体有界性质.上每一点连续上每一点连续, 从而局部有界从而局部有界. 我们的任务就是将我们的任务就是将 , ,0,0,ttta bm 对对于于任任意意的的存存在在以以及及(,) , ,ttxtta b 当当时时|( )|.tf xm h 覆盖了闭区间覆盖了闭区间a, b. 由有限覆盖定理由有限覆盖定理, 在在 h 中存中存1111(,), (,)nnttntnttttt , ,1,xa biin 于于任任意意存存在在使使 (,)| , ,ttttta bh 设设开开区区间

25、间集集显然显然12 , .max,nttta bmmmm 覆覆盖盖了了令令则对则对在有限个开区间在有限个开区间第二种证法第二种证法 采用致密性定理采用致密性定理.因为因为xn 有界有界, 从而存在一个收敛的子列从而存在一个收敛的子列. 为了书为了书写方便写方便, 不妨假设不妨假设 xn 自身收敛自身收敛, 令令0lim.nnxx (,),|( )|.iiiitittxttf xmm 因因此此设设 f (x) 在在a, b上无界上无界, 不妨设不妨设 f (x)无上界无上界. 则存在则存在 lim().nnf x , ,nxa b 使使00,.( ),naxbaxbf xx 因因则则又又因因在在

26、连连续续故由归结原理可得故由归结原理可得 00lim()lim( )(),nnxxf xf xf x 矛盾矛盾.最大、最小值定理最大、最小值定理(定理定理4.6) 若函数若函数 f (x) 在在a, b 证证 f (x) 在在 a, b 上连续上连续, 因而有界因而有界. 由确界定理由确界定理, f (x) 在在 a, b 上的值域有上确界上的值域有上确界. 设设上连续上连续, 则则 f (x) 在在 a, b 上取最大、最小值上取最大、最小值. , sup( ).xa bmf x :( , ).,mfa b 要要证证若若不不然然 则则对对于于任任意意 , ,xa b 1( )( )f xmf

27、 x ( )f xm ， 于于是是在在a, b 上连续上连续, 从而有界从而有界, 故存在故存在 g 0, 使使 10( ).( )f xgmf x 这样就有这样就有 1( ), , .f xmxa bg这与这与 m 是是 f (x) 在在 a, b 上的上确界矛盾上的上确界矛盾.这就证明了上确界这就证明了上确界 m 与下确界与下确界 m 都是可取到的都是可取到的, 同理可证同理可证:下确界下确界 , inf( )xa bmf x 也属于也属于 f (a, b).最小值最小值. 这也就是说这也就是说, m 与与 m 是是 f (x) 在在a, b上的最大、上的最大、(定理定理4.7) 设函数设

28、函数 f (x) 在闭区间在闭区间 a, b上连续上连续, 且且 ,( , ),a b 实实数数 则则存存在在使使证证 在第四章中在第四章中, 我们已经用确界定理证明此定理我们已经用确界定理证明此定理.现在用区间套定理来证明现在用区间套定理来证明.( )( ),( ) , ,f xf xf xa b 设设则则在在上上连连续续 并并且且f ( ). ( )( )f af b 若若是是介介于于与与之之间间的的一一个个f (a) f (b).将将 a, b 等分成两个区间等分成两个区间 a, c, c, b, 若若 f(c)=0, . 0)()( bfaf下去下去, 得到一列闭子区间得到一列闭子区间

29、 个区间的端点上的值异号个区间的端点上的值异号. 将这个过程无限进行将这个过程无限进行f(c1) = 0, 已证已证. 不然同样可知函数不然同样可知函数 f(x) 在其中一在其中一将将 a1 , b1 等分成两个区间等分成两个区间 a1, c1, c1 , b1, 若若 间端点上的值异号间端点上的值异号, 将这个区间记为将这个区间记为a1, b1. 再再 已证已证. 不然不然, 函数函数 f(x)在这两个区间中有一个区在这两个区间中有一个区 11(i) ,1, 2,;nnnnababn (ii)0 ,;2nnnbaban (iii)()()0.nnf af b 由区间套定理由区间套定理, 存在

30、惟一的存在惟一的,1, 2,nnabn limlim.( )nnnnabf x并且因为在点连续,并且因为在点连续,20lim()()( ) ,nnnf af bf 所所以以( )0.:f 即这也就是说即这也就是说.)( f an , bn , 满足满足:(定理定理4.9) 若函数若函数 f (x) 在在 a ,b上连续上连续, 则则 f (x) 在在 证证 (证法一证法一) 首先用致密性定理来证明该定理首先用致密性定理来证明该定理. 在在 设设 f (x) 在在 a, b 上不一致连续上不一致连续, 即存在即存在对于对于, 00 0(), , ,xxa b 一一切切无无论论多多么么小小 总总是

31、是存存在在a, b 上一致连续上一致连续. 究究. 下述证明过程中下述证明过程中, 选子列的方法值得大家仔细探选子列的方法值得大家仔细探 |,xx 虽虽然然但但0|()()|.f xf x 现分别取现分别取11 1111, , ,|1,xxa bxx 110|()()|;f xf x 222211, , ,|,22xxa bxx 220|()()|;f xf x 11, , ,|,nnnnnxxa bxxnn 0|()()|;nnf xf x , , ,nnxxa b 由由此此得得到到两两列列虽虽然然1|0,nnxxn 0|()()|.nnf xf x 因为因为 xn 有界有界, 从而由致密性

32、定理从而由致密性定理, 存在存在 xn 的的kknnkxxx0.lim. 一个收敛子列设一个收敛子列设.但是总有但是总有, bxakn因为因为所以由极限的不等式性质所以由极限的不等式性质.0bxa连续连续, 所以由归结原理得到所以由归结原理得到0lim |()()|kknnkf xf x 矛盾矛盾.(证法二证法二) 再用有限覆盖定理来证明再用有限覆盖定理来证明.00| lim( )lim( )|0,xxxxf xf x 0limlim()lim,kkkknnnnkkkxxxxx 因因为为以及以及 f0,0,( ;) , xxxu xa b 给给存存在在当当时时有有|()( )|.2f xf x

33、 考虑开区间集考虑开区间集 ( ;)| ,2xhu xxab 那么那么 h 是是 a, b 的一个开覆盖的一个开覆盖. 由有限覆盖定理由有限覆盖定理, 因因 f (x) 在在 a, b 上连续上连续, 对任意一点对任意一点 , ,xa b 任任存在有限个开区间存在有限个开区间 1min0,2iin 令令对于任何对于任何, , ,x xa b只只要要,| xx那么那么x 必属于上述必属于上述 n 个小区间中的个小区间中的 一个一个,.22iiiixxx 设设于于是是1111(,), (,)2222nnnnxxxx 也覆盖了也覆盖了 a, b.|,2iiixx 所以由小区间的定义得知所以由小区间的

34、定义得知|()()| |()()|()()|iif xf xf xf xf xf x这就证明了这就证明了)(xf在在a, b上的一致连续性上的一致连续性.|,2iiiixxxxxx ,22 *7.3 上极限和下极限数列的上极限与下极限是非常有用的概念, 通过 一、上(下)极限的基本概念程来说, 上(下)极限也是不可缺少的工具.极限或下极限来解决问题. 此外, 对于不少后继课考虑的某些数列不存在极限的情形, 那时需要用上册第十二、十四章讨论级数收敛性时, 常会遇到所它们可得出数列极限存在的另一个充要条件. 在下二、上(下)极限的基本性质注注 点集的聚点与数列的聚点之间的区别在于点集的聚点与数列的

35、聚点之间的区别在于: 定义定义1 若数列若数列nx满足满足: 在数在数0 x的任何一个邻的任何一个邻域域内均含有内均含有 中的中的无限多项无限多项, 则称则称 x0 是数列是数列nxnx常数列常数列()naa 只有一个聚点只有一个聚点: a . 的一个聚点的一个聚点. 限多个项限多个项”. 现举例如下现举例如下: 前者要求前者要求 “含有无限多个点含有无限多个点”, 后者要求后者要求 “含有无含有无 定理定理7.4 有界数列至少存在一个聚点有界数列至少存在一个聚点, 并且有最大并且有最大 但作为数列但作为数列来说来说, 它却有两个聚点它却有两个聚点:11. 和和有五有五个聚点个聚点:1,2 2

36、, 0,2 2, 1. sin4n数列数列0,.knxxk 从数列聚点的定义不难看出从数列聚点的定义不难看出, x0 是数列是数列 的的聚聚 nx( 1) n 作为点集来说它仅有两个点作为点集来说它仅有两个点, 故没有聚点故没有聚点; 点点的一个充要条件是的一个充要条件是: 存在存在 的一个子列的一个子列,knxnx聚点聚点和和最小聚点最小聚点. . 又设又设 |,nex xx 是是的的聚聚点点由于由于 e 非空有界非空有界, 故由确界原理故由确界原理, 存在存在sup,inf.aeae 下面证明下面证明a是是 xn 的最大聚点的最大聚点, 亦即亦即.ea证证 设设nx为有界数列为有界数列,

37、由致密性定理由致密性定理, 存在一个存在一个 的一个聚点的一个聚点.0nxx是是收敛子列收敛子列0,(),kknnxxxk 于是于是首先首先, 由上确界的性质由上确界的性质, 存在存在,ean 使使.aan,11 存在存在,1nx使使;1|11 axn,212 存在存在221(),nxnn 使使221|;2nxa(,)iiaa nx内含有内含有的无限多项的无限多项. 现依次令现依次令 ,1kk 存在存在1(),knkkxnn 使使;1|kaxknk 因为因为ia是是nx的聚点的聚点, , 所以对任意正数所以对任意正数 在区间在区间 , .这样就得到了这样就得到了 xn 的一个子列满足的一个子列

38、满足:, knxlimlim()lim,kknnkkkkkxxaaa.ea 同理可证同理可证.ea定义定义 2 有界数列有界数列nx的最大聚点的最大聚点a与最小聚点与最小聚点 a分别称为分别称为nx的上、下极限的上、下极限, 记为记为 lim,lim.nnnnaxax 即证得即证得,nax也也是是的的一一个个聚聚点点 所所以以注注 由定理由定理 7.4 得知得知, 有界数列必有上有界数列必有上、下极限下极限. 提供了一个新的平台提供了一个新的平台. 的上的上、下极限总是存在的下极限总是存在的, 这为研究数列的性质这为研究数列的性质 极限来研究该数列往往是徒劳的极限来研究该数列往往是徒劳的; 但

39、是有界数但是有界数列列 数列若有界数列若有界, 它的极限可以不存在它的极限可以不存在, 此时想通过此时想通过 这样这样, 上上、下极限的优越性就显现出来了下极限的优越性就显现出来了: 一个一个 例例1 考察以下两个数列的上考察以下两个数列的上、下极限、下极限: :lim( 1)1,lim( 1)1.11nnnnnnnn 111limlim0 (lim);nnnnnn 从中可大致看出数列的极限和数列的上、下极限从中可大致看出数列的极限和数列的上、下极限之间存在着的内在联系之间存在着的内在联系. . 详细讨论请见下文详细讨论请见下文. . 由上由上、下极限的定义下极限的定义, 立即得出立即得出:定

40、理定理7.5 对任何有界数列对任何有界数列, nx有有 下面这个定理刻画了极限与上下面这个定理刻画了极限与上、下极限之间的关下极限之间的关系系.定理定理7.6有界数列有界数列nx存在极限的充要条件是存在极限的充要条件是:limlim.nnnnxx (1)limlim.nnnnxx (2)limlim.nnnnxx 证证设设lim.nnxa 对于任意正数对于任意正数在在, ( ; )u a 之外之外 只有只有有限项有限项. 这样这样, 对任意的对任意的 若若,ba nx0( ;)u a 在在之之外外 只有有限项只有有限项. 这就是说这就是说, bnx不是不是 的聚点的聚点, 故故 仅有一个聚点仅

41、有一个聚点 a, 从而从而nxnx那么在那么在内内( 此时必此时必0|0,2ba 0( ;)u b 取取反之反之, 若上式成立若上式成立, 则则 的聚点惟一的聚点惟一 (设为设为 a) , nx一的假设相矛盾一的假设相矛盾. .另一聚点另一聚点, , 导致与聚点惟导致与聚点惟 性定理性定理, , 这无限多项必有这无限多项必有 nx的无限多项的无限多项. . 由致密由致密 0( ;)u a 之外含有之外含有使得在使得在00, 倘若不然倘若不然, ,则存在则存在 lim.nnxa 此时易证此时易证定理定理7.7设设nx为有界数列为有界数列, 则有则有1limnnxa 的充要条件是的充要条件是: 对

42、于任意的对于任意的, 0 (i) 存在存在 n, 当当 n n 时时, ; axn(ii),1, 2,.kknnxxak 存在存在lim2nnxb 的充要条件是的充要条件是: 对于任意的对于任意的0, (i) 存在存在 n, 当当 n n 时时, ; bxn(ii),1, 2,.kknnxxbk 存存在在证证 在形式上是对称的在形式上是对称的, 所以仅证明所以仅证明 .12和和1 .limaxnn必要性必要性 设设因为因为 a 是是nx的一个的一个聚点聚点, ,使得使得所以存在所以存在, knx(),knxak 故对于任故对于任意的意的 存在存在 0, 0,k 当当 k k 时，时，.knax

43、 将将knx中的前面中的前面 k 项剔除项剔除, 这样就证明了这样就证明了(ii).,)a 上上, 至多只含至多只含nx的有限项的有限项. 不然的不然的 话话, 因为因为nxnx有界有界, 故故在在 上上,)a 还有聚点还有聚点, 这与这与 a 是最大聚点相矛盾是最大聚点相矛盾. 设这有限项设这有限项 又因又因 a 是是nx的最大聚点的最大聚点, 所以对上述所以对上述 在区间在区间, 的最大下标为的最大下标为 n, 那么当那么当 n n 时时,.nxa 充分性充分性 任给任给,0 综合综合 (i) 和和 (ii), 在在),( aa上含有上含有 xn 的无限项的无限项, 即即 a 是是 xn

44、的聚点的聚点. .而对于任意的而对于任意的0,2aaaa 令令由由于于满满足足02naaxa 的的项项至至多多只只有有有有限限个个, ,这说明在这说明在),(00 aalim.nnxa 定理定理7.8 (保不等式性保不等式性)设设 xn , yn 均为有界数均为有界数 xn 的有限项的有限项, 故故 不是不是 xn 的的上也上也至多只有至多只有a 从而有从而有聚点聚点, ,所以所以 a 是是 的最大聚点的最大聚点 .nx.nnxy 列列, ,并且满足并且满足: : 存在存在当当 n n0 时时, , 有有00,n 则取上则取上(下下)极限后极限后, 原来的不等号方向保持不变原来的不等号方向保持

45、不变:证证 设设lim, lim,nnnnxayb 因为因为 b 是是 yn 的的聚聚点点, 所以存在所以存在 , knylim.kknnkybx 又又有有界界，特别若特别若 则更有则更有,nnaxyb故存在故存在 的一个收敛子列的一个收敛子列 ,knxkjnxlim.kjnjxa limlim,limlim.nnnnnnnnxyxy (3).limlimbyxannnn(4).aab 同理可证关于上极限的不等式同理可证关于上极限的不等式; 而而 (4) 式则可由式则可由,kkjjnnxy 又因又因 (1) 与与 (3) 式直接推得式直接推得. nx的最小聚点的最小聚点 a 理应理应满足满足的

46、聚点的聚点, , 它与它与ba nxj a 也也是是. . 由于由于的极限的极限, ,便得便得取取证证 这里这里只证明只证明 (i) , (ii) 可同理证明可同理证明. 设设lim,lim.nnnnaabb由定理由定理7.7, 存在存在 n, 当当 n n 时时,2,2 bbaann(i) lim()limlim;nnnnnnnabab (5)(ii) lim()limlim.nnnnnnnabab (6)例例1, nnba都是有界数列都是有界数列, 那么那么设设再由定理再由定理 7.8 的的 (4) 式式, 得得lim().nnnabab 因为因为 是任意的是任意的, 故故 lim ()l

47、imlim.nnnnnnnababab 注注 这里严格不等的情形确实会发生这里严格不等的情形确实会发生, 例如例如1( 1),( 1) .nnnnab 故故. babann例例2 设设 , 且且limlimnnnnxabx 1lim ()nnnxx .0 求证求证 的全体聚点的集合为的全体聚点的集合为nx.,ba证证 设设 e 是是 的全体聚点的集合的全体聚点的集合, 显然有显然有nxlim1 , lim1 ,nnnnab lim ()0.nnnab 而而,bae ,.aebe 内仅含内仅含 的有限的有限项项:nx,00 00(;)u x 在在任给任给 , 欲证欲证 如若不然如若不然, 则存在则存在),(0bax 0.xe 1212,().nnnnnxxxnnn 之内之内. 又因又因 所以存在所以存在1lim()0,nnnxx ,k 当当nk 时,有时,有010.(7)nnxx 这就是说这就是说, 当当 时时, 所