高考数学复习实数与向量的积

1、实数与向量的积（1）教学目的：1.掌握实数与向量积的定义，理解实数与向量积的几何意义；2.掌握实数与向量的积的运算律；3.理解两个向量共线的充要条件，能够运用共线条件判定两向量是否平行.教学重点：掌握实数与向量的积的定义、运算律、理解向量共线的充要条件教学难点：对向量共线的充要条件的理解教学过程：一、复习引入：1.向量的概念：既有大小又有方向的量叫向量,有二个要素：大小、方向.2.向量的表示方法：用有向线段表示；用字母a、等表示；3.零向量、单位向量概念：长度为0的向量叫零向量， 长度为1个单位长度的向量，叫单位向量.4.平行向量定义：方向相同或相反的非零向量叫平行向量；我们规定0与任一向量平

2、行.向量a、平行，记作a.5.相等向量定义：长度相等且方向相同的向量叫相等向量.6.共线向量与平行向量关系：平行向量就是共线向量.7.向量的加法：求两个向量和的运算，叫做向量的加法。向量加法的三角形法则和平行四边形法则。8向量加法的交换律：+=+9向量加法的结合律：(+) +=+ (+)10向量的减法向量a加上的b相反向量，叫做a与b的差。即：a - b = a + (-b) 11差向量的意义： = a, = b, 则= a - b 即a - b可以表示为从向量b的终点指向向量a的终点的向量。二、讲解新课：1示例：已知非零向量，作出+和(-)+(-)+(-) =+=3=(-)+(-)+(-)=

3、-3（1）3与方向相同且|3|=3|；（2）-3与方向相反且|-3|=3|2实数与向量的积的定义：实数与向量的积是一个向量，记作：. 规定：（1）|=|（2）>0时与方向相同；<0时与方向相反；=0时=3运算定律 结合律：()=() 第一分配律：(+)=+ 第二分配律：(+)=+ 4向量共线的充要条件若有向量(¹)、，实数，使=，则与为共线向量。若与共线(¹)且|：|=，则当与同向时=； 当与反向时=-。从而得向量共线定理 向量与非零向量共线的充要条件是：有且只有一个实数，使=。三、讲解范例：例1 计算：（1） （-3）×4a ;（2） 3(a+b)-

4、2(a-b)-a;（3） (2a+3b-c)-(3a-2b+c)例2 若32a，3，其中a，是已知向量，求，.例3 如图，已知试判断是否共线. 例4判断向量ae与e是否共线?例5凸四边形abcd的边ad、bc的中点分别为e、f，求证(+).解法一：构造三角形，使ef作为三角形中位线，借助于三角形中位线定理解决.过点c在平面内作，则四边形abgc是平行四边形，故f为ag中点.ef是adg的中位线，ef =, .而，（）.解法二：创造相同起点，以建立向量间关系如图，连eb，ec，则有，又e是ad之中点，有0.即有；以与为邻边作平行四边形ebgc，则由f是bc之中点，可得f也是eg之中点.（）（）四

5、、课堂练习：如图，mn是abc的中位线，求证：mnbc，且mnbc.实数与向量的积（2）教学目的：1.了解平面向量基本定理；2.掌握平面里的任何一个向量都可以用两个不共线的向量来表示，理解这是应用向量解决实际问题的重要思想方法；3.能够在具体问题中适当地选取基底，使其他向量都能够用基底来表达.教学重点：平面内任一向量都可以用两个不共线非零向量表示教学难点：平面向量基本定理的理解。教学过程：一、复习引入：1实数与向量的积：实数与向量的积是一个向量，记作：（1）|=|；（2）>0时与方向相同；<0时与方向相反；=0时=2运算定律 结合律：()=() 分配律：(+)=+ (+)=+ 3

6、向量共线定理 向量与非零向量共线的充要条件是：有且只有一个非零实数，使=。二、讲解新课：(共面向量定理)平面向量基本定理：如果，是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数1，2使=1+2探究：(1)我们把不共线向量、叫做表示这一平面内所有向量的一组基底；(2)基底不惟一，关键是不共线；(3)由定理可将任一向量a在给出基底、的条件下进行分解；(4)基底给定时，分解形式惟一. 1，2是被，唯一确定的数量三、讲解范例：例1 已知向量， 求作向量-2.5+3。例2 如图 abcd的两条对角线交于点m，且=，=，用，表示，和 例3已知abcd的两条对角线ac与bd交于e

7、，o是任意一点，求证：+=4 例4（1）如图，不共线，=t (tÎr)用,表示 （2）设不共线，点p在o、a、b所在的平面内，且.求证：a、b、p三点共线. 例5 已知 a=2e1-3e2,b= 2e1+3e2,其中e1,e2不共线，向量c=2e1-9e2，问是否存在这样的实数与c共线.四、课堂练习：1.设e1、e2是同一平面内的两个向量,则有a.e1、e2一定平行 b.e1、e2的模相等c.同一平面内的任一向量a都有a =e1+e2(、r)d.若e1、e2不共线,则同一平面内的任一向量a都有a =e1+ue2(、ur)2.已知矢量a = e1-2e2,b =2e1+e2,其中e1、

8、e2不共线,则a+b与c =6e1-2e2的关系a.不共线 b.共线 c.相等 d.无法确定3.已知向量e1、e2不共线,实数x、y满足(3x-4y)e1+(2x-3y)e2=6e1+3e2,则x-y的值等于a.3 b.-3 c.0 d.24.已知a、b不共线,且c =1a+2b(1,2r),若c与b共线,则1= .5.已知10,20,e1、e2是一组基底,且a =1e1+2e2,则a与e1_,a与e2_(填共线或不共线). 实数与向量的积（3）教学目的：1.掌握实数与向量积的定义，理解实数与向量积的几何意义；2.掌握实数与向量的积的运算律；理解两个向量共线的充要条件，3. 掌握平面向量基本定

9、理；教学重点：实数与向量的积的应用； 教学难点：平面向量基本定理的理解及应用。教学过程：一、复习引入：1实数与向量的积：实数与向量的积是一个向量，记作：（1）|=|；（2）>0时与方向相同；<0时与方向相反；=0时=2运算定律 结合律：()=() 分配律：(+)=+ (+)=+ 3 向量共线定理 向量与非零向量共线的充要条件是：有且只有一个非零实数，使=.4平面向量基本定理：如果，是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数1，2使=1+2不共线向量e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底；二、例题例1 已知向量a、b是两个非零向量，在下列条件中，能使a、b 共线的条件是 2a-3b=4e且a+2b=-3e; 存在相异实数 xa+yb=0（其中x,y满足x+y=0） 已知梯形abcd,其中a. b. c. d. 例2 已知不共线的非零向量a、b、c，求作向量例3 设是两个不共线的向量,已知若a、b、d三点共线，求k的值.例4 如图所示，已知梯形abcd中，a