环形一级倒立摆设计

1、1 绪论随着计算机技术和通信技术的飞速发展，控制理论的研究不断深入，自动 控制技术在农业、工业、军队和家庭等社会各领域得到了广泛应用，对于提高 劳动生产率做出了重要贡献。倒立摆是一种理想的控制对象平台，它结构简单、成本较低，可以有效地 检验众多控制方法的有效性。对倒立摆系统这样一个典型的多变量、快速、非 线性和自然不稳定系统的研究，无论在理论上和方法上都具有重要意义。这不 仅因为其级数增加而产生的控制难度是人类对其控制能力的有力挑战，更是因 为在实现其稳定控制的过程中，众多的控制理论和方法被不断应用，新的控制 理论和方法因而层出不穷。各种控制理论和方法都可以在倒立摆这个控制对象 平台上加以实现

2、和检验，并可以促成控制理论和方法相互间的有机结合，进而 使得这些新方法、新理论可以应用到更加广泛的受控对象中。倒立摆系统的分类随着倒立摆系统控制方法研究的不断深入，倒立摆系统的种类也逐渐发展 为多种形式。目前研究的倒立摆大多为在二维空间仁即平面 ) 内摆动的摆。考虑倒立摆的不同结构形式，倒立摆系统可以分为以下几种类型1) 小车倒立摆系统仁或称为“直线倒立摆系统” )小车倒立摆系统主要由小车和摆杆两部分构成。其中，摆杆可以是一级、 两级、三级、四级甚至多级。摆杆的级数越多，控制难度越大，而摆杆的长度 也可能是变化的。控制目标一般是通过给小车施加一个水平方向的力，使小车 在期望的位置上稳定，而摆杆

3、达到竖直向上的动态平衡状态。2) 旋转倒立摆系统仁或称为“环形倒立摆系统” )旋转倒立摆系统是在小车倒立摆系统的基础上发展起来的。与小车倒立摆不 同，旋转倒立摆将摆杆安装在与电机转轴相连的水平旋臂上，通过电机带动 旋臂在水平面的转动来控制摆杆的倒立，摆杆可以在垂直平面内旋转。旋转倒 立摆将小车倒立摆的平动控制改为旋转控制，使得整个系统更为复杂和不稳定， 增加了控制的难度。3）平面倒立摆系统在平面倒立摆系统中，匀质摆杆底端可以在平面内作二维自由运动，摆杆 可沿竖直平面内任一轴线转动。小车倒立摆的摆杆底端运动轨迹是直线，旋转 倒立摆的摆杆底端运动轨迹是圆周，而平面倒立摆的摆杆底端在二维平面内无 固

4、定的运动轨迹，这也是它与前两种倒立摆的主要区别。4）柔性倒立摆系统在柔性倒立摆系统中，由于将匀质刚体摆杆换成了柔性摆杆，这种倒立摆 的摆杆本身已经变成了非线性分布参数系统。5）直线柔性连接倒立摆系统所谓直线柔性连接倒立摆系统，就是在直线刚性倒立摆的基础上，加入自 由弹簧系统 : 电机连接一个主动小车，而主动小车通过一根弹簧作用于从动小 车，对固定在从动小车上的倒立摆实施控制。设计内容及要求设计内容：1. 构建单级旋转倒立摆模型； ；2. 实现单级旋转倒立摆摆杆的稳定控制； ；3. 基于 MATLAB完成稳定控制仿真；基本要求：1 摆角稳定控制范围： 10 10 ；2 旋臂转角可在 0 360进

5、行控制。课题研究的意义倒立摆系统作为研究控制理论的一种典型的实验装置，具有较为简单的结构、 可以有效地检验众多控制方法的有效性、 参数和模型易于改变、 相对低廉的成本等 优点，研究控制理论的很多科研人员一直将它们视为主要的研究对象， 用它们来描 述线性控制领域中不稳定系统的稳定性以及在非线性控制领域中的无源性控制、 变 结构控制、非线性观测器、自由行走、非线性模型降阶、摩擦补偿等控制思想，且 从中不断开发出新的控制方法和控制理论， 所以倒立摆系统是研究智能控制方法较 为理想的实验装置。不仅如此，倒立摆系统也是进行控制理论教学的理想平台。很 显然，这种实验教学方法难以培养学生综合素质和实践能力。

6、 所以必须在实验环节 的内容和形式上进行改革与创新，以培养学生的创新意识和实践动手能力。因此， 进行设计性、开放性的综合实验具有极其重要的现实意义。本人侧重点本人主要工作是旋转倒立摆系统的 lagrange 方程建模及性能分析。倒立摆系 统是一个异常复杂而又对准确性、快速性要求很高的非线性不稳定控制问题 . 显然 一个典型的非线性、 不稳定系统的研究成果无论在理论上或是在方法论上都有重要 的意义.而倒立摆数学模型的建立对研究其稳定性具有指导作用. 实验证明在此建模基础上采用状态反馈法对倒立摆系统的稳定控制相当成功 , 并可在此基础上对其 进行分析 ,为计算机控制提供理论与实践的依据 .2 旋转

7、倒立摆系统的 Lagrange 方程建模与可控性分析在建立倒立摆系统的模型时， 传统的方法一般采用牛顿运动定律来求解。 但在 用牛顿运动定律来求解质点组的运动问题时， 常常要列解大量的微分方程组。 在许 多实际问题中，求解微分方程会遇到困难。特别是当质点组存在约束情况时，还需 要确定各质点间的相互作用力、位移、速度、加速度关系，联立求解这些方程则更 为困难。为了简化旋转倒立摆系统的数学建模过程，本章采用了分析力学中的Lagrange 方程推导旋转倒立摆的系统模型，并对该系统的可控性进行了分析。首 先，在第节中分析了 Lagrange 方程的物理意义和特点 ; 接下来， 在第节中讨论了旋 转式倒

8、立摆系统的特点，对倒立摆系统进行了动力学分析; 然后，在第节中根据Lagrange 方程运用动力学理论对旋转倒立摆系统建立数学模型 ; 随后，在第节中分 析了旋转倒立摆系统模型中的非线性因素以及局部线性化带来的问题 ; 最后，在第 节中对旋转倒立摆系统的可控性进行了分析。Lagrange 方程及其特点Lagrange 方程是分析力学中的一个重要方程，它不仅在理论上揭示了系统的最 小势能原理，在实用上也有很大价值。分析力学是理论力学的重要组成部分，主要 从能量角度来研究力学体系的运动规律， 把系统作为一个整体来考察， 用动能和势 能的标量函数来描述系统， 使很多受理想约束的非自由质点系动力学问题

9、的研究和 求解过程大为简化。当系统的动能和势能的表达式可求的情况下，使用 Lagrange 方程可以使系统动力学方程的形式和求解变得很简单。设 q1,q2,.qn 为系统的广义坐标 ; q1 , q2 ,.qn 为系统的广义速度， 即广义坐标对时 间的导数 ;H 是用广义坐标和广义速度表示的系统功能 ; Q1,Q2,.Qn 为对应于各个广 义坐标的广义力，则系统的运动满足下列方程组：d ( H ) Qi ( H )( i=1,2.n ) (2-1)dt qiqi上式为 Lagrange 方程的一般形式。 其物理意义为广义动量对时间的变化率等于系统广义力和拉格朗日力之和。 H 叫拉格朗日力，表示

10、惯性力的投影。广义力qiQi的物理意义主要决定于广义坐标的量纲 ,例如，当 qi表示长度时，则 Qi表示作用 力；当 qi 表示面积时，则 Qi 表示表面张力； 当 qi 表示体积时，则 Qi 表示应力；当 qi 表示转角时，则 Qi 表示力矩。当作用于系统的主动力为保守力，即系统为保守系统时，可将方程写为d H Hd (H)( H )0 (i=1,2.n )(2-2 )dt(qi)( qi ) ( )( )这里 H为系统的动能 T和势能 V之差(H=T-V)。在分析力学中称 H为 Lagrange 函数。为减少实验的盲目性，简化系统的建模过程，采用 Lagrange 方程推导旋转倒 立摆的系

11、统模型。 Lagrange 方程有如下特点 :1) 它是以广义坐标表达的任意完整系统的运动方程式， 方程式的数目和系统自由度 数是一致的。2) 理想约束反力不出现在方程组中， 因此在建立运动方程式时， 只需分析已知的主 动力，而不必分析未知的约束反力。3 ) Lagrange 方程是以能量观点建立起来的运动方程式，为了列出系统的运动方 程式，只需要从两个方面去分析，一个是表征系统运动的动力学量 - 系统的动能， 另一个是表征主动力作用的动力学量 - 广义力。因此用拉格朗日方程来求解系统的 动力学方程可以大大简化建模过程。22 旋转倒立摆的特点及系统动力学分析221 旋转倒立摆的特点目前在倒立摆

12、的研究中， 以小车式倒立摆为控制对象的文章很多。 人们对于小 车驱动式倒立摆的研究进行的比较深入， 提出了多种不同的控制算法， 为控制理论 的发展做出了重要贡献。但是，小车式倒立摆在机械系统上需要有很长的导轨，这 占用了较大的空间。另外，由于小车式倒立摆有着繁多的传动机构，在实验过程中 经常因为机城系统的误差和故障影响控制效果， 从而干扰对控制算法本身性能的有 效判断。旋转式倒立摆与小车式倒立摆不同，出于将小车的平动控制改为旋臂的旋转 控制，在硬件结构上减少了中问传动机构，使其系统结构更加简单牢固，相对 于小车式倒立摆具有更大的非线性、不稳定性和复杂性，对控制算法提出了更高 的要求。在本文中我

13、们研究的是一种新型的旋转倒立摆装置。作为一种新型的倒立摆 装置，旋转倒立摆系统主要有以下四个特点：(1) 不确定性：主要是由模型的参数误差以及机械传动过程中的减速齿轮间 隙所导致。但是与小车倒立摆系统相比，由于没有了导轨上用于拖动小 车的皮带，影响程度相对较小。(2) 耦合特性：旋转倒立摆系统的摆杆和水平旋臂之闷j ，以及多级倒立摆系统的上下摆杆之削都有较强的耦合作用。(3) 开环不稳定性：丌坏时微小的扰动就会使系统离丌平衡点而倾倒。(4) 行程无限制：旋转倒立摆系统的水平旋臂没有行程限制，而小车倒立摆 系统中小车的行程是有物理限制的，因而增加了控制的约束，使得一些 控制算法在小车倒立摆系统上

14、无法实现。2. 2. 2 旋转倒立摆系统的动力学分析对旋转倒立摆系统建立数学模型是实现倒立摆控制的基础， 下面对课题采用的 单级旋转倒立摆系统的数学模型进行动力学分析。旋转倒立摆的模型结构如图 2-1 所示，在忽略各种阻力和摩擦的条件下，旋臂和摆杆可以抽象为的两个匀质杆，其 中旋臂长度为 r ，相对其水平方向零位的角位移为 ; 摆杆质心与铰链距离为 L，相 对其竖直方向零位的角位移为 . 相应地， 为旋臂角速度， 为摆杆角速度。图 2-1 旋转倒立摆系统模型分析下面根据动力学理论介绍单级旋转倒立摆的动力学方程推导。 摆杆质心的速度由水平和竖直两个分量构成 :V摆杆质心Lcos ( )x? Ls

15、in ( )y?(2-3)其中, Lcos ( )x?表示摆杆质心的水平速度分量 , Lsin ( ) y?表示摆杆质心的竖直速度分量。旋臂和摆杆一起运动 ,其沿水平方向 x的线速度为 :V旋臂r2-4)摆杆质心在 x 方向和 y 方向的速度分量为2-5)Vx rL cos ( )VyL sin ( )方程组式(2-5) 给出了完整的摆杆速度描述 ,应用 Lagrange 方程可推导出系统 的动态方程。旋转倒立摆系统的 Lagrange 方程建模以旋臂所在水平面为零势能面 , 则系统的势能 V即为摆杆的重力势能 ,因 此系统势能 V 可以表示为： V mgh mgLcos系统的动能 T由四部分

16、因素构成 , 它们包括: 旋臂在水平面内的转动 , 摆杆 在竖直平面内的转动 , 摆杆质心沿 x 轴方向的速度、沿 y 轴方向的速度 ( 参见 图2一1), 对应的动能分量这里分别用 T1、T2、T3、T4表示：T T1 T2 T3 T4其中：2J1T2 12 J2T3 12 m(rL cos ( )2T41212m( Lsin ( )2故系统动能 T 可以表示为：12J11 1 2 J2m(r L cos ( )2 2 2122m( L sin ( )22-6)设R为摆杆长度,由于 L为R的一半,即 R=2L。因此,摆杆对其质心的转动惯量 为J2 1 mR2 1 m(2L)2 1 mL22

17、12 12 3H 1 J1 2 2 mL2 2 mLr cos2 1 3( )( )1 mr 2 mgLcos2-7)应用 Lgarange 方程 H(q,q)T(q,q)V（q,q） ，其中 H为拉格朗日算子， q 为系统的广义坐标， T 为系统的动能，V 为系统的势能。 Lagrange 方程由广义坐标 qi 和 H表示为：t( qHi )qHiQi在本系统中， i 1,2;q , ， 为旋臂角位移， 为摆杆角位移， Qi为系统沿该广义坐标方向上的外力，于是可得方程组( H )HTB2-8)t output eqH )H0其中Toutput 为直流伺服电机的输出转矩，m g KtKg(Vm

18、 KgKm )Rm因为已知：H 12 J1 22 mL2 2 mLr cos ( )( )31 mr 2 mgLcos故可计算（ 2-8 ）里各个分量：H ( J12mr) mLr cos ( )t（H）(J12mr ) mLrsin ( )cos ( )又 H4 mL23mLr cos ( )4 mL23mLr sin ( ) mLr cos ( )HH另外已知 0， mgLsin系统模型推导过程中各参数的物理意义和数值单位如表 2-1 所示表 2-1 系统物理参数表HH2()(J1 mr 2)tmLr sin ( ) cos ( )Ht4 mL23H)将前面计算得到的各分量代入方程( 2-

19、8 )左面, 经化简得：mLr sin ( ) mLr cos ( ) mgL sinJ1 mr2 )再代入方程组 (2-8) ，可得旋转倒立摆系统的非线性方程表示mLrsin ( ) cos ( ) Toutput Beq43mL2mLr sin ( ) mLr cos ( ) mgLsin2-9)J1 mr2 )m gKt K gm gKt K gm g t g Vm mLrcos ( ) sin ( ) RmmLr cos( ) mLr sin (4mL23mgLsinx1x2y1y2x1，x2，y1y2x23r y2 cosx14L 2 1 y2Beq2 y2J1 mrmLr2 x2

20、sin x1 J1 mr 2g sin x1m g KtKg2ry2 sin x1 2Kmy1mLr2 2 x2 cosx1 (J1 mr )RmJ1 mrm gKtK g2(J1 mr2)Rm Vm2-10)将 x2代入 y2，再将 y2代入 x2 整理得：x1 x2x23rBeq cos x1L4J1 (4 3cos 2 y1LRm4J1 (4 3cos2 x1)mr 2 1 x1)mr 2 223r m gKtKgKm cosx13mr 2 cos x1 sin x12 2 x2 4J1 (4 3cos2 x1)mr 23r mLRm 4 J1gKtKg cosx1V2 2 Vm ( 4

21、 3 cos x1 ) mr y1y2y24 Beqy4J1 (4 3cos2 x1)mr 2 224 m gKtKg2Km22Rm4J1 (4 3cos2 x1)mr 2y14mLr sin x1x2 2 x24J1 (4 3cos x1 )mr4mRm 4 J1 (4g KtKgV3cos2 x1)mr 2 m令E 4J1 (4 3cos2x1)mr2，并将 x1、 x2 、 y1、 y2分别替换成 则 E 4J1 (4 3cos2 )mr 2 ，上面方程经化简得非线性方程：04 m g Kt Kg KmRmE023r m gKt Kg2Km cosLRmE14BeqE03rBeq cos

22、LE04mLr sinE13mr2 cos sin04 m g Kt KgRm0EVm3r m gKt Kg cosLRmE考虑旋转倒立摆的初始位置在平衡点0T 附近的情况，假设此时和 同 1rad 相 比 很 小 ，1，1，则 有cos1, sin0, E4J1 (4 3cos2 )mr 2 4J1mr 2 ，将 cos 、sin 、 E代入方程组 (2-11) ，于是该方程组可局部线性化为024 m gKtKg2K2m2Rm (4J1 mr )03r m g KtKg2KLRm(4J12m2mr )14Beq2(4 J1 mr 2 )03rBeq2 L(4J1 mr2 )T0m gKtK

23、g2Vmm (2-12 )4Rm(4J1 mr 2)03r m g K t K g2LRm (4J1 mr )方程组 (2-12)即为单级旋转倒立摆系统的线性化状态方程描述。 将系统各机械参数值代入式 (2-12) ，可得单级旋转倒立摆系统的线性化数学模型如下0100039.3214.520025.540001081.7813.980024.59T2-13)24 旋转倒立摆系统的可控性分析根据方程 (2-12) ，求线性化后系统的阶跃响应，对应的 M程序：MATLAB仿真得到的旋转倒立摆线性化模型的阶跃响应曲线如图2-2 所示图 2-2 系统线性化模型的阶跃响应曲线可见，系统在平衡点附近的阶跃

24、响应曲线发散。因此，系统是自然不稳定的。 另外，由线性化数学模型得系统的特征值为 1=0， 2 =-171209， 3 =75407，4 =-49398。可见， 3 =75407位于复平面的右半平面，系统在平衡点附近不 稳定。因此，单级旋转倒立摆为开环不稳定系统，需要设计控制器来镇定系统。 同样可以计算出系统的能控性矩阵的秩为 4，因而系统能控。因此，单级旋转倒 立摆系统在不稳定平衡点附近可控。3 LQR 控制旋转倒立摆线性二次型最优控制理论原理最优控制是现代控制理论的核心，其研究的主要问题是 : 建立被控对象 的数学模型，选择一个控制规律，使得被控对象按照预定要求运行，并使其 某一性能指标达

25、到极小值或极大值。如果所研究的对象系统为线性的，且性 能指标函数为状态变量和控制变量的二次型函数的积分，则这种动态系统最 优控制问题称为线性二次型性能指标的最优控制问题 (linear quadratic regulator) ，简称 LQR。与其它控制理论相比，线性二次型性最优控制问题有两个显著的特点 : 第一，所研究的是多输入多输出动态系统的最优控制问题 ; 第二，所研究的 系统性能指标是综合性的性能指标。因此，线性二次型性能指标的最优控制 问题具有综合性、灵活性和实用性。给定完全可控线性定常系统的状态方程和初始条件4-1)X(t) AX(t) BU(t)X(t0) X0以及性能指标积分号

26、下第一项反应 X过渡的快慢， 但仅仅有此项是不行的， 因为要使 X快速 过渡， U需要的能量消耗就很大。积分号下第二项是限制能量消耗的。Q,R分别是对状态变量和输入向量的加权矩阵， 它们确定了误差和能量损耗的相对重要性。 除此之外，式中的第一项，是对终端偏差即稳态控制精度的限制。因此，可以看出式子的二次型性能指标的物理意义是， 在整个时间区间 to,tf 特别是终值时刻 tf 上 状态变量尽量接近于零而又不消耗过大的控制能量。其中 Q, R 都是正定、对称的常数矩阵。假定 u(t) 不受约束，要求确定最优控 制函数 U*(t)=-KX(t) ，使性能指标达到最小值。这是一种状态调节器问题，由于

27、 终端时刻 tf 为无限值，故称为无限时间的状态调节器问题，有时也称为非时变的 状态调节器问题。相应的最优控制 U* (t) 称为最优调节作用或最优调节器。线性二次型控制理论是反馈系统设计的一种重要工具，它为多变量反馈系 统的设计提供了一种有效的分析方法，可以适应于时变系统，能够处理扰动信 号和测量噪声问题，并可以处理有限和无限的时间区间。MATLAB给出了求解 线性二次型最 优调节 器的函数 lqr ， 其凋 用语句为K,P,E lqr(A,B,Q, R) 。可见公式中的输入变量都足系统中的已知矩阵，而返回的 解除了增益矩阵 K 和方差阵 P 之外，还有一个特征根矩阵E，它是特征方程I(A

28、BK) 0 的根，根据它可以判断控制器的动态相应及稳定性。从控制效果来看， LQR是连续线性二次型最优控制函数，用于计算连续状 态空间控制方程， LQR指标中引入对控制增量的约束，可以保证控制量的变化 不至于太剧烈，且通过加权系数，可以选择对跟踪误差和控制量的变化的抑制 两方面的侧重过程， LQR指标具有一定的鲁棒性。32 利用线性二次型最有控制仿真根据现代控制 LQR最优调节器原理，利用 MATLAB提供的 lqr(A ，B，Q，R) 函数可以方便地算出控制矩阵 K。选择合适的加权矩阵 Q和R，先从最简单选取，这 里取 Q diag 1 1 0 0 ，R=1。(Q和R的选取方法参考附录) 矩

29、阵Q和R用来平衡系统对输入量和输出量的敏感程度。R=1Q=1 0 0 0;0 1 0 0;0 0 0 0;0 0 0 0 K,P,r=lqr(A,B,Q,R)t=0:10;K = r =+15.8201 。计算得出最优状态反馈增益矩阵为：Kk1 k2 k3 k 41.0000 - 2.1154 82.5480系统的闭环极点为 + ； + ； - ； +可以看到，系统 4 个极点均处于复平面的左半平面，因此，系统是镇定的图3-1 系统仿真在图中 state-space 设置原系统 A,B,C,D 以及初始的摆角图 3-2 状态空间模块参数设置接下来，根据 LQR控制算法确定的 Q，R 加权矩阵算

30、出对应的状态转移增益矩阵 K，输入到增益模块中图 3-3 反馈增益参数设置图 3-4 初始化为 -10 °的摆角响应可以看出摆角的初始状态为 -10 °经过大约 6 秒的响应，摆角恢复到平衡位置。图 3-5 经过反馈后的 U 输入图 3-6 状态反馈后的转角响应4 实时控制模型实时控制模型选择固高科技的单极旋转倒立摆。 经过数学模型的建立，可以得到A=0 1 0 0;0 0 0 0;0 0 0 1;0 0 0B=0;1;0;C=1 0 0 0;0 0 1 0D=0同样，对原系统进行稳定性和能控性进行分析，如下图图 4-1 系统能控能观性和极点由此原系统特征值可见，原系统不稳

31、定。但却能控能观，于是可以设计LQR控制器。与上述仿真不同，此处的局部线性化用的是泰勒级数在稳定领域内展开得到。于是有下述式子。状态空间表达式由此可得：A=0 1 0 0;0 0 0 0;0 0 0 1;0 0 0B=0;1;0;C=1 0 0 0;0 0 1 0D=0之后我们通过调整 Q加权矩阵中对角元素的值，的出了一下几组 K 值表 4-1 几组反馈矩阵 KK1K2K3K4-1经试验，最后一组数据的控制效果比剩余两组较好。转角和摆角如下图图 4-3 仿真转角实时图图 4-4 仿真摆角实时图5 总结本文分析了倒立摆系统的研究历史和研究意义， 对倒立摆系统进行了分类， 并 对倒立摆系统控制方法的研究现状进行了总结。在此基础上，研究了分析力学中 Lagrange 方程的特点及其用于系统数学建模的基本原理。对课题采用的旋转倒立 摆系统模型进行了动力