第二章 一维势场中的粒子

1、（1 1）有助于具体理解已学过的基本原理；）有助于具体理解已学过的基本原理； （2 2）有助于进一步阐明其他基本原理；）有助于进一步阐明其他基本原理； （3 3）处理一维问题，数学简单，从而能对结果）处理一维问题，数学简单，从而能对结果进行细致讨论，量子体系的许多特征都可以在这进行细致讨论，量子体系的许多特征都可以在这些一维问题中展现出来；些一维问题中展现出来；（4 4）一维问题还是处理各种复杂问题的基础。）一维问题还是处理各种复杂问题的基础。第二章第二章 一维势场中的粒子一维势场中的粒子 在继续阐述量子力学基本原理之前，先用在继续阐述量子力学基本原理之前，先用 SchrSchrdinger

2、dinger 方程来处理一类简单的问题方程来处理一类简单的问题一维粒一维粒子的定态问题。其好处有四：子的定态问题。其好处有四：本章要求本章要求1. 掌握求解一维定态掌握求解一维定态Schrdinger 方程的方程的基本步骤基本步骤;2. 掌握能量量子化，掌握能量量子化，束缚态束缚态，宇称宇称，隧道隧道效应效应，零点能零点能，分立谱，连续谱等概念，分立谱，连续谱等概念;第二章第二章 一维势场中的粒子一维势场中的粒子本本 章章 内内 容容第二章第二章 一维势场中的粒子一维势场中的粒子1 一维无限深势阱一维无限深势阱 2 势垒贯穿势垒贯穿3 一维谐振子一维谐振子 1 一维一维无限深方势阱无限深方势阱

3、(1) (1) 一维无限深方势阱中的粒子一维无限深方势阱中的粒子A. 物理背景物理背景 金属中的电子、原子中的电子、原子核中的质金属中的电子、原子中的电子、原子核中的质子及中子等粒子的运动都有一个共同的特点，即粒子及中子等粒子的运动都有一个共同的特点，即粒子的运动被限制（束缚）在一定的空间范围内。子的运动被限制（束缚）在一定的空间范围内。 为了便于分析，可以对被束缚粒子提出一种简化为了便于分析，可以对被束缚粒子提出一种简化的理想模型。的理想模型。例如，电子在金属晶格中的运动。例如，电子在金属晶格中的运动。对于各向同性的晶体，对于各向同性的晶体，三维可作一维研究。三维可作一维研究。第一次简化：第

4、一次简化：一维晶格中电子的势能曲线一维晶格中电子的势能曲线0 x xa 如果直接用此曲线表示的如果直接用此曲线表示的势能带入薛定谔方程中，就形势能带入薛定谔方程中，就形成一个相当困难的数学问题。成一个相当困难的数学问题。第二次简化：第二次简化：用平均势能代替晶格势能用平均势能代替晶格势能0 x xaU ( 这一步的实质是不考虑电子这一步的实质是不考虑电子间、电子与晶格离子间的相互间、电子与晶格离子间的相互作用，这样的电子就相当于理作用，这样的电子就相当于理想气体分子自由电子气。想气体分子自由电子气。)第三次简化：第三次简化：将平均势能作为零势能将平均势能作为零势能将表面势能视为无限大将表面势能

5、视为无限大(势能零点的选取有任意性势能零点的选取有任意性)0 x xa无限深势阱无限深势阱 求解求解步骤步骤： 列出各区域的一维定态列出各区域的一维定态Schrdinger 方程方程 解方程解方程 使用波函数标准条件、边界条件定解使用波函数标准条件、边界条件定解 用归一化条件定归一化系数用归一化条件定归一化系数V(x)0 ax 0,0( )0;xaV xxxa （a 势阱宽度势阱宽度）B. 无限深势阱中粒子的势能函数以及薛定谔方程求解无限深势阱中粒子的势能函数以及薛定谔方程求解 列出各区域的定态列出各区域的定态Schrdinger 方程方程 211222()()01dmxExdx l 势阱内（

6、势阱内（0 x a）l 势阱外（势阱外（x a） 222222()()()02dmxVExdx 求解定态求解定态Schrdinger 方程方程方程方程(2)(2)的解的解 200;xxxa 22mEk 方程方程(1)(1)中，中，令令 ，则方程，则方程(1)(1)写为写为 22112()()0dxkxdx 理由：理由： 因势阱壁无限高因势阱壁无限高(V )，粒子不能穿透，粒子不能穿透势壁，故势阱外的波函数必定为势壁，故势阱外的波函数必定为0。其解其解 ; 1sin0 xAkxxa ( (A、 待定常数待定常数) ) 使用波函数标准化条件确定方程的定解使用波函数标准化条件确定方程的定解 20;0

7、;xxxa ; 1sin0 xAkxxa 根据波函数连续性条件，根据波函数连续性条件，阱壁上波函数应连续阱壁上波函数应连续： 120000 xx 120(1,2,.)x ax akann (n = 0，0；n取负值不给出新解，因为与取正值给出的波函数描述同一量子态) 2222,1,2,.2nnEEnma nka 22mEk (3) 即势阱中粒子的能量（本征值）只能取离散值，即势阱中粒子的能量（本征值）只能取离散值，所得到的波函数才满足物理上的要求。对应本征值所得到的波函数才满足物理上的要求。对应本征值En的波函数（能量本征函数）的波函数（能量本征函数） ; sin0nnxAxxaa 确定归一化

8、系数确定归一化系数 2012anxdxAa 归一化条件归一化条件( (取实数取实数) )2Aa ; 2sin00;0,nnxxaxaaxxa 最后最后,势阱中粒子的势阱中粒子的波函数波函数(能量本征函数能量本征函数)：; 22221,2,.2nnEnma 能量本征值能量本征值：（4）（3） 总的定总的定态波函数态波函数应乘上时应乘上时间部分间部分 由由(3)式，处于式，处于束缚态的粒子束缚态的粒子，其其能量能量(本征值本征值)是是量子化量子化的，的，n 是量子数是量子数，其能谱，其能谱(能级能级)呈分立结构。呈分立结构。(2) (2) 讨论讨论 (4)(4)式表明，式表明，粒子束缚于有限空间中

9、粒子束缚于有限空间中( (即势阱内即势阱内) )运运动，在无限远处找到粒子的概率为动，在无限远处找到粒子的概率为0 0（无限远处波函（无限远处波函数数 = 0)。这样的状态，称为。这样的状态，称为束缚态束缚态(bound state)。能级间隔能级间隔 ，当势阱宽度越窄，当势阱宽度越窄，121nnEEEa 能级间隔越大，量子化越显著；反之，宽度越大，能能级间隔越大，量子化越显著；反之，宽度越大，能级间隔越小，当级间隔越小，当a ， E 0，其能谱可视为连续。，其能谱可视为连续。因此因此量子性显著表现于空间很小的微观现象中（量子性显著表现于空间很小的微观现象中（量子量子小尺寸效应小尺寸效应）。基

10、态基态(n=1)：22122Ema ; 12sin00;0,xxaxaaxxa 0 能量最低的基态能量称能量最低的基态能量称为为零点能零点能，不等于零，不等于零，与经典粒子不同，与经典粒子不同，是微是微观粒子波动性的表现观粒子波动性的表现 能量最低的态称为基态能量最低的态称为基态(n=1)，其上为第一激发，其上为第一激发态态(n=2)、第二激发态、第二激发态(n=3)，依次类推。，依次类推。 除端点除端点(x=0 , a)外，外，基态波函数无节点，第基态波函数无节点，第一激发态有一个节点，一激发态有一个节点，第二激发态有二个节点，第二激发态有二个节点，第第m 激发态（量子数激发态（量子数n=m

11、+1）有）有m个节点。个节点。2( )sinnnxxaa 0;1,2,. xa n( )nx 0a1E14E19E116E21n E(节点即波函数的零点节点即波函数的零点)驻波！驻波！2an 粒子在阱中的概率分布粒子在阱中的概率分布经典力学的结果：经典力学的结果：粒子在阱内作匀速运动粒子在阱内作匀速运动(阱内势阱内势场为场为0)，E、p不变，粒子在阱内各点将均匀分布。不变，粒子在阱内各点将均匀分布。量子力学的结果：量子力学的结果：2( )x 22sin ()nxaa n = 1 ，粒子出现在阱底中部的，粒子出现在阱底中部的概率最大，两端的概率为零。概率最大，两端的概率为零。212( )0axx

12、x 当系统处于激发态，当系统处于激发态，n = 2,3 粒子在阱中的分布出现起伏粒子在阱中的分布出现起伏节点节点n=1n=2n=3a x 随着量子数的增大（激发能级高），概率密度曲随着量子数的增大（激发能级高），概率密度曲线的峰值增多，同时峰值间距缩小。线的峰值增多，同时峰值间距缩小。 当量子数当量子数 n 很大时，相邻峰值间距很小，几乎很大时，相邻峰值间距很小，几乎连成一片，就非常接近均匀分布了。连成一片，就非常接近均匀分布了。(量子效应消失，量子效应消失，趋近经典结果趋近经典结果)n=7n=8n=9a x量子性显著表现量子性显著表现在低能现象中。在低能现象中。 若取无限深方势阱的中心为坐标

13、原点，即。若取无限深方势阱的中心为坐标原点，即。 0,2( )2xaV xxa （a 势阱宽度势阱宽度）0 a/2V(x)x-a/2可以证明粒子的能量仍为可以证明粒子的能量仍为(3)式式; 22221,2,.2nnEnma 但波函数表示为但波函数表示为合并为：合并为： 2sin(2),1,2,3,.20,2nnaxanxaaxxa 【对比(4)式，相当于坐标右平移a/2】 波函数具有这种确定的宇称是由势能波函数具有这种确定的宇称是由势能对原点的对称性决定的对原点的对称性决定的()( )VxV x 2cos,1,3,5,.nxnaa （偶宇称偶宇称） nx （奇宇称奇宇称） 2sin,2,4,6

14、,.nxnaa 0,2xa 2xa 宇称宇称(Parity)定义定义空间反射空间反射(反演反演)算符算符 ：P Prr ( ( 空间坐标空间坐标 r r ) )称波函数具有称波函数具有正宇称正宇称（或（或偶宇称偶宇称）()( )rr 称波函数具有称波函数具有负宇称负宇称（或（或奇宇称奇宇称）()( )rr 坐标反演后，若坐标反演后，若()( )rr 则波函数没有确定的宇称则波函数没有确定的宇称2P P 又称宇称算符又称宇称算符宇称算符的本征值？宇称算符的本征值？npEcEv空间电荷区空间电荷区势垒区势垒区势垒高度势垒高度图：图： p-n结的空间电荷区及能带图结的空间电荷区及能带图n区的电子要到

15、达区的电子要到达p区，必须越过空间电荷区，克服其中的内区，必须越过空间电荷区，克服其中的内建电场；从能带图上，电子必须爬过一势能建电场；从能带图上，电子必须爬过一势能“高坡高坡”才能到才能到达达p区，这一势能高坡就称为区，这一势能高坡就称为p-n结的势垒。结的势垒。2 势垒贯穿势垒贯穿(1) (1) 势垒的例子势垒的例子外加偏外加偏 压小于结压小于结势垒时，势垒时，电子能过电子能过去吗？去吗？00( )0 VxaV x其其它它V00 a 粒子能量粒子能量Ex(2) (2) 势垒函数（数学模型）势垒函数（数学模型）p-n结势垒可简化为一维方势垒模型：结势垒可简化为一维方势垒模型：（a 势垒宽度；

16、势垒宽度；V0 势垒高度势垒高度）深势阱不同的是，对于势垒问题，其势能在无限远处有深势阱不同的是，对于势垒问题，其势能在无限远处有限限(这里取这里取0)，此时粒子可以在无限远处出现，即波函数，此时粒子可以在无限远处出现，即波函数在无限远处不为在无限远处不为0，因此粒子的状态不属束缚态，其能量，因此粒子的状态不属束缚态，其能量可取任意值，组成连续谱。这类问题属可取任意值，组成连续谱。这类问题属粒子被势场散射粒子被势场散射问题，即粒子由无穷远来经势场散射后又回到无穷远。问题，即粒子由无穷远来经势场散射后又回到无穷远。所以本节讨论的是所以本节讨论的是粒子的散射态粒子的散射态。考虑粒子由左侧射入势垒考

17、虑粒子由左侧射入势垒。与无限。与无限l 按经典理论按经典理论（对于方势垒）（对于方势垒）若若 E V0 ，粒子能穿越势场，全部透射而无反射；，粒子能穿越势场，全部透射而无反射；V00 a 粒子能量粒子能量Exl 按量子力学的结论按量子力学的结论若若 E V0 ，粒子粒子既能透射也能反射既能透射也能反射(有一定的概率有一定的概率)； V00 a 粒子能量粒子能量Ex散射效应散射效应（波粒二象性之体现）（波粒二象性之体现）A. 先考虑先考虑 E V0 的情况的情况(3) (3) 求解定态薛定谔方程求解定态薛定谔方程区区区区区区21112( )( )0dxkxdx 222222( )( )02dxk

18、xdx 23132( )( )0dxkxdx 22122mEk 20222()m VEk2122mEk 电子在各区域所满足的定态薛定谔方程为电子在各区域所满足的定态薛定谔方程为 因为因为0 E a ( III区区)的粒子数目与射入的粒子数目与射入 x 0 ( I 区区)的粒的粒子数目之比，子数目之比，即粒子穿透势垒的概率即粒子穿透势垒的概率。R的意义：的意义：粒子被势垒反弹的概率粒子被势垒反弹的概率。透射系数透射系数2321ATA 2212222222122124() sh4k kkkk ak k sh122001141k aEEVV 反射系数反射系数2121BRA 2222122222222

19、12212() sh() sh4kkk akkk ak k （9 9）显然显然1RT （1010）（9）式表明，在）式表明，在 E 1则则(9)式式近似为近似为022()0am VETT e 0020()16E VETV 其中其中显然，显然，粒子的透射系数粒子的透射系数(隧道概率隧道概率)T 随势垒的宽度随势垒的宽度a 、高度高度V0以及粒子质量以及粒子质量m的增加而迅速减小的增加而迅速减小。（11）粒子类型粒子类型粒子能量粒子能量势垒高度势垒高度 势垒宽度势垒宽度透射系数透射系数电子电子0.5eV0.7eV1010-10m0.5eV0.7eV510-10m质子质子0.5eV0.7eV510-

20、10m0.0320.329.210-43注：硅基注：硅基PN结的导通电压结的导通电压 0.7V0 a bV(x)Ex可把任意形状的势垒分割成许可把任意形状的势垒分割成许 多小势垒，这些小势垒可以近多小势垒，这些小势垒可以近 似用方势垒处理。似用方势垒处理。（2）任意形状的势垒）任意形状的势垒22()0m V E dxTT e 22 ()0bam V E dxTTe 对每一小方势垒透射系数对每一小方势垒透射系数则贯穿势垒区则贯穿势垒区(ab)的的 透射系数等于贯穿这些透射系数等于贯穿这些小方势垒透射系数之积小方势垒透射系数之积dxB. 再考虑再考虑 E V0 的情况的情况0222()m VEk此

21、时此时 为虚数，只需为虚数，只需k2ik30322()m EVk前面的推导依然有效。前面的推导依然有效。（注意到（注意到 sh(ik3a) = isink3a）2213222222133134() sin4k kTkkk ak k 222213322222213313() sin() sin4kkk aRkkk ak k 1RT 讨论：讨论： 以上三式表明，粒子能量大于势垒高度时，粒子以上三式表明，粒子能量大于势垒高度时，粒子一部分贯穿势垒，一部分被势垒反弹回去。一部分贯穿势垒，一部分被势垒反弹回去。(2) 共振透射共振透射物理理解物理理解: 若若入射粒子能量合适入射粒子能量合适, ,在两势垒

22、壁经过在两势垒壁经过多次反射后透射出去的波相位相同，彼此相干叠加，多次反射后透射出去的波相位相同，彼此相干叠加，使透射波幅大增，从而出现共振透射。使透射波幅大增，从而出现共振透射。 3,1,2,.2k anann 3sin0k a 若若 0,1RT 有有（ 势垒中粒子波长）势垒中粒子波长） 隧道二极管（江崎二极管）隧道二极管（江崎二极管）npEcEv势垒区势垒区EF热平衡下隧道结能带图热平衡下隧道结能带图隧道效应是隧道效应是19581958年日本年日本江崎江崎玲於奈玲於奈在研究重掺杂锗在研究重掺杂锗PNPN结结时发现的，故隧道二极管又时发现的，故隧道二极管又称江崎二极管。称江崎二极管。其掺杂必

23、须浓度大其掺杂必须浓度大，以使，以使p-n结能带图中费米能级进结能带图中费米能级进入入n区导带和区导带和p区价带；区价带；p-n结的厚度还必须足够薄结的厚度还必须足够薄（150150埃左右），埃左右），使电子能使电子能够直接从够直接从n区穿透势垒进入区穿透势垒进入P区。这样的结又称隧道结。区。这样的结又称隧道结。(4) (4) 隧道效应的应用隧道效应的应用EcEv小正向电压下隧道结能带图小正向电压下隧道结能带图EF 隧道二极管的主要隧道二极管的主要特点是它的正向电流特点是它的正向电流电压特性具有电压特性具有负阻现象负阻现象。这种负阻是基于电子的这种负阻是基于电子的量子力学隧道效应，所量子力学隧

24、道效应，所以隧道二极管以隧道二极管开关速度开关速度达皮秒量级达皮秒量级, ,工作频率高达工作频率高达100100吉赫吉赫。隧道二极管。隧道二极管还具有还具有小功耗和低噪声小功耗和低噪声等特点。隧道二极管可用等特点。隧道二极管可用于微波混频、检波（这时应适当减轻掺杂，制成于微波混频、检波（这时应适当减轻掺杂，制成反向二极管），低噪声放大、振荡等。由于功耗反向二极管），低噪声放大、振荡等。由于功耗小，所以适用于卫星微波设备。还可用于超高速小，所以适用于卫星微波设备。还可用于超高速开关逻辑电路、触发器和存储电路等。开关逻辑电路、触发器和存储电路等。(4) (4) 隧道效应的应用隧道效应的应用 p-n

25、结隧道击穿（齐纳击穿）结隧道击穿（齐纳击穿）lx0(b) p-n结结的三角形的三角形势垒势垒 p-n p-n结加反向偏压结加反向偏压时，势垒区能带发生倾时，势垒区能带发生倾斜。反向偏压越大，能斜。反向偏压越大，能带越倾斜，甚至出现带越倾斜，甚至出现n n区导带底低于区导带底低于p p区价带区价带顶的情况，此时顶的情况，此时A A、B B两两点能量相同，为电子穿点能量相同，为电子穿越势垒创造条件。越势垒创造条件。npEcEv势垒区势垒区E(a) 大反大反向偏压下向偏压下p-n结能结能带图带图ABlx 隧道长度隧道长度lxEg 随著能带的倾斜，随著能带的倾斜，隧道长度隧道长度lx越来越薄，当反越来

26、越薄，当反向偏压达向偏压达到一定值，到一定值，lx 短到一定程度时，隧道概率短到一定程度时，隧道概率大增，大增，p p区价带中大量的电子将通过隧道效应穿越区价带中大量的电子将通过隧道效应穿越势垒势垒( (禁带禁带) )到达到达n n区的导带（区的导带（i.e. AB），使得反），使得反向电流激增，于是向电流激增，于是p-np-n结发生结发生隧道击穿隧道击穿。依据。依据(11)(11)式，隧道概率为式，隧道概率为*202()xDnmV E dxPe 假定假定E=0E=0，结果，结果*4exp23ngxPm E l (4) (4) 隧道效应的应用隧道效应的应用扫描隧道显微镜（扫描隧道显微镜（STM

27、） 由于电子的隧道效应，金属中的电子并不由于电子的隧道效应，金属中的电子并不完全局限于表面边界之内，电子密度并不在表完全局限于表面边界之内，电子密度并不在表面边界处突变为零，而是在表面以外呈指数形面边界处突变为零，而是在表面以外呈指数形式衰减，衰减长度约为式衰减，衰减长度约为1nm。 只要将具有原子线度的极细探针以及被研只要将具有原子线度的极细探针以及被研究物质的表面作为两个电极，当样品与针尖的究物质的表面作为两个电极，当样品与针尖的距离非常接近（距离非常接近（ 1nm）时，它们的表面电子）时，它们的表面电子云就可能重叠。云就可能重叠。扫描隧道显微镜（扫描隧道显微镜（STM）装置示意图）装置示

28、意图U0U0U0样样品品针针尖尖dE电子云重叠电子云重叠 这时，若在样品与针这时，若在样品与针尖之间加一微小电压尖之间加一微小电压Ub，电子在外电场作用下就会电子在外电场作用下就会穿过两极间的绝缘层流向穿过两极间的绝缘层流向另一极，产生隧道电流，另一极，产生隧道电流，并通过反馈电路传递到计并通过反馈电路传递到计算机上表现出来。算机上表现出来。 隧道电流隧道电流 iABUbd探针探针样品样品 bAdiU e A 常量常量 样品表面平均势垒高度（样品表面平均势垒高度（ eV） d 1nmd 变变 i 变，反映表面情况。变，反映表面情况。d 变变 0.1nm 隧道电流隧道电流 i 变几十倍，非常灵敏

29、。变几十倍，非常灵敏。反馈反馈电路电路 如果控制隧道电如果控制隧道电流不变，则探针在垂流不变，则探针在垂直于样品方向上的高直于样品方向上的高度变化就能反映样品度变化就能反映样品表面的起伏；表面的起伏； 如果控制针尖的高如果控制针尖的高度不变，通过隧道电流度不变，通过隧道电流的变化可得到表面态密的变化可得到表面态密度的分布。度的分布。 STM具有原子级分辨率，可分辨出单个原子；具有原子级分辨率，可分辨出单个原子；具有直接观测的性能，有利于对表面反应、扩散等具有直接观测的性能，有利于对表面反应、扩散等动态过程的研究；还可得到单原子层表面的局部结动态过程的研究；还可得到单原子层表面的局部结构，直接绘

30、出表面的三维图象，直接观测到局部的构，直接绘出表面的三维图象，直接观测到局部的表面缺陷、表面重构、表面吸附体的形态和位置，表面缺陷、表面重构、表面吸附体的形态和位置，以及由吸附体引起的表面重构等。以及由吸附体引起的表面重构等。竖直分辨本领可达约竖直分辨本领可达约10 2 nm； 横向分辨本领横向分辨本领与探针、样品材料及绝缘物有关，与探针、样品材料及绝缘物有关，在真空中在真空中可达可达 0.2 nm。 STM 在在表面科学表面科学、材料科学材料科学和和生命科学生命科学等领等领域中有着重大的意义和广阔的应用前景。被国际科域中有着重大的意义和广阔的应用前景。被国际科学界学界公认为公认为20世纪世纪

31、80年代世界年代世界19大科技成就之一大科技成就之一。 STM显示的生物显示的生物DNA分子表面图像分子表面图像用用STM得到的神经细胞象得到的神经细胞象硅表面硅表面7 7重构图象重构图象中国科学院科学家的中国科学院科学家的“原子书法原子书法” 在石墨表面上刻蚀在石墨表面上刻蚀的出来最小的中国地图的出来最小的中国地图 （纳米量级）（纳米量级） 在硅单晶表面上提在硅单晶表面上提走硅原子形成宽度为走硅原子形成宽度为 2 纳米的线条字样纳米的线条字样 操纵原子已不是梦操纵原子已不是梦“扫描隧道绘画扫描隧道绘画”一氧化碳一氧化碳“分子人分子人”1991年年恩格勒恩格勒等用等用STM在镍单晶表面逐个移动

32、在镍单晶表面逐个移动氙原子，拼成了字母氙原子，拼成了字母 IBM，每个字母长每个字母长 5 纳米纳米 用用STM移动移动48个个Fe原子到原子到Cu表面表面上构成的上构成的 “量子围栏量子围栏”3 一维谐振子一维谐振子(1) (1) 一维谐振子的势能函数一维谐振子的势能函数一维运动的简谐振子（一维运动的简谐振子（线性谐振子线性谐振子）其势能）其势能 2221122V xkxmx （m 振子质量；振子质量； 固有频率）固有频率）代表在其平衡位置代表在其平衡位置(稳定平衡点稳定平衡点)附近的简谐振动。附近的简谐振动。 谐振子模型在很多问题中有重要应用，例如，谐振子模型在很多问题中有重要应用，例如，

33、分子中的原子或晶格点阵上的原子都可以近似看分子中的原子或晶格点阵上的原子都可以近似看成在其平衡位置附近作简谐振动的谐振子。成在其平衡位置附近作简谐振动的谐振子。 作谐振动作谐振动的粒子就称的粒子就称谐振子谐振子 双原子分子中两个原子之间的势能双原子分子中两个原子之间的势能 V 是两原子是两原子之间距离之间距离 x 的函数（如图）。的函数（如图）。 其中其中x = x0处处( )0 ;V xx 200( )()2kV xVxx 0 x 在在x = x0处，势能有一处，势能有一极小值，这是个稳定平衡极小值，这是个稳定平衡点。在这点附近，点。在这点附近，V(x) 可可以展成以展成( xx0 )的幂级

34、数的幂级数进一步有进一步有21( )2V xkx （取平衡点为原点和势能零点取平衡点为原点和势能零点） 经典物理中，谐振子的能量经典物理中，谐振子的能量E (= p2/2m+V )可以具有任意连续的值。可以具有任意连续的值。那么，量子力学的结果又如何呢？那么，量子力学的结果又如何呢？ 其实，物理上任何复杂的振动体系都可看成其实，物理上任何复杂的振动体系都可看成许多谐振子的集合（叠加），因此讨论谐振子许多谐振子的集合（叠加），因此讨论谐振子问题十分重要。问题十分重要。(2) (2) 定态薛定谔方程及其求解定态薛定谔方程及其求解 22222222122122pHmxmdmxm dx 线性谐振子的线

35、性谐振子的Hamilton量：量：定态薛定谔方程定态薛定谔方程222221()()22dmxxExm dx mxx 2E 引入无量纲变量引入无量纲变量222()0dd 可将薛定谔方程改写为可将薛定谔方程改写为这是一个变系数的二阶微分方程。这是一个变系数的二阶微分方程。 求解策略：求解策略：“抓两头，带中间抓两头，带中间”“抓两头抓两头” 指先看方程在指先看方程在“两头两头”的的渐进行渐进行为为。3 3维情况下是看在零点和无穷远点的渐进行维情况下是看在零点和无穷远点的渐进行为；为；1 1维则看正负无穷远点的渐进行为。维则看正负无穷远点的渐进行为。“带中间带中间” 指对波函数做变换，使之在两头指对

36、波函数做变换，使之在两头有渐进行为规定的形式。有渐进行为规定的形式。（1212）n “抓两头抓两头” 考察方程考察方程(12)在在 时，解时，解 的渐进行为。的渐进行为。此时此时 2，方程，方程(12)近似为近似为2220dd 22dddd dd 21 2 其解其解22 e 方程方程(12)(12)的渐进解的渐进解（ 时的解）时的解）222()0 (12)dd 由于波函数标准化条件要求由于波函数标准化条件要求 时，时， 应有限，应有限，故故方程方程(12)的渐进解应取的渐进解应取22 e n “带中间带中间”对波函数做变换对波函数做变换2/2)()( eH使波函数具有渐进行为规定的形式。函数使

37、波函数具有渐进行为规定的形式。函数H( )应满足应满足 当当有限时，有限时，H()有限；有限； 当当时，时，H()的行为要保证的行为要保证 ()0上式代人方程上式代人方程(12)，得到，得到H( )满足的方程满足的方程下面只需确定函数下面只需确定函数H( )的形式。的形式。使用级数解法，将使用级数解法，将H( )展开成展开成 的幂级数：的幂级数：0kkkHb 可以证明，这个级数必须在某项处中断为有限项，可以证明，这个级数必须在某项处中断为有限项，才能保证解的渐进行为：才能保证解的渐进行为：0222(1)0d HdHHdd （13）而级数为有限项（多项式）的而级数为有限项（多项式）的条件就是条件

38、就是 21(0,1,2,.)nn 相应的多项式相应的多项式0( )nknkkHb 称为称为厄米厄米(Hermite)多项式多项式。（ n 项后面的项中断项后面的项中断）厄米多项式的性质厄米多项式的性质1. Hn( )可以表示成可以表示成22) 1()( eddeHnnnn2. 正交性正交性 22nmnmnHHedn ！3. 递推公式递推公式111( )2( )( )2( )2( )0nnnnndHnHdHHnH 4. 最低阶的几个厄米多项式最低阶的几个厄米多项式H0=1 H1=2H2=42 - 2 H3=83 - 12 1();0,1,2,.2nEnn 1nnEE 这正是普朗克在解释黑体辐射时

39、的观点！这正是普朗克在解释黑体辐射时的观点！表明谐振子的能量是分立的（量子化的）！且相邻表明谐振子的能量是分立的（量子化的）！且相邻两能级间隔两能级间隔谐振子能量及零点能谐振子能量及零点能由于由于 以及以及2E 21(0,1,2,.)nn 所以一维谐振子的能量所以一维谐振子的能量最低能量（基态能量，最低能量（基态能量，n=0）0102E 零点能零点能谐振子的零点能不为零，这与无限深势阱中的粒谐振子的零点能不为零，这与无限深势阱中的粒子的基态能量不为零是相似的，是微观粒子波粒子的基态能量不为零是相似的，是微观粒子波粒二象性的表现，能量为零的二象性的表现，能量为零的“静止的静止的”波是没有波是没有

40、意义的，零点能是量子效应。意义的，零点能是量子效应。上述结果均不同于经典振子！上述结果均不同于经典振子！谐振子归一化波函数谐振子归一化波函数22( )( ); nnnN Hex 对应于能量对应于能量En的波函数为的波函数为 Nn 归一化系数归一化系数221( )( )nnnnndxN eHHdx 波函数归一化条件：波函数归一化条件：22( )( )nnneHHdN 22nnNn ！12()2!nnNn 则谐振子波函数为：则谐振子波函数为：222( )()xnnnxN Hx e 12()2!nnNn m 例子例子：写出一维谐振子基态、第一激发态波函数。写出一维谐振子基态、第一激发态波函数。2220( );xxe 2221( )2xxxe 同样能量的经典谐振子，其运动范围由红线表示。同样能量的经典谐振子，其运动范围由红线表示。0n 3n 2n 1n 经典禁区经典禁区谐振子的谐振子的特征长度特征长度xn： 221122nV xEmxn 0212121nnxnnxm x0 基态谐振子特征长度基态谐振子特征长度( )nx 在有限范围内与在有限范围内与 x 轴相交轴相交 n 次，即次，即( )0nx 有