第一章函数连续性PPT课件

1、. 010110 uuuuuuuuuuu，即的改变量，记作又叫做的增量，就叫做变量终值与初值之差，则变到终值从它的初值设变量关于增量有如下定义：理解增量概念时要注意三点:. , 010101是零时是负的，当时当是正的，时还可以是零。即当以是负的，增量可以是正的，也可uuuuuuuuu第1页/共45页. . u 0101为函数的改变量，则称如果是为自变量的改变量；，则称如果是，也可以是函数量可以是自变量是一个完整的记号。变yyyyxxxxyxuyyyxxx0101 ，记有时为了方便，第2页/共45页xy00 xxx 0)(xfy x y xy00 xxx 0 x y )(xfy 其几何意义如下图

2、所示)()f(xy )( 0000 xfxyxxxxxfy的相应改变量则为时，函数处有一改变量在点内有定义，当自变量的某个领域在如果函数第3页/共45页2.连续的定义定义定义 1 1 设函数设函数)(xf在在)(0 xU 内有定义内有定义, ,如如果当自变量的增量果当自变量的增量x 趋向于零时趋向于零时, ,对应的函对应的函数的增量数的增量y 也趋向于零也趋向于零, ,即即0lim0 yx 或或0)()(lim000 xfxxfx, ,那末就称函数那末就称函数)(xf在点在点0 x连续连续, ,0 x称为称为)(xf的连续点的连续点. .,0 xxx 设设),()(0 xfxfy ,00 xx

3、x 就是就是).()(00 xfxfy 就是就是第4页/共45页.35 102处连续在给定点用定义证明例xxy)()f(xy 00 xfx 证353)(5 2020 xxx20510 x xx.35 02处连续在给定点所以xxy200 x0 x510 xlim lim xxy0第5页/共45页例2.),(sin内连续在区间函数证明xy证),(x任取xxxysin)sin()2cos(2sin2xxx, 1)2cos(xx.2sin2xy则 sin 又因为,2sin2xxy故. 0,0yx时当.),(sin都是连续的对任意函数即xxy这是三角函数和差化积第6页/共45页定义定义 2 2 设函数设

4、函数)(xf在在)(0 xU 内有定义内有定义, ,如果如果函数函数)(xf当当0 xx 时的极限存在时的极限存在, ,且等于它在且等于它在点点0 x处的函数值处的函数值)(0 xf, ,即即 )()(lim00 xfxfxx 那末就称函数那末就称函数)(xf在点在点0 x连续连续. .第7页/共45页例.0, 0, 0, 0,1sin)(处连续处连续在在试证函数试证函数 xxxxxxf证, 01sinlim0 xxx, 0)0( f又又),0()(lim0fxfx 由定义2知.0)(处连续处连续在在函数函数 xxf第8页/共45页 v 前者在点x0可以没有定义，后者必须有定义. v 设xx0

5、时，f(x)A，后者必须满足 A= f(x0) 比较极限和连续的定义，两者有什么区别思考题：第9页/共45页 这个等式的成立意味着在函数连续的前提下,极限符号与函数符号可以互相交换.这一结论给我们求极限带来很大方便.处连续时，有在点当函数 )( 0 xxfy (1.6.3)lim()()(lim000 xxxfxfxfxx第10页/共45页xxcoslim 30求极限例 解)limcos(coslim 00 xxxx10cos第11页/共45页4.连续函数与连续区间在区间上每一点都连续的函数,叫做在该区间上的连续函数,或者说函数在该区间上连续.,)(,),(上连续上连续在闭区间在闭区间函数函数

6、则称则称处左连续处左连续在右端点在右端点处右连续处右连续并且在左端点并且在左端点内连续内连续如果函数在开区间如果函数在开区间baxfbxaxba 连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线.第12页/共45页初等函数的连续性一、四则运算的连续性定理1.)0)()()(),()(),()(,)(),(000处也连续处也连续在点在点则则处连续处连续在点在点若函数若函数xxgxgxfxgxfxgxfxxgxf 例如,),(cos,sin内连续内连续在在xx.csc,sec,cot,tan在其定义域内连续在其定义域内连续故故xxxx第13页/共45页二、复合函数的连续性定理3).(lim)()(lim,)

7、(,)(lim000 xfafxfaufaxxxxxxx 则有则有连续连续在点在点函数函数若若意义1.在定理的条件下，极限符号可以与函数符号互换，即极限号可以穿过外层函数符号直接取在内层，.)(. 2的理论依据的理论依据变量代换变量代换xu 第14页/共45页注1.定理的条件：内层函数有极限，外层函数 在极限值点处连续可可得得类类似似的的定定理理换换成成将将 xxx0. 2例1.)1ln(lim0 xxx 求求解xxx10)1ln(lim 原式原式)1(limln10 xxx eln . 1 第15页/共45页v 基本初等函数在其定义域内都是连续的.v 由基本初等函数经过四则运算以及复合步骤所

8、构成的初等函数在其定义域内都是连续的.v 求初等函数的连续区间就是求其定义域.v 求初等函数在其定义域内某点的极限，只需求初等函数在该点的函数值即可.我们不加证明地指出如下重要事实第16页/共45页求下列极限：例 53)4cos(lim (2) ;5lim (1) 4x22xxxexx，而为是初等函数，其定义域因为5,52 ,5,55 2x解 (1)所以1255lim 222xx第17页/共45页求下列极限：例 53)4cos(lim (2) ;5lim (1) 4x22xxxexx是初等函数，因为）（解 3)4cos( 2 xxex，, 99 ,其定义域为320cos3)4cos(lim 4

9、4xexxex所以) 1(4e ,99, 而 4-第18页/共45页)1cos()1cot(lim(1) 20 xxx11arctanlim )2(21xxx)11ln(lim )3(21xxx第19页/共45页课堂练习解答：; 1csc1sin11cos1cot)1cos()1cot(lim )2(1620 xxx;41arctan22arctan11arctanlim )4(1621xxx3ln3ln21)11ln(lim )6(1621xxx第20页/共45页:)(0条件处连续必须满足的三个在点函数xxf; )( ) 1 (0处有定义在点xxf; )(lim )2(0存在xfxx).()

10、(lim )3(00 xfxfxx 上述三个条件中只要有一个不满足，则称函数f(x) 在点 x0 处不连续（或间断），并称点x0为f(x)的不连续点（或间断点） .二、函数的间断点第21页/共45页.)()( 00的一个间断点为称点不连续，则在点如果函数xfxxxfy 定义1.19的一个间断点：是则点，处有下列三种情况之一在点知，如果函数点连续的三个条件可对照前面所述函数在一)()( 00 xfxxxf没有定义；处，在点）（)( 10 xfx不存在；）（)(lim 20 xxxf).()(lim )(lim 30 xxxx00 xfxfxf存在，但虽然）（第22页/共45页第23页/共45页.

11、111)( 6处的连续性在点考察函数例xxxfyyxo-11x1y , 111)(没有定义在因为xxxf解,11)(1的一个间断点是xxfx所以.如图所示11lim ,11lim -1x-1xxx因为所以点 x= -1 称为 f(x) 的无穷间断点 .第24页/共45页1.跳跃间断点.)(),0()0(,)(0000的跳跃间断点的跳跃间断点为函数为函数则称点则称点但但存在存在右极限都右极限都处左处左在点在点如果如果xfxxfxfxxf 例5.0, 0,1, 0,)(处的连续性处的连续性在在讨论函数讨论函数 xxxxxxf解, 0)00( f, 1)00( f),00()00( ff.0为函数的

12、跳跃间断点为函数的跳跃间断点 xoxy第25页/共45页.0 0 x1,x0 x , 00 x1,-x f(x)y 7 处的连续性在点考察函数例x有处但是在,0 x,0)0(,)(0fxfx且有定义处虽然在点解1) 1(lim )(lim_oxoxxxf1) 1(lim )(lim oxoxxxfxyo1xy1 xy.0)(处左、右极限不相等在即xxf. ,1 . 1 可知由定理f(x) 在 x=0 处极限不存在，所以 x=0 是 f(x) 的一个间断点 . 如图所示，这样的间断点称为跳跃间断点.第26页/共45页2.可去间断点.)()(),()(lim,)(00000的可去间断点的可去间断点

13、为函数为函数义则称点义则称点处无定处无定在点在点或或但但处的极限存在处的极限存在在点在点如果如果xfxxxfxfAxfxxfxx 例6.1, 1,11, 10, 1,2)(处的连续性处的连续性在在讨论函数讨论函数 xxxxxxxfoxy112xy 1xy2 第27页/共45页解, 1)1( f, 2)01( f, 2)01( f2)(lim1 xfx),1(f .0为为函函数数的的可可去去间间断断点点 x注意 可去间断点只要改变或者补充间断处函数的定义, 则可使其变为连续点.第28页/共45页如例6中, 2)1( f令令.1, 1,1, 10,2)(处连续处连续在在则则 xxxxxxfoxy1

14、12跳跃间断点与可去间断点统称为第一类间断点.特点.0处的左、右极限都存在处的左、右极限都存在函数在点函数在点 x第29页/共45页.2-2 x , 4-2 x,24f(x)y 8 2处的连续性在点考察函数例xxx解4,f(-2) ,)( 2 有定义处虽然在点xfx,2处函数的极限存在且在x. 4) 2(lim 24lim )(lim 2- x22- x2- xxxxxf即 ,但是)2()(lim -2xfxf.)(2的一个间断点是所以xfx第30页/共45页从图中可以看出如图所示 . 只要在点x=-2改变定义或补充定义,就可以使f(x)在该点连续.yo-4242xxy-22x4 因此, 称x

15、-2时函数极限存在的点x= - 2为 可去间断点.)(2的一个间断点是所以xfx第31页/共45页例 9 已知函数0 x, b2x0 x, 1)(2xxf在点 x=0 处连续 ，求 b 的值.解1) 1(lim)(lim200 xxfxxbbxxfxx)2(lim)(lim00因为 f(x) 在 x=0 处连续, )(lim 0 x存在则xf等价于)(lim)(lim00 xfxfxx即b = 1第32页/共45页3.第二类间断点.)(,)(00的第二类间断点的第二类间断点为函数为函数则称点则称点在在右极限至少有一个不存右极限至少有一个不存处的左、处的左、在点在点如果如果xfxxxf例7.0,

16、 0, 0,1)(处的连续性处的连续性在在讨论函数讨论函数 xxxxxxf解, 0)00( f,)00( f.1为函数的第二类间断点为函数的第二类间断点 x.断点断点这种情况称为无穷间这种情况称为无穷间oxy第33页/共45页例8.01sin)(处的连续性处的连续性在在讨论函数讨论函数 xxxf解,0处没有定义处没有定义在在 x.1sinlim0不存在不存在且且xx.0为第二类间断点为第二类间断点 x.断点断点这种情况称为的振荡间这种情况称为的振荡间xy1sin 注意 不要以为函数的间断点只是个别的几个点.第34页/共45页 , 1, 1)(是无理数时是无理数时当当是有理数时是有理数时当当xx

17、xf在定义域 R内每一点处都间断, 但其绝对值处处连续.判断下列间断点类型:o1x2x3xyx xfy 第35页/共45页可去型第一类间断点oyx跳跃型无穷型振荡型第二类间断点oyx0 xoyx0 xoyx0 x第36页/共45页例9.0, 0, 0,cos)(,处连续处连续在在函数函数取何值时取何值时当当 xxxaxxxfa解,)0(af xxfxxcoslim)(lim00 , 1 )(lim)(lim00 xaxfxx , a ),0()00()00(fff 要使要使, 1 a,1时时故当且仅当故当且仅当 a.0)(处连续处连续在在函数函数 xxf第37页/共45页例10 讨论的连续性的

18、连续性xxxxfnnn 2211lim)(若有间断点判别其类型，并作出图形解)1|(|0lim qqnn由于由于则则若若故故1| xnnnxxxxf2211lim)( x 则则若若1| xnnnxxxxf2211lim)( 1)1(1)1(lim22 nnnxxxx 则则若若1| x0)( xf第38页/共45页 1|1|01|)(xxxxxxf外连续外连续除去除去1)( xxf时时当当1 x1)01(, 1)01( ff1)01(, 1)01( ff跃间断点）跃间断点）都是第一类间断点（跳都是第一类间断点（跳1 x第39页/共45页三、小结1.函数在一点连续必须满足的三个条件;2.区间上的连续函数;3.间断点的分类与判别;间断点第一类间断点:可去型,跳跃型.第二类间断点:无穷型,振荡型.(见下图)第40页/共45页第一类间断点oyx0 x可去型oyx0 x跳跃型第二类间断点oyx0 x无穷型oyx振荡型第41页/共45页思考题 若若)(xf在在0 x连连续续，则则| )(|xf、)(2xf在在0 x