

下载本文档
版权说明:本文档由用户提供并上传,收益归属内容提供方,若内容存在侵权,请进行举报或认领
文档简介
1、1AC(BP+DP)=AD BC+AB DC 即 AC BD=AB CD+AD BC.初屮见何甩个著名炙龌及证明识玻堵泗阳展療口屮曇蒐疋屮一.托勒密定理1.托勒密定理圆內接四边形中,两条对角线的乘积等于两组对边乘积之和。己知:圆內接四边形 AECD,求证:AC BD二 AB CD+AD BC。 证明:如图所示,过 C 作 CP 交 BD于 P, 使 Z1=Z2,又 Z3=Z4,AACDABCP.冴 BP BCEP AC 二 AD BC又 ZACB=ZDCP,Z5= Z6,即:AACBS ADCP.得需=舘,即DPAC=ABDC2.托勒密定理的逆定理若一个凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的
2、乘积, 则这 个凸四边形內接于一圆。己知:在凸四边形 ABCD中,AB CD+AD BC 二 BD AC。求证:A、B、C、D四点共圆。 证明:分别以 E、A 为顶点,在 四边形 ABCD内,作ZABF= ZDBC ZBAF=ZBDC,= = ABAB CDBD-AFCDBD-AF则厶 ABFADBC Ar CDAH_BnBn亦斎又, ZABD = Z ABF +ZEBF= ZEBF + ZDBC = ZFBCABDSAFBC =x =JD-/R-=Hzrc/-HCHC CFCFAB CD+AD BC=BD* (AF+CF)又 VAB CD+AD BC=BD AC (己知,AC=AF + CF
3、;.A、F、C 三点共线;ZBAC=ZBAF = ZBDC;:4、B、C、D 四点共圆。3.托勒密不等式在任意凸四边形中,两组对边乘积的和不小于其两条对角线的乘积。 托勒密定理可视作托勒密不等式的特殊情 况。 )即在任意凸四边形 ABCD中,必有AC BDWAB CD+AD * BC,当且仅当 A、B、C、 D四点共圆 (托勒密定理) 或共线 (欧扌立几何 定理)时取等号。己知;凸四边形 ABCD,求证;AC BDWAB CD+AD BC. 证明:左任意凸四边形 ABCD中(如右下图),作 AABE 使 ZBAE=ZCAD,ZABE=Z ACD, 连接 DE。则ZkABEsAACDBE=AB
4、,即CD ACBE AC=AB CD由 4ABEAACD 得 5 = AC AB又 ZBAC=ZEAD,所以 AABCsAAED。. 竺=竺 ,即 ED AC = BC AD ED AD + 得 AC(BE+ED)=AB CD+AD BC丈:BE+EDMBD, AC BDWAB * CD+AD BC (从图中可 看出;当且仅当 A、B、C、D 四点共圆时取等号。即“托勒密定理”4 广文托勒密定理:设四边形 ABCD四边长分别为必,cd两条 对角线长分别为 mq,则有:m2 n2= a2 c+b * d22abcd cos(A+C)bx欧拉几何定理在一条线段 AD上,顺次标有 B、C 两点,则
5、AD BC+AB CD=AC BD。己知:线段 AD上,顺次标有 B、C 两点,求迁:AD BC+AB CD=AC BD证明:如图,线段上的点依次有 A、B、C、D 四个点,设 AB 间的 距离是卅 BC间的距离是_2- b -c-1b, CD间的距离是 c。AB CD左边:AD BC+AB CD=(a+b + c) * b+a c=ab+b2+bc+ac 右边:AC BD=(aH-b) (b 十= ab+dc十 1/十 1;上面左边的结果等于右边的结果,/. AD BC+AB CD=AC BDU梅涅劳斯定理1.梅涅劳斯定理如果一条直线与 AABC 的三边 AB、BC、CA或其延长线交于已知;
6、一条直线 Z 与 AABC 的三边 AB、BC. CA或其延长线交于AF BD CEFB DC EA一一AF则有-_ AGBD,-BHFDPHDCClCE CIEA一oAF BDCE- FBDCEA一16方法四连 BE、FC。BD _SACTD_SACIFDC_SAAIFBDSACID+SACT FSACDF_ -=-DC S AAID 4 SAXIFSAADF牡二矢雲FBSACDTF、E 点,求证:由(1) x(2)x(3)得2.梅涅劳斯定理的逆定理若有三点 F、D、E 分别在 AABC 的边 AB、BC、CA或其延己知二 E、尸是厶 ABC 的边 AE AC的点,D 是 BC 的延长线的点
7、丿AP AFPB/. PB=FB;即 P 与 F 重合。四.赛瓦定理若 O 是 ZkABC內任意一点,AO、BO、CO分别交对边于 D、E、F,则警黑.空=i。FB DC EA己知:三角形 ABC 內 i 点 6 A6 EO,CO交对边于 D, E, F。求证:AF BD CE- =1CEEASA.DF s(3)BDDCSACDFSAADFSABDFSAADFSACDFSABDF长线上,且满足AFFB则 F. D. E 二点共线。口若AF BD CE且有五反云证明;先假设 E、F、D 三点不共线,由梅涅劳斯定理得;APPBBDDCCETEA1 o求证:E. F. D 三点共线。直线 DE 与
8、AB 交于 PoAFFBBDDCCE云=1AP+PB_AF+FB; PBFBABABPB FB*FB DCEAEs Fx E 三点共线。AFBDDCD证明:_ S“OD _SAABD SABOD _ SAAOBDCSAACDSCOD SdACD AAO同理CE=SBOC ,空=S“OC。EA AAOBFRSABOC三式相乘,即得。五.西姆松定理1.西姆松定理过三角形外接圆上异于三角形顶点的任意一点作三边的垂线,贝II 三垂足共线。(此线常称为西姆松线己知,ZABC外接圆上有点 P;且 PE 丄 AC 于 E,PF丄 AB 于 F.PD1BC于 D,求证;D、F、E三点共线。 证明:方祛一分别连
9、 FE、FD、 EP、CP.易证 P、B、D、F 和 P、F、C、E分别共圆,在 PBDF 圆內,ZDBP+ ZDFP=B180 ,在 ABPC 圆内 ZABP+ZACP =180 , ZABP= ZDBP于是 ZDFP=ZACP ,在 PFCE 圆內 ZPFE= ZPCE2而 ZACP+ZPCE=1803A ZDFP+ZPFE = 180 即 D、F、E 共线.。反之,当 D、F、E 共线时,由-可见 A、B、PsC 共圆。方法二如图,若 L、M、N三点共线, 连结BP, CP,则因 PL 垂直于 BC, PM 垂亘于 AC,PN 垂直于 AB,有 B、L、P、N和 P、M、C、L 分别四点共圆,有 ZNBP=ZNLP= ZMLP=ZMCP.故 A、B、P、C 四点共圆。若 A、P、B、C 四点共圆,则 ZNBP=ZMCPo因 PL 垂直于 BC, PM 垂直于 AC, PN 垂直于 AB 有 B、L、P、N和 P、M、C、L 四 点共圆,有 ZNBP= ZNLP= ZMCP= ZMLPo 故 L、M、N 三点共 线。2.西姆松定理的逆定理若自
温馨提示
- 1. 本站所有资源如无特殊说明,都需要本地电脑安装OFFICE2007和PDF阅读器。图纸软件为CAD,CAXA,PROE,UG,SolidWorks等.压缩文件请下载最新的WinRAR软件解压。
- 2. 本站的文档不包含任何第三方提供的附件图纸等,如果需要附件,请联系上传者。文件的所有权益归上传用户所有。
- 3. 本站RAR压缩包中若带图纸,网页内容里面会有图纸预览,若没有图纸预览就没有图纸。
- 4. 未经权益所有人同意不得将文件中的内容挪作商业或盈利用途。
- 5. 人人文库网仅提供信息存储空间,仅对用户上传内容的表现方式做保护处理,对用户上传分享的文档内容本身不做任何修改或编辑,并不能对任何下载内容负责。
- 6. 下载文件中如有侵权或不适当内容,请与我们联系,我们立即纠正。
- 7. 本站不保证下载资源的准确性、安全性和完整性, 同时也不承担用户因使用这些下载资源对自己和他人造成任何形式的伤害或损失。
最新文档
- 中国黑荆树项目创业计划书
- 中国家用无线路由器项目创业计划书
- 中国桑树项目创业计划书
- 中国肉羊养殖项目创业计划书
- 中国净菜加工项目创业计划书
- 中国管腔抓捕系统项目创业计划书
- 中国高效节水农业项目创业计划书
- 中国冬青类灌木树苗项目创业计划书
- 中国鹅项目创业计划书
- 中国犊牛栏项目创业计划书
- 2025年下半年南京大数据集团限公司工作人员招聘易考易错模拟试题(共500题)试卷后附参考答案
- 妊娠合并乙肝护理查房
- 2025-2030中国凯夫拉面料市场营销策略及发展趋势研究研究报告
- 麻精药品管理培训
- 2024年小升初试卷及答案
- 工程调价协商函
- 教科版小学四年级科学下册复习教案
- 《全断面岩石掘进机法水工隧洞工程技术规范(SLT 839-2025)》知识培训
- 体育教育中的多感官体验学习法研究论文
- 变配电运行值班员(500kV及以上)高级工-机考题库(导出版)
- 极地科考装备智能化设计-深度研究
评论
0/150
提交评论