(完整版)初中几何几个著名定理及证明

1、1AC(BP+DP)=AD BC+AB DC 即 AC BD=AB CD+AD BC.初屮见何甩个著名炙龌及证明识玻堵泗阳展療口屮曇蒐疋屮一.托勒密定理1.托勒密定理圆內接四边形中，两条对角线的乘积等于两组对边乘积之和。己知：圆內接四边形 AECD,求证：AC BD二 AB CD+AD BC。 证明：如图所示，过 C 作 CP 交 BD于 P, 使 Z1=Z2,又 Z3=Z4,AACDABCP.冴 BP BCEP AC 二 AD BC又 ZACB=ZDCP,Z5= Z6,即：AACBS ADCP.得需=舘，即DPAC=ABDC2.托勒密定理的逆定理若一个凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的

2、乘积， 则这 个凸四边形內接于一圆。己知：在凸四边形 ABCD中，AB CD+AD BC 二 BD AC。求证：A、B、C、D四点共圆。 证明：分别以 E、A 为顶点，在 四边形 ABCD内，作ZABF= ZDBC ZBAF=ZBDC,= = ABAB CDBD-AFCDBD-AF则厶 ABFADBC Ar CDAH_BnBn亦斎又， ZABD = Z ABF +ZEBF= ZEBF + ZDBC = ZFBCABDSAFBC =x =JD-/R-=Hzrc/-HCHC CFCFAB CD+AD BC=BD* （AF+CF）又 VAB CD+AD BC=BD AC （己知,AC=AF + CF

3、；.A、F、C 三点共线；ZBAC=ZBAF = ZBDC；：4、B、C、D 四点共圆。3.托勒密不等式在任意凸四边形中，两组对边乘积的和不小于其两条对角线的乘积。 托勒密定理可视作托勒密不等式的特殊情 况。 ）即在任意凸四边形 ABCD中，必有AC BDWAB CD+AD * BC,当且仅当 A、B、C、 D四点共圆 （托勒密定理） 或共线 （欧扌立几何 定理）时取等号。己知；凸四边形 ABCD,求证；AC BDWAB CD+AD BC. 证明：左任意凸四边形 ABCD中（如右下图），作 AABE 使 ZBAE=ZCAD,ZABE=Z ACD, 连接 DE。则ZkABEsAACDBE=AB

4、，即CD ACBE AC=AB CD由 4ABEAACD 得 5 = AC AB又 ZBAC=ZEAD,所以 AABCsAAED。. 竺=竺 ，即 ED AC = BC AD ED AD + 得 AC(BE+ED)=AB CD+AD BC丈:BE+EDMBD, AC BDWAB * CD+AD BC (从图中可 看出；当且仅当 A、B、C、D 四点共圆时取等号。即“托勒密定理”4 广文托勒密定理：设四边形 ABCD四边长分别为必,cd两条 对角线长分别为 mq,则有：m2 n2= a2 c+b * d22abcd cos(A+C)bx欧拉几何定理在一条线段 AD上，顺次标有 B、C 两点，则

5、AD BC+AB CD=AC BD。己知：线段 AD上，顺次标有 B、C 两点，求迁：AD BC+AB CD=AC BD证明：如图，线段上的点依次有 A、B、C、D 四个点，设 AB 间的 距离是卅 BC间的距离是_2- b -c-1b, CD间的距离是 c。AB CD左边：AD BC+AB CD=(a+b + c) * b+a c=ab+b2+bc+ac 右边：AC BD=(aH-b) (b 十= ab+dc十 1/十 1;上面左边的结果等于右边的结果，/. AD BC+AB CD=AC BDU梅涅劳斯定理1.梅涅劳斯定理如果一条直线与 AABC 的三边 AB、BC、CA或其延长线交于已知；

6、一条直线 Z 与 AABC 的三边 AB、BC. CA或其延长线交于AF BD CEFB DC EA一一AF则有-_ AGBD,-BHFDPHDCClCE CIEA一oAF BDCE- FBDCEA一16方法四连 BE、FC。BD _SACTD_SACIFDC_SAAIFBDSACID+SACT FSACDF_ -=-DC S AAID 4 SAXIFSAADF牡二矢雲FBSACDTF、E 点，求证:由（1） x（2）x（3）得2.梅涅劳斯定理的逆定理若有三点 F、D、E 分别在 AABC 的边 AB、BC、CA或其延己知二 E、尸是厶 ABC 的边 AE AC的点，D 是 BC 的延长线的点

7、丿AP AFPB/. PB=FB;即 P 与 F 重合。四.赛瓦定理若 O 是 ZkABC內任意一点，AO、BO、CO分别交对边于 D、E、F,则警黑.空=i。FB DC EA己知：三角形 ABC 內 i 点 6 A6 EO,CO交对边于 D, E, F。求证：AF BD CE- =1CEEASA.DF s(3)BDDCSACDFSAADFSABDFSAADFSACDFSABDF长线上，且满足AFFB则 F. D. E 二点共线。口若AF BD CE且有五反云证明；先假设 E、F、D 三点不共线,由梅涅劳斯定理得；APPBBDDCCETEA1 o求证:E. F. D 三点共线。直线 DE 与

8、AB 交于 PoAFFBBDDCCE云=1AP+PB_AF+FB； PBFBABABPB FB*FB DCEAEs Fx E 三点共线。AFBDDCD证明：_ S“OD _SAABD SABOD _ SAAOBDCSAACDSCOD SdACD AAO同理CE=SBOC ,空=S“OC。EA AAOBFRSABOC三式相乘，即得。五.西姆松定理1.西姆松定理过三角形外接圆上异于三角形顶点的任意一点作三边的垂线，贝II 三垂足共线。（此线常称为西姆松线己知,ZABC外接圆上有点 P；且 PE 丄 AC 于 E,PF丄 AB 于 F.PD1BC于 D,求证；D、F、E三点共线。 证明：方祛一分别连

9、 FE、FD、 EP、CP.易证 P、B、D、F 和 P、F、C、E分别共圆，在 PBDF 圆內,ZDBP+ ZDFP=B180 ,在 ABPC 圆内 ZABP+ZACP =180 , ZABP= ZDBP于是 ZDFP=ZACP ，在 PFCE 圆內 ZPFE= ZPCE2而 ZACP+ZPCE=1803A ZDFP+ZPFE = 180 即 D、F、E 共线.。反之，当 D、F、E 共线时，由-可见 A、B、PsC 共圆。方法二如图，若 L、M、N三点共线， 连结BP, CP,则因 PL 垂直于 BC, PM 垂亘于 AC,PN 垂直于 AB,有 B、L、P、N和 P、M、C、L 分别四点共圆，有 ZNBP=ZNLP= ZMLP=ZMCP.故 A、B、P、C 四点共圆。若 A、P、B、C 四点共圆，则 ZNBP=ZMCPo因 PL 垂直于 BC, PM 垂直于 AC, PN 垂直于 AB 有 B、L、P、N和 P、M、C、L 四 点共圆，有 ZNBP= ZNLP= ZMCP= ZMLPo 故 L、M、N 三点共 线。2.西姆松定理的逆定理若自