阿基米德三角形在高考中的应用PPT精选文档

1、.1高考题中的阿基米德三角形高考题中的阿基米德三角形.2图1回顾：回顾：过抛物线过抛物线x x2 2=2=2pypy( (pp0)0)上的点上的点P(P(x x0 0，y y0 0) )处的切线方程？处的切线方程？yx(x0,y0)x0 x=p(y0+y)OFP)(00yypxx可以表示什么直线？可以表示什么直线？还还方程方程思考：思考：)(00yypxx.3结论：结论：过抛物线过抛物线x x2 2=2=2pypy( (pp0)0)外一点外一点P(xP(x0 0，y y0 0) )，分别作抛物线的切线，分别作抛物线的切线PAPA、PBPB，A A、B B分别是切点，则直线分别是切点，则直线AB

2、AB的方程的方程为为 )(00yypxxyxx0 x=p(y0+y)(x0,y0)POFBA.4由抛物线的弦与过弦的端点由抛物线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形的两条切线所围成的三角形.OABPF阿基米德阿基米德三角形三角形 阿基米德是阿基米德是伟大数学家与力伟大数学家与力学家学家, ,并享有并享有“数数学之神学之神”的称号。的称号。 xy.5结论：结论：直线直线ABAB的方程为的方程为 )(00yypxx图2yxx0 x=p(y0+y)(x0,y0)POFBA线线？的的轨轨迹迹是是否否为为一一条条定定直直点点P P则则阿阿基基米米德德三三角角形形的的顶顶( (1 1, ,3 3) )

3、, ,内内一一定定点点若若弦弦A AB B过过抛抛物物线线)y,(x2002yx (1,3)探究探究1 1：线线？的的轨轨迹迹是是否否为为一一条条定定直直) )y y, ,三三角角形形的的顶顶点点P P( (x x则则阿阿基基米米德德c c) ), ,点点( (0 0, ,2 2p py y内内一一定定物物线线x x若若弦弦A AB B过过抛抛 0 00 02 2探究探究2 2：(a,b).6 性质性质1 1：若阿基米德三角形若阿基米德三角形ABPABP的边的边ABAB即弦即弦ABAB过抛物线内定点过抛物线内定点C C，则另一顶点则另一顶点P P的轨迹为一条直线。的轨迹为一条直线。OABPFC

4、xy.7yxx0 x=p(y0+y)(x0,y0)POFBA则弦AB是否过定点？则弦AB是否过定点？2py无公共点),2py无公共点),1(与x1(与xx xy y在定直线在定直线基米德三角形的顶点P基米德三角形的顶点P上的阿上的阿探究3：若抛物线探究3：若抛物线2 2pyx22.8性质性质2 2：若直线若直线l l与抛物线没有与抛物线没有公共点，以公共点，以l l上的点为顶点的上的点为顶点的阿基米德三角形阿基米德三角形ABPABP的底边的底边ABAB过定点。过定点。OABPFCxy.9成成等等差差数数列列. .B B三三点点的的横横坐坐标标MM, , ,A A、B B两两点点. .求求证证：

5、A A线线，切切点点分分别别为为过过MM引引抛抛物物线线的的两两条条切切2 2p p上上任任意意一一点点，y y: :MM为为直直线线l l0 0) ), ,( (p p2 2p py y如如图图，抛抛物物线线x x例例1 1：( (0 08 8. .山山东东) )2 2MOABxy-2pN思考：思考：把把M M改改成抛物线外任成抛物线外任意一点，结论意一点，结论仍然成立吗？仍然成立吗？.10POABFxyN性质性质3 3：如图如图, ABP, ABP是阿基米德是阿基米德三角形，三角形，N N为抛物线弦为抛物线弦ABAB中点，中点，则直线则直线PNPN平行于抛物线的对称平行于抛物线的对称轴轴.

6、 .pyx22.11断断D D. .无无法法判判 C C. .垂垂直直 B B. .平平行行 A A. .相相交交) ) ( ( 的的位位置置关关系系M M。则则直直线线P PM M与与x x轴轴弦弦A AB B的的中中点点为为B B, ,两两条条切切线线，切切点点为为A A, ,4 4x x的的物物线线y y任任意意一一点点，过过点点P P作作抛抛9 9上上y y4 4) )x x练练习习1 1. .动动点点P P是是圆圆( (2 22 22 2BBPAOxyM.12. . Q Q- -c c交交于于点点P P, ,y y: :段段A AB B和和直直线线l l的的直直线线，分分别别与与线线

7、两两点点，一一条条垂垂直直于于x x轴轴 B B相相交交于于A A, ,x xy y任任作作一一直直线线，与与抛抛物物线线 ，c c) )轴轴正正方方向向上上一一点点C C( (0 0中中，过过y y 系系x xo oy y 标标) )如如图图，在在平平面面直直角角坐坐练练习习2 2：( (0 07 7. .江江苏苏2 2是否成立？说明理由。是否成立？说明理由。命题命题（2）试问（1）的逆（2）试问（1）的逆O为为此此抛抛物物线线的的切切线线；Q QA A 的的中中点点，求求证证： 为为线线段段A AB B（1 1) )若若P P QABCP PxyM M(M)(M).13性质性质4 4：在阿

8、基米德三角形在阿基米德三角形ABPABP，则，则|2FBFAPFOABPFxyB)2,(211pxxApyx22)(2,(21222xxpxxB)2,2(2121pxxxx 的的关关系系？| |P PF F| | |与与F FB B| | |F FA A| |2 2探究探究4：)2, 0(p.14) ). .t t, ,( (s s交交抛抛物物线线与与另另一一点点B B的的直直线线F FA A4 4y y上上的的点点，过过焦焦点点F F线线x x) )是是抛抛物物y y, ,( (x xA A, ,如如图图. .对对每每个个正正整整数数n n) )重重庆庆. .2 22 2例例2 2：( (0

9、 06 6. .n nn nn nn n2 2n nn nn n1 1）; ;4 4（n ns sx x( (1 1) )试试证证：n nn n4 4y y上上x x2 2) ). .t t , ,( (s sB Bn nn nn n) )y y, ,(x(xA An nn nn n.151,nyk x 4(1)nnx sn 1,n nnA B证明：证明：（）对任意固定的）对任意固定的因为焦点因为焦点F F（0,10,1）, ,所以可设直线所以可设直线的方程为的方程为 由一元二次方程根与系数的关系得由一元二次方程根与系数的关系得244 0nxk x 得得由由,412yxxkyn.161 12

10、22 2| |F FC C| | |F FC C| | |F FC C| |点点。试试证证：为为切切点点的的两两条条切切线线的的交交B B以以A A为为抛抛物物线线上上分分别别并并记记C C, ,2 2( (2 2) )取取x x1 1n nn nn n2 21 1n nn nn nn nn n 1 1）; ;4 4（n ns s( (1 1) )试试证证：x xn nn n4 4y y上上x x2 2性质性质4 4：在阿基米在阿基米德三角形德三角形ABPABP，则则| |2nnnFBFAFC) ). .t t , ,( (s sB Bn nn nn n) )y y, ,( (x xA An

11、nn nn nF F( (0 0, ,1 1) ).17OABPFxyB)2,(211pxxA)(2,(21222xxpxxB)2,2(2121pxxxx 性质性质5 5：如图：在阿基米德三如图：在阿基米德三角形角形ABPABP，若，若F F为抛物线焦点，为抛物线焦点，则则PFBPFA )2, 0(p.18PFB.PFB.= =PFAPFA: :证明证明. .分别相切于A、B两点分别相切于A、B两点，且与抛物线C，且与抛物线C的两条切线PA、PB的两条切线PA、PB线C线C0上运动，过P作抛物0上运动，过P作抛物2 2- -y y- -x x: :直线l直线l的焦点为F，动点P在的焦点为F，动

12、点P在 x xy y抛物线C：抛物线C：(05.江西）如图，(05.江西）如图，2 2OABPFxy高高考考链链接接：.19,|41)41(|)41)(41(2|cos10221212110110FPxxxxFPxxxxxxFBFPFBFPBFP同理可得：同理可得： 分析：分析：)(,(),(0121120 xxxxBxxA设切点设切点 AFP=PFB.,|41)41(|)41)(41(2|cos10220202010010FPxxxxFPxxxxxxFAFPFAFPAFP).,2P(1010 xxxx则).41,(),41,2(),41,(2111010200 xxFBxxxxFPxxFA.

13、20推论：推论：在阿基米德三角形在阿基米德三角形ABPABP，若弦若弦ABAB过抛物线焦点过抛物线焦点F F，则，则ABPF OABPFOABPFxy.21B推论：推论：在阿基米德三角形在阿基米德三角形ABPABP，若弦，若弦ABAB过抛物线焦点过抛物线焦点F F，则，则ABPF .22课堂小结：课堂小结：2.2.关键点：关键点：阿基米德三阿基米德三角形三个顶点坐标之间角形三个顶点坐标之间的关系。的关系。QOABCF1.1.一个一个阿基米阿基米德三角形德三角形3. 3. 方法：方法：求导法；主元法；求导法；主元法；设而不求法。设而不求法。.23.24OABPFA1B1pyx22F FA AP

14、PA AP PA A1 1 A AF F分分析析：A AA A1 1FAPPAA1AFPPAA11 11 1P PB BP PF FF FP P, ,P P 同同理理可可得得：BBBPFPA11 11 11 11 11 11 1A AP PB BB BP PA A即即, ,P PB BP PA Axy.25OABPFpyx22xy B BF FP P相相似似 P PF FA A与与根根据据刚刚才才的的证证明明，可可得得 | |F FB B| | |P PF F| | |P PF F| | |F FA A| | |FBFB| | |FAFA| |PF|PF|2 2.26, 0, 0,000010

15、1yxxxxx则不妨设由于时)0,2(1x方法方法2:2:当当所以所以P P点坐标为点坐标为的距离为：的距离为：，则，则P P点到直线点到直线AFAF,4141:;2|12111xxxyBFxd的方程而直线即即. 041)41(1121xyxxx所以所以P P点到直线点到直线BFBF的距离为：的距离为：2|412|)41()()41(|42)41( |1211212122111212xxxxxxxxxd所以所以d d1 1=d=d2 2，即得，即得AFP=PFB.AFP=PFB.27001xx, 041)41(),0(041410020020 xyxxxxxxy即2 2| |x xx x| |

16、4 41 1x x) )4 41 1) )( (x x2 2x xx x| |x x) )4 41 1( (x x| |x x4 41 1x xx x) )2 2x xx x) )( (4 41 1( (x x| |1 10 02 20 02 20 01 10 02 20 02 22 20 00 01 12 20 01 10 02 20 01d2|012xxd当当时，直线时，直线AFAF的方程：的方程：所以所以P P点到直线点到直线AFAF的距离为：的距离为：同理可得到同理可得到P P点到直线点到直线BFBF的距离的距离因此由因此由d d1 1=d=d2 2，可得到，可得到AFP=PFB.AFP=PFB.28OABPFA1B1pyx22F FA AP PA AP PA A1 1 A AF F分分析析：A AA A1 1FAPPAA1AFPPAA11 1PBPB同理可得：PF同理可得：PF PFPA11 11 11 11 11 11 1A AP PB BB BP PA A即即, ,P PB BP PA Axy.29OABPFA1B1pyx22N N四四点点共共圆圆P P, , ,F F分分析析：M,B BP PB BF FP PA A1 1MNF FB BP PF FP PA Axy B BF FP P相相似似 P PF FA A与与| |F FB B| | |