第1章 张量分析基础

1、张量分析与连续介质力学教材：The Mechanics and Thermodynamics of ContinuaM.E. Gurtin, E. Fried, L. Anand. Cambridge University Press, 2010教学参考书：1、An Introduction to Continuum Mechanics, M.E. Gurtin, Academic Press, 1981. （中译本：郭仲衡等译，连续介质力学引论，高等教育出版社，1992）2、连续介质力学基础，熊祝华等，湖南大学出版社，19973、连续介质力学基础，黄筑平，高等教育出版社，20034、非线性连

2、续介质力学，匡正邦，上海交大出版社，2002第一章 张量分析基础第一节 矢量和张量代数一、矢量代数本课程只在三维欧氏空间内讨论连续介质力学的基础原理。1、 点反应一定的空间位置，由表示2、 矢量具有大小和方向且满足一定规则的空间实体，用来表示。 （两点间的距离可由一矢量表示） （点和矢量之和是另一个点）3、 矢量的点积和叉积1）点积 （为两个矢量间的夹角）表示矢量的大小，为一标量，有。 2）叉积 （为一新的矢量）表示由和构成的平行四边形的面积。且，3）混合积 表示由，和三个矢量围成的体的体积。l 如果该体的体积不为零，则称，和线性无关。l 如果对于不为零的常数a，b，c，有：则称，和线性相关。

3、不满足线性相关的矢量则是线性无关的。4、 矢量空间及其性质由欧氏空间中对应的点构成的矢量形成的空间称为矢量空间。如果，和是线性无关的，则构成矢量空间的基，即中任一矢量都可以表示为：1） 如果，则基是正向的（右手法则）。2） 如果和是同号的，则两组基和是同向的。3） 如果和，则基是正交的，且，和是单位矢量。l 矢量的相等定义：1）若对于所有的矢量，有，则；2）若对于所有的矢量，有，则。l 子空间的定义：对于矢量子集合中的任意矢量和以及任意的标量和，如果线性组合也属于，则称矢量子集合为子空间。例：的子空间有，过原点的线，过原点的面以及本身。回顾：矢量运算的基本定律。 矢量和：满足 交换律 结合律

4、数乘： 满足 分配律（a，b为实数）结合律 矢量的点积：满足 交换律分配律正定性 ，当且仅当时 Schwartz不等式 矢量的叉积：满足 分配律二重叉积 混合积：记为 有5、 Cartesian坐标系（直角坐标系）Cartesian坐标系由一个原点和一组正向的正交基构成。基矢间满足： （i，j，k=1，2，3）为Kronecker函数，有为置换符号，定义为6、 求和约定及矢量和点的分量表示Einstein求和约定：两个相同的指标表示对（1, 2, 3）遍历求和，即这两个相同的指标称为哑标（dummy index），可用任意两个相同的指标表示，即：矢量的分量表示： （j=1, 2, 3）则称为关

5、于Cartesian坐标系基矢的分量，也可以写成：以此类推，可将点x的坐标写成：矢量运算的分量表示：-恒等式：二、张量代数1、 张量的定义由若干坐标系改变时满足一定坐标转换关系的有序数组成的集合定义为张量。例如：由9个有序数组成的集合，在坐标转换时满足，则就是一个张量（二阶张量）。为系数转换矩阵。上式中自由指标的个数与所乘坐标转换系数的次数相等，称为张量的阶数。 在n维空间中，m阶张量应是个数的集合。2、 二阶张量的线性变换性质Gurtin等将二阶张量理解为矢量空间之间的线性变换，即认为一个张量将矢量线性映射为另一个矢量，即有：张量的线性特性可以体现在：张量相等：当且仅当对任意矢量，成立时，有

6、。同样，对任意矢量和，当且仅当S = T时，有由此可定义张量S和T之和S + T以及张量S和标量的乘积为： （对任意）可证明S + T和也都是二阶张量。3、 几种特殊张量1) 零张量和单位张量： 0，10v = 01v = v2) 两矢量的张量积：张量定义为（对所有w）。也就是说张量将任意矢量w映射为矢量u的一个标量乘积，即：。3) 投影张量张量将任意矢量u映射为u在e上的投影，即：而张量将任意矢量u映射为u在垂直于e的面内的投影，即：则张量和称为投影张量。4) 球张量若，1为单位张量，则称S为球张量。4、 张量的分量定义张量S的分量Sij为：或则有：5、 张量的转置，对称和反对称张量张量S的

7、转置张量ST是具有如下性质的唯一张量：（对任意v，u）进而有：对称张量：若S = ST则张量S是对称张量。反对称张量：若S = -ST则张量S是反对称张量。定义分别为S的对称部分和反对称部分。对任意张量S，有 6、 张量的乘积 一般来说，。如果，则称张量S和T互为对易（commute）。张量的乘积满足：另可定义： S2 = SS有：7、 矢量叉积，反对称张量的轴矢量矢量w的叉乘w×是一个二阶张量，定义如下：= v（对任意u）因为，所以：。因为，所以：。对任一反对称张量，存在一个唯一的矢量，使得：则称为的轴矢量，即： （对任意u）可得：利用恒等式，有：8、 张量的秩，偏张量张量的秩是一

8、种给每一个张量S赋予一个标量值即trS的线性运算，其满足：根据线性运算特性，有：trS = Sii有如下一些等式：若张量S为反对称张量，则trS = 0。偏张量：对某一张量S，若trS = 0，则称S是偏张量（或无秩张量）。为张量的偏张量部分；为球张量部分。则有：9、 张量的内积，张量的大小张量的内积：性质： （当且仅当S = 0时，S : S = 0）张量的大小：若S为对称张量，W为反对称张量，则有：，即S和W是正交的。对任一张量T，有：同样，对球张量S和偏张量D，有：对任一张量T，有：几个有用的恒等式：对任意T，若：l S是对称张量，则l W是反对称张量，则l S是偏张量，则10、 可逆张

9、量若 则称S-1为张量S的逆，S为可逆张量。1） 两个可逆张量S和T的积ST也是可逆张量，即2） 若S为可逆张量，则有：11、 张量的行列式对任一张量和任一基u v w，比值都是相等的。由此可定义张量的行列式（determinant）为：（u v w为任一基）则detS表示由Su，Sv，Sw和u，v，w分别构成的两个平行六面体的体积比。性质： 当且仅当detS0时，S才是可逆的。 若S是可逆的，则具体计算：12、 正交张量（Orthogonal Tensors）如果对任意矢量u和v，如果成立，则称张量Q是正交的。令v = u，则有。这说明正交张量Q对矢量u的作用并不改变u的长度。令为两个非零矢

10、量u和v间的夹角，为变换后的矢量Qu和Qv间的夹角，则由上式可得：则正交张量Q对两个矢量间的夹角也不产生影响。正交张量Q的一些基本性质： 张量Q为正交张量的一个必要条件是：QT=Q-1 若detQ = 1，则Q表示旋转变换；若detQ = -1，则Q表示镜面反射变换。13、 张量的矩阵表示张量的乘积，转置以及求张量的秩和行列式等与矩阵运算具有一一对应关系。可以在一定基的基础上，将矢量和张量写成矩阵形式。例如：则： 三、谱定理，Cayley-Hamilton定理，极分解定理1、 张量的特征值，特征向量，谱定理如果有一个单位矢量e，使得：Se = e成立，则称标量是张量S的特征值，e称为与对应的特

11、征矢量。如果S是对称张量，且其特征值，则对应的特征矢量e1和e2相互垂直，即：也就是说：对于一个对称张量S，对应于不同特征值的特征矢量间是正交的。谱定理：令S是对称张量，则存在一个完全由S的本征矢量构成的标准正交基ei并且可将S写成： （*）其中为S对应于特征矢量ei的特征值。（*）式也称为张量S的谱分解，该分解当且仅当S的特征值均不同时成立。张量S的特征空间（由特征向量构成的线性空间）的集合特性取决于S不同的特征值的数目： 如果S的特征值均不同，则S的三个特征空间是三条过原点O的相互垂直的直线li，； 如果S有两个不同的特征值，即：则，此时的特征空间有两个：一是过原点O平行于e1的直线l1，

12、一是过O点垂直于e1的平面。 如果，则 即张量S为球张量。此时每一个单位矢量都是S的特征向量，而S只有一个单一的特征空间，即整个矢量空间。张量的特征值表示：与张量S的本征矢量基ei相关的矩阵形式为对角阵，即有：2、 对称正定张量的均方根，极分解定理 正定张量的定义：对于任意矢量u0，如果，则张量C为正定张量。如果张量C是对称、正定的，则对i的任一固定选择，有 （对i不求和）也就是说，对称正定张量的特征值是正的；或者反过来，特征值为正的对称张量是正定张量。若C是对称正定张量，则： l detC > 0；l 对任意旋转R，RCRT是对称正定的；l 可以找到一个唯一的对称正定张量U，使得U2

13、= C，即：。为C的方根。由：可得：即对称正定张量的方根也是对称正定张量。推理：如果F是一个可逆张量，则FTF和FFT都是对称正定的。极分解定理：令F是一个可逆张量，且detF > 0，则存在两个对称正定张量U，V和一个旋转张量R，使得：成立，并且这样的分解是唯一的。令F = RU为右极分解，而F = VR为左极分解。证明（略）3、 张量的不变量，Cayley-Hamilton方程如果和e是张量S的特征值和对应的特征向量，则有：因此，S 1不是可逆的，则det(S 1) =0，且S张量的每一个特征值必须是多项式方程的实数解。方程的系数，和是S的函数，特征方程可写成：其中，和则是张量S的不

14、变量，有若S是对称的，则可由特征值表示上述不变量，即：另，对称张量S，有：则可推出，对张量S的每一个特征向量e，可得：则此即为张量S的Cayley-Hamilton方程，其为特征方程的张量类推。第二节 矢量和张量分析一、微分（differentiation）1、 标量的函数微分设标量t的一个标量、矢量、点或张量函数为，定义该函数对标量t的微分为：则对点函数，有：由于差是一个矢量，则导数是一个矢量函数。考虑一个固定的正交基矢ei，则对矢量函数和张量函数有：对于矢量和张量函数，其对标量变量的求导可参照标量函数的求导法则，即有：对于非零的张量函数，有：另，对可逆张量函数，有：对正交张量函数，有和是反

15、对称张量。2、 场的微分，梯度设是矢量的标量，矢量或张量函数，并认为比趋近于零的速度要快，即：当时，有 是时的高阶无穷小。或更简单的表示为：如果 则场的定义：i）给定一个域R，则域为R的标量场表示一种将标量值 赋予每一个R域内点x的映射。称为在x点处的值。 ii）对矢量场，点域和张量场有类似定义。由可微的定义，和v在域R内一点x可微的条件是：存在一个矢量g和一个张量G，使得当时，有则线性项和分别为和的近似。该近似的误差比h趋近于零的速度要快，进而比线性项要快。如果和v在x点处可微，则可定义： 即和为和v在x点处的梯度。和v在x点处的Taylor级数展开为：当时，进而可得：推 论： 标量场的梯度

16、是一个矢量场； 矢量场的梯度是一个张量场。按复合函数求导的链式法则，对和有：3、 散度和旋度，矢量和张量的恒等式矢量场v和张量场T的散度和旋度定义为：则divv是标量场，curlv和divT是矢量场，curlT是张量场。散度和旋度也可以直接定义为：a为任一常矢量。乘积恒等式：另有：Laplace算子：对标量场和矢量场v，定义起Laplace运算为：则应是一个标量场，是一个矢量场。对张量场T，定义为使下式成立的一个张量场： （a为任意常矢量）或4、 张量的标量函数微分对一个张量T的标量函数，其微分定义为如下的张量函数：由链式法则，有：则可由上式来计算微分。另，由链式法则可得如下等式： 对任意A0，二、积分定理散度定理和Stokes定理是构建连续介质平衡和非平衡基本定律需要的两个重要数学定理。1、 散度定理散度定理：令R为一个边界为的有界域。假定有域为R的标量场，矢量场v和张量场T。令n为域R的边界的外法线单位向量场，则：分量形式，一般法则：面积分中的ni将在体积分中产生一偏微分，则对任意阶张量T，有：是任意阶张量T的分量