模煳学教案01

1、模糊数学模糊数学北京化工大学理学院北京化工大学理学院杨卫星杨卫星行政楼行政楼课程简介课程简介l介绍模糊数学基本理论和基本研究方法介绍模糊数学基本理论和基本研究方法l研究性学习过程研究性学习过程l接触一些前沿问题和最新研究动态接触一些前沿问题和最新研究动态l参考书目参考书目 ：模糊数学方法及其应用模糊数学方法及其应用第三版，谢季坚，刘承平，华中科技大第三版，谢季坚，刘承平，华中科技大学出版社学出版社 模糊理论基础模糊理论基础，胡宝清，武汉大学，胡宝清，武汉大学出版社出版社 成绩评定成绩评定l课程性质：课程性质：24学时，选修课学时，选修课l成绩评定：成绩评定：20%平时作业，考勤平时作业，考勤

2、30%读书报告读书报告 50% 闭卷考试闭卷考试读书报告要求读书报告要求l选择国内外期刊正式发表的文章，选择国内外期刊正式发表的文章，用到了模糊数学的思想或者方法，用到了模糊数学的思想或者方法，中英文均可。中英文均可。l长度至少长度至少2 页，页，a4 纸打印，文献和纸打印，文献和读书报告都要交，考试前上交。读书报告都要交，考试前上交。l内容包括：内容包括：1）论文所研究的问题论文所研究的问题以及这个问题为什么有意义；以及这个问题为什么有意义；2）论文的基本假设，这些假设是否合理；）论文的基本假设，这些假设是否合理；3）论文使用的方法；）论文使用的方法；4）论文选取的模型；）论文选取的模型；5

3、）基本结果；）基本结果；6）该论文的贡献和缺陷，）该论文的贡献和缺陷，你对结果的思考或可能扩展你对结果的思考或可能扩展或者其他你认为应该包含的内容。或者其他你认为应该包含的内容。 模糊数学是研究和处理模糊性现象的数学方模糊数学是研究和处理模糊性现象的数学方法法. . 众所周知，经典数学是以精确性为特征的众所周知，经典数学是以精确性为特征的. . 然而，与精确形相悖的模糊性并不完全是消极的、然而，与精确形相悖的模糊性并不完全是消极的、没有价值的没有价值的. . 甚至可以这样说，有时模糊性比精确性还甚至可以这样说，有时模糊性比精确性还要好要好. . 例如例如, ,要你某时到某地去迎接一个要你某时到

4、某地去迎接一个“大胡子高个子大胡子高个子长头发戴宽边黑色眼镜的中年男人长头发戴宽边黑色眼镜的中年男人”. . 尽管这里只提供了一个精确信息尽管这里只提供了一个精确信息男人，而其他男人，而其他信息信息大胡子、高个子、长头发、宽边黑色眼镜、中大胡子、高个子、长头发、宽边黑色眼镜、中年等都是模糊概念，但是你只要将这些模糊概念经过头年等都是模糊概念，但是你只要将这些模糊概念经过头脑的综合分析判断，就可以接到这个人脑的综合分析判断，就可以接到这个人. . 模糊数学在实际中的应用几乎涉及到国民经济的各模糊数学在实际中的应用几乎涉及到国民经济的各个领域及部门，农业、林业、气象、环境、地质勘探、个领域及部门，

5、农业、林业、气象、环境、地质勘探、医学、经济管理等方面都有模糊数学的广泛而又成功的医学、经济管理等方面都有模糊数学的广泛而又成功的应用应用. .模糊数学的主要内容模糊数学的主要内容l三个基本概念：模糊集合，模糊关系，三个基本概念：模糊集合，模糊关系， 模糊隶属函数模糊隶属函数三大基本原理：分解定理，表现定理，三大基本原理：分解定理，表现定理， 扩张原理扩张原理三个基本应用：模糊聚类分析，模糊模式三个基本应用：模糊聚类分析，模糊模式 识别，模糊综合评判识别，模糊综合评判三大热门专题：模糊决策三大热门专题：模糊决策 理论，模糊逻辑理论，模糊逻辑 系统，模糊测度理论系统，模糊测度理论经典集合经典集合

6、 经典集合具有两条基本属性：元素彼此相异，经典集合具有两条基本属性：元素彼此相异，即无重复性；范围边界分明即无重复性；范围边界分明, ,即一个元素即一个元素x要么属要么属于集合于集合a( (记作记作x a),),要么不属于集合要么不属于集合( (记作记作x a) )，二者必居其一二者必居其一. . 集合的表示法：集合的表示法： (1)(1)枚举法，枚举法，a= x1 , x2 , xn ； (2)(2)描述法，描述法，a= x | p(x). a b 若若x a，则则x b； a b 若若x b，则则x a； a=b a b且且 a b. . 集合集合a的所有子集所组成的集合称为的所有子集所组

7、成的集合称为a的幂集，的幂集，记为记为 (a).并集并集ab = x | x a或或x b ；交集交集ab = x | x a且且x b ；余集余集ac = x | x a . .集合的运算规律集合的运算规律 幂等律：幂等律： aa = a， aa = a； 交换律：交换律： ab = ba， ab = ba； 结合律：结合律：( ab )c = a( bc )， ( ab )c = a( bc )； 吸收律：吸收律： a( ab ) = a，a( ab ) = a；分配律：分配律：( ab )c = ( ac )( bc )； ( ab )c = ( ac )( bc )；0-10-1律：律

8、：au = u ， au = a ； a = a ， a = ；还原律：还原律： (ac)c = a ；对偶律：对偶律： (ab)c = acbc，(ab)c = acbc； 排中律：排中律： aac = u， aac = ；u 为全集，为全集， 为空集为空集.集合的直积：集合的直积： x y = (x , y )| x x , y y .映射与扩张映射与扩张映射映射 f ： x y集合集合a的特征函数：的特征函数：特征函数满足：特征函数满足： ., 0;, 1)(axaxxa).(1)();()()();()()(xxxxxxxxaababababac取大运算取大运算, ,如如23 = 3取

9、大运算取大运算, ,如如23 = 2扩张：点集映射扩张：点集映射 集合变换集合变换二元关系二元关系 x y 的子集的子集 r 称为从称为从 x 到到 y 的的二元关系，二元关系，特别地，当特别地，当 x = y 时，时，称之为称之为 x 上的上的二元关系二元关系.二元关系简称为二元关系简称为关系关系. 若若(x , y ) r，则，则称称 x 与与 y 有有关系，记为关系，记为r (x , y ) = 1； 若若(x , y ) r，则，则称称 x 与与 y 没有没有关系，记为关系，记为r (x , y ) = 0. 映射映射 r : x y 0,1实际上是实际上是 x y 的子集的子集r上的

10、特征函数上的特征函数.关系的三大特性：关系的三大特性： 设设r为为 x 上的上的关系关系 (1) 自反性自反性：若：若 x 上的任何元素都与自己有上的任何元素都与自己有关系关系r，即，即r (x , x) =1，则称关系，则称关系 r 具有自反性；具有自反性； (2) 对称性对称性：对于：对于x 上的任意两个元素上的任意两个元素 x , y，若若 x 与与y 有关系有关系r 时，则时，则 y 与与 x 也有关系也有关系r，即，即若若r (x , y ) =1，则，则r ( y , x ) = 1，那么称关系那么称关系r具具有对称性有对称性； (3) 传递性传递性：对于：对于x上的任意三个元素上

11、的任意三个元素x, y, z，若若x 与与y 有关系有关系r，y 与与z 也有关系也有关系r 时，则时，则x与与z 也有关系也有关系r，即若，即若r (x , y ) = 1，r ( y , z ) =1，则则r ( x , z ) = 1，那么称关系那么称关系r具有传递性具有传递性. . 关系的矩阵表示法关系的矩阵表示法 设设x = x1, x2, , xm, ,y= y1, y2, , yn，r为为从从 x 到到 y 的的二元关系，记二元关系，记rij = =r(xi , yj )，r = (rij)mn，则则r为布为布尔矩阵尔矩阵( (boole) )，称为称为r的关系矩阵的关系矩阵.

12、布布尔矩阵尔矩阵( (boole) )是元素只取是元素只取0或或1的矩阵的矩阵. .关系的合成关系的合成 设设 r1 是是 x 到到 y 的关系的关系, r2 是是 y 到到 z 的关系的关系, 则则r1与与 r2的合成的合成 r1 r2是是 x 到到 z 上的一个关系上的一个关系.(r1r2) (x, z) = r1 (x, y)r2 (y, z)| yy 关系合成的矩阵表示法关系合成的矩阵表示法 设设 x = x1, x2, , xm, y = y1 , y2 , , ys, z = z1, z2, , zn，且，且x 到到y 的关系的关系r1 = (aik)ms，y 到到 z 的关系的关

13、系r2 = (bkj)sn，则则x 到到z 的关系可表示为矩阵的合成：的关系可表示为矩阵的合成：r1 r2 = (cij)mn，其中其中cij = (aikbkj) | 1ks. 定义：若定义：若r为为 n 阶方阵，定义阶方阵，定义r 2 = r r，r 3 = r 2 r 例例 设设 x =1, 2, 3, 4, y = 2, 3, 4, z = 1, 2, 3, r1 是是 x 到到 y 的关系的关系, r2 是是y 到到 z 的关系的关系,r1 =(x, y) | x + y = 6= (2,4), (3,3), (4,2),r2 =(x, y) | y z = 1= (2,1), (3

14、,2), (4,3),则则r1与与 r2的合成的合成r1 r2=(x, y) | x + z = 5= (2,3), (3,2), (4,1).0010101000001r1000100012r合成合成( )运算的性质：运算的性质：性质性质1：(a b) c = a (b c)；性质性质2：ak al = ak + l，(am)n = amn；性质性质3： a ( bc ) = ( a b )( a c ) ； ( bc ) a = ( b a )( c a ) ；性质性质4：o a = a o = o，i a=a i =a；性质性质5：ab，cd a c b d.o为零矩阵为零矩阵，i 为为

15、 n 阶单位方阵阶单位方阵.ab aijbij .关系三大特性的矩阵表示法：关系三大特性的矩阵表示法： 设设r为为 x = x1, x2, , xn 上的上的关系，则关系，则其关系其关系矩阵矩阵r = (rij)nn 为为 n 阶方阵阶方阵.(1) r具有具有自反性自反性 i r；(2) r具有具有对称性对称性 rt = r ； (3) r具有具有传递性传递性 r2r . . 若若r具有具有自反性，则自反性，则 i r r2 r3 下面证明：下面证明：r具有具有传递性传递性 r2r. .r=(rij)nn 设设r具有具有传递性传递性,即对任意的即对任意的 i , j , k，若，若有有rij

16、=1，rjk=1，则有，则有rik=1. 对任意的对任意的 i , j，若，若(rikrkj) | 1kn=0，则则(rikrkj) | 1knrij . 若若(rikrkj) | 1kn = 1，则存在则存在1sn，使得，使得(risrsj) = 1，即即ris= 1, rsj= 1. 由于由于r具有具有传递性，则传递性，则rij =1，所以，所以(rikrkj) | 1kn = rij .综上所述综上所述 r2r. . 设设r2r，则对任意的，则对任意的 i , j , k，若有，若有 rij =1， rjk = 1，即即(rijrjk) = 1，因此，因此(risrsk) | 1sn=1

17、， 由由r2r，得，得rik=1，所以，所以r具有具有传递性传递性.集合上的等价关系集合上的等价关系 设设 x 上的上的关系关系r具有具有自反性、对称性、传递自反性、对称性、传递性，则称性，则称r为为 x 上的等价上的等价关系关系. 若若x与与y 有等价关系有等价关系r，则记为，则记为 x y.集合上的等价类集合上的等价类 设设 r是是x 上的等价上的等价关系，关系，x x. 定义定义x的等价的等价类：类：xr = y | y x ， y x .集合的分类集合的分类 设设 x 是非空集，是非空集，xi 是是 x 的非空子集，若的非空子集，若xi = x，且，且xixj = (i j )，则称集

18、合族则称集合族 xi 是集合是集合 x 的一个分类的一个分类. 定理：集合定理：集合x 上的任一个等价上的任一个等价关系关系r可以确可以确定定x 的一个分类的一个分类. 即即 (1) 任意任意 x x，xr非空；非空； (2) 任意任意 x , y x，若，若x与与y 没有关系没有关系r，则，则xryr = ； (3) x = xr . 证证: (1)由于由于r具有自反性，所以具有自反性，所以xxr，即，即 xr非空非空. (2) 假设假设 xryr , 取取zxryr，则，则z与与x有关系有关系r，与，与y也有关系也有关系r. 由于由于r具有对称性，具有对称性，所以所以x与与z有关系有关系r

19、，z与与y也有关系也有关系r. 又由于又由于r具有具有传递性，传递性，x与与y也有关系也有关系r. 这与题设矛盾这与题设矛盾. (3) 略略.例例 设设x = 1, 2, 3, 4, 定义关系定义关系r 1 ：xixj；r 2 ：xi + xj为偶数；为偶数；r 3 ：xi + xj = 5. 则关系则关系r1是传递的，但不是自反的，也不是是传递的，但不是自反的，也不是对称的；容易验证关系对称的；容易验证关系r2 是是x上的等价关系；关上的等价关系；关系系r3是对称和传递的，但不是自反的是对称和传递的，但不是自反的.按关系按关系r2可将可将x分为奇数和偶数两类，即分为奇数和偶数两类，即x =

20、1, 32, 4.按关系按关系r3可将可将x分为两类，即分为两类，即x = 1, 42, 3.格格 设在集合设在集合l中规定了两种运算中规定了两种运算与与,并并满足下列运算性质：满足下列运算性质：幂等律：幂等律： aa = a ， aa = a ；交换律：交换律： ab = ba ， ab = ba ；结合律：结合律：( ab )c = a( bc )， ( ab )c = a( bc ) ；吸收律：吸收律：a( ab ) = a， a( ab ) = a.则称则称l是一个格，记为是一个格，记为(l ,). 设设(l,)是一个格，如果它还满足下是一个格，如果它还满足下列运算性质：列运算性质：分

21、配律：分配律：( ab )c = ( ac )( bc ) , ( ab )c = ( ac )( bc ) .则称则称 (l ,)为分配格为分配格. 若格若格 (l,)满足：满足： 0- -1律：在律：在l中存在两个元素中存在两个元素0与与1，且，且a0=a，a0=0，a1=1，a1=a，则称则称 (l,)有最小元有最小元 0 与最大元与最大元 1，此时，此时又称又称 (l,)为完全格为完全格. 若在具有最小元若在具有最小元0与最大元与最大元1的分配格的分配格 (l,)中规定一种余运算中规定一种余运算c，满足：，满足：还原律：还原律：(ac)c=a；互余律：互余律：aac=1， aac=0，

22、则称则称(l,c )为一个为一个boole代数代数. 若在具有最小元若在具有最小元0与最大元与最大元1的分配格的分配格 (l,)中规定一种余运算中规定一种余运算c，满足：，满足：还原律：还原律：(ac)c = a ；对偶律：对偶律：(ab)c = acbc， (ab)c = acbc，则称则称(l,c ) 为一个软代数为一个软代数. 例例1 任一个集合任一个集合a的幂集的幂集 (a)是一个完是一个完全格全格. 格中的最大元为格中的最大元为a(全集全集)，最小元为，最小元为 (空集空集)，并且，并且(j(a) , c ) 既是一个既是一个boole代数，也是一个软代数代数，也是一个软代数. 例例

23、2 记记0,1上的全体有理数集为上的全体有理数集为q，则，则(q ,)是一个完全格是一个完全格. 格中的最大元为格中的最大元为1，最小元为，最小元为0. 若在若在q中定义余运算中定义余运算c为为ac =1- - a，则，则(q,c ) 不是一个不是一个boole代数，但它是一代数，但它是一个软代数个软代数.模糊子集与隶属函数模糊子集与隶属函数 设设u是论域，称映射是论域，称映射a(x)：u0,1确定了一个确定了一个u上的上的模糊子集模糊子集a，映射，映射a(x)称为称为a的的隶属函数隶属函数，它表示，它表示x对对a的隶属程度的隶属程度. 使使a(x) = 0.5的点的点x称为称为a的过渡点，此

24、点最的过渡点，此点最具模糊性具模糊性. 当映射当映射a(x)只取只取0或或1时，模糊子集时，模糊子集a就是经就是经典子集，而典子集，而a(x)就是它的特征函数就是它的特征函数. 可见经典子可见经典子集就是模糊子集的特殊情形集就是模糊子集的特殊情形. 例例 设论域设论域u = x1 (140), x2 (150), x3 (160), x4 (170), x5 (180), x6 (190)(单位：单位：cm)表示人的身高，表示人的身高，那么那么u上的一个模糊集上的一个模糊集“高个子高个子”(a)的隶属函数的隶属函数a(x)可定义为可定义为140190140)(xxa100200100)(xxa

25、也可用也可用zadeh表示法：表示法：65432118 . 06 . 04 . 02 . 00 xxxxxxa6543219 . 08 . 06 . 042. 02 . 015. 0 xxxxxxa模糊集的运算模糊集的运算相等相等：a = b a(x) = b(x)；包含包含：a b a(x)b(x)；并并：ab的隶属函数为的隶属函数为 (ab)(x)=a(x)b(x)；交交：ab的隶属函数为的隶属函数为 (ab)(x)=a(x)b(x)；余余：ac的隶属函数为的隶属函数为ac (x) = 1- - a(x). 例例 设论域设论域u = x1, x2, x3, x4, x5(商品集商品集)，在

26、在u上定义两个模糊集：上定义两个模糊集： a =“商品质量好商品质量好”， b =“商品质量坏商品质量坏”，并设，并设a = (0.8, 0.55, 0, 0.3, 1).b = (0.1, 0.21, 0.86, 0.6, 0).则则ac=“商品质量不好商品质量不好”, bc=“商品质量不坏商品质量不坏”.ac= (0.2, 0.45, 1, 0.7, 0).bc= (0.9, 0.79, 0.14, 0.4, 1).可见可见ac b, bc a. 又又 aac = (0.8, 0.55, 1, 0.7, 1) u, aac = (0.2, 0.45, 0, 0.3, 0) .模糊集的并、交

27、、余运算性质模糊集的并、交、余运算性质 幂等律：幂等律：aa = a， aa = a；交换律：交换律：ab = ba，ab = ba；结合律：结合律：(ab)c = a(bc)， (ab)c = a(bc) ；吸收律：吸收律：a(ab) = a，a( ab)= a； 分配律：分配律：(ab)c = (ac)(bc)； (ab)c = (ac)(bc)；0-10-1律：律： au = u，au = a； a = a，a = ；还原律：还原律： (ac)c = a ；对偶律：对偶律：(ab)c = acbc， (ab)c = acbc； 对偶律的证明：对于任意的对偶律的证明：对于任意的 x u (论域论域)， (ab)c(x) = 1 - - (ab)(x) = 1 - - (a(x)b(x) = (1 - - a(x)(1 - - b(x) = ac(x)bc(x) = acbc (x) 模糊集的运算性质基本上与经典集合一模糊集的运算性质基本