2021年高中数学人教版必修第一册:2.2《基本不等式》精品教案_第1页
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文档简介

1、第二第二章章一元二次函数一元二次函数、方程和不等式、方程和不等式2.2 基基本本不不等等式式(共共 2 课课时时)(第第 1 课课时时)本节课是人教版普通高中课程标准实验教科书数学必修 1 第二章第二节基本不等式第 1 课时。从内容上看学生原有知识的掌握情况为:初中的勾股定理知识及三角形相似的知识、圆的相关知识,会用作差比较法证明简单的不等式,所以在学法上要指导学生:从代数与几何的角度理解基本不等式。引导学生学会观察几何图形,进行几何与代数的结合运用,培养数学结合的思想观点,发展学生数学抽象、直观想象、逻辑推理等数学核心素养。课程目标学科素养A. 推导并掌握基本不等式, 理解这个基本不等式的几

2、何意义,并掌握定理中的不等号“”取等号的条件是:当且仅当两个数相等;B. 通过实例探究抽象基本不等式;通过多媒体体会基本不等式abba2等号成立条件, 进一步掌握基本不等式;C. 积极倡导同学们进行几何与代数的结合运用,发现各种事物之间的普遍联系.a.数学抽象:将问题转化为基本不等式;b.逻辑推理:通过图形,分析法与综合法等证明基本不等式;c.数学运算:准确熟练运用基本不等式;d.直观想象:运用图像解释基本不等式;e.数学建模:将问题转化为基本不等式解决;1.教学重点: 从不同角度探索不等式2abab的证明过程, 会用此不等式求某些简单函数的最值;2.教学难点:基本不等式abba2等号成立条件

3、;多媒体教学过程教学设计意图核心素养目标(一(一) 、情景导学情景导学如图是在北京召开的第 24 界国际数学家大会的会标, 会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的,赵爽是为了证明勾股定理而绘制了弦图。弦图既标志着中国古代的数学成就,又象一只转动的风车,欢迎来自世界各地的数学家们。教师引导学生从面积的关系去找相等关系或不等关系思考 1:这图案中含有怎样的几何图形?思考 2:你能发现图案中的相等关系或不等关系吗?(二(二) 、探索新知、探索新知1探究图形中的不等关系将图中的“风车”抽象成如图,在正方形 ABCD 中有 4 个全等的直角三角形设直角三角形的两条直角边长为 a,b(ab),那么正方形

4、的边长为22ba 这样,4 个直角三角形的面积的和是 2ab,正方形的面积为22ba 由于 4 个直角三角形的面积之和小于正方形的面积,我们就得到了一个不等式:abba222当直角三角形变为等腰直角三角形,即 a=b 时,正方形 EFGH 缩为一个点,这时有222abab (通过几何画板演示当 a=b 时的图像)2得到结论(重要不等式) :一般的,对于任意实数 a,b,我们有222abab,当且仅当 a=b 时,等号成立。3思考证明:你能给出它的证明吗?(设计意图:证明:因为2222baabba02ba,abba222当且仅当 a=b 时等号成立通过介绍第 24 届国际数学家大会会标 的背景,

5、进行设问,引导学生观察分析,发现图形中蕴藏的基本不等式,培养学生数学抽象和逻辑推理的核心素养,同时渗透数学文化,和爱国主义教育。通过图形得到了重要不等式的 几何解释,为了更准确地感知和理解,再从数学的逻辑方面给出证明,不仅培养了学生严谨的数学态度,而且还可以从中学习到分析法证明的大体过程,培养和发展数学抽象和逻辑推理的核心素养,增强数形结合的思想意识。ab4 (1) 基本不等式: 如果 a0,b0,我们用a、b分别代替 a、 b ,可得2abab, 通常我们把上式写作: 基本不等式abba2(a0,b0)(当且仅当a=b时,取等号)5.基本不等式: (1)在数学中,我们称2ba 为a、b的算术

6、平均数,称ab为a、b的几何平均数.本节定理还可叙述为:两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.此不等式又叫均值不等式。(2)从不等式的性质推导基本不等式如果学生类比重要不等式的证明给出证明,再介绍书上的分析法。用分析法证明:证明不等式0, 02baabba证明:要证abba2只要证abba2只要证02abba只要证, 02ba显然,是成立的当且仅当 a=b 时, (3)中的等号成立(3)理解基本不等式abba2的几何意义探究:探究:你能利用这个图形得出基本不等式2abab的几何解释吗?在右图中,AB 是圆的直径,点 C 是 AB 上的一点,AC=a,BC=b过点 C 作垂直于 AB 的弦

7、DE, 连接 AD、 BD (1)AB 表示什么?(2)2ba 表示哪个线段?(3)ab对应哪个线段呢?(4)OD 与 CD 的大小关系如何?易证tADtDB,那么D2AB 即Dab.这个圆的半径为2ba ,显然,它大于或等于 CD,即abba2,其中当且仅当点 C 与圆心重合,即 ab 时,等号成立.因此:基本不等式2abab几何意义是“半径不小于半弦半径不小于半弦”从不同的侧面理解不等式,培养学生数形结合的思想意识。;【归纳总结】1、由赵爽弦图我们得到了重要不等式:abba222(1)通过换元我们得到了基本不等式:abba2(2)两个不等式的区别和联系:区别: a,b 范围不同;联系:等号

8、成立的条件相同(3)从形的角度来看,基本不等式具有特定的几何意义;从数的角度来看, 基本不等式揭示了“和”与“积”这两种结构间的不等关系(三)典例(三)典例解析解析利用基本不等式求最值利用基本不等式求最值10,0,36,ababa b=+()已知求的最小值。解析:222 3612(6ababababab+=Q当且仅当时取等)20,0,18,aba bab+=( )已知求的最大值。解析:2218,()()81222(981abababababab+=Q当且仅当时取等)故的最大值为基本不等式的使用条件基本不等式的使用条件1210,( )xf xxx=+-( )已知函数当 为何值时,函数有最值,并求

9、其最值。解析:x3111y(x-3)32 (3)353x-33xxxx=+=+ -+=-Q通过典型例题的解析和跟踪练习,让学生明确运用基本不等式的三个关键步骤;一正、二定、三相等,发展严谨细致的思考习惯,训练思维的灵活性。13,435xxx-=-当且仅当即时,函数有最小值,最小值为 。130,(1 2 )2xyxx=-( )若求函数的最大值。解解: 102x轾+-=-=鬃-=犏犏臌Q当且仅当当且仅当 2x=(1-2x), 即即14x =时时, 取取“=”号号.当当14x =时时,函数函数 y=x(1-2x) 的最大值是的最大值是.跟踪训练30,4 (32 )2xyxx=-1.设求函数的最大值。

10、2303-20223 292 2(3 2 )2 ()223323 2042xxxxyxxxxx+ -= 鬃-=-=Q解:当且仅当即( ,)时取等221( )22f xxx=+2.函数能否用基本不等式求最小值?22222221122222212212xxxxxxx+ =+=+=+由基本不等式知当且仅当即时取等,而这是不可能的,故此函数不能用基本不等式求最小值。三、达标检测1下列不等式中,正确的是()Aa4a4Ba2b24abC. abab2Dx23x22 3解析:选 D.a0,则 a4a4 不成立,故 A 错;a1,b1,a2b24ab,故 B 错,a4,b16,则 abab2,故 C 错;由基

11、本不等式可知 D 项正确2.2.2基基本本不不等等式式(第第 2 课课时时)2若 a1,则 a1a1的最小值是()A2BaC.2 aa1D3解析:选 D.a1,所以 a10,所以 a1a1a11a112(a1)1a113.当且仅当 a11a1即 a2 时取等号3若 a,b 都是正数,则1ba14ab 的最小值为()A7B8C9D10解析:选 C.因为 a,b 都是正数,所以1ba14ab 5ba4ab52ba4ab9,当且仅当 b2a0 时取等号4已知 x0,y0,且1x9y1,则 xy 的最小值为_解析:xy(xy)1x9y 10yx9xy102yx9xy10616.即 x4,y12 时等号

12、成立,所以 xy 的最小值为 16.通过练习巩固本节所学知识,提高学生运用基本不等式解决问题的能力,感悟其中蕴含的数学思想,增强学生的逻辑推理和数学运算素养。四、小结本节课, 我们学习了重要不等式 a2b22ab; 基本不等式; 两正数 a、b 的算术平均数(2ba ) ,几何平均数(ab)及它们的关系(2ba ab).它们成立的条件不同,前者只要求 a、b 都是实数,而后者要求 a、b 都是正数.它们既是不等式变形的基本工具,又是求函数最值的重要工具(下一节我们将学习它们的应用).五、作业1. 习题 2.21,2,4,5 题2. 预习下节课内容生学生根据课堂学习,自主总结知识要点,及运用的思

13、想方法。注意总结自己在学习中的易错点;本节课是人教版普通高中课程标准实验教科书数学必修 1 第二章第二节基本不等式第 2 课时。从内容上看是对基本不等式在实际问题中应用的学习,通过问题解决,发展学生数学抽象、数学运算、数学建模、逻辑推理等数学核心素养。在学法上要指导学生:从实际问题中列出数量关系式,进而运用基本不等式解应用题,数学建模能力也是本节要体现的重要素养。对例题的处理可让学生先思考,然后师生共同对解题思路进行概括总结,使学生更深刻地领会和掌握解应用题的方法和步骤。课程目标学科素养A. 能够运用基本不等式解决生活中的应用问题;B. 围绕如何引导学生分析题意、设未知量、找出数量关系进行求解

14、这个中心。例题的安排从易到难、从简单到复杂,适应学生的认知水平;C.进一步培养学生学习数学、应用数学的意识以及思维的创新性和深刻性.a. 数学抽象:在实际问题中抽象出不等式;b.逻辑推理:运用基本不等式求最值的条件;c.数学运算:灵活运用基本不等式求最值;d.直观想象:运用图像解释基本不等式;e.数学建模:将问题转化为基本不等式解决;1.重点:在实际问题中建立不等关系,并能正确运用基本不等式求最值;2.难点:注意运用不等式求最大(小)值的条件多媒体教学过程教学设计意图核心素养目标(一(一) 、小试牛刀小试牛刀1判断正误(正确的打“”,错误的打“”)(1)对任意的 a,bR,若 a 与 b 的和

15、为定值,则 ab 有最大值()(2)若 xy4,则 xy 的最小值为 4.()(3)函数 f(x)x22x21的最小值为 2 21.()答案: (1) (2)(3) 2已知 xy1 且 x0,y0,则1x1y的最小值是()A2B3C4D6解析:法一:1x1yxyxy1xy1xy224,当且仅当 xy12时取等号,法二:1x1yxyxxyy2yxxy4,当且仅当 xy12时取等号答案:C(二(二) 、探索新知、探索新知问题 1.用篱笆围成一个面积为 100m 的矩形菜园,问这个矩形的长、宽各为多少时,所用篱笆最短。最短的篱笆是多少?解: (1)设矩形菜园的长为xm,宽为ym,则100,xy 篱笆

16、的长为 2(xy)m由2xyxy,可得2 100 xy,2(xy)40等号当且仅当10 xyxy时成立,此时,因此,这个矩形的长、宽为 10 m 时,所用篱笆最短,最短篱笆为 40m结论结论 1:两个正变量积为定值两个正变量积为定值,则和有最小值则和有最小值,当且仅当两变量值相当且仅当两变量值相等时取最值等时取最值.简记简记“积定和最小积定和最小”.问题 2.用段长为 36m 的篱笆围成一个矩形菜园,问这个矩形菜园的通过课堂小测,了解学生对基本不等式的掌握情况,暴露问题及时纠正。通过解题培养学生数学抽象和逻辑推理的核心素养。通过简单的应用性问题,让学生体会在实际问题中运用基本不等式的步骤。培养

17、和发展数学抽象和数学建模的核心素养。长和宽各为多少时,菜园的面积最大,最大面积是多少?解: 设矩形菜园的长为xm,宽为ym,则 2 (xy) =36,xy=18,矩形菜园的面积为xy2m,由189,22xyxy可得81xy,可得等号当且仅当9xyxy时成立,此时因此,这个矩形的长、宽都为 9 m 时,菜园的面积最大,最大面积为812m结论结论 2:两个正变量和为定值两个正变量和为定值,则积有最大值则积有最大值,当且仅当两变量值相当且仅当两变量值相等时取最值等时取最值.简记简记“和定积最大和定积最大”.(三)典例解析(三)典例解析均值不等式在实际问题中的应用均值不等式在实际问题中的应用例 1、

18、某工厂要建造一个长方形无盖贮水池,其容积为 48003,m深为 3 m。如果池底每平方米的造价为 150 元, 池壁每平方米的造价为 120 元, 怎样设计水池能使总造价最低?最低造价为多少元?分析:若底面的长和宽确定了,水池的造价也就确定了,因此可转化为考察底面的长和宽各为多少时,水池的总造价最低。解:设底面的长为xm,宽为ym, 水池总造价为z元,根据题意,有4800150120(2 32 3 )3zxy 240000720()xy由容积为 48003,m可得34800 xy 1600 xy 由基本不等式与不等式性质,可得通过典型例题解析,发展学生数学抽象和数学建模的核心素养。;24000

19、0720()240000720 2xyxy即240000720 2 1600z ,297600z 可得等号当且仅当40 xyxy时成立,此时所以,将水池的地面设计成边长为 40 m 的正方形时总造价最低,最低造价为 297600 元跟踪训练 1.某地方政府准备在一块面积足够大的荒地上建一如图所示的一个矩形综合性休闲广场,其总面积为 3 000 m2,其中场地四周(阴影部分)为通道,通道宽度均为 2 m,中间的三个矩形区域将铺设塑胶地面作为运动场地(其中两个小场地形状相同),塑胶运动场地占地面积为 S 平方米(1)分别写出用 x 表示 y 和 S 的函数关系式(写出函数定义域);(2)怎样设计能使 S 取得最大值,最大值为多少?解析(1)由已知 xy3 000,2a6y,则 y3 000 x(6x500),S(x4)a(x6)a(2x10)a(2x10)y62(x5)(y6)30306x15 000 x(6x0,b0,a+b=1,所同5+5+4=9.所跟踪训练 1.已知:a,b,cR,求证:bcacababcabc.证

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