第十三章 结构稳定计算

1、第十一章第十一章 矩阵位移法矩阵位移法教学内容：教学内容：结构失稳的两种基本形式，静力法和能量法计算结构临界荷载的基本原理，简单杆件结构的临界荷载，平面刚架稳定计算，组合压杆的稳定计算。教学要求：教学要求：1、了解分支点和极值点失稳的概念；2、理解静力法确定单自由度体系、有限自由度体系和无限自由度体系的临界荷载；势能驻值原理；能量法确定单自由度体系、有限自由度体系和无限自由度体系的临界荷载；组合压杆的稳定分析；矩阵位移法分析平面刚架的稳定；3、掌握静力法确定单自由度体系、有限自由度体系和无限自由度体系的临界荷载。重点：重点：静力法确定有限自由度体系的临界荷载。难点：难点： 无限自由度的临界荷载

2、，组合压杆的稳定分析第十三章第十三章 结构稳定计算结构稳定计算第十一章第十一章 矩阵位移法矩阵位移法13-1 13-1 概述概述13-2 13-2 确定临界荷载的静力法确定临界荷载的静力法13-3 13-3 确定临界荷载的能量法确定临界荷载的能量法13-4 13-4 平面刚架稳定计算平面刚架稳定计算13-6 13-6 组合压杆的稳定计算组合压杆的稳定计算第十三章第十三章 结构稳定计算结构稳定计算第十一章第十一章 矩阵位移法矩阵位移法一、稳定计算的意义一、稳定计算的意义 为了保证结构的安全和正常使用，除了进行强为了保证结构的安全和正常使用，除了进行强度计算和刚度验算外，还须计算其稳定性。度计算和

3、刚度验算外，还须计算其稳定性。 13-1 13-1 概述概述二、三种平衡状态二、三种平衡状态 轴心受压杆件受到轻微干扰而稍微偏离了它原来轴心受压杆件受到轻微干扰而稍微偏离了它原来的直线平衡位置，当干扰消除后的直线平衡位置，当干扰消除后: : 该杆件能够回到原来的平衡位置，则原来的平衡该杆件能够回到原来的平衡位置，则原来的平衡状态称为状态称为稳定平衡状态稳定平衡状态。 该杆件继续偏离，不能回到原来的平衡位置，则该杆件继续偏离，不能回到原来的平衡位置，则原来的平衡状态称为原来的平衡状态称为不稳定平衡状态不稳定平衡状态 该杆件在新位置上就地静止并平衡，则原来的平该杆件在新位置上就地静止并平衡，则原来

4、的平衡状态称为衡状态称为随遇平衡状态随遇平衡状态（或（或中性平衡状态中性平衡状态），亦称），亦称临界状态临界状态。 第十一章第十一章 矩阵位移法矩阵位移法对轴心受压对轴心受压件施以干扰件施以干扰无干扰的平衡状态无干扰的平衡状态干扰后的平衡状态干扰后的平衡状态撤除干扰撤除干扰恢复原平衡状态恢复原平衡状态继续偏离继续偏离新位置保持平衡新位置保持平衡临界状态：临界状态：是由稳定平衡向不稳定平衡过渡的中介状态。是由稳定平衡向不稳定平衡过渡的中介状态。使杆件处于临界状态的外力称为使杆件处于临界状态的外力称为临界荷载临界荷载，以，以P Pcrcr表示。表示。它既是使杆件保持稳定平衡的最大荷载，也是使杆件产

5、它既是使杆件保持稳定平衡的最大荷载，也是使杆件产生不稳定平衡的最小荷载。生不稳定平衡的最小荷载。二、三种平衡状态二、三种平衡状态 第十一章第十一章 矩阵位移法矩阵位移法失稳失稳：随着荷载的逐渐增大，原始平衡状态丧失其稳定性：随着荷载的逐渐增大，原始平衡状态丧失其稳定性 第一类失稳：第一类失稳：分支点失稳分支点失稳三、两类稳定问题三、两类稳定问题 结构变形产生了性质上的突变，结构变形产生了性质上的突变，带有突然性。带有突然性。l/2PPc rl(b) 弯曲平衡状态弯曲平衡状态P2POP1D（c） 荷载荷载位移曲线（位移曲线（P 曲线）曲线）Pc rDCABP(a)直线平衡状态直线平衡状态 l第十

6、一章第十一章 矩阵位移法矩阵位移法O1D稳定平衡随遇平衡不稳定平衡DFPcrABCPFFP/2ll/2(稳定)(不稳定)(大挠度理论)(小挠度理论)22crPPEI l压杆单纯受压，不发生弯曲变形（挠度压杆单纯受压，不发生弯曲变形（挠度D D0 0）。仅有惟）。仅有惟一平衡形式一平衡形式直线形式的原始平衡状态，是稳定的，直线形式的原始平衡状态，是稳定的，对应原始平衡路径对应原始平衡路径（OABOAB表示）。表示）。 第十一章第十一章 矩阵位移法矩阵位移法O1D稳定平衡随遇平衡不稳定平衡DFPcrABCPFFP/2ll/2(稳定)(不稳定)(大挠度理论)(小挠度理论)c rPP具有两种平衡形式：

7、具有两种平衡形式：一是直线形式的一是直线形式的原始平衡状态原始平衡状态，是不稳定的，对应原始平，是不稳定的，对应原始平衡路径衡路径I I（由（由BCBC表示）表示）二是弯曲形式的二是弯曲形式的新的平衡状态新的平衡状态，对应平衡路径，对应平衡路径IIII（对于大（对于大挠度理论，用曲线挠度理论，用曲线BDBD表示；对于小挠度理论，曲线表示；对于小挠度理论，曲线BDBD退化退化为直线为直线BDBD1 1） 第十一章第十一章 矩阵位移法矩阵位移法O1D稳定平衡随遇平衡不稳定平衡DFPcrABCPFFP/2ll/2(稳定)(不稳定)(大挠度理论)(小挠度理论)crPPB B点是路径点是路径与与的的分支

8、点分支点（也可理解为共解点）。该分支点处，（也可理解为共解点）。该分支点处，二平衡路径同时并存，出现平衡形式的二重性（其平衡既可以二平衡路径同时并存，出现平衡形式的二重性（其平衡既可以是原始直线形式，也可以是新的微弯形式）。是原始直线形式，也可以是新的微弯形式）。原始平衡路径原始平衡路径I I在该分支点处，由稳定平衡转变为不稳定平衡。在该分支点处，由稳定平衡转变为不稳定平衡。因此，这种形式的失稳因此，这种形式的失稳称为称为分支点失稳分支点失稳，对应，对应的荷载称为第一类失稳的荷载称为第一类失稳的临界荷载，对应的状的临界荷载，对应的状态称为临界状态。态称为临界状态。 第十一章第十一章 矩阵位移法

9、矩阵位移法crqFPcrPcrFFPcra) 受静水压力的圆弧拱单纯受静水压力的圆弧拱单纯受压受压转为压弯组合变形转为压弯组合变形b) 框架各柱单纯受压框架各柱单纯受压转为压弯组合变形转为压弯组合变形c) 梁平面弯曲梁平面弯曲转为转为斜弯曲和扭转组合变形斜弯曲和扭转组合变形分支点失稳的几个实例分支点失稳的几个实例理想体系的失稳形式是理想体系的失稳形式是分支点失稳分支点失稳。其特征是：丧失稳。其特征是：丧失稳定时，结构的内力状态和平衡形式均发生质的变化。因定时，结构的内力状态和平衡形式均发生质的变化。因此，亦称此，亦称质变失稳质变失稳（属屈曲问题）。（属屈曲问题）。第十一章第十一章 矩阵位移法矩

10、阵位移法PcrFO极值点Euler-FPcr初始D弹塑性工程柱弹性工程柱CBAPFeeFPFP0PF塑性a) 初弯曲柱初弯曲柱b) 初偏心柱初偏心柱c) 初偏心柱的初偏心柱的FP-D D 曲线曲线第二类失稳（极值点失稳）：第二类失稳（极值点失稳）：虽不出现新的变形形式，虽不出现新的变形形式，但结构原来的变形将增大或材料的应力超过其许可值，但结构原来的变形将增大或材料的应力超过其许可值，结构不能正常工作。结构不能正常工作。第十一章第十一章 矩阵位移法矩阵位移法当达到当达到C C点后，即使荷载减点后，即使荷载减小，挠度仍继续迅速增大，小，挠度仍继续迅速增大，即失去平衡的稳定性。称为即失去平衡的稳定

11、性。称为极值点失稳。极值点失稳。与极值点对应的荷载称为第与极值点对应的荷载称为第二类失稳的临界荷载。二类失稳的临界荷载。 PcrFO极值点Euler-FPcr初始D弹塑性工程柱弹性工程柱CBAPFeeFPFP0PF塑性平衡路径以曲线平衡路径以曲线OBAOBA表示。表示。按照小挠度理论，对于具有初偏心的弹塑性实际压杆（弹按照小挠度理论，对于具有初偏心的弹塑性实际压杆（弹塑性工程柱），塑性工程柱），C C点为极值点，荷载达到极限值。在达到点为极值点，荷载达到极限值。在达到C C点之前，每个值都对应着一定的变形挠度；点之前，每个值都对应着一定的变形挠度；第二类失稳：第二类失稳：极值点失稳极值点失稳

12、第十一章第十一章 矩阵位移法矩阵位移法非理想体系的失稳形式是极值点失稳。其特征是：丧失非理想体系的失稳形式是极值点失稳。其特征是：丧失稳定时，结构没有内力状态和平衡形式质的变化，而只稳定时，结构没有内力状态和平衡形式质的变化，而只有两者量的渐变。因此，亦称为有两者量的渐变。因此，亦称为量变失稳量变失稳（属压溃问（属压溃问题）。题）。 PcrFO极值点Euler-FPcr初始D弹塑性工程柱弹性工程柱CBAPFeeFPFP0PF塑性第二类失稳：第二类失稳：极值点失稳极值点失稳 第十一章第十一章 矩阵位移法矩阵位移法四、稳定问题的实质四、稳定问题的实质 强度问题的实质是一个通过对结构的内力分析，来强

13、度问题的实质是一个通过对结构的内力分析，来确定构件最大应力的位置和数值的问题。确定构件最大应力的位置和数值的问题。 稳定问题的实质是一个通过对结构的变形分析，计稳定问题的实质是一个通过对结构的变形分析，计入附加荷载效应之后，来判断结构的原有位形是否能保入附加荷载效应之后，来判断结构的原有位形是否能保持稳定平衡的问题。持稳定平衡的问题。第十一章第十一章 矩阵位移法矩阵位移法五、稳定分析的自由度五、稳定分析的自由度 体系稳定分析的自由度体系稳定分析的自由度确定结构失稳时所有的确定结构失稳时所有的变形状态所需的独立几何参数（位移参数）的数目，用变形状态所需的独立几何参数（位移参数）的数目，用W W表

14、示。表示。) x (yxEI=EI2yy1FPFPPF0EI =0a) W=1b) W=2c) W=第十一章第十一章 矩阵位移法矩阵位移法一、静力法及其计算步骤一、静力法及其计算步骤在分支点失稳问题中，临界在分支点失稳问题中，临界状态的状态的静力特征静力特征是：是：平衡形平衡形式具有二重性。式具有二重性。静力法的要静力法的要点是：点是：在原始平衡路径之外，在原始平衡路径之外，寻找新的平衡路径，确定二寻找新的平衡路径，确定二者交叉的分支点，从而求出者交叉的分支点，从而求出临界荷载。临界荷载。 O1D稳定平衡随遇平衡不稳定平衡DFPcrABCPFFP/2ll/2(稳定)(不稳定)(大挠度理论)(小

15、挠度理论)13-2 13-2 确定临界荷载的静力法确定临界荷载的静力法 假定体系处于假定体系处于微弯失稳微弯失稳的临界状态，列出相应的临界状态，列出相应的平衡微分方程，进而求解临界荷载的方法。的平衡微分方程，进而求解临界荷载的方法。第十一章第十一章 矩阵位移法矩阵位移法1 1）假设临界状态时体系的新的平衡形式）假设临界状态时体系的新的平衡形式( (失稳形式失稳形式) )。2 2）根据静力平衡条件，建立）根据静力平衡条件，建立临界状态平衡方程临界状态平衡方程。3 3）根据平衡具有二重性静力特征）根据平衡具有二重性静力特征( (位移有非零解位移有非零解) )，建，建立特征方程，习惯称立特征方程，习

16、惯称稳定方程稳定方程。4 4）解稳定方程，求特征根，即）解稳定方程，求特征根，即特征荷载值特征荷载值。5 5）由最小的特征荷载值，确定临界荷载）由最小的特征荷载值，确定临界荷载( (结构所能承结构所能承受的压力必须小于这个最小特征荷载值，才能维持受的压力必须小于这个最小特征荷载值，才能维持其稳定平衡其稳定平衡) )。 静力法计算步骤静力法计算步骤第十一章第十一章 矩阵位移法矩阵位移法（2 2）建立临界状态的平衡方程）建立临界状态的平衡方程 二、静力法计算示例二、静力法计算示例以图示的一个单自由度体系为例。以图示的一个单自由度体系为例。（1 1）假设失稳形式，如图所示）假设失稳形式，如图所示0A

17、M 0RBPlFlRBFkl2()0Plkl弹簧反力弹簧反力于是有于是有第十一章第十一章 矩阵位移法矩阵位移法00方程有两个解，其一为零解，方程有两个解，其一为零解，对应于原始平衡路径对应于原始平衡路径I (I (图中图中OABOAB) )；其二为非零解，；其二为非零解，对应于新的平衡路径对应于新的平衡路径II (II (图中图中ACAC或或ACAC1 1) ) （3 3）建立稳定方程：）建立稳定方程：2()0PlklBRFCkPFAOC1Bkl=PcrF1BBABAlFPFPEI0=(稳定)(不稳定)(随遇平衡)二、静力法计算示例二、静力法计算示例（2 2）建立临界状态的平衡方程）建立临界状

18、态的平衡方程 以图示的一个单自由度体系为例。以图示的一个单自由度体系为例。（1 1）假设失稳形式，如图所示）假设失稳形式，如图所示第十一章第十一章 矩阵位移法矩阵位移法为了得到非零解，方程的系数应为零为了得到非零解，方程的系数应为零Plkl 20 称为称为稳定方程稳定方程。由此方程知，平衡路径由此方程知，平衡路径为水平直线。为水平直线。（3 3）建立稳定方程：）建立稳定方程：2()0PlklBRFCkPFAOC1Bkl=PcrF1BBABAlFPFPEI0=(稳定)(不稳定)(随遇平衡)二、静力法计算示例二、静力法计算示例（2 2）建立临界状态的平衡方程）建立临界状态的平衡方程 以图示的一个单

19、自由度体系为例。以图示的一个单自由度体系为例。（1 1）假设失稳形式，如图所示）假设失稳形式，如图所示第十一章第十一章 矩阵位移法矩阵位移法（4 4）解稳定方程，求特征荷载值：）解稳定方程，求特征荷载值：Pkl crPkl （5 5）确定临界荷载：对于单自由度体系，该惟一的）确定临界荷载：对于单自由度体系，该惟一的特征荷载值即为临界荷载特征荷载值即为临界荷载（3 3）建立稳定方程：）建立稳定方程：BRFCkPFAOC1Bkl=PcrF1BBABAlFPFPEI0=(稳定)(不稳定)(随遇平衡)二、静力法计算示例二、静力法计算示例（2 2）建立临界状态的平衡方程）建立临界状态的平衡方程 以图示的

20、一个单自由度体系为例。以图示的一个单自由度体系为例。（1 1）假设失稳形式，如图所示）假设失稳形式，如图所示2()0Plkl第十一章第十一章 矩阵位移法矩阵位移法例例13-113-1：图示两个自由度的体系。各杆均为刚性杆，在铰：图示两个自由度的体系。各杆均为刚性杆，在铰结点结点B B和和C C处为弹簧支承，其刚度系数均为处为弹簧支承，其刚度系数均为k k。体系在。体系在A A、D D两端有压力作用。试用静力法求其临界荷载。两端有压力作用。试用静力法求其临界荷载。 (1)(1)假设失稳形式，如图所示。位移参数为假设失稳形式，如图所示。位移参数为y y1 1和和 y y2 2各支座反力分别为别计算

21、如图示各支座反力分别为别计算如图示第十一章第十一章 矩阵位移法矩阵位移法（2 2）建立临界状态平衡方程：分别取）建立临界状态平衡方程：分别取A-BA-B1 1-C-C1 1部分和部分和B B1 1- -C C1 1-D-D部分为隔离体，则有部分为隔离体，则有 1111()()00CBCBMM以左部分以右部分112221()20()20PPF yky llPylF yky llPyl1212(2)0(2)0klP yPyPyklP y关于位移参数为关于位移参数为y y1 1和和 y y2 2的齐次线性方程组的齐次线性方程组 第十一章第十一章 矩阵位移法矩阵位移法120yy202klPPDPklP

22、建立稳定方程：建立稳定方程：则对应于原始平衡形式，相应于没有丧失稳定的情况则对应于原始平衡形式，相应于没有丧失稳定的情况1y2y不全为零，则对应于相应新的平衡形式不全为零，则对应于相应新的平衡形式此方程就是稳定方程。此方程就是稳定方程。第十一章第十一章 矩阵位移法矩阵位移法解稳定方程，求特征荷载值：解稳定方程，求特征荷载值：22(2 )0klPP13Pkl2Pkl3crPkl由此解得两个特征荷载值，即由此解得两个特征荷载值，即确定临界荷载值：取二特征荷载值中最小者，确定临界荷载值：取二特征荷载值中最小者，得得第十一章第十一章 矩阵位移法矩阵位移法【讨论讨论】将以上二特征荷载值分别回代，可求得对

23、应位将以上二特征荷载值分别回代，可求得对应位移参数的比值。移参数的比值。第十一章第十一章 矩阵位移法矩阵位移法例例13-213-2：试用静力法求图所示结构的临界荷载。弹簧刚：试用静力法求图所示结构的临界荷载。弹簧刚度系数为度系数为k k。(1)(1)假设失稳形式，如图所示，位移参数为假设失稳形式，如图所示，位移参数为d d 。ClFPRFkPFFP1BABDClllFPCDBAEI0=1DClFPRFkPFFP1BABDClllFPCDBAEI0=1D第十一章第十一章 矩阵位移法矩阵位移法0CM ()2()0PPFlFkllddd(3)0PFkld30PFkl建立临界状态平衡方程：建立临界状态

24、平衡方程：建立稳定方程：建立稳定方程：ClFPRFkPFFP1BABDClllFPCDBAEI0=1D未知量未知量d d 有非零解的条件是有非零解的条件是第十一章第十一章 矩阵位移法矩阵位移法3PklF 3crPklPF解稳定方程，得特征荷载值解稳定方程，得特征荷载值:确定临界荷载为确定临界荷载为:第十一章第十一章 矩阵位移法矩阵位移法三、无限自由度体系的稳定计算三、无限自由度体系的稳定计算( (静力法静力法) ) 用静力法计算无限自由度体系稳定问题有两个特点：用静力法计算无限自由度体系稳定问题有两个特点：用静力法计算图示弹性理想压杆的临界荷载。用静力法计算图示弹性理想压杆的临界荷载。 （1

25、1）假设失稳形式，如图中实线所示。）假设失稳形式，如图中实线所示。（2 2）建立临界状态平衡方程：）建立临界状态平衡方程：EIyM MPyRx第二，临界状态平衡方程为微分方程。第二，临界状态平衡方程为微分方程。第一，位移参数为无穷多个；第一，位移参数为无穷多个；按小挠度理论，压杆弹性曲线的近似微按小挠度理论，压杆弹性曲线的近似微分方程为分方程为第十一章第十一章 矩阵位移法矩阵位移法EIyPyRx PRyyxEIEI 2PEI2RyyxEI 这是关于位移参数这是关于位移参数y y 的的非齐次常微分方程。非齐次常微分方程。 （3 3）建立稳定方程：）建立稳定方程： 112cossinRyCxCxx

26、P上式的通解为上式的通解为 第十一章第十一章 矩阵位移法矩阵位移法常数常数C C1 1、C C2 2和未知力和未知力R R/ /P P 可由边界条件确定：可由边界条件确定：0 x 0y 10C xl0y 0y 22sin0cos0RCllPRClP 对应于弯曲的新的平衡形式的对应于弯曲的新的平衡形式的y y( (x x) )不恒等于零不恒等于零 112cossinRyCxCxxP第十一章第十一章 矩阵位移法矩阵位移法sin0cos1llDltanll解稳定方程，求特征荷载值：解稳定方程，求特征荷载值：采用图解法时，作采用图解法时，作1tanyl2yl和两组线，其交点即为方程的解两组线，其交点即

27、为方程的解答，结果得到无穷多个解答，结果得到无穷多个解 由最小特征值荷载，确定临界荷载：由最小特征值荷载，确定临界荷载：min4.493l2222224.49320.190.7crEIEIEIPEIlll常数常数C C1 1、C C2 2和未知力和未知力R/PR/P不全为零：不全为零：左式为左式为“超越方程超越方程”l z02 23 225 493. 4lz ltgz 第十一章第十一章 矩阵位移法矩阵位移法例例13-313-3：图示为一底端固定、顶端一段有着无穷大刚度：图示为一底端固定、顶端一段有着无穷大刚度的直杆。试用静力法求其临界荷载。的直杆。试用静力法求其临界荷载。(1)(1)假设失稳形

28、式，如图中实线所示。假设失稳形式，如图中实线所示。 (2)(2)建立临界状态平衡方程：建立临界状态平衡方程：底段的弹性曲线近似方程为底段的弹性曲线近似方程为EIyM MP ayEIyP ay PPyyaEIEI 第十一章第十一章 矩阵位移法矩阵位移法例例13-313-3：图示为一底端固定、顶端一段有着无穷大刚度：图示为一底端固定、顶端一段有着无穷大刚度的直杆。试用静力法求其临界荷载。的直杆。试用静力法求其临界荷载。(1)(1)假设失稳形式，如图中实线所示。假设失稳形式，如图中实线所示。 PFxla1OOyAEIaBB1yx=0EI(2)(2)建立临界状态平衡方程：建立临界状态平衡方程：PPyy

29、aEIEI 2PEI22yya (3)(3)建立稳定方程建立稳定方程 通解为通解为 cossinyAxBxa第十一章第十一章 矩阵位移法矩阵位移法PFxla1OOyAEIaBB1yx=0EI(3)(3)建立稳定方程建立稳定方程 cossinyAxBxa0 x 0y y xl0y ，0000sincos0AaBAlBl例例13-313-3：图示为一底端固定、顶端一段有着无穷大刚度：图示为一底端固定、顶端一段有着无穷大刚度的直杆。试用静力法求其临界荷载。的直杆。试用静力法求其临界荷载。(1)(1)假设失稳形式，如图中实线所示。假设失稳形式，如图中实线所示。 (2)(2)建立临界状态平衡方程：建立临

30、界状态平衡方程：第十一章第十一章 矩阵位移法矩阵位移法PFxla1OOyAEIaBB1yx=0EI(3)(3)建立稳定方程建立稳定方程 例例13-313-3：图示为一底端固定、顶端一段有着无穷大刚度：图示为一底端固定、顶端一段有着无穷大刚度的直杆。试用静力法求其临界荷载。的直杆。试用静力法求其临界荷载。(1)(1)假设失稳形式，如图中实线所示。假设失稳形式，如图中实线所示。 (2)(2)建立临界状态平衡方程：建立临界状态平衡方程：稳定方程稳定方程 10010sincos0aDllsincos0all1tanla第十一章第十一章 矩阵位移法矩阵位移法PFxla1OOyAEIaBB1yx=0EI(

31、3)(3)建立稳定方程建立稳定方程 例例13-313-3：图示为一底端固定、顶端一段有着无穷大刚度：图示为一底端固定、顶端一段有着无穷大刚度的直杆。试用静力法求其临界荷载。的直杆。试用静力法求其临界荷载。(1)(1)假设失稳形式，如图中实线所示。假设失稳形式，如图中实线所示。 (2)(2)建立临界状态平衡方程：建立临界状态平衡方程：(4)(4)解特征方程，求特征荷载值：解特征方程，求特征荷载值：由试算法或图解法，可解得由试算法或图解法，可解得a a值。值。(5)(5)确定临界荷载：确定临界荷载： 取各取各 值中的最小者，代入值中的最小者，代入2P EI，便可得到所求的临界荷载值。，便可得到所求

32、的临界荷载值。 第十一章第十一章 矩阵位移法矩阵位移法【讨论讨论】 一端固定、另一端为自由端。一端固定、另一端为自由端。即即 0 0 OyyEIA1OPFlxxtanl cot0lmin2l2cr24EIPl第十一章第十一章 矩阵位移法矩阵位移法【讨论讨论】 取取 l EIAPFB1Ba=lll/2/2l=alB1BFPAEI=0EIEI0=1tanllmin0.861l20.741crEIPl第十一章第十一章 矩阵位移法矩阵位移法一、用能量原理建立的能量准则（适用于单自由度体系）一、用能量原理建立的能量准则（适用于单自由度体系）1 1、三种平衡状态、三种平衡状态（1 1）稳定平衡：）稳定平衡：偏离平衡位置，总势能增加。偏离平衡位置，总势能增加。（2 2）不稳定平衡：）不稳定平衡：偏离平衡位置，总势能减少。偏离平衡位置，总势能减少。（3 3）随遇平衡：）随遇平衡： 偏离平衡位置，总势能不变。偏离平衡位置，总势能不变。图图1 1图图2 2图图3 313-3 13-3 确定临界荷载的能量法确定临界荷载的能量法第十一章第十一章 矩阵位移法矩阵位移法2 2、解题思路、解题思路（1 1）当外力为保守力系时）当外力为保