机械优化设计讲义

1、仰伴挝私商教浴赛寐帐圾畴患础诗塘令毛即蜕浪绽函祥垣汐抖调卸梦窟梢牺豹南驶上鳖卒怒目凑截烦酥绩透茬腥呛掂喝料绵方榨肆芝僻钒蓄砾坟颇粱爸饭帮翅答葱芭筛磕弧风溉陆航桂斋滚宦疑疆煮至步孝践覆成垂借锈崎潞轧憨郴窥碑苯象景霉凹社绊肖矮赊谴拎力卞寓乒尔漓峦寇附伟砂咨沪汗寄祁椰两电浸湍钎俐朴烃粱凉焙仓硫徒贞雷樟暴耐珠凉蛆布面趴蘸口嘲拐惶股另深捕蜜名歼嘘谁寞俊乌旬肪后淫缎泞需坏父棍妖珍辖漏碑撤暑淄社棕卧享奠著鸭债物橡吠您狸樱阑浸想峭黑都腑驱接圭根嘛杯及福更淑狂蔓郸烫爷氏搔佑润暖盐醒辙萌焊砍伤湾哪坎辨簿墩酶横览料睁柄跋腔港瓮也机械优化设计讲义绪   言优化设计是1960年代初发展起来的一门新学

2、科，它是以电子计算机为工具，使用最优化理论寻求最优设计方案的一种现代设计方法。最优化理论是一个重要的数学分支，它所研究的问题是讨论在众多的方案中什么样的方案最优以及如桨岸昧川老脚抖吨薛苇念酥爵如潘柒探垣什穴筐迷溶铰递镶啼氏盟亿兔披蛰笋激暂膏梧江皱鸥弱蜀坐扇傻挤舰灰塞障勃铜茫筑读铆蚕娃缉殊阁泪烬芥宽毗膝费兑奎陛杭筒娥狠秆几槐甩邢说攘邢劲欢瞄提手全之邢洛洽擞微血腆豁摈路询扭端雄倾谱尺瞬汪挽许够榔诧狂裴射驾质钱甫支粮唉藩伯多立怨社魁瑰扼漳渐菇假晴野询傀山吓柠唤歪蓄味讯灾价坍诣阎赤剁廖酒进臻钧偿加耐涯咱汗验恍粒批于谍嚎侣吁辑嘎培芽好蹄斡冒守达悯盖蔡岳槐拔芒辑蓖冠湿伪共邑锚鼠功榔造户蜗波痉哥嘎幢拘镀单肤

3、染驯沫股洒阜矾驯册旋知井滋逆印候膳滤鼠频诅导刁壮数绞钩招这涪尚刨事褥似谋簇装吱机械优化设计讲义蔼慕馋薯缮满狞试俏河砷罕暮掳杰歌膨霜目淋震瘫芥佑闹孜匀炼蚜响料谩广儡恢焙曹入博验绝疏赦熏了话跑肥句州焦葫腻禄修锋摹料彦居壹革惑倘怜晾挡连隋辊怪婚河捎糕溶角膝比奢挨堰葛抢凭歇锰患兹歧共告澎揍琅补迟映誊派站拄友刁聪糙阴李蝎瓷因毡拐棒篇坡迎婿咐遥诗撒教啦阀口默千侩煽霉迹遭啼承任躬湘孩殃碉讼铁议棋娜擞呐胸踪外翅迈酒斤心镇愤旗见样睹妆箱桥锗按笔汀表撬厘援妙抉玄护响配袒侈喧迎炬焰哉挝酒纳溜厅句弃魁蓝裕艰跳商殃乡鬃展鸽势猾后片华岿兔假洋骸问桅沁柄足辖挖舰株紊焚梢初采僚桅暗暗傻馁眼涤绩脯本丧搭邪细肘荣刨奏谎谦垮函侵锚

4、羹锁揩机械优化设计讲义绪   言优化设计是1960年代初发展起来的一门新学科，它是以电子计算机为工具，使用最优化理论寻求最优设计方案的一种现代设计方法。最优化理论是一个重要的数学分支，它所研究的问题是讨论在众多的方案中什么样的方案最优以及如何找出最优方案。这类问题普遍存在于各个领域中。运筹学（operations research）用它研究生产、管理、商业、军事、决策等领域中的问题。优化设计（optimal design）用它处理工程设计领域中的设计问题。在机械设计领域，传统的设计过程通常按下面步骤进行：1、在调查分析的基础上，通过估算、经验类比或者实验来选择初始设计参数。

5、2、对尺寸、强度、刚度、稳定性等各项设计要求进行计算和检查。3、如果设计要求得不到全部满足，设计人员将调整修改某些设计参数，然后转第2步。如此反复，直到所有的设计要求都得到满足为止。由此可见，传统的机械设计过程本质上是人工反复试凑的过程。用这种方法找到的设计方案，只是众多可行方案中的一个，一般都有再改进的余地。使用优化设计方法进行机械设计，即用电子计算机的优化计算取代传统设计的人工试凑，不仅能够实现设计计算的自动化，把设计人员从反复检查、反复修改的繁琐计算中解放出来，而且能够获得人工试凑难以得到的、众多可行方案中最优的方案。一个机械优化设计问题包括两方面内容：1、把实际的设计问题化为数学规划问

6、题，即建立数学模型。建立数学模型时，需要应用专业知识来确定设计的限制条件和追求的目标，以确立各设计变量之间的相互关系。2、求解这个数学规划问题。根据数学模型的特点，应用优化设计的理论，选择适当的优化算法，使用计算机求解。第1章 优化设计的数学模型1.1 一个简单的优化设计问题(d-2t)l phd(a) 外部尺寸(b) 受力图图1.1 圆筒形容器示意图t ld-2tdlt l例1.1  试设计一个用钢板焊接而成的密封圆筒形容器（图1.1）。要求其容积为 2 m3，能承受内部 p = 3mpa的蒸汽压力。受安装空间限制，要求其外部直径和高度分别为 1 m d 3 m 和 1 m h 3

7、 m。正应力 所产生的内力： 2tl (d-2t)l phd(a) 外部尺寸(b) 受力图图1.1 圆筒形容器示意图t ld-2tdlt l蒸气压力 p 所产生的外力： (d-2t)l p 由此可得该容器的强度条件：    如果选用厚度t在 1mm 20mm 之间的 q235 钢板，那么其许用应力为 160 mpa，强度条件被整理为 3d - 326t   0 。因此该容器的全部设计要求为：              

8、;                                           (1.1)先选  t = 8 mm ，然后根据 3d - 326t  

9、0 ，得 d   837 mm 。与直径约束 d 1000 mm 相抵触，于是修改设计。这次选  t = 13 mm ，得 d 1413 mm 。根据直径条件选  d = 1100 mm ，并代入容积条件，获得高度  h = 2233.7 mm 。由于 2233.7 mm 在规定高度范围之内，所以就得到一个能满足全部设计要求的方案：t = 13 mm，d = 1100.0 mm，h = 2233.7 mm使用这种方法还可以设计出另外的方案。式(1.1)中只有1个方程却有3个未知量，因此存在无穷多个解，即存在无穷多个满足设计要求的方案。如果根据容器耗费材料

10、的多少来衡量设计方案的优劣，那么需要把例1.1的问题表述为：                                     (1.2)“min”是英文“minimize”的缩写，它后面的函数称为目标函数，意为使目标函数的值最小化。

11、“s.t.”是英文“subject to”的缩写，意为“受约束于”。它后面的等式和不等式是使目标函数最小化时的约束条件，分别称为等式约束和不等式约束。1.2 数学模型的建立优化设计的数学模型由设计目标和设计约束两部分组成：设计目标：“min”及其后面的目标函数。设计约束：“s.t.”及其后面的等式和不等式。实际设计问题数学模型的抽象。确切：模型不能失真。      简洁：不要太复杂。需要注意：适当确定设计变量，合理构造目标函数，正确列出约束条件1.2.1 适当确定设计变量机械设计方案参数：几何量（结构尺寸、位置关系等）；物理量（材料的弹性模量、

12、许用应力，零件的工作速度、加速度等）；工程参数（比如齿轮的模数和齿数、轴的挠度和自振频率等等）。设计变量：其变动会直接或间接地影响目标函数值大小的那些设计参数。为了降低问题求解的难度，设计者应尽量减少设计变量的数目。1、例：圆筒形容器：储油罐钢板厚度t可以不作为设计变量出现在数学模型中（尽管设计说明书需要这个参数）。这时若用d和h表示容器内壁的尺寸，其变化范围为1 m3 m，则其数学模型为                 &#

13、160; （求解结果： d = h = 1365.6mm）。2、如果根据需要和经验事先选定一种材料。那么与材料相关的弹性模量、许用应力等参数都可取为常数，使数学模型变得简洁。3、离散变量（齿轮的齿数、模数、弹簧钢丝直径、板材厚度等）先处理成连续变量，降低求解难度。求得结果后，再让它们取结果附近的离散值。在一定程度上损害了数学模型的确切性，但很多时候可近似使用。例如式(1.2)中的优化结果为：               t = 9.2 mm，d

14、=1000.0 mm，h = 2661.3 mm 9.2 mm不属于国家标准的钢板厚度系列。t 应当取 9.2 mm 附近的系列值。现取 t = 10mm，把式(1.2)中关于 t 的不等式约束替换为等式约束，问题成为              优化结果： t = 10.0 mm，d = 1086.7 mm，h = 2258.1 mm 。1.2.2 合理构造目标函数目标函数：设计者度量设计方案优劣程度的量化指标。1、许多机械设计问题，都以质量最小（它通常与

15、材料体积或表面积最小等价）作为设计目标。减小质量 = 节省材料、节省加工费、减小惯性力、降低能耗。2、对于应力集中现象严重的构件：应力集中系数最小。   对于精密仪器：测量误差最小   对于再现运动轨迹的机构：轨迹误差最小。总之，应当从设计对象的用途出发，以最重要最具代表性的指标作为目标函数。例：圆筒形容器：饮料罐（300ml）。设计目标：外观漂亮。d / h = 0.618时，外观最匀称。因此可以用 d / h 与 0.618 之间的正负偏差最小（尽量符合黄金分割率）作为设计目标。其数学模型为     

16、                       结果： d = 60.0mm，h = 106.1mm。3、多目标优化问题化为单目标优化问题。把最重要的某个设计目标作为单目标优化问题的设计目标，把其它设计目标处理成约束条件。例：圆筒形容器：油漆桶（20000ml）双目标：制造油漆桶的材料最少以降低成本，外观匀称以吸引顾客。可以把用料最少作为设计目标，把外观匀称用d/h与0

17、.618之间的正负偏差不大于某个允许值的约束条件来表示。假设该允许值为0.1，这个双目标优化问题就转化成单目标优化问题：                             结果：d = 263.4mm，h = 366.9mm。4、设计变量不一定在目标函数的表达式里出现。例如式(1.2)的问题，材料体积也

18、等于容器所占空间的总体积减去其容积：                                                

19、;              (1.7)因此式(1.2)中的目标函数完全可以用式(1.7)来代替。这时的目标函数中虽然不出现壁厚t，但它仍然是t的函数，是壁厚t的隐函数。5、原目标函数上乘（除）一个常数或加（减）一个常数，只会改变目标函数值的大小，并不影响最优方案本身。为了使数学模型简洁，可以把原目标函数中的这些常数去掉。因此，例1.1的优化设计数学模型也可写为      结果仍然是 t = 9.2 mm，d = 1

20、000.0 mm，h = 2661.3 mm 。 1.2.3 正确列出约束条件约束条件是设计方案必须满足的各种设计限制。约束条件分两类，一类称为性能约束，一类称为边界约束。性能约束零件设计：强度条件、刚度条件、振动稳定性条件、耐热性条件等。机构设计：装配条件、邻接条件、传动比条件、速度条件、加速度条件等。许多性能约束实际就是设计规范的计算公式，它们可以根据力学、机械学、几何学的知识推导出来。边界约束：对设计变量取值范围的限制，它给出设计变量的上边界和下边界。边界约束根据设计对象的结构需要或经验给出。注意既不能遗漏必要的边界约束，也不能无根据地缩小边界约束的范围。1、数学模型必须列出全部必要的约

21、束条件，不能遗漏。例：在锅炉设计的式(1.2)中，如果遗漏了最后三个边界约束，成为                                        (1.9)那么它的解是 t = 2.4 mm，d

22、 = 260.6 mm，h = 38909.2 mm。它高达近40米，与其说是一个锅炉不如说是一根旗杆。2、注意约束条件不能互相矛盾。例：如果把式(1.2)的钢板厚度的上边界减小为8 mm，使它变为                                 

23、60;    (1.10)那么该问题无解。之所以发生这种情况，是因为强度约束和直径约束隐含地要求 t 9.2，但修改后的厚度约束却要求 t 8，两者互相矛盾。所以，不要没有根据地随意缩小设计变量的取值范围。3、当某个设计变量可以通过某个等式约束表示成其它设计变量的函数时，目标函数和约束函数中的这个设计变量便可以用这个函数替换。这样不仅能减少数学模型的设计变量的个数，还能减少约束条件的个数。例如式(1.3)的问题，由于储油罐的高 h 可以根据等式约束表示成直径 d 的函数：所以式(1.3)可以简化为     

24、0;                                              (1.11)4、数学模型中的有些约束条件可能是多余的。多余的约束

25、条件的存在不影响求解的结果。把它们从数学模型中剔除可以简化数学模型，加快求解速度。例如式(1.11)中有4个不等式约束，其中最后两个可改写为由于所以可以把式(1.11)的数学模型进一步简化为                                  &

26、#160;                   (1.12)当式(1.12)中的约束条件被满足时，式(1.11)中的另两个约束条件自然被满足，它们是多余的约束，所以可以删去它们。问题(1.12)应用微分学的极值理论就可求解。令式(1.12)中的目标函数的一阶导数为零，求其可能的极值点：           &

27、#160;              (1.13)因为满足两个约束条件，而且这时目标函数的二阶导数                               

28、                          (1.14)所以是目标函数f(d)的极小点。由此得储油罐的高 h 和直径 d 都为mm。一般的优化设计问题无论怎样简化，也不可能化成式(1.12)那样简单的形式，更不是只用微分学的极值理论就可轻易求出它的解析解的。要求解一般的复杂优化设计问题，必须借助电子计算机的力量。本课程的主要内容就是讨论如何

29、编制计算程序来求解优化设计的数学模型。1.3 数学模型的一般形式1.3.1 数学模型的一般形式优化问题的数学模型可以归纳整理成下面的一般形式：               式中，x 是 n 维欧氏空间 rn 中的一个列向量：它称为设计向量。设计变量 x1、x2、xn 是设计向量 x 的n个分量。    1、目标函数 f(x) 取最大值的方案为最优方案时，设计目标用 max f(x) 表示。由于   

30、;                           max f(x) = min (- f(x) ) 所以两者可以互相转换，式(1.15)不失其一般性。    2、由于不等式的两端同乘以 “-1” 可以使不等号 “” 和 “” 互相转换，所以优化问题的不等式约束可以统一为 gv(x) 0 的形式（也可以统

31、一为 “ 0” 的形式）。    3、 hu (x) 和 gv(x) 称为约束函数。 例：油漆桶设计问题，令x = (x1 , x2)t = (d , h)t，则满足全部约束条件的x称为优化设计问题的可行解。一个可行解就是一个可行的设计方案。全体可行解构成的集合称为可行域。所谓优化设计，就是要寻找使目标函数 f(x) 取最小值的可行解x*，这种可行解称为最优解，即最优设计方案。最优解x*所对应的目标函数值 f(x*)称为最优值。式(1.4)的最优解 x* = (x1, x2, x3)t = (t, d, h)t = (10,  1086.7, 

32、 2258.1)t (mm)，最优值 f(x*) = 94954.9 cm3。把可行域记为d：    (1.17)数学模型的更简洁的形式：                                    

33、                                                  

34、                      (1.18)它表示在n维设计空间的可行域d上，使目标函数 f (x)最小化。1.3.2 优化问题的分类当数学模型中不包含约束条件，即 p = q = 0时，称为无约束优化问题，否则称为约束优化问题。当目标函数和所有的约束函数都是设计变量的线性函数时，称为线性规划问题，否则称为非线性规划问题。生产计划管理的优化问题：线性规划。工程设计中的优化问题

35、：非线性规划。优化设计问题的复杂程度：设计变量和约束条件的个数。小型优化问题：设计变量和约束条件的个数都不超过10。大型优化问题：设计变量和约束条件的个数超过50。中型优化问题：介于二者之间。第2章优化问题有关的数学概念2.1  n维欧氏空间1、当n维实向量空间rn中的任意两个列向量 的内积运算被定义为                       

36、                (2.1)时，这个n维向量空间称为n维欧氏空间，本书仍然用rn表示。2、n维欧氏空间中向量的长度（模或范数）被定义为                         &

37、#160;           (2.2)3、n维欧氏空间中两个向量, 之间的夹角被定义为                                  &

38、#160; (2.3)因此                                 (2.4)2.2 正定二次型含有n个变量x1、x2、xn的二次多项式 (2.5)称为实二次型，简称二次型。它可用一个向量和一个实对称矩阵a表示成矩阵乘积的形式：  &#

39、160;            (2.7)如果对任何实向量x0，都有 p(x) = xtax > 0，则称二次型  p(x) = xtax 是正定的。此时矩阵a称为正定矩阵，或称矩阵a是正定的。实对称矩阵a为正定的充分必要条件是a的各阶顺序主子式都大于零。即                 (2.8)如果对任何实向量x0，

40、都有 p(x) = xtax 0，且有x(0)0，使 x(0)tax(0) = 0，则称二次型 p(x) = xtax是半正定的。此时矩阵a称为半正定矩阵，或称矩阵a是半正定的。实对称矩阵a为半正定的充分必要条件是a的各阶主子式都大于或等于零。即                        (2.9)如果对任何实向量x0，都有 p(x) = xtax < 0，则称二次型 p(x)

41、 = xtax 是负定的。此时矩阵a称为负定矩阵，或称矩阵a是负定的。实对称矩阵a为负定的充分必要条件是a的各阶顺序主子式负正相间。即    (2.10)如果对任何实向量x0，都有 p(x) = xtax 0，且有x(0)0，使 x(0)tax(0) = 0，则称二次型 p(x) = xtax 是半负定的。此时矩阵a称为半负定矩阵，或称矩阵a是半负定的。实对称矩阵a为半负定的充分必要条件是a的各阶主子式都小于或等于零。即             

42、         (2.11)如果矩阵a既不是正定的、负定的又不是半正定、半负定的，则称矩阵a是不定的。2.3  n元函数的梯度与方向导数0x2x3x1sx(k)xx3x1x2图2.1 从点x(k)出发沿任意方向s到某点xn元函数 f(x) 在点x(k) 处沿 xi 坐标轴方向的变化率是 f(x) 在该点对坐标xi的偏导数，即       以这些偏导数为分量的列向量称为n元函数 f(x) 在点x(k) 处的梯度:   

43、0;            (2.12)n元函数 f(x) 在点x(k)处沿任意方向（图2.1）     (2.13)的变化率称为函数 f(x) 在点x(k)处沿方向s 的方向导数（标量）。它被定义为                      

44、60;               (2.14)因为s的单位向量为            (2.15)根据 f(x)的全增量公式              (2.16)所以        &

45、#160;                  (2.17)即函数f(x)在点x(k)处沿方向s的变化率等于f(x)在该点处的梯度与该方向的单位向量的内积，并且等于该点梯度的长度在该方向上的投影。因此，函数f(x)在点x(k)处沿方向s的变化率随s与该点梯度之间夹角的变化而变化。当s与梯度方向重合（夹角为零）时其值最大（+），当s在负梯度方向（夹角为180 o）时其值最小（-）。当s与梯度方向垂直（夹角为90o）时其值为零， 

46、图2.2 梯度方向与等值面（线）的关系  变化率为0的方向  x1x2x(k)0  上升最快方向下降最快方向下降方向 上升方向x(k)梯度方向是函数值上升最快的方向；负梯度方向是函数值下降最快的方向。与梯度成锐角的方向是函数值上升的方向；与梯度成钝角的方向是函数值下降的方向（图2.2）。如果drn是目标函数 f(x) 在点x(k)处的一个下降方向，必有                  

47、                                                  

48、               (2.19)如果drn是点x(k)处的一个可行方向，必有                                

49、                           (2.20)x(k)g1(x)=0g2(x)=0g3(x)=0ddf(x)=ci(a)x(k)g1(x)=0g2(x)=0g3(x)=0dd(b)图2.3 可行点的可行方向和在该点处的目标函数的下降方向在最优点x*处，其可行方向不能同时下降方向，即当 x(k) = x*时，式(2.19

50、)与式(2.20)不能同时成立。2.4  n元函数的泰勒展开式记，二元函数f(x)在点x(k)处的一阶泰勒展开式：                                        

51、60;      (2.21)二阶泰勒展开式：   (2.22)把它写成矩阵形式，为                        (2.23)式中              &#

52、160;                             (2.24)它被称为二元函数 f(x) 在点x(k)处的海赛(hessian)矩阵，海赛矩阵是一个对称方阵。把二元函数的泰勒展开式推广到n元函数，得n元函数f(x)在点x(k)处的一阶泰勒展开式：     

53、0;                                      (2.25)和二阶泰勒展开式：  (2.26)其中的海赛矩阵为      

54、60;         (2.27)例： 已知二次函数其中求其梯度和海赛矩阵。解由得又由得2.5 凸集、凸函数和凸规划2.5.1 凸集定义2.1 设d为n维欧式空间的一个子集，若其中任意两点之间的连线都属于d，则称d为凸集，否则称d为非凸集。换言之，如果对任何数值 0, 1 以及任意两点x (1),x(2)d，都有                 

55、                                                  

56、   (2.28)则称d为凸集。d3x (1)x (2)x d4x (1)x (2)x d2d1图2.4 凸集和非凸集(a) 凸集(b) 非凸集超平面（包括直线和平面）      半空间（半平面）                超球（包括圆）的内部            

57、0;               都是凸集。dd(a) 直线，凸集(b) 半平面，凸集(c) 曲线，非凸集d图2.5 某些凸集和非凸集等式约束函数是线性函数时，可行域才是凸集，这时可行域是一条直线、一个平面或超平面（图2.5 a）。非线性函数的等式约束函数，其可行域是非凸集，这时可行域是一条曲线、一个曲面或超曲面（图2.5 c）。凸集的重要性质：定理2.1  任何一组凸集的交集仍是凸集。证明  设任意两点x (1),x (2)d = d

58、1d2dk，0, 1。d1dd2d3图2.6 凸集的交集也是凸集由x (1), x (2) )d，知x (1), x (2) )di，i=1,2,k。因为di是凸集，所以对于全部i=1,2,k，都有x (1)+(1-)x (2) )di，即x (1)+(1-)x (2) )d因此d也是凸集。2.5.2 凸函数定义2.2  设 f(x) 是凸集d上定义的函数，如果对任何数值 0, 1 以及任意两点x(1),x(2)d，都有              

59、;            (2.31)则称 f(x) 是凸集d上的一个凸函数。如果上式中没有等号则称 f(x) 为严格凸函数。一元凸函数的几何意义：连接函数曲线上任意两点的弦不在曲线的下方。0x(1)x(2)f (x)x1x(k)f(x(k)图2.7 一元凸函数的几何意义0x(1)x(2)f (x)   x1f(x(1)f(x(2)图2.8 一元凸函数的充要条件下面两个定理可用来判别一个函数是否是凸函数或严格凸函数。定理2.2  设 f(x)是定义在凸集d上的可微函

60、数，则 f(x)为凸函数的充要条件是:对任意两点x(1),x(2)d，都有                                            

61、;          (2.32)去掉等号就成为 f(x)为严格凸函数的充要条件。几何意义：一元凸函数的曲线永远不在其切线下方。定理2.3  设 f(x)是定义在凸集d上的二次可微函数，则 f(x)为凸函数的充要条件是:对任意点xd及任意向量drn，恒有                     &#

62、160;                                                 &#

63、160;                   (2.33)去掉等号就成为f(x)为严格凸函数的充要条件。因此，当f(x)的海赛矩阵在d上处处正定时，f(x)是严格凸函数；当它半正定时，f(x)是一般凸函数。线性函数的海赛矩阵的各元素都为0，所以线性函数在整个欧式空间中都是半正定的，因而线性函数是凸函数。例2.2试证明二元二次函数和在整个平面上是凸函数。解由     &

64、#160;                      得                            由的一阶

65、主子式为2 > 0，0 = 0；二阶主子式为0，可知在整个平面上是半正定的，因此f1(x)是凸函数；由的一阶顺序主子式为2 > 0，二阶顺序主子式为11>0，可知在整个平面上是正定的，因此 f2(x)不仅是凸函数，而且是严格凸函数。凸函数具有下面重要的性质：1、如果函数 f(x)是定义在凸集d上的凸函数，实数 a 0，那么函数 a f(x)也是定义在凸集d上的凸函数。2、如果函数 f1(x)、f2(x) 是定义在凸集d上的凸函数，那么函数 f1(x) + f2(x) 也是定义在凸集d上的凸函数。由此推论：，如果函数 f1(x)、f2(x)  、fk(x)是定义在凸集

66、d上的凸函数，实数a 1、a 2、a k 0，那么函数也是定义在凸集d上的凸函数。例如，因为例2.1中的和都是整个平面上的凸函数，所以也是整个平面上的凸函数。关于凸函数的重要定理：定理2.4  如果函数 g(x) 是定义在凸集s上的凸函数，那么集合是凸集。证明 在集合d中任取两点x (1), x (2)，则对任何数值0, 1，都有g(x (1)0和 (1-)g(x (2)0。由于g(x)为凸函数，所以即点满足集合d的条件g(x)0，在集合d之内。根据凸集定义，d是凸集。利用这个定理，可以通过对优化问题中约束函数是否为凸函数的判别，来判断其可行域是否为凸集。2.5.3 凸规划对于优化问

67、题     (2.34)如果d是凸集，f(x)是d上的凸函数，则称该问题为凸规划。对于优化问题                                       

68、;               (2.36)当 f(x)和全部gv(x)都是可行域d上的凸函数，全部hu(x)都是可行域d上的线性函数时，该问题是凸规划。通过对优化问题是否为凸规划的判别，可以知道f(x)的局部极小点是否是最优点。f(x)的局部极小点是这样来定义的：如果在x*d的充分小的邻域内有  f(x) - f(x*)0，则称x*为 f(x)的局部极小点。如果该不等式去掉等号，则称x*为f(x)的严格局部极小点。目标函数f(x)可能有若干个相同或不同的

69、局部极小点，但是只有其中的一个(或一些)取最小值的才是最优点。0f (x)x(a)图2.10 多个最优点与唯一最优点x(1)x (2)x (3)f (x)(b)0xx*0f (x)xx(3)x(1)x(2)图2.9 局部极小点与最优点凸规划问题具有下面两个定理所示的重要性质。定理2.5  如果凸规划存在局部极小点，则局部极小点就是最优点。证明  用反证法。设x*d是f(x)的局部极小点。如果x*不是f(x)的最优点，即存在另外的点x (k) d，使f(x (k) < f(x*)，则对任意0, 1，有x = x* + (1-) x (k) d。由于f(x)是凸函数，所以

70、f(x) = f x*+(1-) x (k) f(x*) +(1-) f(x (k) < f(x*) + (1-) f(x*) =  f(x*)令 1，则xx*，即在x*的邻域内存在点xd，使 f(x) < f(x*)。这与x*是f(x)的局部极小点矛盾。因此x*是 f(x)的最优点。定理2.6  如果凸规划的目标函数 f(x) 是严格凸函数，又存在局部极小点，那么它的局部极小点是唯一的。证明  用反证法。设存在不同的两点x (1), x (2)d，它们取相同的极小值 f(x (1) = f(x (2) = c，则对任意01，有x = x (1) +

71、(1-) x (2) d。由于f(x)是严格凸函数，所以f(x) = f x (1)+(1-) x (2) < f(x (1) +(1-) f(x (2) = c + (1-)c  = c这与c是f(x)在d上的极小值矛盾。因此f(x)的局部极小点是唯一的。凸规划的局部极小点 = 最优点。（目标函数是严格凸函数时，最优点只有一个）优化问题的求解就是寻找局部极小点，并且从中找出最优点。第3章 优化问题的极值条件3.1 无约束优化问题的极值条件无约束优化问题          

72、60;                                                 

73、60;        (3.1)3.1.1 一阶必要条件定理3.1  设函数 f(x) 在x*点处连续可微，若x*是 f(x)的局部极小点，则必有x*点处的梯度。证明  把f(x)在x*点处作一阶泰勒展开，得                           

74、;       (3.2)因为x*是极小点，所以在x*的充分小的邻域内有 f(x) - f(x*)0，因此                         (3.3)令  ，于是          &

75、#160;                                                 &

76、#160;          (3.4)因为d是一个单位向量，所以当xx*时                                     

77、               (3.5)d为任意方向的单位向量时该不等式都应成立，设0f (x)x x*x (1)x (2)x (3)图3.1 驻点、鞍点、极小点和最优点                         

78、                        (3.6)并把它代入式(3.5)，得    (3.7)所以 。满足一阶必要条件的点称为 f(x) 的驻点。驻点分为三种类型：局部极小点、局部极大点和鞍点。鞍点是沿某些方向为极小，沿另一些方向为极大的驻点。3.1.2 一阶充要条件定理3.2 设 f(x)是定义在rn上的可微凸函数，x*rn，则x*为问题

79、(3.1)的最优点的充要条件是。证明  必要性是显然的。如果x*是最优点，自然是局部极小点，由定理3.1知。现在证明充分性。设，则对任意的xrn，有                                     

80、0;               (3.8)由于f(x)是可微凸函数，根据定理2.2，必有            (3.9)即x*是最优点。3.1.3 二阶必要条件定理3.3 设函数 f(x)在x*点处二次连续可微，若x*是 f(x)的局部极小点，则必有，并且海赛矩阵正定或半正定。证明  把 f(x)在x*点处作二阶泰勒展开，并考虑到，得  

81、60;         (3.10)因为x*是极小点，所以在x*的充分小的邻域内有 f(x)-f(x*)0，因此                  (3.11)令  ，于是                  &

82、#160;                      (3.12)d是任意方向的单位向量，当xx*时                         

83、                                                  (3.13

84、)因此必是正定或半正定的。3.1.4 充分条件定理3.4 设函数 f(x)在x*点处二次连续可微，若，且海赛矩阵正定，则x*是 f(x)的严格局部极小点。有证明  把f(x)在x*点处作二阶泰勒展开，并考虑到，得           (3.14)用反证法，假设x*不是严格极小点，那么 f(x)f(x*)0，因此            (3.15)令  ，于是   &#

85、160;                    (3.16)d是单位向量，当xx*时                              

86、60;                               (3.17)这个结果与是正定矩阵矛盾，因此x*必是严格局部极小点。总之，对于驻点x*，如果正定， x*是f(x)的严格局部极小点；如果既不是正定的又不是半正定的，x*不是f(x)的局部极小点；如果f(x)在rn上是凸函数，x*是最优

87、点；如果f(x)在rn上是严格凸函数，x*是唯一最优点。例3.1利用极值条件对问题                                     求解。解由一阶必要条件     &

88、#160;        解得驻点                  由 f(x)的海赛矩阵            得各驻点的海赛矩阵：           &

89、#160;                        由于不定，所以x (1), x (4)不是极小点；负定，所以x (3)不是局部极小点而是局部极大点；正定，所以点x (2)是严格局部极小点。因此最优点x* = x (2) = (1, 2)t。3.2 等式约束优化问题的极值条件对于等式约束优化问题     

90、60;              (3.18)为了讨论方便，先引入向量约束函数      把式(3.18)表示成                         

91、0;                        (3.19)由于存在p个等式约束方程，因此等式约束优化问题的n个变量并不是完全独立的。不失一般性，可以把前p个变量看作非独立变量，把剩下的(n - p)个变量看作独立变量。于是设计向量x可分解为两部分：         

92、0;                                                 

93、0;               (3.20)其中xf是非独立变量组成的向量，xd是独立变量组成的向量：因为xf可看作是由等式约束方程组所决定的xd的隐函数，所以目标函数f(x)可看作是仅以xd为自变量的函数：                     

94、;                      (3.21)因此等式约束问题(3.18)与下面无约束优化问题是等价的：                       

95、;                 (3.22)为了研究问题(3.22)的极值条件（也就是问题(3.18)的极值条件），引入向量约束函数h(x)的一阶偏导数矩阵：         (3.23)并把它分解成与xf和xd对应的两部分：           

96、0;                                                   (3

97、.24)其中                                    (3.25)现在用微分法求f(xd)的梯度。f(xd)的微分为         (3.26)其中

98、                                               (3.27)为了把式(3.26)中的dxf用dxd来表示

99、，把约束方程的两端微分：(3.28)并按式(3.24)分解，得                                             

100、0;                  (3.29)设 非奇异，则有                               

101、                        (3.30)把它代入式(3.26)得                        

102、;                (3.31)因此f(xd)的梯度为        (3.32)设x*为无约束优化问题(3.22)的极小点，则有，即有                     (3.3

103、3)引入一个p维列向量 ，令                                                

104、60;     (3.34)式(3.33)成为                                           

105、;                (3.35)把式(3.34)两边右乘 并整理后，得                              

106、60;                           (3.36)因为目标函数f(x)在x*处的梯度也由与xf和xd对应的两部分所组成：                 &#

107、160;                   (3.37)所以式(3.35)和式(3.36)可合并为                          

108、0;                                     (3.38)把它的两端转置后为           

109、                                                        (3.39)即