数学物理方法_6_拉普拉斯变换

1、 拉普拉斯拉普拉斯变换理论变换理论（又称为运算微积分，或称为算子微（又称为运算微积分，或称为算子微积分）是在积分）是在1919世纪末发展起来的首先是英国工程师亥维赛世纪末发展起来的首先是英国工程师亥维赛德德(O.Heaviside)发明了用运算法解决当时电工计算中出现的发明了用运算法解决当时电工计算中出现的一些问题，但是缺乏严密的数学论证后来由法国数学家拉一些问题，但是缺乏严密的数学论证后来由法国数学家拉普拉斯普拉斯(P.S.Laplace)给出了严密的数学定义，称之为给出了严密的数学定义，称之为拉普拉拉普拉斯变换方法斯变换方法 拉普拉斯拉普拉斯（Laplace）变换在光学等工程技术与科学领域

2、变换在光学等工程技术与科学领域中有着广泛的应用由于它的中有着广泛的应用由于它的像原函数像原函数f( (x) )要求的条件比傅里要求的条件比傅里叶变换的条件要弱，叶变换的条件要弱，因此因此在某些问题上，它比傅里叶变换的在某些问题上，它比傅里叶变换的适用面要广适用面要广 本章首先从傅里叶变换的定义出发，导出拉普拉斯变换本章首先从傅里叶变换的定义出发，导出拉普拉斯变换的定义，并研究它的一些基本性质，然后给出其逆变换的积的定义，并研究它的一些基本性质，然后给出其逆变换的积分表达式分表达式复反演积分公式，并得出像原函数的求法，最复反演积分公式，并得出像原函数的求法，最后介绍拉普拉斯变换的应用后介绍拉普拉

3、斯变换的应用 傅里叶变换傅里叶变换在在分析信号的频谱等方面是十分有效的分析信号的频谱等方面是十分有效的，但但在系统分析方面有不足之处在系统分析方面有不足之处： 对时间函数限制严，对时间函数限制严， 是充分条件。是充分条件。不少函数不能直接按定义求，不少函数不能直接按定义求，如增长的指数函数如增长的指数函数 eat a0，傅里叶变换就不存在。傅里叶变换就不存在。 不能解决零输入响应问题，只能解决不能解决零输入响应问题，只能解决零状态响应零状态响应 求傅里叶反变换也比较麻烦。求傅里叶反变换也比较麻烦。|( )|f tt di(i)( )dtFf t et （一） 拉普拉斯变换的定义( ) t将函数

4、将函数 ( ) t乘以乘以单位阶跃函数单位阶跃函数： 00( )10tu tt 得到得到 ( )( ) ( )f tt u t，则根据傅氏变换理论有，则根据傅氏变换理论有i0 ( ) ( ) ( )( ) ( )( )iddttf tt u tt u t etf t et F FF F很显然通过这样的处理，当很显然通过这样的处理，当 0t 时，时， ( ) t在没有定在没有定 义的情况下问题得到了解决义的情况下问题得到了解决但是但是仍然不能回避仍然不能回避 ( )f t在在 0,)上绝对可积的限制上绝对可积的限制，我们考虑到当，我们考虑到当 t 时，衰减速度很快的函数，那就是时，衰减速度很快的

5、函数，那就是指数函数指数函数 ,(0)te于是有于是有 000i(i ) ( ) ( ) ( )( )d( )d ( )d , ( i )tttttptf t et u t ef t eetf t etf t etp F FF F上式即可简写为上式即可简写为0ptf pf t et( )( )d这是由实函数这是由实函数 ( )f t通过一种新的变换得到的复变函数，通过一种新的变换得到的复变函数，这种变换就是我们要定义的这种变换就是我们要定义的拉普拉斯变换拉普拉斯变换为为核核.pte 拉普拉斯变换与傅里叶变换的关系ttfis存在于整个区间傅里叶变换)(0, 0)()(ttftfis为因果信号拉普

6、拉斯变换ttfis存在于整个区间双边拉普拉斯变换)(拉氏变换与傅氏变换表示信号的差别傅里叶变换傅里叶变换 拉普拉斯变换拉普拉斯变换 信号表示成指数信号表示成指数 ei t 分量的连续和分量的连续和 信号表示成指数信号表示成指数 est 分量的连续和分量的连续和 基本信号为：等幅的正弦信号基本信号为：等幅的正弦信号 基本信号为：指数增长的正弦信号基本信号为：指数增长的正弦信号 振幅为振幅为 无穷小无穷小 振幅为振幅为 无穷小无穷小 频率分布于整个区间频率分布于整个区间 频率分布于整个区间频率分布于整个区间 2tF sse |( )|d2| )(|diF定义定义 设设 实函数实函数 ( )f t在

7、在0t 上有定义，且积分上有定义，且积分 0( )( )dptf pf t et（ p为为复参变量复参变量） 上某一范围上某一范围 对复平面对复平面p收敛，则由这个积分所确定的函数收敛，则由这个积分所确定的函数0( )( )dptf pf t et称为函数称为函数 ( )f t的的拉普拉斯变换拉普拉斯变换，简称拉氏变换（或称为，简称拉氏变换（或称为像函数），记为像函数），记为 ( ) ( )f pf tL综合傅氏变换和拉氏变换可见，傅氏变换的像函数是一个综合傅氏变换和拉氏变换可见，傅氏变换的像函数是一个实自变量为实自变量为 的复值函数，而的复值函数，而拉氏变换的像函数拉氏变换的像函数则是一个复

8、则是一个复变数变数 p的复值函数，由式（的复值函数，由式（.1）式可以看出，）式可以看出， ( ) (0)f tt 的拉氏变换实际上就是的拉氏变换实际上就是 ( ) ( ),(0)tf t u t e的傅氏变换的傅氏变换 （其中（其中 ( )u t为单位阶跃函数），因此拉氏变换实质上就是为单位阶跃函数），因此拉氏变换实质上就是 一种单边的广义傅氏变换一种单边的广义傅氏变换，单边是指积分区间从，单边是指积分区间从0 0到到 广义是指函数广义是指函数 ( )f t要乘上要乘上 ( ) (0)tu t e之后再之后再作傅氏作傅氏变换变换 例例1 1 求拉氏变换求拉氏变换 1LRe0p

9、 ip0解解 在在 ,(,(按照假设按照假设 ) ) 即为即为的半平面，的半平面，011d,ptetp00002021dd()11 =d11 =d,1 = (Re0) ptptptptpttettepteetppetpptppL同理有同理有例例2 2 求拉氏变换求拉氏变换 .tL解解 在在 Re0p 的半平面的半平面, , 1! = nnntpL()()00011dd 1 (ReRe )stptp s tp s tste etetep sp sepsp sL请记住这个积分以后会经常用到请记住这个积分以后会经常用到例例3 3 求拉氏变换求拉氏变换 ,stesL为常数为常数. .解解 在在 ReR

10、eps的半平面上的半平面上解 (i )(i )001sinsindd2iptptpttteteetL22111, Re02iiipppp 同理同理 22cos, Re0ptppL例例 4 4 若若 ( )sinf tt或或 cos( t 拉氏变换拉氏变换 为实数），求为实数），求 ( )f tL例例5 5 求拉氏变换求拉氏变换 ,sttesL为常数为常数. . 解解 在在 ReReps的半平面上，的半平面上， ()00()()00221dd1 d 1 =()1 (ReRe )() stptp s tp s tp s tstte ettepsteetpspstepspsL同理同理 1! ()ns

11、tnnt epsL （二）拉氏变换的存在定理（二）拉氏变换的存在定理定理定理 拉氏变换存在定理拉氏变换存在定理 若函数若函数 )(tf满足下述条件：满足下述条件： （1 1）当）当 0t( )0f t 0t )(tf时，时，当当时，时，在任一有限区间上分段连续；在任一有限区间上分段连续； （2 2）当）当 t时，时， )(tf的增长速度不超过某一的增长速度不超过某一指数函数，即存在常数指数函数，即存在常数M及及 00，使得，使得 tMetft0,)(0则则 ( )( )f tf pL在半平面在半平面 0Rep上存上存在且解析在且解析00000( )dd,tptMf t etMet 证明证明：证

12、明：证明 0( )( )dptf pf t et存在由存在由所以上述积分绝对收敛，且所以上述积分绝对收敛，且 ( )f p在右半平面在右半平面 0Rep存在存在 然后证明然后证明 ( )f p解析为此，在积分号内对解析为此，在积分号内对 p并取并取 求偏求偏导数，导数，101 (为任意实常数），则有为任意实常数），则有10200010()d()ddtptptMf t etf t etM tetpp 故积分故积分 0 ( )dptf t etp在半平面在半平面 0Rep上一致收敛，上一致收敛，可交换积分与微商的次序可交换积分与微商的次序，即，即 20010ptptMf pf t etf t et

13、ppp dd( )( )d( )ddd( )f p0Rep( )f p0Rep故故的导数在的导数在且有限，可见且有限，可见在半平面在半平面内解析内解析上处处存在上处处存在为为( )f p的的拉普拉斯逆变换拉普拉斯逆变换，简称简称拉氏逆变换拉氏逆变换（或称为（或称为原函数），记为原函数），记为 1( ) ( )f tf pL为了计算拉氏逆为了计算拉氏逆 变换的方便，下面给出变换的方便，下面给出拉氏逆变换的具体表达式拉氏逆变换的具体表达式实际上实际上( )f t的拉氏变换，就是的拉氏变换，就是 ( ) ( )tf t u t e(0)的傅氏变换的傅氏变换. .因此，当因此，当 ( ) ( )tf

14、t u t e满足傅氏满足傅氏 积分定理的条件时，根据傅里叶积分公式，积分定理的条件时，根据傅里叶积分公式， ( )f t在连续点处在连续点处（三）（三） 拉普拉斯逆变换拉普拉斯逆变换定义定义 拉氏逆变换拉氏逆变换若满足式：若满足式： 0( )( )dptf pf t et，我们称，我们称 ( )f tiii(i )0i1( ) ( )( ) ( )d d21 =( )d d21 =(i )d (0)2ttttf t u t efueeeefefet 等式两端同乘等式两端同乘 te，并注意到这个因子与积分变量，并注意到这个因子与积分变量 无关，无关，故故 0t 时时 (i)1( )(i )d2

15、tf tfe令令 ip，则有，则有ii1( )( )d (0)2iptf tf p ept 上式为上式为 ( )f p的的拉普拉斯逆变换式，称为拉氏逆变换式拉普拉斯逆变换式，称为拉氏逆变换式记为记为 1( ) ( )f tf pL并且并且 ( )f t称为称为 ( )f p的拉普拉斯逆变换，简称拉氏逆变换（或称为像原函拉普拉斯逆变换，简称拉氏逆变换（或称为像原函数或数或原函数）原函数） 称为黎曼梅林反演公式，这就是从像函数求原函数称为黎曼梅林反演公式，这就是从像函数求原函数的的上式右端的积分称为拉氏反演积分公式上式右端的积分称为拉氏反演积分公式 一般公式一般公式 注意：公式注意：公式 0( )

16、( )dptf pf t et和公式和公式 ii1( )( )d , (0)2iptf tf p ept 构成一对互逆的构成一对互逆的积分变换公式，积分变换公式， 也称也称 和和构成一组拉氏变换对。构成一组拉氏变换对。( )f t( )f p( (四四) ) 拉氏变换的性质拉氏变换的性质取拉氏变换的函数，均满足拉氏变换存在定理的取拉氏变换的函数，均满足拉氏变换存在定理的条件条件 实际应用中我们总结出一些规律：即实际应用中我们总结出一些规律：即拉氏变换的拉氏变换的些基本些基本一一性质性质通过这些性质使得许多复杂计算简单化通过这些性质使得许多复杂计算简单化我们约定需要我们约定需要120012( )

17、d( )d( )( )ptptf t etf t etf tf tLL证明证明12120( )( )( )( )dptf tf tf tf t etL性质性质1 1 线性定理线性定理若若, 为任意常数，且为任意常数，且 1122( )( ),( )( )fpf tfpf tLL则则1212( )( ) ( )( )f tf tf tf t LLL例例6 6 求求 sh,atLchatL解解22111sh 22atateeaatp apapaLL22111ch 22atateepatpapapaLL若设若设为非负实数，为非负实数， ( )( )f tf pL，又当，又当 0t 时，时， ( )0

18、f t ，则，则 ()( ) ( )ppf tef pef t LL或或 1( )()pef pf tL证明证明 由定义出发，随后令由定义出发，随后令 tu，可得，可得 ()0 ()()d( )dptp uf tf tetf u euL性质性质2 2 延迟定理延迟定理0u )(uf利用利用时，时，=0=0，积分下限可改为零，故得，积分下限可改为零，故得0 ()( )d ( )ppupf tef u euef tLL例例7 7 已知已知 000, (0)( ), (0)0, ()tf tctttt ，求，求 ( )L f t解解 用阶跃函数表示用阶跃函数表示 )(tf)()()(0ttcHtcH

19、tf再利用线性定理及延迟定理，有再利用线性定理及延迟定理，有000 ()()()1ptptf tcH tcH t tccceepppLLL性质性质3 位移定理位移定理 若若 ( )( )f tf pL，则有，则有 0( )(), (Re()atef tf papapL0p( )f t其中其中是是的增长指数的增长指数证明证明 根据定义根据定义00()( )( )d ( )()atatptp a tef tef t etf t edtf paL例例8 8 求求 tteL解解 令令 )(tft( ) ( ) f pf ttLL= =，则由，则由 得得 21 tpL= =( )f p 利用位移定理利用

20、位移定理 ( )()ate f tf paL，即有，即有 21()()ttef ppL性质性质4 4 相似定理相似定理 设设 ( )( )f tf pL，则对于大于零，则对于大于零的常数的常数 c，有，有 1 ()()pf ctfccL证明证明由定义出发，随后作变量代换由定义出发，随后作变量代换 ctu ，则，则00 ( )( )d( )dupptcuf ctf ct etf u ecL011( )()pucpf u edufccc性质性质5 5 微分定理微分定理 设设 ( )( )f tf pL( )( ) (1,2,)nftn 存在且分段连续，则存在且分段连续，则(22( )12(1) (

21、 ) ( )(0)( ) ( )(0)(0)( ) ( )(0)(0)()00)nnnnnnpff tpf tff tpf tpffftpf tpfpffLLLLLL证明证明 由定义出发，随后用分部积分，可得由定义出发，随后用分部积分，可得 000( )( )d( )( )dptptptf tf t etf t epf t etL(0)()( )(0) fpfppf tfL)(tf )(tf同理，用同理，用取代上述的取代上述的，可得，可得( )( )(0)ftpf tfLL2 ( )(0)(0) ( )(0)(0)p pf tffpf tpffLL继续作下去，即得所证继续作下去，即得所证特别地

22、，当特别地，当 ()(0)0 (0,1,2,1)kfkn则则 ( ) ( )nnftpf tLL性质性质6 6 像函数的微分定理像函数的微分定理( )()( )ddnnnf ptf tpL证明证明 在拉氏变换定义式两边对在拉氏变换定义式两边对 p求导求导00dd( )( )d ( )dddptptf pf t etf t etppp0() ( )d() ( )ptt f t ett f tL2200dd( )() ( )d() ( )dddptptf pt f t ett f t etppp220()( )d()( )pttf t ettf tL继续作下去，即得所证继续作下去，即得所证 性质性

23、质7 7 积分定理积分定理 设设 ( )( )f tf pL，则，则 011( ) ( )( )tfdf tf pppLL证明证明 设设 0( )( )dtg tf，则，则 0)0(),()(gtftg由微分定理，有由微分定理，有 ( ) ( )(0) ( )g tpg tgpg tLLL即即 1 ( )( )g tg tpLL由由)()(tftg可得可得0111( ) ( )( ) ( )( )tfdg tg tf tf ppppLLLL一般地对应一般地对应n n重积分，我们有重积分，我们有0001( )( )tttndtdtfdf ppLd( )()pf tf ppt L 证明证明 由拉氏

24、变换的定义式出发，随后交换积分次序由拉氏变换的定义式出发，随后交换积分次序00d()d( )dd( )dp tp tpppf ppf t etpepf tt00( )( )d( )dp tptppeef tf ttf tttttL上面交换积分次序的根据是上面交换积分次序的根据是 0( )p tf t edt在满足在满足 性质性质8 8 像函数的积分定理像函数的积分定理0Re p条件下是一致收敛的条件下是一致收敛的 性质性质9 9 拉氏变换的卷积定理拉氏变换的卷积定理(1) 定义定义 8.3.1 拉氏变换的卷积拉氏变换的卷积前一章我们学习了傅氏变换的卷积概念和性质，当前一章我们学习了傅氏变换的卷

25、积概念和性质，当12( ),( )f tft是是 (,) 上绝对可积函数时，上绝对可积函数时，它们的卷积是它们的卷积是 1212( )*( )( )()df tftfft0t 12( )( )0f tft如果当如果当时，有时，有，则上式可写为，则上式可写为1212001212( ) ()* ()( ) ()d( ) ()ddttff tf t f tff tff t 12120( )* ( )( ) ()d tf tf tff t 因为在拉氏变换中总认为因为在拉氏变换中总认为 0t 时，像函数时，像函数 ( )f t因此把上式定义为因此把上式定义为拉氏变换的卷积拉氏变换的卷积恒为零，恒为零，

26、（2 2）拉氏变换的卷积定理）拉氏变换的卷积定理 1212( )( )( )( )f tftf tftLLL 证明证明 首先由卷积定义及拉氏变换定义出发，随后交换积分首先由卷积定义及拉氏变换定义出发，随后交换积分 次序，并作变量代换：次序，并作变量代换： tu121201200 ()() ()( ) ()d)ddptptf tf tf tf tteeftft L1200()120( )d()d( )d( )dptp uff tetff u eu 0u)(uf由于当由于当时时=0 =0 ，第二个积分下限可写成，第二个积分下限可写成零，再将零，再将 pe提出第二个积分号外，便有提出第二个积分号外，

27、便有 121200( )( )( )d( )dppuf tf tfef u euL1212( )( )( )( )f tf tfpfpLL应用拉普拉斯变换法时经常要求应用拉普拉斯变换法时经常要求 1 ( )f pL，若，若 ( )f p能分解为能分解为 12( )( )f p fp，对上式作逆变换，即有，对上式作逆变换，即有-1-11212 ( )( )( )( )( )f pfp fpf tf tLL6.2 拉普拉斯反变换查表法部分分式展开法留数法应用拉氏变换的性质部分分式展开法 用部分分式展开法求拉普拉斯反变换，用部分分式展开法求拉普拉斯反变换， 一般为有理函数。一般为有理函数。 单极点单

28、极点：D(p)=0 0的根也称为的极点。的根也称为的极点。( )( )( )N pF pD p1( )niiiKf ppp)2 , 1(nipi() ( )iiispKppf pnitpiteKtfi1)()(例例 1 1已知已知 ，求，求 f ( (t) )。22216( )(56)(12)pf pppp解：解：2312216( )(2)(3)(12)2312KKKpf ppppppp212216242.4(3)(12)10ppKpp22321634(2)(12)9ppKpp2312216304152(2)(3)9045ppKpp)(451529344 . 2)(1232teeetfttt

29、多重极点： 若若 D(p)=(p p1)n, 令令 n=331232111( )()()KKKf ppppppp1311()( )ppKppf p1321d()( )dppKppf pp1233121 d()( )2 dppKppf pp)(2)(1113221teKetKetKtftptptp 例例 2 2已知已知 ，求，求 f (t)。解：解：321( )(1)f ppp351243321( )(1)(1)11KKKKKf ppppppppp120111pKp 222020(1)ppKp222324012(1)4 (1)212(1)ppp ppKp 43111(1)2pKpp53111(1

30、)2pKpp)(2121121)(2teettftt 复数极点： 若若 D(p)=(p -i )(p +i ) , 其根为其根为 p1,2= i 1222( )ii()KKMsNf pppp1i11(i ) ( )|ipKpf pKAB由于由于f(p)是是p的实系数有理函数，应有的实系数有理函数，应有2111|KKKAiB 原函数的形式之一原函数的形式之一11(i )(i )12ii(i )(i )11( )|ttttf tK eK eKe eKee11i()i()111|2|cos() ( )ttttKeeeKett 12( )iiKKf ppp11| KK 原函数的形式之二原函数的形式之二

31、12( )iiKKF sssiKAB(+i )(-i )12(i )(i )( )()()ttttf tK eK eAiB eAiB e iiii ()()2cossin ( )tttttteA eeiB eeeAtBtt 原函数的形式之三原函数的形式之三22( )()MpNf pp22cos( )()tpettp 22sin( )()tettp 2222()()()M pMNpp)()sincos()(tteNMtMetftt例例3 3已知已知 ，求，求 f (t)。21( )(25)f pp pp解一：解一： 解得：解得：2250pp1,21 i2 p122( )1 i21 i2 KKKf

32、 pppp12011255pKpp12121115902153.4(1 i2)(1 i2) i4204 5 piKtgp p)()4 .1532cos(10551)(ttetft解二：解二：12011255pKpp21 i211111i(1 i2)(1 i2) i48i41020 sKp p)(2sin1012cos5151)(ttetetftt留数法ii1( )( )d2 i p tf tf p epkRes() ( )kp tkp Spsf p e1k11dRes()( )(1)! dknnp tknp Spsf p ensi00ABCi00ABCt0封闭积分路线封闭积分路线0)(Res1

33、jtABepftpmj以右的极点在0)(Res1itABepftpni以左的极点在留数法的特点 在单边拉普拉斯变换中，留数法与部分分式展开在单边拉普拉斯变换中，留数法与部分分式展开法一致。法一致。 留数法比部分分式展开法应用广泛一些。如无理留数法比部分分式展开法应用广泛一些。如无理函数、双边拉普拉斯变换等。函数、双边拉普拉斯变换等。 运用留数法反求原函数时应注意到，因为冲激函运用留数法反求原函数时应注意到，因为冲激函数及其导数不符合约当引理，因此当原函数数及其导数不符合约当引理，因此当原函数 f f ( (t t) )中包含有冲激函数及其导数时，需先将中包含有冲激函数及其导数时，需先将F F(

34、 (s s) )分分解为多项式与真分式之和，由多项式决定冲激函解为多项式与真分式之和，由多项式决定冲激函数及其导数项，再对真分式求留数决定其它各项数及其导数项，再对真分式求留数决定其它各项。例4解：解：用留数法，在以左围线包含的极点用留数法，在以左围线包含的极点的留数为：的留数为： 已知已知 ，求，求 f (t)。asassFRe1)(ia0ABC00t0teta)(tfkRes() ( )kp tkp Spsf p e已知已知 ，求，求 f (t)。asassFRe1)(解：用留数法，在以右围线包含的极点的留数为：解：用留数法，在以右围线包含的极点的留数为：ia0ABC00t0teta)(tfkRes() ( )kp tkp Spsf p e解：解：用留数法，在以左和用留数法，在以左和以右围线各包含一个极点。以右围线各包含一个极点。原函数为：原函数为：已知已知 ，求，求 f (t)。0tet b0teta)(tf11( )Re f papbpabpia-0b或或)()()(tetetftatb拉普拉斯变换的性质序号时域 f(t)复频域 F(s)1线性性a f1 (t)+b f2 (t)aF1 (s)+bF2 (s)2尺度性f (at) a03时移性f (t-t0)