【大学课件】变异数分析

1、結束112.1基本概念12.2一因子變異數分析(完全隨機化設計)12.3數個平均數的多重比較12.4二因子變異數分析(隨機化區集設計)12.5因子設計12.6電腦統計軟體範例本章綱要本章綱要http:/ (analysis of variance, anova)為一種統計分析方法，係將一組資料所發生的總變異依可能發生變異的來源分割成數個部份，即每一部份均可歸因於某原因(變異來源) 。量測不同變異來源則可了解變異是否有顯著差異。若有差異則表示某一變異來源對資料具有顯著影響作用。see example 12.1變異數分析可分為一因子、二因子、分析，主要功用在於檢定不同處理方式之影響作用是否顯著。統

2、計學導論 chapter 12 變異數分析12-3 變異數分析乃是實驗設計之基本工具，兩者相輔變異數分析乃是實驗設計之基本工具，兩者相輔相成。相成。 實驗設計中所衡量的基本對象稱為實驗單位實驗設計中所衡量的基本對象稱為實驗單位(experimental unit)。 在不同條件下衡量實驗單位的觀察值，這些不同在不同條件下衡量實驗單位的觀察值，這些不同條件稱為條件稱為 因子因子(factor)。 各因子的不同表現程度稱為各因子的不同表現程度稱為水準水準(level)。 不同因子的某種特定不同因子的某種特定水準組合水準組合稱為處理方式稱為處理方式(treatment)。統計學導論 chapter

3、12 變異數分析12-4 完全隨機化設計完全隨機化設計 變異數分析的原理與相關的計算變異數分析的原理與相關的計算 變異數分析的統計推論變異數分析的統計推論統計學導論 chapter 12 變異數分析12-5 完全完全隨機化實驗設計適用於隨機化實驗設計適用於一因子變異數分析一因子變異數分析；隨機化實驗設計則適用於二因子變異數分析。隨機化實驗設計則適用於二因子變異數分析。 常態分配或常態分配或t分配可用以檢定假設分配可用以檢定假設 h0:1=2，即，即h0:1=2= =k (k個母體個母體)。 所謂完全隨機化設計是由若干母體進行所謂完全隨機化設計是由若干母體進行獨立隨機獨立隨機抽樣抽樣，而每一個母

4、體均採用某種處理方式下的，而每一個母體均採用某種處理方式下的反反應變數應變數 (response variable) 。統計學導論 chapter 12 變異數分析12-6第2種處理方式之第1個觀察值統計學導論 chapter 12 變異數分析12-7 離差離差(deviation)：代表任一觀察值：代表任一觀察值 xi 與其平均數與其平均數的差，即的差，即。 變異變異(variation)：離差的平方，即：離差的平方，即；若將；若將所有變異加總，即構成離差的平方和所有變異加總，即構成離差的平方和(sum of square for deviation)。 變異數變異數(variance)：離

5、差的平方和除以自由度謂之，：離差的平方和除以自由度謂之，例如樣本變異數，例如樣本變異數， see example 12.2xixx2()ixx22() /1isxxn統計學導論 chapter 12 變異數分析12-8606890112統計學導論 chapter 12 變異數分析12-9 完全隨機化設計之變異數分析的基本假設完全隨機化設計之變異數分析的基本假設 每個反應變數的母體均為每個反應變數的母體均為常態分配常態分配。 每個母體的每個母體的變異數均相等變異數均相等。 抽自各母體的各組隨機樣本抽自各母體的各組隨機樣本互為獨立互為獨立。 see page 486 for more explan

6、ations 變異數分析係將平均數總變異按其發生來源予以分變異數分析係將平均數總變異按其發生來源予以分解解。由於每一。由於每一觀察值與總平均數觀察值與總平均數間差異間差異 ，一部分係機，一部分係機器器(處理方式處理方式)不同所致以不同所致以 表示之，一部份係相同機器之表示之，一部份係相同機器之量測隨機誤差量測隨機誤差(亦稱殘差亦稱殘差)所致，以所致，以 表示之。表示之。x-xjx-xijjx-xij統計學導論 chapter 12 變異數分析12-10)sse()ssw()ssb()(sstxxxxnxxxxxxxx)(jkjnikjnikjjjijjijjijjijj或殘差平方和組內平方和組

7、間平方和總平方和殘差變異處理方式變異總變異異關係出總變異與各種來源變將上式取平方合則可得殘差處理方式差異離差總差異222)()()()()(see explanations for example 12.2 on page 487.統計學導論 chapter 12 變異數分析12-11 同組內各別觀察值與其相對應處理方式之平均數之差同組內各別觀察值與其相對應處理方式之平均數之差異係隨機誤差所致，此類誤差乃由於實驗內容或測量異係隨機誤差所致，此類誤差乃由於實驗內容或測量儀器所造成，稱之為儀器所造成，稱之為殘差殘差(residual) 。 由隨機誤差所致之總變異稱為殘差變異，可藉由這些由隨機誤差所

8、致之總變異稱為殘差變異，可藉由這些殘差平方和求得，故又稱為殘差平方和求得，故又稱為殘差平方和殘差平方和(sse) 。 由於此種殘差係表現在同一種處理方式下由於此種殘差係表現在同一種處理方式下(同一組內同一組內) ，故亦稱為故亦稱為組內平方和組內平方和(sum of square within, ssw). see explanation for example 12.2 on page 487統計學導論 chapter 12 變異數分析12-12jijjjijjjjjiijiijjntxssesswntntssbntxsstxt222222jiij xt或則與see more explanat

9、ion on page 488 for example 12.2. 統計學導論 chapter 12 變異數分析12-13see page. 491統計學導論 chapter 12 變異數分析12-14變異來源變異來源處理方式處理方式殘差殘差總平方和總平方和總變異總變異平方和平方和(ss)自由度自由度(df)k1nkn1均方均方(ms)21()kjjjssbnxx211()jnkijjjissexx211()jnkijjisstxx1ssbmsbkssemsenk表表12-3 一般情形之完全隨機化設計的一般情形之完全隨機化設計的anovak:處理方式個數 n: 總數統計學導論 chapter

10、12 變異數分析12-15 完全隨機化設計的完全隨機化設計的f檢定檢定 0120(1,)khmsbffknkmseh：若若則則拒拒絕絕。(12-7)統計學導論 chapter 12 變異數分析12-16變異來源變異來源 處理方式處理方式殘差殘差總和總和平方和平方和(ss)6894162自由度自由度(df)31821均方均方(ms)22.675.22f-比值比值22.67/5.22=4.34表表12-4 表表12.2資料的資料的anova表表f0.05(3,18)=3.16 ffa reject hosee example. 12.4統計學導論 chapter 12 變異數分析12-17 聯立信

11、賴區間聯立信賴區間(小樣本小樣本) 組組(k表示處理方式的個數表示處理方式的個數)兩兩平均數差兩兩平均數差(ij)之之100(1)%聯立信賴區間為聯立信賴區間為其中其中，m=兩兩平均數差的組數，且兩兩平均數差的組數，且 表示自由度為表示自由度為nk 之之t分配的分配的上界點上界點/(2m)。使用此方法，保證所有使用此方法，保證所有m組組(兩兩平均數差兩兩平均數差)信賴區信賴區間同時成立的機率至少為間同時成立的機率至少為(1)。2kmcpsmse/2mt/ 211()ijmpijxxtsnnsee page. 496497 for more explanations統計學導論 chapter 1

12、2 變異數分析12-18see example 12.5 and example 12.6統計學導論 chapter 12 變異數分析12-19 隨機化區集設計隨機化區集設計 二因子變異數分析二因子變異數分析(不含交互作用不含交互作用)統計學導論 chapter 12 變異數分析12-20統計學導論 chapter 12 變異數分析12-21 總差異總差異=處理方式差異處理方式差異+區集因素差異區集因素差異+殘差殘差 總變異總變異=處理方式的變異處理方式的變異+區集因素的變異區集因素的變異+殘差變殘差變異異() () ()ijjiijjixxtxbxxtbx(12-10)21111211()(

13、)()()kbkbijjijijikbijjijixxbtxkbxxtbx(12-11)統計學導論 chapter 12 變異數分析12-22 總平方和總平方和(sst)=處理方式平方和處理方式平方和(sstr)+區區集因素平方和集因素平方和(ssbl)+殘差平方和殘差平方和(sse) 統計學導論 chapter 12 變異數分析12-23222222222()()()ijijjijijjjiiitsstxxxnttsstrbtxbnbtssblkbxknssesstsstrssbl(12-12)統計學導論 chapter 12 變異數分析12-24總平方和的自由度總平方和的自由度df(sst

14、)=n1處理方式平方和的自由度處理方式平方和的自由度df(sstr)=k1區集因素平方和的自由度區集因素平方和的自由度df(ssbl)=b 1殘差平方和的自由度殘差平方和的自由度df(sse)=df(sst) df(sstr) df(ssbl)=(k1)(b1) (12-13)統計學導論 chapter 12 變異數分析12-25變異來源變異來源處理方式處理方式區集因素區集因素殘差殘差總和總和平方和平方和(ss)sstrssblssesst自由度自由度(df)k1b1(k1)(b1)n1=kb1均方均方(ms)f比值比值1sstrmstrk1ssblmsblb(1)(1)ssemsekb1ms

15、trfmse2msblfmse表表12.7 隨機化區集設計之隨機化區集設計之anova表表統計學導論 chapter 12 變異數分析12-26 h0：1=2=k 01210201,(1)(1)1,(1)(1)bhmstrffkkbhmsemsblffbkbhmse：若，則拒若，則拒絕絕 ：若，則拒若，則拒絕絕 ：統計學導論 chapter 12 變異數分析12-27 因子設計因子設計 二因子變異數分析二因子變異數分析(含交互作用含交互作用)統計學導論 chapter 12 變異數分析12-28統計學導論 chapter 12 變異數分析12-29統計學導論 chapter 12 變異數分析1

16、2-30銷售額銷售額銷售額銷售額低價低價高價高價低價低價高價高價包裝包裝2包裝包裝1包裝包裝2包裝包裝1圖圖12.2 判斷是否有交互作用的圖例判斷是否有交互作用的圖例無交互作用可能有交互作用統計學導論 chapter 12 變異數分析12-31包裝包裝2包裝包裝1(c)售價售價銷售額銷售額低價低價高價高價圖圖12.2 判斷是否有交互作用的圖例判斷是否有交互作用的圖例(續續)有交互作用統計學導論 chapter 12 變異數分析12-32統計學導論 chapter 12 變異數分析12-33統計學導論 chapter 12 變異數分析12-34 對對(12-14)式兩邊取平方，即可得出總變異與各

17、種式兩邊取平方，即可得出總變異與各種來源變異的關係式來源變異的關係式總變異總變異=a因子變異因子變異+b因子變異因子變異+ab因子交互作用因子交互作用變異變異+殘差變異殘差變異(12-14)() () ()()ijkijijijijkijxxxxxxxxxxxx統計學導論 chapter 12 變異數分析12-35222111112112111()()()()()abnabijkijijkijabijijijabnijkijijkxxnbxxnaxxnxxxxxx(12-15) 總平方和總平方和(sst)=a因子平方和因子平方和(ssa)+b因子平方和因子平方和(ssb)+ab因子交互作用平方

18、和因子交互作用平方和(ssab)+殘差平方殘差平方和和(sse) 統計學導論 chapter 12 變異數分析12-36變異來源變異來源a因子因子b因子因子a b 交 互交 互作用作用殘差殘差總和總和平方和平方和(ss)ssassbssabssesst自由度自由度(df)a1b1(a1)(b1)nrabnr1均方均方(ms)f比值比值1ssamsaa1ssbmsbb(1)(1)ssabmsababtssemsenab1msafmse2msbfmse3msabfmse表表12.9 因子設計之因子設計之anova表表統計學導論 chapter 12 變異數分析12-370012012301020(

19、1)(1),;(1,);(1,)ijabttthhhmsabffabnabhmsemsaff anabhmsemsbff bnabhmse：皆：皆相相等等：若，則拒若，則拒絕絕若，則拒若，則拒絕絕若，則拒若，則拒絕絕。ll統計學導論 chapter 12 變異數分析12-38descriptives產量512.003.0821.3788.1715.83815417.003.1621.58111.9722.031421716.001.414.53514.6917.311418615.001.673.68313.2416.7612172215.002.777.59213.7716.23821123

20、4totalnmeanstd. deviationstd. errorlower bound upper bound95% confidence interval formeanminimummaximum統計學導論 chapter 12 變異數分析12-39統計學導論 chapter 12 變異數分析12-40tests of between-subjects effectsdependent variable: 產量202.000a633.66712.242.00140560.000140560.00014749.091.000130.000265.00023.636.00072.0004

21、18.0006.545.01222.00082.75040784.00015224.00014sourcecorrected modelintercept機器作業員errortotalcorrected totaltype iii sumof squaresdfmean squarefsig.r squared = .902 (adjusted r squared = .828)a. 統計學導論 chapter 12 變異數分析12-411. 機器dependent variable: 產量49.000.74247.29050.71056.000.74254.29057.71051.000.7

22、4249.29052.710機器123meanstd. errorlower bound upper bound95% confidence interval2. 作業員dependent variable: 產量55.000.95752.79257.20851.000.95748.79253.20849.000.95746.79251.20854.000.95751.79256.20851.000.95748.79253.208作業員12345meanstd. errorlower bound upper bound95% confidence interval統計學導論 chapter 1

23、2 變異數分析12-42tests of between-subjects effectsdependent variable: 產量224.000a1416.000.40560.000140560.000.130.000265.000.72.000418.000.22.00082.750.0000.40784.00015224.00014sourcecorrected modelintercept機器作業員機器 * 作業員errortotalcorrected totaltype iii sumof squaresdfmean squarefsig.r squared = 1.000 (adjusted r squared = .)a. 統計學導論 chapter 12 變異數分析12-43tests of between-subjects effectsdependent variable: 產量202.000a633.66712.242.00140560.000140560.00014749.091.000130.000265.00023.636.00072.000418.0006.545.01222.00082