高等数学II(微积分龚德恩范培华)26函数的连续性与间断点

1、1第二章 极限与连续2.1 2.1 数列极限数列极限2.2 2.2 函数极限函数极限 极限的基本性质极限的基本性质2.3 2.3 无穷大与无穷小无穷大与无穷小2.4 2.4 极限的运算法则与复合函数的极限极限的运算法则与复合函数的极限2.5 2.5 极限存在定理与两个重要的极限极限存在定理与两个重要的极限2.6 2.6 函数连续性函数连续性22.6 函数连续性函数连续性一一、函函数数连连续续二二、函函数数的的间间断断点点三三、初初等等函函数数的的连连续续性性四四、闭闭区区间间上上的的连连续续函函数数30( )1 yf xx 设设函函数数在在点点的的某某邻邻域域内内定定义义有有定定义义，如如果果

2、00lim( )(),xxf xf x 0( )f xx在在点点则则称称函函数数连连续续。00 ( ) ),1(f xxf xx函函数数在在点点有有极极限限是是在在点点连连续续的的必必要要条条件件注注00( )lim( ) ,xxf xxf x即即在在点点连连续续必必须须要要存存在在； 但但反反之之不不然然 00lim( )()xxf xf x存存在在，并并不不意意味味着着此此极极限限值值必必为为，甚甚至至00 lim ( )2 ( )xxf xf xx在在讨讨论论是是否否存存在在时时，只只要要求求在在注注的的去去心心0( )f xx邻邻域域中中有有定定义义，但但在在讨讨论论在在点点的的连连续

3、续时时，0( )f xx必必须须在在 的的某某邻邻域域内内有有定定义义。一一、连连续续函函数数0()f x 可可能能无无意意义义。4函数函数 f (x ) 在点在点 x0 处连续处连续, 应该满足应该满足以下以下三点三点：(1) f (x) 在在 x0的邻域的邻域内有定义；内有定义； (包括在点包括在点 x0 处有定义处有定义)00(3) lim( )() .xxf xf x(极限值等于函数在点极限值等于函数在点 x0 处的函数值处的函数值)0(2) lim( ) xxf x存存在在 ；) )( , ( 0有极限时xfxx 5相相应应于于函函数数左左、右右极极限限的的概概念念，关关于于连连续续

4、性性有有0( )2 yf xx 假假设设函函数数在在左左点点及及其其一一个个( (定定义义右右) )邻邻域域中中有有定定义义，如如果果0000lim( )(lim()()xxxxf xff xf xx 0( )xf x 在在点点( (右右则则称称左左函函数数) )连连续续。00( )2 ( )f xxf xx函函数数在在点点连连续续在在点点左左注注、右右都都连连续续，即即000().()ff xxf x 0000lim( )1 (, li()m( ).)xxxxff xfxxxf 注注记记 函数在点函数在点 x0 连续连续, 等价于它在点等价于它在点 x0 既既左连续左连续又又右连续右连续.6

5、,0, |0,0,1 xxyxxxx 讨讨论论绝绝对对值值函函数数在在处处的的连连续续性性。例例0|lim0 xx0| 00 xxxy y = | x | 在点 x = 0 处连续.xyy = | x |o解解7,0,( )2cos ,0,xaexf xaxx 设设是是连连续续函函练练数数，求求习习。0lim( )xf x 0limxxae a 0lim( )xf x 0lim 2cosxx 3 解解,)0(af 000()()( ),fff要要使使3,a3,a 故故当当且且仅仅当当时时.0)(处连续处连续在在函数函数 xxf8( )3,f xii 假假设设函函数数在在区区间间 上上有有定定义

6、义 且且在在定定义义中中的的每每一一点点( )f xi处处都都连连续续，则则称称是是 上上连连续续。(1 )if x 如如区区间间 有有左左( (右右) )端端点点, ,则则在在这这个个端端点点处处右右注注( (左左) )连连续续。(2 ) f xd 如如果果函函数数在在其其定定义义域域中中的的每每一一点点注注都都连连续续，则则称称( )f xd是是上上的的连连续续函函数数。( )3 yf xi 如如果果函函数数是是区区间间 上上的的连连续续函函数数注注，则则它它的的图图形形:( )()cyf xxi是是一一条条连连续续曲曲线线。4 yc 常常数数函函数数（常常数数）是是连连注注续续函函数数。

7、9sin yxr 例例2 2 证证明明：正正弦弦函函数数是是上上的的连连续续函函数数。0 xr解解 00lim sinsinxxxx 0002limcos22xxxx xx sinyxr正正弦弦函函数数是是上上的的连连续续函函数数。000lim 2cossin22xxxxxx 00000sin22limcos222xxxxxxxxxx 0 10练习练习 讨论函数讨论函数 f (x) =x2, x 1,在在 x = 1 处的连续性处的连续性.1lim)(lim211xxfxx2) 1(lim)(lim11xxfxx, 1) 1 (12xxf 函数函数 f (x) 在点在点 x = 1 处不连续处

8、不连续.但函数但函数 f (x) 在点在点 x = 1 处是左连续的处是左连续的.x + 1, x 1, 解解(1) f(1) f11二二、函函数数的的间间断断点点0( )f xx函函数数在在点点处处连连续续必必须须满满足足以以下下三三个个条条件件：0 ( )f xx(1)(1)在在有有定定义义；0 lim( )xxf x(2)(2)存存在在；00 lim( )()xxf xf x (3)(3)。间间断断点点：0 ( )f xx(1)(1)在在无无定定义义；0 lim( )xxf x(2)(2)不不存存在在；00 lim( ), ()xxf xaaf x(3)(3)。12函数间断点的函数间断点

9、的分类分类 函数的间断点函数的间断点第一类间断点第一类间断点第二类间断点第二类间断点跳跃跳跃可去可去无穷无穷振荡振荡其它其它1300lim(a)lim( )xxxxf xf x ，. . 都都存存在在000(1) lim( )lim( );xxxxf xf xx 这这时时称称为为0000(2) lim( )lim( ),lim( )()xxxxxxf xf xf xf x 这这时时存存在在，但但没没有有000lim(,)()xxf xfxx 或或定定义义不不满满足足有有定定义义而而则则称称为为可可去去间间断断点点。跳跳跃跃间间断断点点0( )xf x以以上上两两类类称称为为函函数数的的第第一一

10、类类间间断断点点；左、右极限存在但不相等的间断点左、右极限存在但不相等的间断点, 称为函数的称为函数的跳跃跳跃间断点间断点.1421 11xyxx 例例3 3 判判断断函函数数在在处处的的连连续续性性。函数在函数在 x = -1 无定义无定义,2111121 limlim()xxxxx 而而故故 x =-1 为函数的第一类间断点为函数的第一类间断点. x =-1 为函数的间断点为函数的间断点.yxo-11p(-1,-2) 进一步分析该间断点的特点进一步分析该间断点的特点.解解补充定义补充定义则函数则函数 f *(x) 在在 x =-1 连续连续.f * (x) =2111 xxx -2 x =

11、 -1 15故将这种间断点称为故将这种间断点称为可去间断点可去间断点. .间断点处函数值后间断点处函数值后, , 可得到一个新的连续函数可得到一个新的连续函数 , , 在且相等在且相等, , 即极限存在即极限存在, ,经过经过补充补充（改变改变）定义）定义这个间断点的特点是该处的左、右极限存这个间断点的特点是该处的左、右极限存 补充定义补充定义f * (x) =)(lim0 xfxx, , x = x0 , )(0 xxxf1621,1 ( )121,1xxf xxxx 例例4 4 判判断断函函数数在在处处的的连连续续性性。1lim( )xf x 1lim(21)xx 1 1lim( )xf

12、x 1lim 21xx 3 解解13( ),f 111()()( ),fff1( ).f xx 函函数数在在处处不不连连续续yxo3)(xfy 11且且 x =1 为函数的第一类间断点为函数的第一类间断点(跳跃间断点跳跃间断点).1720, ( )0sin,0 xf xxxxx ，判判断断函函数数在在例例5 5处处的的连连续续性性。02( ) f 0 lim( )xf x 00 lim( )( )xf xf故故 x = 0 是是 f (x) 的第一类间断点的第一类间断点（可去间断点）（可去间断点）.01sinlimxxx 解解18 跳跃型间断点跳跃型间断点 可去间断点可去间断点 第一类间断点第

13、一类间断点 左右极限存在左右极限存在 极限不相等极限不相等 极限相等、补充定义极限相等、补充定义1900lim( )lim)b(xxxxf xf x. . 至至少少有有，一一个个不不存存在在，0( )xf x第第那那么么称称为为函函数数的的二二类类间间断断点点；00(1) lim( ) lim( )xxxxf xf x ，中中至至少少有有一一个个是是 ，则则称称为为无无穷穷间间断断点点。00(2) lim( ) lim( )xxxxf xf x ，都都不不存存在在，且且不不为为 。20 tan2yxx 例例6 6 判判断断函函数数在在处处的的连连续续性性。xyotanyx 22lim( )li

14、m tan,xxf xx 2tanxx 故故是是的的第第二二类类间间断断点点2 limtanxx 所以称它为所以称它为无穷无穷间断点间断点.由于由于解解22lim( )lim tan,xxf xx 2 211 sin0yxx例例判判断断函函数数在在处处7 7的的连连续续性性。在在 x = 0 处无定义处无定义,xxf1sin)(. 0 为函数的间断点x又又xxfxx1sinlim)(lim00不存在不存在,故故 x = 0 为函数的第二类间断点为函数的第二类间断点. 看看该函数的图形看看该函数的图形.解解o11xy 1sinxy 1 0 ( )sin . xf xx振振型型间间断断点点荡荡称称

15、为为的的221 sin0yxxx判判断断函函数数在在例例8 8处处的的连连续续性性。在在 x = 0 处无定义处无定义,1( )sinf xxx . 0 为函数的间断点x又又001lim( )limsinxxf xxx =0,故故 x = 0 为函数的第为函数的第一一类间断点类间断点（可去间断点）（可去间断点）.解解23 无穷型间断点 其它间断点 第二类间断点左右极限至少有一个不存在左右极限至少有一个为无穷 振荡型间断点 左右极限至少有一个振荡24三三、初初等等函函数数的的连连续续性性根根据据连连续续函函数数的的定定义义和和极极限限的的运运算算法法则则，易易知知：00( )( )1 0f xg

16、 xxxx 如如果果函函数数与与在在处处连连续续，则则它它们们的的( (分分母母不不定定理理 为为 ) )都都在在 和和、差差、积积、商商处处连连续续。有有可可以以推推广广到到限限个个函函数数25000( )( )()g xxf uug x 设设函函数数在在点点连连续续定定，函函数数在在点点理理2 2 0 ( )f g xx连连续续，则则复复合合函函数数在在点点连连续续。00lim( ( )(lim( )xxxxf g xfg x （1） 极限符号极限符号可与可与连续函数符号连续函数符号交换顺序交换顺序.（2）内层函数有极限，外层函数在极限值点处连续内层函数有极限，外层函数在极限值点处连续 推

17、论推论复合函数连续性定理复合函数连续性定理26 函数连续性的重要结论：函数连续性的重要结论：1. 连续函数的连续函数的反函数反函数是是连续函数连续函数；2. 由连续函数复合而成的由连续函数复合而成的复合函数复合函数也是也是连续函数连续函数；3. 基本初等函数在它们的基本初等函数在它们的定义域内定义域内都是连续的；都是连续的；4. 初等函数在其初等函数在其定义区间定义区间内都是连续的。内都是连续的。 注意两者的区别！注意两者的区别！例子例子常数函数、反、对、幂、指、三常数函数、反、对、幂、指、三幂指函数幂指函数27xy2211oarcsin 1, 1 在在连连续续增增加加单单调调yx22xy11

18、osin, 22在在连连续续增增加加单单调调yx 280lg(100) lim.arcsin9xxxax 例例 求求1000lg()limarcsinxxxax 原原式式解解100000limlg()limlimarcsinxxxxxax 100100lglim()xx 100lg 2 连续性给极限运算带连续性给极限运算带来很大方便来很大方便.290ln(1) lim.xxx 例例1 1求求0 00ln(1) limxxx 解解10=limln(1)xxx 10=lim(l)n1xxx =lne=1ln(1)xx 001(1)1 (1)lim; (2)limxxxaxxx 求求练练习习 (1)

19、 1,xua令令解解ln(1),lnuxa 则则00 xu时时，01limxxax 0lnlimln(1)uuau 0ln limln(1)uuau lna 1xex 0(1)1(2) limxxx ln(1)01limxxex 0ln(1)limxxx (1)1xx 30小结小结1.函数在一点连续必须满足的三个条件函数在一点连续必须满足的三个条件;2.区间上的连续函数区间上的连续函数;3.间断点的分类与判别间断点的分类与判别;间断点间断点第一类间断点第一类间断点: 可去，跳跃可去，跳跃.第二类间断点第二类间断点: 无穷，振荡无穷，振荡.(见下图见下图)31第一类间断点第一类间断点oyx0 x

20、可去型可去型oyx0 x跳跃型跳跃型第二类间断点第二类间断点oyx0 x无穷型无穷型oyx振荡型振荡型32基本初等函数在基本初等函数在定义区间定义区间内连续内连续连续函数的连续函数的四则运算四则运算的结果连续的结果连续连续函数的连续函数的反函数反函数连续连续连续函数的连续函数的复合函数复合函数连续连续初等函数在初等函数在定义区间内定义区间内连续连续说明说明: 分段函数在分段函数在界点处界点处是否连续需讨论其左、右连续性是否连续需讨论其左、右连续性.4.33四四、闭闭区区间间上上连连续续函函数数的的性性质质0( ),f xixiix 函函数数在在区区间间 上上有有定定义义，若若存存在在使使得得对

21、对 内内定定 一一切切义义，恒恒有有00 ( )() (ff xxxff x 或或 0()( )f xf xi则则称称是是在在 上上的的或或最最大大值值最最小小值值。最最大大值值与与最最小小值值合合称称最最值值。34()() 闭闭区区间间上上的的连连续续函函数数必必有有定定理理 最最大大值值和和最最值值定定理理最最小小值值。( ) , f xa b即即如如函函数数在在上上连连续续，则则必必12()( )()( , )f xf xf xxa b 12, , xxa b 有有点点使使得得1x2x baxyo( )yf x ()() 闭闭区区间间上上的的连连推推论论 续续函函数数有有界界性性定定理理

22、必必有有界界。35xyo2 )(xfy xyo)(xfy 211注意注意: :1.若区间是开区间若区间是开区间, 定理不一定成立定理不一定成立; 2.若区间内有间断点若区间内有间断点, 定理不一定成立定理不一定成立.36( ) , f xa b()()设设函函数数在在介介值值定定理理 闭闭区区间间上上定定理理连连续续，且且在在( )( ),f aaf bba区区间间的的端端点点取取不不同同的的函函数数及及那那么么对对于于( )fc 使使得得。( , ),bca b 与与之之间间的的任任意意一一个个数数，在在开开区区间间内内至至少少有有一一点点mm闭闭区区间间上上连连续续函函数数必必取取得得介介

23、于于最最大大值值推推 与与最最小小值值论论之之间间的的任任何何值值。1 2 baxyo( )yf x abc3 几几何何意意义义：( )yf xab 连连续续曲曲线线与与数数和和数数之之间间的的yc 任任一一条条水水平平直直线线至至少少有有一一个个交交点点。37零零点点定定理理存存( (定定理理 在在定定理理) )( )( ) , ( ,( ),f a f bf xa ba b 设设函函数数在在闭闭区区间间上上连连续续，且且，则则至至少少存存在在一一点点00使使得得( )0f 。 baxyo( )yf x 几何解释几何解释:( ),.连连续续曲曲线线的的两两个个端端点点位位于于 轴轴的的不不同同侧侧则则曲曲线线与与 轴轴至至少少有有一一个个交交点点yf xxx3832 310(0,1)xx证证明明方方程程在在区区间间内内至至