定积分的应用1609

1、 二、旋转体的体积二、旋转体的体积 一、平面图形的面积一、平面图形的面积 微元分析法微元分析法( (预备知识预备知识) ) 四、连续函数在己知区间上的平均值四、连续函数在己知区间上的平均值the application of definite integralthe application of definite integral (1)分割分割各小区间表示为：各小区间表示为： (2)近似代替近似代替 (3)求和求和 (4)取极限取极限定积分定义的定积分定义的 四步骤四步骤ix (1,2, );in (1,2, );in 把区间把区间 a , b 分成个分成个n小区间小区间，iixf )(1(

2、);niiifx 01( )lim().nbiiaif x dxfx 最关键的一步最关键的一步应用微元法解决定积分应用问题的步骤应用微元法解决定积分应用问题的步骤(1)选取积分变量，确定它的变化区间选取积分变量，确定它的变化区间(3)求定积分，得所求整体量求定积分，得所求整体量(求整体量求整体量q)baqf ( x )dx. (2)列出微元列出微元 ( (局部近似值）；局部近似值）；dxxfdq)( ;,ba相应地小区间上的近似值为相应地小区间上的近似值为: : 0yabx x+ +dx.y=f (x)x( ).baaf x dx af x dx( ), f( (x) )dx称为微元，称为微元

3、，( ) , yf xa b 设设函函数数在在区区间间上上连连续续， , ,a bx xdx ( (1 1) )在在区区间间上上，任任取取一一个个小小区区间间， , a bda( (2 2) )在在区区间间上上，求求的的定定积积分分，得得( ).daf x dx 记作记作一、微元分析法一、微元分析法二、平面图形的面积二、平面图形的面积故面积微元为：故面积微元为：( )( ).baaf xg x dx 说明说明)0)()()(),( xgxfxgyxfy设设平平面面图图形形由由连连续续曲曲线线围围成成，及及直直线线)(,abbxax a求求其其图图形形的的面面积积 ，上上取取小小区区间间在在,)

4、1(dxxxba 的的矩矩形形面面积积，底底为为，相相应应的的面面积积近近似似于于高高为为dxxgxf)()( dxxgxfda)()( 进进行行定定积积分分，得得上上对对在在daba,)2(1)()()()()fxg xfxg x 这这个个公公式式不不论论与与的的位位置置如如何何，只只要要总总是是成成立立；oxyabx x+ +dx( )yf x ( )yg x .2( ),( ) ( )( ),()xyxyyyyc yd dc（ ）曲曲线线及及直直线线所所围围成成的的平平面面图图形形的的面面积积为为：dcayy dy ( )( ). oxydc( )xy ( )xy 例例3-41 计算由两

5、条抛物线计算由两条抛物线 所围成图形的面积所围成图形的面积. 面积公式面积公式 ( )( ).baaf xg x dx 222,yxyx解解 先画草图先画草图解方程组解方程组得两条抛物线的交点为得两条抛物线的交点为(-1,1), (1,1)选取横坐标为积分变量，选取横坐标为积分变量，则积分区间为则积分区间为-1,1 ;由面积公式，得所求图形面积为：由面积公式，得所求图形面积为：oxy1222yxyx 1221(2)axx dx 121(22)xdx 1204(1)xdx 31043xx 8.3 - -122yx2yx 例例3-42 求椭圆求椭圆 的面积的面积.12222 byax解解上半椭圆的

6、方程为：上半椭圆的方程为：由椭圆的对称性及定积分的几何意义，由椭圆的对称性及定积分的几何意义，得所求图形的面积为得所求图形的面积为: 0 xy-aa-bb22.byaxadxxaabaa2204 dxxaaba 0224442aab 作出草图作出草图. .ab 例例3-43 求抛物线求抛物线 与直线与直线 所围图形面积所围图形面积.解解解方程组解方程组则积分区间为则积分区间为-2,4由相应的面积公式，得所求图形面积为由相应的面积公式，得所求图形面积为面积公式面积公式 ( )( ).dcayy dy 0-24 422xyxy作出草图作出草图.dyyya2)4(422 42326142 yyyxy

7、22 4 xy)4 , 8(),2, 2(ba 得交点得交点选取纵坐标选取纵坐标y为积分变量，为积分变量，.18 xy22 4 xyabxy0 xyy2 = 2xy = x-4ab8(2,-2)(8，4)若选取横坐标为积分变量，则若选取横坐标为积分变量，则dxxxdxxxa)4(2)2(28220 旋转体旋转体就是由一个平面图形饶这平面内一条就是由一个平面图形饶这平面内一条直线旋转一周而成的立体这直线叫做直线旋转一周而成的立体这直线叫做旋转轴旋转轴圆柱圆柱圆锥圆锥圆台圆台三、旋转体的体积三、旋转体的体积1. 什么叫旋转体什么叫旋转体从而得体积微元从而得体积微元 badxxfv)(2 badxy

8、2 0 xyab（公式）（公式）1. 设旋转体是由连续曲线设旋转体是由连续曲线y =f (x)，直线，直线x=a ,x = b及及x 轴所围轴所围成的平面图形绕成的平面图形绕x轴旋转一周而成的轴旋转一周而成的; 求其体积求其体积v.，上上任任取取一一个个小小区区间间）在在（,1dxxxba 轴的截面，轴的截面，作垂直于作垂直于过点过点xdxxx ,2 ( ).dvf xdx dxxfv2)( 近近似似于于积积截截得得的的小小旋旋转转体体薄薄片片体体 dxxfv2)( 即即)(xfy dxx x体积：体积：上积分，便得旋转体的上积分，便得旋转体的在在为被积表达式，为被积表达式，）以）以（,)(2

9、2badxxf dcdyyv)(2 2.dcx dy （公式）（公式）0 xy( ) xydc2.( ),xyyc ydyy 由由曲曲线线与与直直线线及及 轴轴所所围围成成的的平平面面图图形形绕绕 轴轴旋旋转转一一周周所所得得旋旋转转体体的的体体积积为为例例3-44 求由椭圆求由椭圆 绕绕x轴旋转而成的旋转体的体积轴旋转而成的旋转体的体积. 解解 所求的椭球体体积如图所示，所求的椭球体体积如图所示，椭圆上半部的方程是椭圆上半部的方程是由椭球的对称性及体积公式由椭球的对称性及体积公式,得所求体积为得所求体积为 badxxfv)(2 2.bay dx 绕绕x轴旋转的旋转体体积公式轴旋转的旋转体体积

10、公式012222 byax22xaaby dxxaabva)(222022 axxaab0322232 24.3ab xybb a a练习练习 解解圆的方程可改写成圆的方程可改写成绕绕y轴旋转的旋转体体积公式：轴旋转的旋转体体积公式： dcdyyv)(2 2.dcx dy 0 xy22yrax 22yrax 22yrax dyyravrr222)( dyyrarr222)( rrdyyra224 rdyyra0228 482ra 为左半圆的方程为左半圆的方程.为右半圆的方程为右半圆的方程;所求体积如图所示所求体积如图所示.222.ar 222()(0)xayrray 求求圆圆绕绕 轴轴旋旋转转

11、所所得得旋旋转转体体的的体体积积. .例例3-45 求由抛物线求由抛物线2yx 直线直线 2x 及及x轴所围成的平面轴所围成的平面图形绕图形绕 y 轴旋转一周所得的体积轴旋转一周所得的体积. .解解 旋转体的图形如图，旋转体的图形如图， 所求体积为圆柱体的体积减去中间所求体积为圆柱体的体积减去中间杯状体的体积：杯状体的体积：xy0- -2244202yvdy 420()ydy 40(4)y dy 42042yy 8 . 旋转体积积公式旋转体积积公式2( )dycvy dy 2dcx dy 四、连续函数在己知区间上的平均值四、连续函数在己知区间上的平均值问题：问题：求连续函数求连续函数 y=f(

12、x)在区间在区间a, b上的平均值上的平均值.解决问题的步骤解决问题的步骤(1) 把区间把区间a,b分为分为n等份等份，设分点为设分点为0121nnaxxxxxb 分得的各小区间的长度为：分得的各小区间的长度为：baxn. 各分点处相应的函数值分别为各分点处相应的函数值分别为nnf af xf xf xf xf xf b0121( )(),(),(),(),()( ) (2) 用用n个函数值个函数值nnf xf xf xf x121(),(),(),() 的算术平均值的算术平均值近似表示函数近似表示函数 在在 上的一切值的平均值，上的一切值的平均值，( )f x , a b即即12()()()

13、nf xf xf xyn 当当 时，即时，即 时，时，n 0 x 上式的极限就是函数上式的极限就是函数( )f x在区间在区间a, b上的平均值，上的平均值，即即12()()()limnnf xf xf xyn 11lim()niinif xxba 1( )baf x dxba baxn n xba 连续函数连续函数 y =f (x)在区间在区间a, b上的平均值公式：上的平均值公式：1( )bayf x dxba xnxxfxfxfnn )()()(lim21 abxxfxfxfnn )()()(lim21例例3-48 胰岛素平均浓度的测定胰岛素平均浓度的测定.解解 由平均值公式得：由平均值

14、公式得：注射后人体的血液中胰岛素的浓度注射后人体的血液中胰岛素的浓度c( (t)()(单位单位/ /ml) )为为(5)(10), 05( )25,5k ttttc tet (其中其中 ,时间时间t的单位是分钟的单位是分钟)ln220k 求血液中的胰岛素在一小时内的平均浓度求血液中的胰岛素在一小时内的平均浓度 .( )c t6001( )( )600c tc t dt 560051( )( )600c t dtc t dt 560(5)051(10)2560k ttt dtedt1(83.33614.12)611.62( 单单位位ml)ml)1. 微元分析法（预备知识）;2. 平面图形的面积;3. 旋转体的体积.4. 函数求平均值. ( )( )baaf xg x dx ( )( )dcayy dy 0 xyabyoxdc二、平面图形的面积二、平面图形的面积)(xfy )(xgy 1( ),( )( )( )yf xyg xf xg xxaxbbax 由由连连续续曲曲线线（，直直线线，（）及及 轴轴所所围围成成的的平平面面图图形形的的面面积积2( ),( )( )( )xyxyyyycyddcy 由由连连续续曲曲线线（，直直线线，（）及及 轴轴所所围围成成的的平平面面图图形形的的面面积积)(yx )(yx 三、旋