学案3平面向量的数量积27903

1、返回目录返回目录 1.平面向量的数量积的概念平面向量的数量积的概念（1）已知两个非零向量）已知两个非零向量a与与b，我们把数量，我们把数量 叫做向量叫做向量a和和b的数量积（或内积），记作的数量积（或内积），记作ab,即即ab= ，其中，其中是是a与与b的夹角，的夹角， 叫叫做向量做向量a在在b方向上（方向上（b在在a方向上）的投影方向上）的投影.规定：零向量与任一向量的数量积都为规定：零向量与任一向量的数量积都为0.|a|b|cos |a|b|cos |a|cos(|b|cos) 返回目录返回目录 （2）数量积的几何意义：数量积）数量积的几何意义：数量积ab等于等于a 的长度的长度|a|与与

2、 上的投影上的投影|b|cos的乘积的乘积.2.平面向量数量积的性质平面向量数量积的性质(1)如果如果e是单位向量，则是单位向量，则ae=ea= ;(2)ab a b=0且且ab=0 ab;(3)aa=|a|2或或 ;(4)cos= ;(5)|ab|a|b|.b在在a方向方向 |a|cos aaaa= = | |a a| | |b b|a a| |abab返回目录返回目录 3.平面向量数量积的运算律平面向量数量积的运算律（1）交换律：）交换律： ；（2）分配律：）分配律： ；（3）数乘向量结合律：）数乘向量结合律： .4.向量的长度、距离和夹角公式向量的长度、距离和夹角公式(1)设设a=(a1

3、,a2),则则|a|= .(2)若若a(x1,y1),b(x2,y2)，则，则|ab|= .(3)设设a=(a1,b1),b=(a2,b2),则则cos=2 22 22 22 22 21 12 21 12 21 12 21 1b b+ +a ab b+ +a ab bb b+ +a aa a= =| |b b|a a| |ababab=ba (a+b)c=ac+bc ()a=(a) 2 22 22 21 1a a+ +a a2 21 12 22 21 12 2) )y y- -( (y y+ +) )x x- -( (x x返回目录返回目录 5.平面向量数量积的坐标表示平面向量数量积的坐标表示

4、（1）若）若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则则ab= .（2）若）若a=(x,y)，则，则|a|2=aa= ,|a|= .（3）若）若a=(x1,y1),b=(x2,y2)，则，则ab .x1x2+y1y2=0 x1x2+y1y2 2 22 2y y+ +x xx2+y2 返回目录返回目录 已知向量已知向量a=(cos x,sin x),b=(cos ,-sin ),且且x - , .(1)求求ab及及|a+b|;(2)若若f(x)=ab-|a+b|,求求f(x)的最大值和最小值的最大值和最小值.2 23 32 23 32 2x x2 2x x3 34 4返回目录返回目录 (1)ab

5、=cos xcos -sin xsin =cos2x, a+b=(cos x +cos ,sin x sin ), x ,cosx0, |a+b|=2cosx.利用数量积的坐标运算及性质即可求解利用数量积的坐标运算及性质即可求解,在求在求|a+b|时注意时注意x的取值范围的取值范围.2 23 32 23 32 2x x2 2x x2 23 32 2x x2 23 32 2x x|,|,cosxcosx| |2 2= =2cos2x2cos2x+ +2 2= =) )2 2x xsinsin- -x x2 23 3(sin(sin+ +) )2 2x xcoscos+ +x x2 23 3(co

6、s(cos= =b b+ +a a2 2, ,3 3- -4 4(2)由（由（1）可得）可得f(x)=cos2x-2cosx=2cos2x-2cosx-1=2(cosx- )2- .x , cosx1,当当cosx= 时时,f(x)取得最小值为取得最小值为- ;当当cosx=1时时,f(x)取得最大值为取得最大值为-1.返回目录返回目录 2 21 12 23 3, ,3 3- -4 42 21 12 21 12 23 3返回目录返回目录 (1)与三角函数相结合考查向量的数量积的坐标运与三角函数相结合考查向量的数量积的坐标运算及其应用是高考热点题型算及其应用是高考热点题型.解答此类问题解答此类问

7、题,除了要熟练除了要熟练掌握向量数量积的坐标运算公式、向量模、夹角的坐掌握向量数量积的坐标运算公式、向量模、夹角的坐标运算公式外，还应掌握三角恒等变换的相关知识标运算公式外，还应掌握三角恒等变换的相关知识. (2)求平面向量数量积的步骤求平面向量数量积的步骤:首先求首先求a与与b的夹角的夹角为为,0,180,再分别求再分别求|a|,|b|,然后再求数量然后再求数量积即积即ab=|a|b|cos,若知道向量的坐标若知道向量的坐标 a=(x1,y1), b= (x2,y2),则则ab=x1x2+y1y2.已知已知|a|=3,|b|=4,且且a与与b的夹角为的夹角为=150,求求ab,(a-b)2,

8、|a+b|.ab=|a|b|cos=-6 .（a-b）2=|a|2+|b|2-2ab=25+12 .|a+b|= 返回目录返回目录 3 33 33 31 12 2- -2 25 5= =b b+ +2 2a ab b+ +a a= =b b) )+ +( (a a2 22 22 2返回目录返回目录 设向量设向量a,b,c满足满足a+b+c=0,(a-b)c,ab.若若|a|=1,则则|a|2+|b|2+|c|2的值是的值是 .由垂直的充要条件由垂直的充要条件,寻找寻找|a|,|b|,|c|之间的关系之间的关系.ab,b=-a-c,ab=a(-a-c)=-|a|2-ac=0,ac=-|a|2=-

9、1.又又(a-b)c,(a-b)c=0,ac=bc=-1.a=-b-c,|a|2=|b|2+|c|2+2bc,|b|2+|c|2=|a|2-2bc=3,|a|2+|b|2+|c|2=4.返回目录返回目录 垂直问题是一个重要的知识点垂直问题是一个重要的知识点,在高考题中常常在高考题中常常出现出现,常与向量的模、向量的坐标表示等联系在一起，常与向量的模、向量的坐标表示等联系在一起，要特别注意垂直与平行的区别要特别注意垂直与平行的区别.若若a=(a1,a2),b=(b1,b2),则则ab a1a2+b1b2=0,ab a1b2-a2b1=0.返回目录返回目录 已知已知a=(cos,sin),b=(c

10、os,sin)(0).(1)求证求证:a+b与与a-b互相垂直互相垂直;(2)若若ka+b与与a-kb的模相等的模相等,求求-(其中其中k为非零实数为非零实数).(1)证明证明:(a+b)(a-b)=a2-b2=|a|2-|b|2=(cos2+sin2)-(cos2+sin2)=0,a+b与与a-b互相垂直互相垂直.(2)ka+b=(kcos+cos,ksin+sin),a-kb=(cos-kcos,sin-ksin),|ka+b|= ,|a-kb|= .|ka+b|=|a-kb|,2kcos(-)=-2kcos(-).又又k0,cos(-)=0.而而0,-= .返回目录返回目录 1 1+ +

11、) )- -2kcos(2kcos( + +k k2 22 2k k+ +) )- -2 2k kc co os s( (- -1 12 2返回目录返回目录 设两个向量设两个向量e1,e2满足满足|e1|=2,|e2|=1,e1与与e2的夹角为的夹角为 ,若向量若向量2te1+7e2与与e1+te2的夹角为钝角的夹角为钝角,求实数求实数t的范围的范围.由公式由公式cos= 可得可得若为钝角若为钝角,则则cos0,即即ab0,从而可求出从而可求出的取值范围的取值范围,同时要注同时要注意共线反向意共线反向,即即=这一情况这一情况.3 3| |b b| | |a a| |a ab b返回目录返回目录

12、 由向量由向量2te1+7e2与与e1+te2的夹角为钝角的夹角为钝角,得得 即即(2te1+7e2)(e1+te2)0,化简即得化简即得2t2+15t+70,解得解得-7 t - .当夹角为当夹角为时，也有时，也有(2te1+7e2)(e1+te2)0,但此时夹角不是钝角，但此时夹角不是钝角，2te1+7e2与与e1+te2反向反向.设设2te1+7e2=(e1+ te2),0,0,0, | |tete+ +e e|7e7e+ +2te2te| |) )tete+ +)(e)(e7e7e+ +(2te(2te2 21 12 21 12 21 12 21 12 21 1 2t= 7=t 0,

13、所求实数所求实数t的范围是的范围是(-7, )( , ).可求得可求得 1 14 4- -= =2 21 14 4- -= =t2 21 14 4- -2 21 1- -返回目录返回目录 2 21 14 4- - （1）本题中）本题中,当当(2te1+7e2)(e1+te2) | |3 3b b- -a a| | |b b+ +2 2a a| |3 3b b) )- -a ab b) )( (+ +( (2 2a a= =c co os s返回目录返回目录 由由(2a+b)(a-3b)0得得2+-60,2或或0), 2=k =-3k, 故使向量故使向量2a+b和和a-3b夹角为夹角为0的的不存

14、在不存在.当当2或或-3时时,向量向量(2a+b)与与(a-3b)的夹角是锐角的夹角是锐角.解得解得k2=- . 3 32 2 返回目录返回目录 已知向量已知向量m=(cos,sin)和和n=( -sin,cos),(,2),且且|m+n|= ,求求cos( )的值的值.从向量的模入手，求出从向量的模入手，求出满足的条件满足的条件.2 25 52 28 88 8+ +2 2解法一解法一：由题意知：由题意知m+n=(cos-sin+ ,cos+sin),|m+n|=由已知由已知|m+n|= ,得得cos+ = .又又cos(+ )=2cos2( + )-1,cos2( )= .2, .cos(

15、)0.cos( )=- .返回目录返回目录 2 25 52 28 84 42 22 2sinsincoscos2 2sinsincoscos) )+ +(+() )+ +- -( () )4 4+ +c co os s( (+ +1 12 2= =) )4 4+ +4 4c co os s( (+ +4 4= =) )s si in n- -( (c co os s2 22 2+ +4 425257 74 48 82 28 8+ +2 2252516168 85 58 8+ +2 28 89 98 8+ +2 28 8+ +2 25 54 4返回目录返回目录 解法二解法二：|m+n|2=(m+

16、n)2=m2+2mn+n2=|m|2+|n|2+2mn+2cos( -sin)+sincos=4+2 (cos-sin)=4 1+cos(+ ) =8cos2( ).由已知由已知|m+n|= ,得得cos = .2, .cos( )0.cos( )=- .( () ) 2 22 22 22 22 22 2c co os s) )s si in n2 2s si in nc co os s+ +- -( (+ + += =2 22 24 48 8+ +2 2) )8 82 2( (+5 52 28 85 54 48 85 58 8+ +2 28 89 98 8+ +2 28 8+ +2 25 5

17、4 4返回目录返回目录 本题主要以向量作为载体，实质上是考查三角中本题主要以向量作为载体，实质上是考查三角中的求值问题，注意倍角公式的运用的求值问题，注意倍角公式的运用.设设abc的三个内角的三个内角a，b，c所对的边长分别为所对的边长分别为a,b,1，已知向量已知向量u=a(cosb,sinb),v=b(cosa,-sina).（1）如果）如果uv，指出，指出abc的形状，并说明理由的形状，并说明理由;（2）求）求|u+v|.返回目录返回目录 （1）由）由uv知知uv=0, 即即a(cosb,sinb)b(cosa,-sina)=0, cosbcosa-sinbsina=0, cos(a+b)=0.又又0a+b