多重积分第九章课件2

1、如果积分区域为：如果积分区域为：, bxa ).()(21xyx 其中函数其中函数 、 在区间在区间 上连续上连续.)(1x )(2x ,ba一、利用直角坐标系计算二重积分一、利用直角坐标系计算二重积分x型型)(2xy abd)(1xy dba)(2xy )(1xy 为曲顶柱体的体积为曲顶柱体的体积为底，以曲面为底，以曲面的值等于以的值等于以),(),(yxfzddyxfd 应用计算应用计算“平行截平行截面面积为已知的立面面积为已知的立体求体积体求体积”的方法的方法,a0 xbzyx)(0 xa),( yxfz)(1xy)(2xy.),(),()()(21 dbaxxdyyxfdxdyxf 得

2、得.),(),()()(21 ddcyydxyxfdydyxf 如果积分区域为：如果积分区域为：,dyc ).()(21yxy y型型)(2yx )(1yx dcdcd)(2yx )(1yx d x型区域的特点型区域的特点： 穿过区域且平行于穿过区域且平行于y轴的直轴的直线与区域边界相交不多于两个交点线与区域边界相交不多于两个交点. y型区域的特点型区域的特点：穿过区域且平行于穿过区域且平行于x轴的直轴的直线与区域边界相交不多于两个交点线与区域边界相交不多于两个交点.若区域如图，若区域如图，3d2d1d在分割后的三个区域上分别在分割后的三个区域上分别使用积分公式使用积分公式.321 dddd则

3、必须分割则必须分割.xy 1例例 1 1 改改变变积积分分 xdyyxfdx1010),(的的次次序序.原原式式 ydxyxfdy1010),(.解解积分区域如图积分区域如图xy 222xxy 例例 2 2 改改变变积积分分 xxxdyyxfdxdyyxfdx20212010),(),(2的的次次序序.原原式式 102112),(yydxyxfdy.解解积分区域如图积分区域如图例例 3 3 改变积分改变积分)0(),(20222 adyyxfdxaaxxax 的次序的次序.axy2 解解= ayaaaydxyxfdy02222),(原式原式 aayaadxyxfdy0222),(.),(222

4、2 aaaaydxyxfdy22xaxy 22yaax a2aa2a例例 4 4 求求 ddxdyyx)(2，其中，其中d是由抛物线是由抛物线2xy 和和2yx 所围平面闭区域所围平面闭区域.解解两两曲曲线线的的交交点点),1 , 1( ,)0 , 0(22 yxxy ddxdyyx)(2 1022)(xxdyyxdxdxxxxxx)(21)(42102 .14033 2xy 2yx 2xy 2yx 例例5 5 求求 dydxdyex22，其其中中 d 是是以以),1 , 1(),0 , 0()1 , 0(为为顶顶点点的的三三角角形形. dyey2无法用初等函数表示无法用初等函数表示解解 积积

5、分分时时必必须须考考虑虑次次序序 dydxdyex22 yydxexdy02102dyyey 10332210262dyyey ).21(61e 例例 6 6 计计算算积积分分 yxydxedyi212141 yyxydxedy121.解解 dxexy不不能能用用初初等等函函数数表表示示先先改改变变积积分分次次序序.原原式式 xxxydyedxi2211 121)(dxeexx.2183ee 2xy xy 例例 7 7 求由下列曲面所围成的立体体积，求由下列曲面所围成的立体体积，yxz ，xyz ，1 yx，0 x，0 y.解解曲面围成的立体如图曲面围成的立体如图., 10 yx,xyyx 所

6、求体积所求体积 ddxyyxv )( 1010)(xdyxyyxdx 103)1(21)1(dxxxx.247 所所围围立立体体在在xoy面面上上的的投投影影是是二重积分在直角坐标下的计算公式二重积分在直角坐标下的计算公式（在积分中要正确选择（在积分中要正确选择积分次序积分次序）二、小结二、小结.),(),()()(21 dbaxxdyyxfdxdyxf .),(),()()(21 ddcyydxyxfdydyxf y型型x型型设设)(xf在在1 , 0上上连连续续，并并设设adxxf 10)(， 求求 110)()(xdyyfxfdx.思考题思考题 1)(xdyyf不能直接积出不能直接积出,

7、改改变变积积分分次次序序. 令令 110)()(xdyyfxfdxi,思考题解答思考题解答则原式则原式 ydxyfxfdy010)()(.,)()(010 xdyyfdxxfxyo故故 110)()(2xdyyfdxxfi xdyyfdxxf010)()()()()(1010dyyfdxxfxx .)()(21010adyyfdxxf 一、一、 填空题填空题: : 1 1、 ddyyxx )3(323_._.其中其中 . 10 , 10: yxd 2 2、 ddyxx )cos(_._.其中其中d是顶是顶 点分别为点分别为 )0 , 0(，)0 ,( ，),( 的三角形闭区域的三角形闭区域 .

8、 . 3 3、将二重积分、将二重积分 ddyxf ),(, ,其中其中d是由是由x轴及半圆周轴及半圆周)0(222 yryx所围成的闭区域所围成的闭区域, ,化为先对化为先对y后对后对x的二次积分的二次积分, ,应为应为_._.练练 习习 题题 4 4、将二重积分、将二重积分 ddyxf ),(, ,其中其中d是由直线是由直线 2, xxy及双曲线及双曲线)0(1 xxy所围成的闭区所围成的闭区 域域, ,化为先对化为先对x后对后对y的二次积分的二次积分, ,应为应为 _. _. 5 5、将将二二次次积积分分 22221),(xxxdyyxfdx改改换换积积分分次次序序, , 应应为为_ _

9、_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _. . 6 6、将将二二次次积积分分 xxdyyxfdxsin2sin0),( 改改换换积积分分次次序序, , 应应为为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _. . 7 7、将将二二次次积积分分 2ln1),(2yedxyxfdy 2)1(2112),(ydxyxfdy改改换换积积分分次次序序, , 应应为为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _. .二、画出积分区域二、

10、画出积分区域, ,并计算下列二重积分并计算下列二重积分: : 1 1、 dyxde , ,其中其中d是由是由1 yx所确定的闭区域所确定的闭区域. . 2 2、 ddxyx )(22其中其中d是由直线是由直线 xyxyy2, 2 及及所围成的闭区域所围成的闭区域. . 3 3、 xddyyxxydxdyxf020)(2(cos),( 。4 4、,2 ddxdyxy其中其中d: : 20 , 11 yx. .三、设平面薄片所占的闭区域三、设平面薄片所占的闭区域d由直线由直线, 2 yxxy 和和x轴所围成轴所围成, ,它的面密度它的面密度22),(yxyx , ,求该求该薄片的质量薄片的质量 . .四、四、 求由曲面求由曲面222yxz 及及2226yxz , ,所围成的所围成的立体的体积立体的体积 . .一、一、1 1、1 1； 2 2、23 ；3 3、 220),(xrrrdyyxfdx；4 4、 22121121),(),(yydxyxfdydxyxfdy；5 5、 211