不定积分的概念与性质53252

1、1第一节第一节 不定积分不定积分的概念与性质的概念与性质原函数与不定积分的概念原函数与不定积分的概念基本积分公式基本积分公式不定积分的性质不定积分的性质2一、原函数与不定积分的概念一、原函数与不定积分的概念定义定义:例例)(sin x1. 原函数原函数)()(xfxf ,d)()(dxxfxf 若在区间若在区间i i上上, ,或或xcos 则称则称上的上的在在为为ixfxf)()(原函数原函数. .一个一个上上在在是是),(cossinxx的一个的一个原函数原函数. )0(1ln xxx上上在在是是), 0(1lnxx的一个的一个原函数原函数.3原函数存在定理原函数存在定理若若f (x)在区间

2、在区间i内连续内连续, , 则存在可导函数则存在可导函数f(x),问题问题: (1) 原函数是否唯一？原函数是否唯一？(2) 若不唯一它们之间有什么联系？若不唯一它们之间有什么联系？).()(,xfxfix 都有都有使使（连续函数一定有原函数）（连续函数一定有原函数）(1)(xf)(xf都是都是的原函数的原函数(c为任意常数为任意常数). .c )(xf若若则则,)(的一个原函数的一个原函数为为xf结论：结论：(2) 若若 和和 都是都是 的原函数的原函数,)(xf)(xg)(xf则则,)()(cxgxf （ 为任意常数）为任意常数）c4积分变量积分变量积分常数积分常数被积函数被积函数定义定义

3、被积表达式被积表达式2. 不定积分不定积分不定积分不定积分.函数函数 f ( (x) )的原函数的全体的原函数的全体称为称为则则的任一原函数的任一原函数是是设设,)()(xfxf函数函数 f (x) 的的xxfd)( 记为记为积分号积分号cxfxxf )(d)(在区间在区间i上上,5例例 求求.d5xx 解解 xx d5cx 66 5x 66x解解例例 .d112 xx求求 211x xxd112xarctancx arctan6故所求曲线方程为故所求曲线方程为22 xy求通过点求通过点 且其切线斜率为且其切线斜率为2x的曲线的曲线.),6 , 2(例例有有c 2262 c2xy 22 xyx

4、yo,d22 cxxx,)(2cxxf 设曲线方程为设曲线方程为),(xfy 解解根据题意知根据题意知,2ddxxy 由曲线通过点由曲线通过点(2,6),即即f (x)是是2x的一个原函数的一个原函数. . 7不定积分的几何意义不定积分的几何意义)(xf的原函数的图形称为的原函数的图形称为)(xfxxfd)( 的图形的图形一族一族积分曲线积分曲线yxo0 x的的积分曲线积分曲线. )(0 xfc)(d)( xfxxfc)( xfy8 由不定积分的定义由不定积分的定义 xdd xxfd)( 结论结论微分微分运算与运算与求不定积分求不定积分的运算是的运算是xxfd)( 的的.)(xf xxfd)(

5、dcxf )(cxf )()(xf xd )(dxf 先积后微先积后微不变不变, 先微后积先微后积差差个常数个常数.9二、基本积分公式二、基本积分公式l 基本积分公式基本积分公式 cx0d)1( cxxx1d)2(1 cxxx|lnd1)3( caaxaxxlnd)4( cxxxede)5(0)( cxx)1()(1 xx1) |(ln aaaxxln)( xxee )1( 对比对比求导求导公式公式10 cxxxsindcos)6(xxcos)(sin cxxxcosdsin)7(xxsin)(cos cxxxtandsec)8(2xx2sec)(tan cxxxcotdcsc)9(2xx2c

6、sc)(cot cxxxxsecdtansec)10(xxxtansec)(sec cxxxxcscdcotcsc)11(xxxcotcsc)(csc 11 cxxxarcsin1d)12(2211)(arcsinxx cxxxarctan1d)13(2211)(arctanxx 例例 求积分求积分.d2xxx 解解xxxd2 xx d25 cx 1251252772x cxxx 1d1 由公式由公式c 12三、不定积分的性质三、不定积分的性质 xxgxfd)()( xxgxxfd)(d)(1) xxkfd)( xxfkd)(（k是是常常数数，)0 k(2)例例 求积分求积分解解.d)1213

7、(22xxx xxxd)1213(22 xxd1132xarctan3 xarcsin2 c xxd1122 13.d)5e (2xxx xxxxd25e2 )e2ln()e2(x 2ln25x c 解解例例 求积分求积分 xxxd)5e (2 xxxxxd25de2 xxxxd25d)e2(14例例 求积分求积分解解.d)1(122xxxxx xxxxxd)1(122 xxxxxd)1()1(22 xxxd1112 xxd112 xarctanxxd1 |ln xc 15例例 求积分求积分解解.d)1(21222xxxx xxxxd)1(21222 xxd12 x1 )1(2x2xxxd11

8、2 xarctanc xxxd)1(22 xxxd11122 16例例 求积分求积分解解.d2cos11 xx xxd2cos11 xd11 xxdcos1212cx tan211cos22 x17xxxdcossin122 解解 xxxdcossin122 xxdcos12xtan xxxdcossin22 xxdsin12xcot c xx22cossin 例例 求积分求积分18解解xxxyd)sin(sec2 xtan 5)0( y6 c所求曲线方程为所求曲线方程为6costan xxyxcos c 已知一曲线已知一曲线 y = f (x)在点在点( x, f (x)处的切线处的切线例例

9、斜率为斜率为,sinsec2xx 且此曲线与且此曲线与y轴的交点为轴的交点为(0,5),求此曲线的方程求此曲线的方程.xxxysinsecdd2 19作业作业习题习题4 4.1(1741(174页页) ) 1.(双双) 2.20 xxxd11)2(22 xx dtan)3(2 xxd2sin)4(2 xxxd1)1(222 xxd)1(sec2 xxd2cos1 )1(d)1(22xxx xxxxxd)1()1(2222xxxd2cos1cos1)5( xxxdsin2cos12 211. 若若则则的原函数的原函数是是,)(exfx d)(ln2 xxfxcx 2212. 若若)(xf是是x e的原函数的原函数, 则则 xxxfd)(lncxcx ln113. 若若)(xf;sin1)(xa ;sin1)(xb 的导函数为的导函数为,sin x则则)(xf的一个原函数的一个原函数是是 ( ) .;cos1)(xc .cos1)(xd b22熟记熟记基本积分公式基本积分公式常用恒等变形方法常用恒等变形方法分项积分分项积分加项减项加项减项利用三角公式利用三角公式, 代数公式代数公式 ,23基本初等函数的导数基本初等函数的导数 )(c0 )( x1 x )(sinxxcos )(cosxxs